第九单元 统计
第57讲 随机抽样
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)全面调查 抽样调查 个体
样本容量
(2)=Yi =yi
2.(5)将号签充分搅拌 重复
3.(1)若干个子总体(层) 简单随机
(4)+ [+(-)2]+[+(-)2]
【对点演练】
1.分层随机抽样 简单随机抽样
[解析] ①中该社区500户家庭的收入有明显差异,所以应选用分层随机抽样法;②中15个个体间没有明显差异,所以应选用简单随机抽样法.
2.150 [解析] 依题意,得=,解得n=150.
3.165.4 cm [解析] 抽取的男生人数为×100=49,抽取的女生人数为×100=51.估计高二年级全体学生的平均身高为×170.2+×160.8=165.406≈165.4(cm).
4.一批炮弹的杀伤半径 每发炮弹的杀伤半径 50发炮弹的杀伤半径 50
[解析] 在这次调查中,总体是一批炮弹的杀伤半径,个体是每发炮弹的杀伤半径,样本是50发炮弹的杀伤半径,样本容量是50.
5. [解析] 从6个个体中抽1个个体,每个个体被抽到的概率均为,与抽取的次数无关,第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个,故个体a被抽到的概率为.
6.300 [解析] 由题意可知,=,解得n=300.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据简单随机抽样适用的条件及各种抽样方法的要求,对选项进行逐一判断即可.(2)首先根据第二次抽取时余下的每个个体被抽到的概率为,得n的值,然后由简单随机抽样的等可能性,求得每个个体被抽到的概率.
(1)AC (2) [解析] (1)在平面直角坐标系中有无数个点,这与总体中的个体数有限不相符,故A中的抽样方法不是简单随机抽样;易知B中的抽样方法是简单随机抽样;挑选的5名同学是最优秀的,不符合简单随机抽样的等可能性,故C中的抽样方法不是简单随机抽样;易知D中的抽样方法是简单随机抽样.故选AC.
(2)第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则=,即n-1=65,则n=66,∴在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为=.
变式题 (1)C (2)8 [解析] (1)对于A,总体容量较大,有明显的层次性,如男、女生在身高、体重等方面有较大差异,宜采用分层随机抽样方法;对于B,总体容量较大,且各村庄人口、地域、发展等方面有差异,收入可能有明显的差异,不宜采用简单随机抽样方法;对于C,总体个数少,且家访活动学生个体平等,宜采用简单随机抽样方法;对于D,总体容量大,不同年龄的人传染病发病情况不同,有明显的差异,不宜采用简单随机抽样方法.综上比较,最适合用简单随机抽样方法的是C.故选C.
(2)简单随机抽样中第一次抽样可以理解为从n个个体中抽取一个个体,则每个个体被抽到的可能性是,因此n=8.在整个抽样过程中,每个个体被抽到的可能性是.
例2 [思路点拨] (1)根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例,进而计算出中年人和青年人的抽取人数,最后计算出中年人比青少年多抽取多少人.(2)由比例分配的分层随机抽样的特点,结合扇形图求解即可.
(1)9 (2)B [解析] (1)设中年人抽取x人,青少年抽取y人,由分层随机抽样可知=,=,解得x=15,y=6,故中年人比青少年多抽取9人.
(2)由扇形图可知,三个年级的学生总人数为400+600+1000=2000,所以样本容量为2000×30%=600.因为抽取的高二年级学生人数为600×30%=180,所以抽取的高二年级学生中满意的人数为180×60%=108.故选B.
变式题 (1)A (2)4000 [解析] (1)由题意,全校参与跑步的人数占总人数的,所以样本中参与跑步的人数为200×=120,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×=36.故选A.
(2)由题可知=,解得x=4000.
例3 [思路点拨] (1)利用比例分配的分层随机抽样的特点和样本平均数的计算公式求解即可.(2)先根据比例分配的分层随机抽样的特点求各层抽取的人数,再根据平均数、方差的公式运算求解.
(1)8.43 (2)D [解析] (1)该武警大队共有30+30+40=100(人),由按比例分配的分层随机抽样方法得第一中队参加射击考核的人数为×30=9,第二中队参加射击考核的人数为×30=9,第三中队参加射击考核的人数为×30=12,所以参加射击考核的30人的平均射击环数为×8.8+×8.5+×8.1=8.43,所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
(2)高三(1)班抽取的人数为×10=6,高三(2)班抽取的人数为×10=4.
方法一:设高三(1)班的同学答对题目数依次为x1,x2,…,x6,高三(2)班的同学答对题目数依次为y1,y2,y3,y4.由题意可得xi=1,(xi-1)2==1,yj=1.5,(yj-1.5)2==0.35,可得xi=6,=12,yj=6,=10.4,则这10人答对题目数的平均数为=1.2,这10人答对题目数的方差为=0.8.故选D.
方法二:这10人答对题目数的平均数为=1.2,则这10人答对题目数的方差为×{6×[1+(1-1.2)2]+4×[0.35+(1.5-1.2)2]}=0.8.
变式题 (1)A (2)84 [解析] (1)方法一:从第一、二、三分厂抽取的电子产品数量分别为25件,50件,25件,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为×(980×25+1020×50+1032×25)=1013(h).
方法二:因为第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,所以抽取的100件产品的使用寿命的平均值为×(980+2×1020+1032)=1013(h).故选A.
(2)由按比例分配的分层随机抽样方法可得C车间应抽取的件数为60×30%=18.总样本平均值为=
=233,总样本方差为s2=×{12×[20+(220-233)2]+30×[20+(240-233)2]+18×[30+(230-233)2]}=84.第九单元 统计
第57讲 随机抽样
1.B [解析] 12个班,每班抽取10人,共抽取120人,所以样本量是120.故选B.
2.A [解析] 对于①,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;对于②,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当.故选A.
3.D [解析] 从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数,符合条件的编号依次有23,20,26,24,25,19,03,…,故第6个个体的编号为19.故选D.
4.C [解析] 由简单随机抽样的定义,知每个个体被抽到的可能性相等,故高一(5)班和高一(6)班被抽到的可能性均为.故选C.
5.ABD [解析] 依题意,=,解得n=300,则抽到的老年旅客人数为×300=150,抽到的中年旅客人数为×300=60.对于A,抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为210,A正确;对于B,n=300,B正确;对于C,中年旅客抽到60人,C错误;对于D,老年旅客抽到150人,D正确.故选ABD.
6.96 [解析] 由已知得女生与男生的人数之比为52∶48,则男生应抽取的人数为200×=96.
7.3.5 [解析] 设B类样本的平均数为x,则=4,解得x=3.5.
8.B [解析] 因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中,每个个体被抽中的概率均为,所以p1=p2=p3.故选B.
9.B [解析] 甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口数量之比为4∶3∶3∶2,因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20,所以-=20,解得n=240.故选B.
10.AB [解析] 根据抽样结果,此次抽样可能采用的是抽签法,故A正确;若按性别采用比例分配的分层随机抽样方法,则抽得的男生、女生人数分别为4,3,所以这次抽样不可能是按性别采用比例分配的分层随机抽样方法,故B正确;若按抽签法,则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等,故C,D错误.故选AB.
11.ABD [解析] A选项,抽查的样本中女职工人数为90×=60,A选项正确.B选项,男职工平均体重为63千克,女职工平均体重为54千克,所以该单位男职工的体重普遍比女职工重,B选项正确.C选项,估计该单位职工平均体重为×63+×54=57(千克),C选项错误.D选项,每一位男或女职工被抽中的可能性均为=,D选项正确.故选ABD.
12.120 [解析] 因为从7~12岁年龄段回收了180份问卷,而样本在7~12岁年龄段的问卷中抽取了60份,所以抽样比为.因为样本容量为300,所以回收的问卷总数为300÷=900(份),可得x=900-120-180-240=360,所以在16~18岁年龄段的问卷中抽取的份数为360×=120.
13.204 28 [解析] 依题意,设A生产线产品的样本为xi(i=1,2,…,8),平均数为=210,B生产线产品的样本为yj(j=1,2,…,12),平均数为=200,两生产线的总样本为zk(k=1,2,…,20),平均数为,则===204.=-=-2102=4,=-=-2002=4,所以=8×(4+2102),=12×(4+2002),所以s2=-=×-2042=×[8×(4+2102)+12×(4+2002)]-2042=28.
14.AC [解析] 因为掷出点数为3的倍数的概率为,所以理论上回答问题一的人数为150×=50.掷出点数为奇数的概率为,理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”,故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5.对于A,抽样调查的这150名学生中,约有50人回答问题一,故A正确.对于B,抽样调查的这150名学生中,约有5人迷恋电子游戏,故B错误.对于C,D,理论上,抽样调查的150名学生中,50名学生回答问题一,100名学生回答问题二,回答问题二的学生中有5名学生回答“是”, 故该校迷恋电子游戏的学生约占=5%,故C正确,D错误.故选AC.
15.ABD [解析] 不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5,y1≤y2≤y3≤y4≤y5.对于A,由比例分配的分层随机抽样的概念可知,甲班男生和女生人数相等,所以甲班参加数学调研测试的人数为10÷20%=50,所以A正确;对于B,两组成绩x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5的中位数分别为x3,y3,则x3=y3=a,又因为样本成绩排序时,x3,y3前面有四个,后面有四个,所以样本成绩的中位数为=x3=y3=a,所以样本中位数为a,所以B正确;对于C,样本平均数==(5+5)=,所以C错误;对于D,样本方差s2=×{5[+(-)2]+5[+(-)2]}=+>(≠),所以D正确.故选ABD.第九单元 统计
第57讲 随机抽样
【课标要求】 1.知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.
2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本和总体的关系.
3.了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.
4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.
1.总体与样本
(1)总体与样本的概念:统计的研究对象是数据,获取数据的方法有 和 ,调查对象的全体称为总体,组成总体的每一个调查对象称为 ,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为 .
(2)总体与样本的均值
总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则总体均值= .
从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则样本均值= .
2.简单随机抽样
(1)抽取方式:逐个不放回地抽取.
(2)每个个体被抽到的概率相等.
(3)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法.
(4)适用条件:个体间差异不大,抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于个体数较多的情况.
(5)实施注意点:抽签法的关键是 ;随机数法要注意剔除 的编号.
3.分层随机抽样
(1)概念:按一个或多个变量把总体划分成 ,每个个体属于且仅属于一个子总体(层),在每个子总体(层)中独立地进行 抽样,再把所有子总体(层)中抽取的样本合在一起作为总样本.
(2)适用条件:从某一个变量的角度看,个体间差异大,根据该变量分层后,每一层内个体差异不大.
(3)实施注意点:为保证样本的代表性,常用比例分配的分层随机抽样:=.
(4)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差
利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为,方差为;第二层的样本量为n2,均值为,方差为.则总的样本均值= ,总的样本方差s2= .
分层抽样方差公式还可以为s2=(+-)+(+-)
常用结论
在比例分配的分层随机抽样中,总体数是N,样本容量为n,每一层的总体数分别是N1,N2,…,Nm,每一层中抽取的样本数为n1,n2,…,nm,则满足关系:
①==…=;
②n1∶n2∶…∶nm=N1∶N2∶…∶Nm;
③n1=,…,nm=.
题组一 常识题
1.[教材改编] 完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标.此调查宜采用的抽样方法是 .②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.此调查宜采用的抽样方法是 .
2.[教材改编] 某学校有教师200人,男学生1600人,女学生1200人.现用比例分配的分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,若女学生一共抽取了60人,则n的值为 .
3.[教材改编] 高二年级有男生490人,女生510人,张华按男生、女生进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.如果张华在各层中按比例分配抽样,总样本量为100,在这种情况下,请估计高二年级全体学生的平均身高为 .
题组二 常错题
◆索引:不了解总体与样本的概念;不理解简单随机抽样中每个个体入样是等可能的;比例分配的分层随机抽样中找不准比例标准.
4.为了了解一批炮弹的杀伤半径,从中选取了50发炮弹进行试验,在这次调查中,总体是 ,个体是 ,样本是 ,样本容量是 .
5.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个样本量为2的样本,某一个个体a“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 、 、 .
6.某学校高二年级选择“物化生”“物化地”和“物化政”组合的同学人数之比为5∶2∶3.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取n位同学进行某项调查研究,若“物化地”组合中选出的同学人数为60,则n= .
简单随机抽样
例1 (1)(多选题)下列抽样方法不是简单随机抽样的是 ( )
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某公司从仓库中的1000箱零件中抽取20箱进行质量检查
C.从某班级的50名同学中挑选出5名最优秀的同学参加数学竞赛
D.从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号,对编号随机抽取)
(2)利用简单随机抽样的方法,从n(n>14)个个体中抽取14个个体,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 .
总结反思
(1)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况);(2)简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的.
变式题 (1)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是 ( )
A.某学校有学生1320人,卫生部门为了了解学生的身体发育情况,准备从中抽取一个容量为300的样本
B.从1135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从全班30名学生中,任意选取5名进行家访
D.为了解某地区某传染病的发病情况,从该地区的5000人中抽取200人进行统计
(2)用简单随机抽样的方法从含有n个个体的总体中,逐个抽取一个容量为3的样本,若个体a在第一次被抽到的可能性为,那么n= ;在整个抽样中,每个个体被抽到的可能性为 .
分层随机抽样
角度1 分层随机抽样的比例分配
例2 (1)某电影的上映引发了电信诈骗问题热议,也使各个社区加大了反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人,其中老年人200人,中年人200人,青少年80人,若按年龄进行等比例的分层随机抽样,共抽取36人,则中年人比青少年多抽取
人.
(2)[2024·四川乐山三模] 为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度,用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查,已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图①和图②所示,则样本容量和抽取的高二年级学生中满意的人数分别为 ( )
A.800,360 B.600,108
C.800,108 D.600,360
总结反思
进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时,常用到以下两个关系:
第1层 第2层 … 第k层 总计
总体数 N1 N2 … Nk N
样本数 n1 n2 … nk n
(1)== …==.
(2)n1∶n2∶…∶nk=N1∶N2∶…∶Nk.
变式题 (1)某高中在校学生共2000人,高一年级与高二年级人数相同且都比高三年级多1人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表,其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的.
高一年级 高二年级 高三年级
跑步 a b c
登山 x y z
为了了解学生对本次活动的满意程度,采用比例分配的分层随机抽样法从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中应抽取 ( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
(2)[2024·陕西西安八校联考] 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为3200件、x件、2400件,为了解各车间的产品是否存在显著差异,采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本进行检测.若在甲、乙两车间共抽取了90件,在乙、丙两车间共抽取了80件,则x= .
角度2 分层随机抽样的样本均值与样本方差
例3 (1)某武警大队共有第一、第二、第三3支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队用按比例分配的分层随机抽样方法共抽取了30人进行射击考核,统计得3个中队参加射击考核的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,估计该武警大队队员的平均射击水平为 环.
(2)采用比例分配的分层随机抽样法从某校高三(1)班(45人)和高三(2)班(30人)两个班中共抽取10名同学参加某项比赛,相关统计情况如下:高三(1)班的同学答对题目数的平均数为1,方差为1;高三(2)班的同学答对题目数的平均数为1.5,方差为0.35.则这10人答对题目数的方差为 ( )
A.0.61 B.0.675 C.0.74 D.0.8
总结反思
比例分配的分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比=.
(2)在比例分配的分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为,方差为;第二层的样本量为n,平均值为,方差为,则样本的平均值=,方差s2={m[+(-)2]+n[+(-)2]}.
变式题 (1)某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,按比例分配的分层随机抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1020 h,1032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 ( )
A.1013 h B.1014 h
C.1016 h D.1022 h
(2)某工厂的三个车间生产同一种产品,三个车间的产量分布如图所示,现用按比例分配的分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中,共抽取60件做使用寿命的测试,则C车间应抽取的件数为 ;若A,B,C三个车间产品的平均寿命分别为220 h,240 h,230 h,方差分别为20,20,30,则总样本方差为 . 第九单元 统计
第57讲 随机抽样
(时间:45分钟)
1.为了解高三年级12个班共600名学生的高考填报志愿的情况,决定在12个班中每班随机抽取10人的志愿进行分析,这个问题中样本量是 ( )
A.600 B.120
C.50 D.10
2.①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 ( )
A.分层随机抽样,简单随机抽样
B.简单随机抽样,简单随机抽样
C.简单随机抽样,分层随机抽样
D.分层随机抽样,分层随机抽样
3.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成,利用下面的随机数选取6个个体,选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体的编号为 ( )
第1行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A.27 B.26
C.25 D.19
4.某校高一共有10个班,编号为01,02,…,10,现用抽签法从中抽取3个班进行调查,设高一(5)班被抽到的可能性为a,高一(6)班被抽到的可能性为b,则 ( )
A.a=,b=
B.a=,b=
C.a=,b=
D.a=,b=
5.(多选题)珠江源是省级风景名胜区,景区内森林茂密,溪流淙淙,有“一水滴三江,一脉隔双盘”的奇异景观,其美景吸引着大批的游客前往参观.某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3,现用比例分配的分层随机抽样方法从这些旅客中随机抽取n名,若青年旅客抽到90人,则下列说法正确的是 ( )
A.抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
B.n=300
C.中年旅客抽到40人
D.老年旅客抽到150人
6.某校高三年级有女生520名,男生480名,若按比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本,则男生应抽取 名.
7.在某次调查中,采用比例分配的分层随机抽样方法得到10个A类样本,30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5,总体的平均数为4,则B类样本的平均数为 .
8.[2024·福建泉州模拟] 从一个含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本,当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,三者关系可能是 ( )
A.p1=p2
B.p1=p2=p3
C.p1=p3D.p2=p39.甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口数量之比为4∶3∶3∶2,为了解某种疾病的感染情况,按比例分配的分层随机抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本,已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20,则样本容量n的值是 ( )
A.200 B.240
C.260 D.280
10.(多选题)某学生社团有男生32名,女生24名,从中随机抽取一个容量为7的样本,某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生,则下列说法正确的是 ( )
A.这次抽样可能采用的是抽签法
B.这次抽样不可能是按性别采用比例分配的分层随机抽样方法
C.这次抽样中,每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
D.这次抽样中,每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
11.(多选题)[2024·广东梅州一模] 某单位有职工450人,其中男职工150人,现为了解职工健康情况,该单位采取比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为90的样本,得出体重情况:男职工平均体重为63千克,女职工平均体重为54千克.则下列说法正确的是 ( )
A.抽查的样本中女职工人数为60
B.该单位男职工的体重普遍比女职工重
C.估计该单位职工平均体重为58.5千克
D.每一位男或女职工被抽中的可能性均为
12.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3~6岁,7~12岁,13~15岁,16~18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要,现从回收的问卷中按年龄段采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为300的样本.若在7~12岁年龄段的问卷中抽取了60份,则应在16~18岁年龄段的问卷中抽取的份数为 .
13.某电池厂有A,B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用按样本量比例分配的分层随机抽样方法,从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本,并测量产品可充电次数的平均数及方差,结果如下:
项目 抽取成品数 样本平均数 样本方差
A生产线产品 8 210 4
B生产线产品 12 200 4
则20个产品组成的总样本的平均数为 ,方差为 .
14.(多选题)某学校为调查学生迷恋电子游戏的情况,设计如下调查方案,每个被调查者先投掷一枚骰子,若出现向上的点数为3的倍数,则如实回答问题一:“投掷点数是不是奇数 ”,反之,如实回答问题二:“你是不是迷恋电子游戏 ”.已知被调查的150名学生中,共有30人回答“是”,则下列结论正确的是 ( )
A.这150名学生中,约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数 ”
B.这150名学生中,必有5人迷恋电子游戏
C.该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D.该校约有2%的学生迷恋电子游戏
15.(多选题)为分析甲班学生某次数学调研测试情况,采用按性别比例分配的分层随机抽样方法抽取总人数的20%组成一个样本,该样本中男生的成绩为x1,x2,x3,x4,x5,女生成绩为y1,y2,y3,y4,y5,分析发现男生成绩和女生成绩的中位数都是a、方差都是,若男生成绩与女生成绩的平均数分别为,(≠),则 ( )
A.甲班参加数学调研测试的人数为50
B.样本中位数为a
C.样本平均数为+
D.样本方差s2>(共74张PPT)
第57讲 随机抽样
单元教学设计
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.知道获取数据的基本途径,包括:统计报表和年鉴、社会调查、试验
设计、普查和抽样、互联网等．了解总体、样本、样本量的概念，
了解数据的随机性．
2.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机
抽样方法:抽签法和随机数法，会计算样本均值和样本方差,了解样本
和总体的关系.
3.了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,
掌握各层样本量比例分配的方法.掌握分层随机抽样的样本均值和样
本方差.
4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法
解决问题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.总体与样本
（1）总体与样本的概念：统计的研究对象是数据，获取数据的方法
有__________和__________，调查对象的全体称为总体,组成总体的
每一个调查对象称为______,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样
本中包含的个体数称为__________.
全面调查
抽样调查
个体
样本容量
（2）总体与样本的均值
总体中有个个体，它们的变量值分别为,, , ，则总体均值
_ __________________.
从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为,, , ,
则样本均值 _ __________________.
2.简单随机抽样
（1）抽取方式：逐个不放回地抽取.
（2）每个个体被抽到的概率相等.
（3）常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数法.
（4）适用条件：个体间差异不大,抽签法适用于总体中个体数较少的
情况,随机数法适用于个体数较多的情况.
（5）实施注意点：抽签法的关键是________________ ;随机数法要
注意剔除______的编号.
将号签充分搅拌
重复
3.分层随机抽样
（1）概念：按一个或多个变量把总体划分成____________________,
每个个体属于且仅属于一个子总体（层）,在每个子总体（层）中独
立地进行__________抽样,再把所有子总体（层）中抽取的样本合在
一起作为总样本.
若干个子总体（层）
简单随机
（2）适用条件：从某一个变量的角度看，个体间差异大，根据该变
量分层后，每一层内个体差异不大.
（3）实施注意点：为保证样本的代表性，常用比例分配的分层随机
抽样： .
（4）比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差
利用比例分配的分层（两层）随机抽样获得的样本中，第一层的样
本量为，均值为，方差为；第二层的样本量为，均值为 ，
方差为.则总的样本均值 __________________，总的样本方差
_ ________________________________________.
分层抽样方差公式还可以为
..
常用结论
在比例分配的分层随机抽样中，总体数是，样本容量为，每一层
的总体数分别是,, ，，每一层中抽取的样本数为,, ,
，则满足关系：
①；
②；
③, ,.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、
280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买
能力的某项指标．此调查宜采用的抽样方法是______________．②
从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．此调查宜
采用的抽样方法是______________．
分层随机抽样
简单随机抽样
[解析] ①中该社区500户家庭的收入有明显差异，所以应选用分层随
机抽样法；
②中15个个体间没有明显差异，所以应选用简单随机抽样法．
2.［教材改编］ 某学校有教师200人，男学生1600人，女学生1200
人．现用比例分配的分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容
量为的样本，若女学生一共抽取了60人，则 的值为_____．
150
[解析] 依题意，得，解得 .
3.［教材改编］ 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、
女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均
身高分别为和 .如果张华在各层中按比例分配抽样，
总样本量为100，在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身
高为_________.
[解析] 抽取的男生人数为 ，抽取的女生人数为
.
估计高二年级全体学生的平均身高为
.
题组二 常错题
◆ 索引：不了解总体与样本的概念;不理解简单随机抽样中每个个
体入样是等可能的;比例分配的分层随机抽样中找不准比例标准.
4.为了了解一批炮弹的杀伤半径，从中选取了50发炮弹进行试验，在
这次调查中，总体是____________________，个体是_____________
_______，样本是____________________，样本容量是____．
一批炮弹的杀伤半径
每发炮弹的杀伤半径
50发炮弹的杀伤半径
50
[解析] 在这次调查中，总体是一批炮弹的杀伤半径，个体是每发炮
弹的杀伤半径，样本是50发炮弹的杀伤半径，样本容量是50．
5.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量
为2的样本，某一个个体 “第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概
率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是___、___、__.
[解析] 从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为 ，与抽
取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为 .
但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个，故个体被抽到的概
率为 .
6.某学校高二年级选择“物化生”“物化地”和“物化政”组合的同学人数
之比为.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取 位
同学进行某项调查研究，若“物化地”组合中选出的同学人数为60，
则 _____.
300
[解析] 由题意可知，，解得 .
探究点一 简单随机抽样
例1（1）（多选题）下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某公司从仓库中的1000箱零件中抽取20箱进行质量检查
C.从某班级的50名同学中挑选出5名最优秀的同学参加数学竞赛
D.从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已
编好号，对编号随机抽取）
√
√
［思路点拨］根据简单随机抽样适用的条件及各种抽样方法的要求，
对选项进行逐一判断即可.
[解析] 在平面直角坐标系中有无数个点，这与总体中的个体数有限
不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；
易知B中的抽样方法是简单随机抽样；
挑选的5名同学是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C
中的抽样方法不是简单随机抽样；
易知D中的抽样方法是简单随机抽样.
故选 .
（2）利用简单随机抽样的方法，从 个个体中抽取14个个
体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个
抽样过程中，每个个体被抽到的概率为___．
[解析] 第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，
则，即，则,
在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为 .
［思路点拨］首先根据第二次抽取时余下的每个个体被抽到的概率为
得 的值,然后由简单随机抽样的等可能性,求得每个个体被抽到的概率.
[总结反思]
（1）简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、
随机数法（适用于总体中个体数较多的情况）；
（2）简单随机抽样中每个个体被抽中的可能性是相等的.
变式题（1）下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是( )
A.某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生的身体发育情况，
准备从中抽取一个容量为300的样本
B.从1135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D.为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5000人中抽取200
人进行统计
√
[解析] 对于A，总体容量较大，有明显的层次性，如男、女生在身
高、体重等方面有较大差异，宜采用分层随机抽样方法；
对于B，总体容量较大，且各村庄人口、地域、发展等方面有差异，
收入可能有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法；
对于C，总体个数少，且家访活动学生个体平等，宜采用简单随机抽
样方法；
对于D，总体容量大，不同年龄的人传染病发病情况不同，有明显的
差异，不宜采用简单随机抽样方法.
综上比较，最适合用简单随机抽样方法的是C.故选C.
（2）用简单随机抽样的方法从含有 个个体的总体中，逐个抽取一
个容量为3的样本，若个体在第一次被抽到的可能性为，那么
___；在整个抽样中，每个个体被抽到的可能性为__．
[解析] 简单随机抽样中第一次抽样可以理解为从 个个体中抽取一
个个体，则每个个体被抽到的可能性是，因此 .
在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性是 .
探究点二 分层随机抽样
角度1 分层随机抽样的比例分配
例2（1）某电影的上映引发了电信诈骗问题热议，也使各个社区加
大了反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人
200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随
机抽样，共抽取36人，则中年人比青少年多抽取___人.
9
［思路点拨］根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而
计算出中年人和青年人的抽取人数，最后计算出中年人比青少年多
抽取多少人.
[解析] 设中年人抽取人，青少年抽取 人，
由分层随机抽样可知，，解得， ，
故中年人比青少年多抽取9人.
（2）[2024·四川乐山三模]为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜
的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取 的学生进行调查，已
知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图①和图②所示，
则样本容量和抽取的高二年级学生中满意的人数分别为( )
A.800，360 B.600，108 C.800，108 D.600，360
√
[解析] 由扇形图可知，三个年级的学生总人数为
，所以样本容量为 .
因为抽取的高二年级学生人数为 ，所以抽取的高二
年级学生中满意的人数为 .故选B.
［思路点拨］由比例分配的分层随机抽样的特点,结合扇形图求解即可.
[总结反思]
进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时,常用到以下两个关系:
第1层 第2层 … 总计
总体数 …
样本数 …
（1） .
（2） .
变式题（1）某高中在校学生共2000人,高一年级与高二年级人数相同
且都比高三年级多1人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑
步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与
比赛人数情况如下表,其中 ,全校参与登山的人数占总
人数的 .
高一年级 高二年级 高三年级
跑步
登山
为了了解学生对本次活动的满意程度,采用比例分配的分层随机抽样
法从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二年级参与跑步的学生中
应抽取( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
[解析] 由题意,全校参与跑步的人数占总人数的 ,所以样本中参与跑
步的人数为 ,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的
人数为 .故选A.
√
（2）[2024·陕西西安八校联考] 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了
同一种产品，数量分别为3200件、 件、2400件，为了解各车间的产
品是否存在显著差异，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取一
个样本进行检测.若在甲、乙两车间共抽取了90件，在乙、丙两车间
共抽取了80件，则 ______.
4000
[解析] 由题可知，解得 .
角度2 分层随机抽样的样本均值与样本方差
例3（1）某武警大队共有第一、第二、第三3支中队，人数分别为30，
30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配的分
层随机抽样方法共抽取了30人进行射击考核，统计得3个中队参加射
击考核的平均环数分别为，， ，估计该武警大队队员的平
均射击水平为_____环.
8.43
［思路点拨］利用比例分配的分层随机抽样的特点和样本平均数的
计算公式求解即可.
[解析] 该武警大队共有 （人），
由按比例分配的分层随机抽样方法得
第一中队参加射击考核的人数为 ，
第二中队参加射击考核的人数为 ，
第三中队参加射击考核的人数为 ，
所以参加射击考核的30人的平均射击环数为
，所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
（2）采用比例分配的分层随机抽样法从某校高三（1）班（45人）
和高三（2）班（30人）两个班中共抽取10名同学参加某项比赛，相
关统计情况如下：高三（1）班的同学答对题目数的平均数为1，方
差为1；高三（2）班的同学答对题目数的平均数为 ，方差为0.35.
则这10人答对题目数的方差为( )
A.0.61 B.0.675 C.0.74 D.0.8
√
［思路点拨］先根据比例分配的分层随机抽样的特点求各层抽取的
人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.
[解析] 高三（1）班抽取的人数为 ，高三（2）班抽取
的人数为 .
方法一：设高三（1）班的同学答对题目数依次为,, , ，高三
（2）班的同学答对题目数依次为,,, ．由题意可得
，， ，
，可得 ,
,, ，
则这10人答对题目数的平均数为 ，
这10人答对题目数的方差为 .故选D.
方法二：这10人答对题目数的平均数为 ，则这10人答
对题目数的方差为
.
[总结反思]
比例分配的分层随机抽样中有关计算的方法
（1）抽样比.
（2）在比例分配的分层随机抽样中,如果第一层的样本量为,平均值
为,方差为;第二层的样本量为,平均值为,方差为,则样本的平均
值,方差.
变式题（1）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三
分厂的产量之比为 ，按比例分配的分层随机抽样方法
（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100
件做使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂
取出的产品的使用寿命的平均值分别为，， ，则
抽取的100件产品的使用寿命的平均值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：从第一、二、三分厂抽取的电子产品数量分别为25
件，50件，25件，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为
方法二：因为第一、二、三分厂的产量之比为 ，所以抽取的
100件产品的使用寿命的平均值为
.故选A.
（2）某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车
间的产量分布如图所示，现用按比例分配的分层随
机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60
件做使用寿命的测试，则 车间应抽取的件数为___；
若，， 三个车间产品的平均寿命分别为
18
84
，， ，方差分别为20，20，30，则总样本方差为____.
[解析] 由按比例分配的分层随机抽样方法可得 车间应抽取的件数为 .
总样本平均值为 ，
总样本方差为
.
【备选理由】例1是按比例分配的分层随机抽样,涉及样本量的有关计
算;
例1 ［配例2使用］ 如图是某校高一年
级1000名男生体检时身高的频率分布直
方图，现用分层随机抽样的方法从身高
在 的男生中抽取130名，则抽
取到的身高在 的人数为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
√
[解析] 由频率分布直方图可知，高一年
级身高在 的人数为
，
高一年级身高在 的人数为
.
设抽取到的身高在的人数为，则，解得 ，
故选C.
例2 ［配例3使用］ 为了解学生的课外阅读情况，某校对高中生进
行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，采用样本量比例
分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生40人，
其平均数和方差分别为5和 ，抽取了女生60人，其平均数和方差
分别为4和 ，则估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差
为( )
A.2.58 B.2.76 C.3 D.3.2
√
【备选理由】例2是按比例分配的分层随机抽样中的方差计算.
[解析] 设抽取的总样本的平均数为，方差为 ，
因为抽取了男生40人，其平均数和方差分别为和 ，
抽取了女生60人，其平均数和方差分别为和 ，
所以，
，
所以估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差为3.故选C.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.为了解高三年级12个班共600名学生的高考填报志愿的情况，决定
在12个班中每班随机抽取10人的志愿进行分析，这个问题中样本量
是( )
A.600 B.120 C.50 D.10
[解析] 12个班，每班抽取10人，共抽取120人，所以样本量是120.故选B.
√
2.①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩
在 分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试
题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加 接力赛的6
支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( )
A.分层随机抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，简单随机抽样
C.简单随机抽样，分层随机抽样 D.分层随机抽样，分层随机抽样
[解析] 对于①，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，
用分层随机抽样比较恰当；
对于②，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当.故选A.
√
3.总体由编号为01，02， ，29，30的30个个体组成，利用下面的
随机数选取6个个体，选取方法是从如下随机数的第1行的第6列和第
7列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的
编号为( )
第1行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A.27 B.26 C.25 D.19
[解析] 从第1行的第6列和第7列数字开始由左向右依次选取两个数,
符合条件的编号依次有23，20，26，24，25，19，03， ,故第6个
个体的编号为19.故选D.
√
4.某校高一共有10个班，编号为01，02， ，10，现用抽签法从中
抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为 ，高一（6）
班被抽到的可能性为 ，则( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，
故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为 .故选C.
√
5.（多选题）珠江源是省级风景名胜区，景区内森林茂密，溪流淙淙，
有“一水滴三江，一脉隔双盘”的奇异景观，其美景吸引着大批的游
客前往参观.某旅行社分年龄段统计了前往珠江源的老、中、青旅客
的人数比为 ，现用比例分配的分层随机抽样方法从这些旅客中
随机抽取 名，若青年旅客抽到90人，则下列说法正确的是
( )
A.抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
B.
C.中年旅客抽到40人
D.老年旅客抽到150人
√
√
√
[解析] 依题意，，解得 ，则抽到的老年旅客人数
为，抽到的中年旅客人数为 .
对于A，抽到的老年旅客和中年旅客人数之和为210，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C，中年旅客抽到60人，C错误；
对于D，老年旅客抽到150人，D正确.
故选 .
6.某校高三年级有女生520名，男生480名，若按比例分配的分层随机
抽样的方法从高三年级学生中抽取一个容量为200的样本，则男生应
抽取____名.
96
[解析] 由已知得女生与男生的人数之比为 ，则男生应抽取的
人数为 .
7.在某次调查中，采用比例分配的分层随机抽样方法得到10个 类样
本，30个类样本.若类样本的平均数为 ，总体的平均数为4，则
类样本的平均数为____.
3.5
[解析] 设类样本的平均数为，则，解得 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·福建泉州模拟]从一个含有 个个体的总体中抽取一个容量为
的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，
总体中每个个体被抽中的概率分别为,, ，三者关系可能是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个
个体被抽中的概率均为，所以 .故选B.
√
9.甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口数量之比为 ，为了解某种
疾病的感染情况，按比例分配的分层随机抽样方法从这四个乡镇中
抽取容量为 的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20，
则样本容量 的值是( )
A.200 B.240 C.260 D.280
[解析] 甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口数量之比为 ，
因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20，
所以，解得 ．故选B.
√
10.（多选题）某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一
个容量为7的样本，某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生，则下列
说法正确的是( )
A.这次抽样可能采用的是抽签法
B.这次抽样不可能是按性别采用比例分配的分层随机抽样方法
C.这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的
概率
D.这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到
的概率
√
√
[解析] 根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，故A正确；
若按性别采用比例分配的分层随机抽样方法，则抽得的男生、女生
人数分别为4，3，所以这次抽样不可能是按性别采用比例分配的分
层随机抽样方法，故B正确；
若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均
相等，故C,D错误.
故选 .
11.（多选题）[2024·广东梅州一模] 某单位有职工450人，其中男职
工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取比例分配的分层随机
抽样方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况：男职工平均
体重为63千克，女职工平均体重为54千克.则下列说法正确的是
( )
A.抽查的样本中女职工人数为60
B.该单位男职工的体重普遍比女职工重
C.估计该单位职工平均体重为58.5千克
D.每一位男或女职工被抽中的可能性均为
√
√
√
[解析] A选项，抽查的样本中女职工人数为 ，A选
项正确
选项，男职工平均体重为63千克，女职工平均体重为54千克，所以
该单位男职工的体重普遍比女职工重，B选项正确
选项，估计该单位职工平均体重为 (千
克)，C选项错误
选项，每一位男或女职工被抽中的可能性均为 ，D选项正确.
故选 .
12.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.
他们从岁，岁，岁， 岁四个年龄段回收的
问卷依次为120份、180份、240份、 份.因调查需要，现从回收的问
卷中按年龄段采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为300
的样本.若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在 岁
年龄段的问卷中抽取的份数为_____.
120
[解析] 因为从岁年龄段回收了180份问卷，而样本在 岁
年龄段的问卷中抽取了60份，所以抽样比为 .
因为样本容量为300，所以回收的问卷总数为 （份），
可得，
所以在 岁年龄段的问卷中抽取的份数为 .
13.某电池厂有， 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用按样
本量比例分配的分层随机抽样方法，从某天两条生产线上的成品中随
机抽取样本，并测量产品可充电次数的平均数及方差，结果如下：
项目 抽取成品数 样本平均数 样本方差
A生产线产品 8 210 4
B生产线产品 12 200 4
则20个产品组成的总样本的平均数为_____，方差为____.
204
28
[解析] 依题意，设生产线产品的样本为 ，平均数
为，生产线产品的样本为 ，平均数为
，两生产线的总样本为，平均数为，
则
，
，
所以,，
所以 .
◆ 能力拓展 ◆
14.（多选题）某学校为调查学生迷恋电子游戏的情况，设计如下调
查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍
数，则如实回答问题一：“投掷点数是不是奇数 ”，反之，如实回答
问题二：“你是不是迷恋电子游戏 ”．已知被调查的150名学生中，
共有30人回答“是”，则下列结论正确的是( )
A.这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数 ”
B.这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C.该校约有 的学生迷恋电子游戏
D.该校约有 的学生迷恋电子游戏
√
√
[解析] 因为掷出点数为3的倍数的概率为 ，所以理论上回答问题一
的人数为.掷出点数为奇数的概率为 ，理论上回答问题
一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人
数为 .
对于A,抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.
对于B,抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，故B错误.
对于C,D，理论上，抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，
100名学生回答问题二，回答问题二的学生中有5名学生回答“是”，故
该校迷恋电子游戏的学生约占 ，故C正确,D错误.
故选 .
15.（多选题）为分析甲班学生某次数学调研测试情况，采用按性别
比例分配的分层随机抽样方法抽取总人数的 组成一个样本，该
样本中男生的成绩为,,,,，女生成绩为,,,, ，分
析发现男生成绩和女生成绩的中位数都是、方差都是 ，若男生成
绩与女生成绩的平均数分别为, ，则( )
A.甲班参加数学调研测试的人数为50
B.样本中位数为
C.样本平均数为
D.样本方差
√
√
√
[解析] 不妨设， .
对于A，由比例分配的分层随机抽样的概念可知，甲班男生和女生人数相等，所以甲班参加数学调研测试的人数为 ，所以A正确；
对于B，两组成绩,,,,和,,,, 的中位数分别为,，则，又因为样本成绩排序时，, 前面有四个，后面有四个，所以样本成绩的中位数为 ，所以样本中位数为 ，所以B正确；
对于C，样本平均数 ，所以C错误；
对于D，样本方差，所以D正确.
故选 .
【知识聚焦】1.(1)全面调查 抽样调查 个体 样本容量 (2)
2.(5)将号签充分搅拌 重复 3.(1)若干个子总体(层) 简单随机
(4)+ [+(-)2]+[+(-)2]
【对点演练】1.分层随机抽样 简单随机抽样 2.150 3.165.4 cm 4.一批炮弹的杀伤
半径 每发炮弹的杀伤半径 50发炮弹的杀伤半径 50 5. 6.300
课堂考点探究
例1 (1)AC (2)变式题 (1)C (2)8 例2 (1)9 (2)B 变式题 (1)A (2)4000
例3 (1)8.43 (2)D 变式题 (1)A (2)18 84
教师备用习题
例1 C 例2 C
基础热身
1.B 2.A 3.D 4.C 5.ABD 6. 96 7. 3.5
综合提升
8.B 9.B 10.AB 11.ABD 12. 120 13. 204 28
能力拓展
14.AC 15.ABD