第61讲 排列与组合
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.一定的顺序
2.不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 不同组合
【对点演练】
1.4 [解析] 4名学生中,来自高一、高二年级的各2名,所以随机选2名学生,来自不同年级的选择方法有=4(种).
2.2400 [解析] 安排甲和乙在3日至7日中的两天值班,然后安排其他五人在剩余五天值班,所以不同的安排方法有×=20×120=2400(种).
3.20 [解析] A项工作安排3人有=10(种)安排方式,B,C两项工作均只安排1人,有=2(种)安排方式,则不同的安排方式共有10×2=20(种).
4.5 120 96 [解析] 从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有=5(种)选法.若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案有=120(种).由于甲不参加生物竞赛,因此安排甲参加另外三门学科的竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲参加另外三门学科的竞赛时,有=72(种)方案;②当甲不参加任何竞赛时,有=24(种)方案.故甲不参加生物竞赛的不同参赛方案种数为72+24=96.
5.720 720 [解析] 要将这7人站成一排,且3个女生排在一起,可以分2个步骤:第1步,将3个女生全排列,有=6(种)方法;第2步,将3个女生“捆绑”看作1个整体与男生4人全排列,有=120(种)方法.根据分步乘法计数原理,3个女生排在一起共有6×120=720(种)排法.要将这7人站成一排,且甲、乙2人之间恰好有3个人,可以分3个步骤:第1步,甲、乙2人全排列,有=2(种)方法;第2步,从其余5个人中选出3个人,在甲、乙2人之间排列,有=60(种)方法;第3步,将甲、乙2人及之间的3个人“捆绑”为1个元素,与另外2个人共3个元素全排列,有=6(种)方法.根据分步乘法计数原理,甲、乙2人之间恰好有3个人共有2×60×6=720(种)排法.
6.150 [解析] 依题意分两类情况:第一类为(2,2,1),则有=90(种)参加方式;第二类为(1,1,3),则有=60(种)参加方式.所以共有90+60=150(种)参加方式.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)易知2天相连的情况有4种,再对剩下的全排列即可求解.
(2)思路一:直接考虑喀什的顺序有4种,后面只需考虑剩下的4个城市即可;思路二:根据给定条件,先算不考虑限制条件的排列数,再减去最后目的地是喀什的排列数即可.
(1)D (2)D [解析] (1)由题意,从星期一至星期五值班,2天相连的情况有4种,则不同的安排方法共有4=96(种).故选D.
(2)方法一:先安排喀什的顺序有4种,再安排剩下的四个城市有=24(种),所以共有4=96(种)顺序.
方法二:最后目的地没有限制条件的情况有种,而最后一个目的城市是喀什的情况有种,所以最后一个目的城市不是喀什的情况有-=96(种).故选D.
变式题 (1)C (2)C [解析] (1)3名男医生各去一个区域,有种派遣方法,2名女医生有32种派遣方法,共有·32=54(种)派遣方法.
(2)先进行分类:①3人到A队伍,考虑3人在A队的排队顺序,此时有=6(种)排队方案;②2人到A队伍,同样要考虑2人在A队的排队顺序,此时有=6(种)排队方案;③1人到A队伍,要考虑2人在B队的排队顺序,此时有=6(种)排队方案;④0人到A队伍,要考虑3人在B队的排队顺序,此时有=6(种)排队方案.所以甲、乙、丙三人不同的排队方案共有6+6+6+6=24(种).故选C.
例2 [思路点拨] (1)从平行直线x+y-a=0(a=0,1,2,3,4,5)中选2条,再从平行直线2x-y+b=0(b=0,1,2,3,4,5)中选2条,即可确定1个平行四边形,从而确定平行四边形的个数.(2)按选修2门或3门课进行分类讨论,结合组合知识求解.
(1)D (2)64 [解析] (1)从平行直线x+y-a=0(a=0,1,2,3,4,5)中选2条,再从平行直线2x-y+b=0(b=0,1,2,3,4,5)中选2条,即可确定1个平行四边形,所以可确定平行四边形的个数为=15×15=225(个).故选D.
(2)若选修2门课,则需要从体育类和艺术类选修课中各选1门,有=16(种)方案;若选择3门课,则包含两种情况:选2门体育类,1门艺术类或2门艺术类,1门体育类,有+=48(种)方案.故不同的选课方案共有16+48=64(种).
变式题 (1)AD (2)42 [解析] (1)对于A,若4人中男、女生各2人,则有=6×3=18(种)选法,故A正确;对于B,若男生甲和女生乙必选,则有=10(种)选法,故B错误;对于C,从7名同学中任选4人,共有=35(种)选法,而甲、乙都不被选有=5(种)选法,故甲、乙至少有1人被选有-=35-5=30(种)选法,故C错误;对于D,若4人中既有男生又有女生,则有-=35-1=34(种)选法,故D正确.故选AD.
(2)依题意,问题相当于从1,2,3,…,10这10个数中任取3个,这3个数的和能被3整除.10个数中能被3整除的有3,6,9;除以3余数是1的有1,4,7,10;除以3余数是2的有2,5,8.所以编号之和能被3整除的取法共有2++=42(种).
例3 [思路点拨] (1)根据两个计数原理和排列组合的知识,逐项判断即可.(2)根据给定条件,按甲参加与甲不参加分类,再结合有限制条件的排列问题列式计算即可.
(1)C (2)276 [解析] (1)对于A,从7人中任选3人相互调整位置,其余4人位置不变,则不同的调整方案有×2×1=70(种),故A中说法正确;对于B,先排女生,将4名女生全排列,有种方法,再排男生,由于男生互不相邻,因此可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有种方法,故共有·=1440(种)站法,故B中说法正确;对于C,将女生看成一个整体,考虑女生之间的顺序,有种情况,再将女生的整体与3名男生进行全排列,有种情况,故共有·=576(种)站法,故C中说法错误;对于D,若甲站在排尾,则有种站法,若甲不站在排尾,则有种站法,故共有+=3720(种)站法,故D中说法正确.故选C.
(2)依题意,由甲、乙至少有一人参加,分甲参加与甲不参加乙必参加两种情况:当甲参加时,有种选派方法;当甲不参加时,有种选派方法.所以不同的选派方法种数是+=180+96=276.
变式题 (1)C (2)864 [解析] (1)若乙担任数学课代表,则不同的安排方式有·=48(种);若丙担任数学课代表,则不同的安排方式有··=24(种).所以不同的安排方式共有48+24=72(种).故选C.
(2)首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”,有种选法;“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体,与除“书”与“画”外的“两雅”全排列,有种排法;最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空,有种插法.按照分步乘法计数原理可得,共有=864(种)排课方法.
例4 [思路点拨] 结合捆绑法与全排列,并消除C和D的顺序即可求解.
C [解析] A,B相邻有种站法,将A,B看成一个整体与C,D,E,F进行全排列,共有种站法,则C在D的左边的站法有=120(种).故选C.
变式题 D [解析] 方法一:依题意,7名棋手作全排列为,其中原有5名棋手的排列为,所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数为=7×6=42.
方法二:由5名棋手位置固定,有6个空隙,先插入二班的第一名棋手有6种插法,此时有7个空隙,再插入二班的第二名棋手有7种插法,所以不同的排法有7×6=42(种).
例5 [思路点拨] 利用隔板法可得答案.
D [解析] 将8个参赛名额看成8个元素,之间会产生7个空隙,则分配方法共有==35(种),故选D.
变式题 15 [解析] 由于每只羊羔的价格均为300元,因此共有10个购买羊羔的指标,可以看成10个无差别的小球,3种不同的羊羔可以看成3个编号分别为1,2,3的盒子,要求每种羊羔至少买2只,则先取出3个小球放入盒子中,每盒1个,则问题转化为把7个无差别的小球装入3个不同的盒子中,每个盒子至少装1个小球.用隔板法,7个小球之间共有6个空隙,从中选2个插入隔板,则共有=15(种)不同的购买方案.
例6 [思路点拨] 先不考虑专家A不能去甲乡镇的情况,将六名农业专家分组,再分配到三个乡镇上,求出总的安排方案种数,最后根据专家A不去甲乡镇所占的比例求解即可.
360 [解析] 由题意,先不考虑专家A不能去甲乡镇的情况,将六名农业专家分成三组,有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2)三种情况.按(1,1,4)分组有=15(种)方法,按(1,2,3)分组有=60(种)方法,按(2,2,2)分组有=15(种)方法.再将三组农业专家分配到甲、乙、丙三个乡镇上,有种方法.所以共有(15+60+15)=540(种)安排方案.上述安排方案中,专家A去甲乡镇,去乙乡镇和去丙乡镇的安排方案种数相等,故专家A不去甲乡镇的安排方案有540×=360(种).
变式题 B [解析] 将4名同学按2,1,1分组,再分配到4所学校中的3所,共有=144(种)方法.故选B.第61讲 排列与组合
1.A [解析] 根据=,得n=3+7=10,所以==10×9=90.故选A.
2.C [解析] 在1,2,…,9中任取3个数,其大小关系确定,所以“渐升数”共有=84(个).故选C.
3.B [解析] 两人恰好有两项科目相同的选法有=60(种).故选B.
4.C [解析] 根据题意,分两步进行:第一步,安排3名同学站成一排,不同的站法共有种;第二步,安排2名老师,采用插空法,不同的站法共有种.由分步乘法计数原理可得,不同的站法共有=72(种).故选C.
5.B [解析] 由题得3个2,1个0,2个5中,除去四个数字2,0,2,5后,还剩1个2,1个5,将2025看作1个元素,与2,5共3个元素全排列,有=6(个)六位数.故选B.
6.30 240 [解析] 先将10人全排列,即为,再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排列,即为,故共有=30 240(种)不同排法.
7.65 [解析] 从8名同学中任选4名,有种方法,其中全是女生的选法有种,所以不同的选派方案共有-=70-5=65(种).
8.C [解析] 问题等价于将8个完全相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,由隔板法可知,不同的分配方案种数为=21.故选C.
9.B [解析] ①若A校去乙地,则有=24(种)不同的选择;②若A校与另一所学校去丙地,则有=12(种)不同的选择;③若A校单独去丙地,则有=6(种)不同的选择.所以共有24+12+6=42(种)不同的选择,故选B.
10.AC [解析] 对于A,若数学课不安排在第一节且不安排在最后一节课,则数学课有3节课可选,其余科目没有要求,有种安排方法,则一共有3=72(种)不同的安排方法,故A正确;对于B,语文课和数学课捆绑在一起,看作一个元素,与余下的科目一起排列,则有=24(种)不同的安排方法,故B错误;对于C,先安排英语、物理、化学3节课,有=6(种)不同的安排方法,把语文课和数学课安排在英语、物理、化学3节课产生的4个空位上,有=12(种)不同的安排方法,则共有6×12=72(种)不同的安排方法,故C正确;对于D,若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有=20(种)不同的安排方法,故D错误.故选AC.
11.ABC [解析] 对于A,将9本相同的书分给3位同学,每人至少一本,利用挡板法分析,在9本书之间的8个空隙中任选2个,插入挡板即可,有=28(种)不同的分法,故A正确.对于B,根据题意,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即有3种分法,所以9本书有39种不同的分法,故B正确.对于C,若内容完全一样的9本书分给3位同学,则3人中有可能有人分不到书,则先借给这3人每人一本书,此时每人至少分1本书,再利用隔板法,可得有=55(种)不同的分法,故C正确.对于D,可以分为11类情况:①“1,2,6”型,有×4=1008(种)分法;②“1,3,5”型,有×4=2016(种)分法;③“1,4,4”型,有×2=1260(种)分法;④“1,7,1”型,有=72(种)分法;⑤“1,8,0”型,有=9(种)分法;⑥“2,2,5”型,有×3=2268(种)分法;⑦“2,3,4”型,有×6=7560(种)分法;⑧“2,7,0”型,有×2=72(种)分法;⑨“3,3,3”型,有=1680(种)分法;⑩“3,6,0”型,有×2=168(种)分法;“4,5,0”型,有×2=252(种)分法.所以共有1008+2016+1260+72+9+2268+7560+72+1680+168+252=16 365(种)不同的分法,故D错误.故选ABC.
12.120 [解析] 当五位数的万位为4时,个位数可以是0,2,此时满足条件的偶数共有×=48(个);当五位数的万位为5时,个位数可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有×=72(个).所以比40 000大的偶数共有48+72=120(个).
13.30 [解析] 分两类:第一类,甲、丙两人去同一个村庄,共有种分配方法;第二类,甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄,共有种分配方法.故共有+=30(种)不同的分配方法.
14.43 200 [解析] 甲和乙必须相邻,采用捆绑法,将其看作一个整体,与除丙、丁外的其他6人排成一圈,共有·=1440(种)排法.甲和丙、丁不能相邻,采用插空法,甲和乙与除了丙、丁外的其他6人排成一圈后形成7个空,但甲与丙、丁不能相邻,故丙、丁只有6个空位可选,有=30(种)选法.根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方法有30×1440=43 200(种).
15.C [解析] 8个除颜色外完全相同的球,要使红球互不相邻,则最多有4个红球,根据红球个数分类讨论:1个红球7个黑球时,先排7个黑球共有1种排法,从8个空里面选出1个空让红球插入,有=8(种)选法;2个红球6个黑球时,先排6个黑球共有1种排法,从7个空里面选出2个空让红球插入,有=21(种)选法;3个红球5个黑球时,先排5个黑球共有1种排法,从6个空里面选出3个空让红球插入,有=20(种)选法;4个红球4个黑球时,先排4个黑球共有1种排法,从5个空里面选出4个空让红球插入,有=5(种)选法.所以满足条件的不同排列方法的种数为8+21+20+5=54.故选C.
16.B [解析] 由题意得an+1≥an,an+2-an+1≥an+1-an,a1=a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,又a6-a5=3,所以当n≥5时,an+1-ai≥3(i=1,2,…,n),所以{an}的所有“平缓数组”有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),(a4,a5),共7个,其中组差为0的有1个,为(a1,a2),组差为1的有3个,为(a1,a3),(a2,a3),(a3,a4),组差为2的有3个,为(a1,a4),(a2,a4),(a4,a5),所以随机抽取的3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为2+2=26,故选B.第61讲 排列与组合
【课标要求】 通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
1.排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列 排列有序,组合无序
组合 作为一组
2.排列数与组合数
名称 定义 计算公式 性质 联系
排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 = = (n,m∈N*,且m≤n) (1)=n!; (2)0!=1 (1)=; (2)应用时一般是先选(元素)后排,先分组后分配
组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示 = =(n,m∈N*,且m≤n) (1)==1; (2)=; (3)+=
常用结论
排列的常用方法:
(1)相邻问题——捆绑法;
(2)不相邻问题——插空法;
(3)定序问题(或相同元素)——用除法处理;
(4)分排问题——直排法.
题组一 常识题
1.[教材改编] 某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名,从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演,要求这2名学生来自不同年级,则不同的选择方法共有
种.
2.[教材改编] 某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人都不安排在10月1日和2日,则共有 种不同的安排方法.
3.[教材改编] 安排5名志愿者完成A,B,C三项工作,其中A项工作需要3人,B,C两项工作都只需要1人,则不同的安排方式共有 种.
题组二 常错题
◆索引:不能正确区分排列与组合;不能正确运用捆绑法致误;部分均匀分配问题不明白原理;分类标准不清致误.
4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有 种选法;若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为 ;若甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为 .
5.已知4个男生,3个女生站成一排,若3个女生必须排在一起,则有 种不同的排法;若甲、乙2人之间恰好有3个人,则有 种不同的排法.(用数字作答)
6.有五位志愿者参加三项志愿活动,每人至少参加一项,每项活动至少一人参加,则不同的参加方式种数为 .
排列问题
例1 (1)[2024·广州二模] 某学校安排4位教师在星期一至星期五值班,每天只安排1位教师,每位教师至少值班1天,至多值班2天且这2天相连,则不同的安排方法共有 ( )
A.24种 B.48种
C.60种 D.96种
(2)某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游,若最后一个目的城市不是喀什,则该人旅游完这五个城市的所有可能顺序共有 ( )
A.60种 B.72种 C.84种 D.96种
总结反思
求排列问题的注意点
(1)有些排列的问题,可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.
(2)间接法是解决排列问题常用方法,即遇到直接进行解题步骤多, 不易计算时,可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.
(3)求解排列问题往往有多个不同的思路,若选择方法得当,则求解过程简单,容易让人接受,否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误,因此,可借助分类讨论思想来求解.
变式题 (1)某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援,其中男医生3名,女医生2名.要求每个区域至少要有1名男医生,则不同的派遣方法种数为 ( )
A.18 B.36 C.54 D.72
(2)甲、乙、丙三人相约一起去单词听写,到达老师办公室后,发现有A,B两支正在等待听写的队伍,则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有 ( )
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
组合问题
例2 (1)[2025·蚌埠调研] 在直角坐标系xOy中,平行直线x+y-a=0(a=0,1,2,3,4,5)与平行直线2x-y+b=0(b=0,1,2,3,4,5)组成的图形中,平行四边形共有 ( )
A.25个 B.36个
C.100个 D.225个
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
总结反思
解决组合问题的注意点
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.
(3)成双成对的元素一般是先取双再取单.
变式题 (1)(多选题)从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛,下列说法正确的是 ( )
A.若4人中男、女生各2人,则有18种选法
B.若男生甲和女生乙必选,则有12种选法
C.若男生甲和女生乙至少有1人被选,则有15种选法
D.若4人中既有男生又有女生,则有34种选法
(2)[2024·山东枣庄一模] 盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球,从中任取3个球,则其编号之和能被3整除的取法共有 种.
排列与组合的综合应用
角度1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例3 (1)有3名男生,4名女生站成一排,则下列说法错误的是 ( )
A.从7人中任选3人相互调整位置,其余4人位置不变,则不同的调整方案有70种
B.全体站成一排,男生互不相邻的站法有1440种
C.全体站成一排,女生必须站在一起的站法有144种
D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾的站法有3720种
(2)中华人民共和国第一届学生(青年)运动会开幕式于2023年11月5日在广西南宁举行.举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体育改革发展,增强青少年和学生体质,促进竞技体育后备人才培养的重要措施.为了加强宣传力度,某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C,D四个不同的区域参加宣传活动,每人去一个区域,其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有 种.(用数字作答)
总结反思
(1)对于有限制条件的排列组合问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.
变式题 (1)某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表,已知甲只能担任语文或英语课代表,乙不能担任生物或化学课代表,且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表,则不同的安排方式有 ( )
A.56种 B.64种
C.72种 D.86种
(2)琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国优秀传统文化,某校决定从“八雅”中挑选“六雅”,于某周末开展知识讲座,每雅安排一节,连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选,且要求“琴”“棋”相邻,“书”与“画”不相邻,则不同的排课方法共有 种.(用数字作答)
角度2 定序问题
例4 [2025·广州模拟] 从2023年伊始,各地旅游业爆火,少林寺是河南省旅游胜地.某大学一个寝室的6位同学A,B,C,D,E,F慕名而来,游览结束后在门前站成一排合影留念,要求A,B相邻,C在D的左边,则不同的站法共有 ( )
A.480种 B.240种
C.120种 D.60种
总结反思
定序问题用除法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.
变式题 一班有5名棋手,出场次序已经排定,二班有2名棋手,现要排出这7人的出场顺序,如果不改变一班棋手出场次序,那么不同排法有 ( )
A.12种 B.20种
C.30种 D.42种
角度3 相同元素分配问题
例5 某高校举行一场智能机器人大赛,该高校理学院获得8个参赛名额.已知理学院共有4个班,每个班至少要有一个参赛名额,则理学院参赛名额的分配方法共有 ( )
A.20种 B.21种
C.28种 D.35种
总结反思
相同元素的分配问题用隔板法:将n个相同小球放入m(m≤n)个不同的盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法,等价于将n个相同小球串成一串,从间隙里选m-1个结点,剪截成m段,共有种放法.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.
变式题 某农户用3000元的资金购买良种羊羔,共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔,价格均为每只300元,若要求每种羊羔至少买2只,则所有可能的购买方案种数为 .
角度4 分组分配问题
例6 某市聘请了六名农业专家,安排到三个乡镇进行工作指导,每个乡镇至少一人,其中专家A不能去甲乡镇,则不同的安排方案的种数是 .
总结反思
分组分配问题分为三类:
(1)平均分组时要除以组数的阶乘:2n个元素平均分2组的分法种数是,3n个元素平均分3组的分法种数是,以此类推.
(2)对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!.
(3)对于不均匀分组问题,首先要对每组分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类讨论.
变式题 [2024·河南百师联盟联考] 各名校的强基计划主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.现清华大学、北京大学、中国人民大学、复旦大学均有数学强基招生计划,若某班的4名同学每人从上述四所学校中任选一所报名,则恰有一所学校无人选报的不同方法共有 ( )
A.96种 B.144种
C.168种 D.288种第61讲 排列与组合
(时间:45分钟)
1.若=,则= ( )
A.90 B.42
C.12 D.10
2.[2024·河北承德二模] 对于一个自然数,如果从左往右每一位上的数字依次增大,则称自然数是“渐升数”,那么三位数的“渐升数”共有 ( )
A.97个 B.91个
C.84个 D.75个
3.[2024·安徽池州二模] 甲、乙两人分别从a,b,c,d,e五项不同科目中随机选三项学习,则两人恰好有两项科目相同的选法有 ( )
A.30种 B.60种
C.45种 D.90种
4.3名同学和2名老师站成一排合影,若2名老师之间至少有一名同学,则不同的站法有 ( )
A.48种 B.64种
C.72种 D.120种
5.由3个2,1个0,2个5组成的六位数中,满足有相邻四位恰好是2025的六位数的个数为 ( )
A.3 B.6
C.9 D.24
6.现有10人排队,其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定,则不同排法共有
种.
7.[2024·贵州遵义二模] 某校开展劳动技能比赛,高三(1)班有3名男生,5名女生报名参赛,现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛,要求男、女生各至少1人,则不同的选派方案共有 种.
8.学校有8个优秀学生名额,要求分配到高一、高二、高三,每个年级至少1个名额,则不同的分配方案有 ( )
A.45种 B.210种
C.21种 D.120种
9.[2024·安徽安庆三模] A,B,C,D,E这5所学校将分别组织部分学生开展研学活动,现有甲、乙、丙三个研学基地供选择,每个学校只选择一个基地,且每个基地至少有1所学校去,则A校不去甲地,乙地仅有2所学校去的不同选择共有 ( )
A.36种 B.42种
C.48种 D.60种
10.(多选题)某中学某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课,且该天上午总共5节课,下列结论正确的是 ( )
A.若数学课不安排在第一节且不安排在最后一节课,则有72种不同的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有48种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻,则有72种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有40种不同的安排方法
11.(多选题)将9本书分给甲、乙在内的3位同学,下列说法正确的是 ( )
A.若9本书内容完全一样,每人至少一本,则有28种不同的分法
B.若9本书内容都不一样,分给3位同学,则有39种不同的分法
C.若9本书内容完全一样,分给3位同学,则有55种不同的分法
D.若9本书内容都不一样,甲同学至少分得一本,乙同学至少分得2本,则有729种不同的分法
12.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 个.
13.2024年春耕期间,某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕,要求每人只去一个村庄,且这三个村庄都有人去,若甲和乙不去同一个村庄,甲和丙去同一个村庄,则不同的分配方法共有 种.(用数字作答)
14.2024年3月5日至11日,第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.某村党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议,根据会议要求,甲、乙必须相邻,甲、丙、丁不能相邻,则不同的座位安排有 种.(用数字作答)
15.[2025·浙江七彩阳光联盟联考] 将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列,要求所有的红球互不相邻,当小球的总数为8时,满足条件的不同排列方法的种数为 ( )
A.20 B.36
C.54 D.108
16.已知斐波那契数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an,若as,at是数列{an}中的任意两项,|as-at|=m,当m≤2时,称数组(as,at)为数列{an}的“平缓数组”((as,at)与(at,as)为相同的“平缓数组”),m为数组(as,at)的组差.现从{an}的所有“平缓数组”中随机抽取3个,则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为 ( )
A.24 B.26
C.29 D.35(共91张PPT)
第61讲 排列与组合
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理
推导排列数公式、组合数公式.
1.排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从 个不同元素中取 出 个元素 按照____________ 排成一列 排列有序，组合
无序
组合 作为一组
一定的顺序
◆ 知识聚焦 ◆
2.排列数与组合数
名称 定义 计算公式 性质 联系
排列 数 从 个不同元素中 取出 个 元素的所有_____ _____ 的个数， 叫作从 个不同元 素中取出 个元素 的排列数，用符 号 表示 ________ _____________ ________ ， ， 且 ； （1）
；
不同排列
名称 定义 计算公式 性质 联系
组合 数 从 个不同元 素中取出 个 元素的所有 __________ 的个数， _ ___ ， ，且 ； ； （2）应
用时一
般是先
选（元
素）后
排，
不同组合
续表
名称 定义 计算公式 性质 联系
组合 数 叫作从 个不 同元素中取 出 个元素 的组合数， 用符号 表 示 _ ___ ， ，且 ； ； 先分组
后分配
续表
常用结论
排列的常用方法：
（1）相邻问题——捆绑法；
（2）不相邻问题——插空法；
（3）定序问题（或相同元素）——用除法处理；
（4）分排问题——直排法.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，
从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演，要求这2名学生来自不同
年级，则不同的选择方法共有___种.
4
[解析] 4名学生中，来自高一、高二年级的各2名，
所以随机选2名学生，来自不同年级的选择方法有 （种）.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，
每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在10月1日和2日，则共有
______种不同的安排方法.
2400
[解析] 安排甲和乙在3日至7日中的两天值班，然后安排其他五人在
剩余五天值班，所以不同的安排方法有
（种）.
3.［教材改编］ 安排5名志愿者完成,,三项工作，其中 项工作
需要3人，, 两项工作都只需要1人，则不同的安排方式共有____种.
20
[解析] 项工作安排3人有（种）安排方式，
, 两项工作均只安排1人，有 （种）安排方式，
则不同的安排方式共有 （种）.
题组二 常错题
◆ 索引：不能正确区分排列与组合;不能正确运用捆绑法致误;部分
均匀分配问题不明白原理;分类标准不清致误.
4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有___种选法;若这4名学生分
别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为
_____;若甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为____.
5
120
96
[解析] 从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有 （种）选法.
若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,
则不同的参赛方案有 （种）.
由于甲不参加生物竞赛,因此安排甲参加另外三门学科的竞赛
或甲不参加任何竞赛.
①当甲参加另外三门学科的竞赛时,有（种）方案;
②当甲不参加任何竞赛时,有 （种）方案.
故甲不参加生物竞赛的不同参赛方案种数为 .
5.已知4个男生，3个女生站成一排，若3个女生必须排在一起，则有
_____种不同的排法；若甲、乙2人之间恰好有3个人，则有_____种
不同的排法.（用数字作答）
720
720
[解析] 要将这7人站成一排，且3个女生排在一起，可以分2个步骤：
第1步，将3个女生全排列，有 （种）方法；
第2步，将3个女生“捆绑”看作1个整体与男生4人全排列，
有 （种）方法.
根据分步乘法计数原理，3个女生排在一起共有
（种）排法.
要将这7人站成一排，且甲、乙2人之间恰好有3个人，可以分3个步骤：
第1步，甲、乙2人全排列，有 （种）方法；
第2步，从其余5个人中选出3个人，在甲、乙2人之间排列，
有 （种）方法；
第3步，将甲、乙2人及之间的3个人“捆绑”为1个元素，
与另外2个人共3个元素全排列，有 （种）方法.
根据分步乘法计数原理，甲、乙2人之间恰好有3个人共有
（种）排法.
6.有五位志愿者参加三项志愿活动，每人至少参加一项，每项活动至
少一人参加，则不同的参加方式种数为_____.
150
[解析] 依题意分两类情况：第一类为，
则有 （种）参加方式；
第二类为，则有 （种）参加方式.
所以共有 （种）参加方式.
探究点一 排列问题
例1（1）[2024·广州二模]某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，
每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天
相连，则不同的安排方法共有( )
A.24种 B.48种 C.60种 D.96种
[解析] 由题意，从星期一至星期五值班，2天相连的情况有4种，
则不同的安排方法共有 （种）.故选D.
［思路点拨］易知2天相连的情况有4种，再对剩下的全排列即可求解.
√
（2）某人计划去北京、西安、沈阳、喀什、长沙五个城市旅游，若
最后一个目的城市不是喀什，则该人旅游完这五个城市的所有可能
顺序共有( )
A.60种 B.72种 C.84种 D.96种
[解析] 方法一：先安排喀什的顺序有4种，再安排剩下的四个城市有
（种），所以共有 （种）顺序.
√
［思路点拨］思路一：直接考虑喀什的顺序有4种，后面只需考虑剩
下的4个城市即可；
［思路点拨］思路二：根据给定条件，先算不考虑限制条件的
排列数，再减去最后目的地是喀什的排列数即可.
[解析] 方法二：最后目的地没有限制条件的情况有 种，
而最后一个目的城市是喀什的情况有 种，
所以最后一个目的城市不是喀什的情况有 （种）.
故选D.
[总结反思]
求排列问题的注意点
（1）有些排列的问题，可以根据机会均等的关系或每个元素出现的
机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.
（2）间接法是解决排列问题常用方法，即遇到直接进行解题步骤多,
不易计算时，可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求
的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.
（3）求解排列问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，则求
解过程简单，容易让人接受，否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”
等错误，因此，可借助分类讨论思想来求解.
变式题（1）某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援，其中男
医生3名，女医生2名.要求每个区域至少要有1名男医生，则不同的派
遣方法种数为( )
A.18 B.36 C.54 D.72
[解析] 3名男医生各去一个区域，有种派遣方法，
2名女医生有 种派遣方法，共有 （种）派遣方法.
√
（2）甲、乙、丙三人相约一起去单词听写，到达老师办公室后，发
现有, 两支正在等待听写的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方
案共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
√
[解析] 先进行分类：人到队伍，考虑3人在 队的排队顺序，
此时有（种）排队方案；
人到队伍，同样要考虑2人在 队的排队顺序，
此时有（种）排队方案；
人到 队伍，要考虑2人在队的排队顺序，
此时有（种）排队方案；
人到 队伍，要考虑3人在队的排队顺序，
此时有 （种）排队方案.
所以甲、乙、丙三人不同的排队方案共有 （种）.
故选C.
探究点二 组合问题
例2（1）[2025·蚌埠调研]在直角坐标系 中，平行直线
与平行直线
组成的图形中，平行四边形共有
( )
A.25个 B.36个 C.100个 D.225个
√
［思路点拨］从平行直线 中选2条，再
从平行直线 中选2条，即可确定1个平
行四边形，从而确定平行四边形的个数.
[解析] 从平行直线 中选2条，
再从平行直线 中选2条，
即可确定1个平行四边形，
所以可确定平行四边形的个数为 （个）.
故选D.
（2）[2023·新课标Ⅰ卷] 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类
选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少
选修1门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）.
64
[解析] 若选修2门课，则需要从体育类和艺术类选修课中各选1门，
有 （种）方案；
若选择3门课，则包含两种情况：选2门体育类，1门艺术类或2门
艺术类，1门体育类，有 （种）方案.
故不同的选课方案共有 （种）.
［思路点拨］按选修2门或3门课进行分类讨论，结合组合知识求解.
[总结反思]
解决组合问题的注意点
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,
再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都
可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.
（3）成双成对的元素一般是先取双再取单.
变式题（1）（多选题）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项
创新大赛，下列说法正确的是( )
A.若4人中男、女生各2人，则有18种选法
B.若男生甲和女生乙必选，则有12种选法
C.若男生甲和女生乙至少有1人被选，则有15种选法
D.若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
√
√
[解析] 对于A,若4人中男、女生各2人，则有 （种）
选法，故A正确；
对于B,若男生甲和女生乙必选，则有 （种）选法，
故B错误；
对于C,从7名同学中任选4人，共有 （种）选法，
而甲、乙都不被选有 （种）选法，故甲、乙至少有1人
被选有 （种）选法，故C错误；
对于D,若4人中既有男生又有女生，则有
（种）选法，故D正确.故选 .
（2）[2024·山东枣庄一模] 盒子内装有编号为1，2，3， ，10的
10个除编号外完全相同的玻璃球，从中任取3个球，则其编号之和能
被3整除的取法共有____种.
42
[解析] 依题意，问题相当于从1，2，3， ，10这10个数中任取3个，
这3个数的和能被3整除.
10个数中能被3整除的有3，6，9；除以3余数是1的有1，4，7，10；
除以3余数是2的有2，5，8.
所以编号之和能被3整除的取法共有 （种）.
探究点三 排列与组合的综合应用
角度1 相邻、相间及特殊元素（位置）问题
例3（1）有3名男生，4名女生站成一排，则下列说法错误的是
( )
A.从7人中任选3人相互调整位置，其余4人位置不变，则不同的调整
方案有70种
B.全体站成一排，男生互不相邻的站法有1440种
C.全体站成一排，女生必须站在一起的站法有144种
D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾的站法有3720种
√
[解析] 对于A，从7人中任选3人相互调整位置，其余4人位置不变，
则不同的调整方案有 （种），故A中说法正确；
对于B，先排女生，将4名女生全排列，有 种方法，再排男生，
由于男生互不相邻，因此可以在女生之间及首尾空出的5个空位中
任选3个空位排男生，有种方法，
故共有 （种）站法，故B中说法正确；
［思路点拨］根据两个计数原理和排列组合的知识，逐项判断即可.
对于C，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3名男生进行全排列，有 种情况，
故共有 （种）站法，故C中说法错误；
对于D，若甲站在排尾，则有种站法，若甲不站在排尾，
则有 种站法，故共有 （种）站法，
故D中说法正确.故选C.
（2）中华人民共和国第一届学生（青年）运动会开幕式于2023年11
月5日在广西南宁举行.举办本届学青会是推动新时代青少年和学校体
育改革发展，增强青少年和学生体质，促进竞技体育后备人才培养
的重要措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4
人到，，， 四个不同的区域参加宣传活动，每人去一个区域，
其中甲、乙至少有一人参加且甲不去 区域的选派方法共有_____种.
（用数字作答）
276
[解析] 依题意，由甲、乙至少有一人参加，分甲参加与甲不参加乙
必参加两种情况：
当甲参加时，有 种选派方法；
当甲不参加时，有 种选派方法.
所以不同的选派方法种数是 .
［思路点拨］根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有
限制条件的排列问题列式计算即可.
[总结反思]
（1）对于有限制条件的排列组合问题，分析问题时有位置分析法、
元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安
排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可
以采用间接法.
（2）有限制条件的排列问题的常用方法：相邻问题采用捆绑法，不
相邻问题采用插空法.
变式题（1）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英
语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或
英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有
一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有( )
A.56种 B.64种 C.72种 D.86种
[解析] 若乙担任数学课代表，则不同的安排方式有 （种）；
若丙担任数学课代表，则不同的安排方式有
（种）.
所以不同的安排方式共有 （种）.故选C.
√
（2）琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬
中国优秀传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开
展知识讲座，每雅安排一节，连排六节.若“琴”“棋”“书”“画”必选，
且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不同的排课方法共有
_____种.（用数字作答）
864
[解析] 首先从“诗”“酒”“花”“茶”中选“两雅”，有 种选法；
“琴”“棋”相邻用捆绑法看作一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”
全排列，有 种排法；
最后将“书”与“画”插入到所形成的4个空中的2个空，有种插法.
按照分步乘法计数原理可得，共有 （种）
排课方法.
角度2 定序问题
例4 [2025·广州模拟]从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河
南省旅游胜地.某大学一个寝室的6位同学,,,,, 慕名而来，游
览结束后在门前站成一排合影留念，要求,相邻，在 的左边，
则不同的站法共有( )
A.480种 B.240种 C.120种 D.60种
√
［思路点拨］ 结合捆绑法与全排列，并消除和 的顺序即可求解.
[解析] ,相邻有种站法，将,看成一个整体与,,, 进行全
排列，共有种站法，则在的左边的站法有 （种）.
故选C.
[总结反思]
定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这
几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个
元素的全排列数.
变式题 一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要
排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排
法有( )
A.12种 B.20种 C.30种 D.42种
√
[解析] 方法一：依题意，7名棋手作全排列为 ，其中原有5名棋手
的排列为 ，所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数为
.
方法二：由5名棋手位置固定，有6个空隙，先插入二班的第一名棋
手有6种插法，此时有7个空隙，再插入二班的第二名棋手有7种插法，
所以不同的排法有 （种）.
角度3 相同元素分配问题
例5 某高校举行一场智能机器人大赛，该高校理学院获得8个参赛名
额.已知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则理学院
参赛名额的分配方法共有( )
A.20种 B.21种 C.28种 D.35种
[解析] 将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，
则分配方法共有 （种），故选D.
√
［思路点拨］ 利用隔板法可得答案.
[总结反思]
相同元素的分配问题用隔板法：将个相同小球放入个不
同的盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将个
相同小球串成一串，从间隙里选个结点，剪截成段，共有
种放法.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.
变式题 某农户用3000元的资金购买良种羊羔，共有肉用山羊、毛用
绵羊、产奶山羊三种羊羔，价格均为每只300元，若要求每种羊羔至
少买2只，则所有可能的购买方案种数为____.
15
[解析] 由于每只羊羔的价格均为300元，因此共有10个购买羊羔的指
标，可以看成10个无差别的小球，3种不同的羊羔可以看成3个编号分
别为1，2，3的盒子，
要求每种羊羔至少买2只，则先取出3个小球放入盒子中，每盒1个，
则问题转化为把7个无差别的小球装入3个不同的盒子中，
每个盒子至少装1个小球.
用隔板法，7个小球之间共有6个空隙，从中选2个插入隔板，
则共有 （种）不同的购买方案.
角度4 分组分配问题
例6 某市聘请了六名农业专家，安排到三个乡镇进行工作指导，每
个乡镇至少一人，其中专家 不能去甲乡镇，则不同的安排方案的种
数是_____.
360
［思路点拨］ 先不考虑专家 不能去甲乡镇的情况，将六名农业专
家分组，再分配到三个乡镇上，求出总的安排方案种数，最后根据
专家 不去甲乡镇所占的比例求解即可.
[解析] 由题意，先不考虑专家 不能去甲乡镇的情况，将六名农业
专家分成三组，有，，三种情况.
按 分组有（种）方法，
按分组有 （种）方法，
按分组有 （种）方法.
再将三组农业专家分配到甲、乙、丙三个乡镇上，有种方法.
所以共有 （种）安排方案.
上述安排方案中，专家 去甲乡镇，去乙乡镇和去丙乡镇的安排方案
种数相等，故专家 不去甲乡镇的安排方案有 （种）.
[总结反思]
分组分配问题分为三类：
（1）平均分组时要除以组数的阶乘:个元素平均分2组的分法种数
是,个元素平均分3组的分法种数是,以此类推.
（2）对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘
数,即若有组元素个数相等,则分组时应除以!.
（3）对于不均匀分组问题,首先要对每组分配数量的可能情形进行一
一列举,然后再对每一种情形分类讨论.
变式题 [2024·河南百师联盟联考] 各名校的强基计划主要选拔有志
于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.现
清华大学、北京大学、中国人民大学、复旦大学均有数学强基招生
计划，若某班的4名同学每人从上述四所学校中任选一所报名，则恰
有一所学校无人选报的不同方法共有( )
A.96种 B.144种 C.168种 D.288种
[解析] 将4名同学按2,1,1分组，再分配到4所学校中的3所，
共有 （种）方法.故选B.
√
【备选理由】例1考查排列问题，加深排数问题的注意点；
例1 ［配例1使用］ 将五个数20，23，2，0，3按任意次序排成一行，
拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是____.（用数字作答）
75
[解析] 先选择一个非零数排在首位，剩余数全排列，
共有 （种）.
其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，考虑2和0相邻，
且2在0的左边时，共有 （种）排法，其中一半是重复的，
故此时有12种重复.
其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，考虑2和3相邻，
且2在3的左边时，共有 （种）排法，
其中一半是重复的，故此时有9种重复.
故能产生不同的7位数的个数是 .
例2 ［配例2使用］ 如图所示，在由小正方形
组成的的网格中，从出发沿实线走到
的最短路线条数是_____.
792
[解析] 从到 最短的走法，无论怎样走，一定要走过12格，
其中向右走7格，向下走5格，可以当作走12步，
每种最短走法，即是从12步中选出7步向右，选出5步向下，
故共有 （种）走法.
【备选理由】例2考查组合问题的实际应用；
例3 ［配例3使用］ 某个单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，
每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻
的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案
共有( )
A.504种 B.960种 C.1008种 D.1200种
√
【备选理由】例3考查相邻问题，体现整体思想的应用；
[解析] 依题意，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班的方法共有
（种），
其中满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的
方法有 （种），满足甲、乙两人安排在相邻两天值班
且丁在10月7日值班的方法有 （种），满足甲、乙两人
安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的
方法有 （种）.
因此满足题意的方法共有 （种），
故选C.
例4 ［配例4使用］ （多选题） 名男同学，6名女同学排成一排，
要求男同学顺序一定，女同学也顺序一定，则不同排法的种数为
( )
A. B. C. D.
√
√
√
【备选理由】例4考查定序问题，强化对有顺序与无顺序的理解；
[解析] ①从11个位置中选出5个排5名男同学，因为男同学顺序一定，
所以男同学有 种排法，剩下的6个位置排6名女学生，只有1种排
法，所以不同排法的种数为 .
②从11个位置中选5个排5名男同学有种排法，因为男同学的
顺序一定，所以男同学的排法为 种，剩下的6个位置排6名女同学，
只有1种排法，所以不同排法的种数为
从11个位置中选6个排6名女同学，有 种排法，因为女同学
的顺序一定，所以女同学的排法为 种，剩下的5个位置排5名男同
学，只有1种排法，所以不同排法的种数为.故选 .
例5 ［配例5使用］ 某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名
额分配到高二年级的6个班级中，若高二（1）班至少3个名额，其余
5个班每班至少1个名额，则共有____种不同分法.（用数字作答）
56
[解析] 先给高二（1）班2个名额，还有9个名额，将这9个名额分配
到6个班级，每班至少1个名额，
使用隔板法，9个相同元素形成8个空（不含两端），
插入5个隔板，共有 （种）插法，即共有56种不同分法.
【备选理由】例5考查相同元素分配问题，加深对隔板法的应用；
例6 ［配例6使用］ 为了响应全国创建文明城市活动的号召，某单
位计划安排五名员工分别去，， 三个小区参加志愿者服务，每
名员工只去一个小区，每个小区至少安排一人，其中员工甲不去 小
区，则不同的安排方法种数为( )
A.100 B.110 C.140 D.260
√
【备选理由】例6考查分组分配问题及分类讨论思想的应用.
[解析] 方法一：因为，
所以若 小区只安排一人，则剩下的四人可分为或两组
安排到， 小区，又员工甲不去小区，
所以有 （种）安排方法；
若小区安排两人，则有 （种）安排方法；
若小区安排三人，则有 （种）安排方法.
综上，共有 （种）不同的安排方法.
方法二：五名员工分别去，， 三个小区参加志愿者服务，
每名员工只去一个小区，每个小区至少安排一人，
则有 （种）安排方法，
其中员工甲去三个小区的可能性相同，
故员工甲不去 小区的不同安排方法共有 （种）.故选A.
作业手册
1.若,则 ( )
A.90 B.42 C.12 D.10
[解析] 根据，得 ,
所以 .故选A.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024·河北承德二模]对于一个自然数，如果从左往右每一位上的
数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“渐升数”共
有( )
A.97个 B.91个 C.84个 D.75个
[解析] 在1,2, ,9中任取3个数，其大小关系确定，
所以“渐升数”共有 （个）.故选C.
√
3.[2024·安徽池州二模]甲、乙两人分别从,,,, 五项不同科目中随
机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有( )
A.30种 B.60种 C.45种 D.90种
[解析] 两人恰好有两项科目相同的选法有 （种）.故选B.
√
4.3名同学和2名老师站成一排合影，若2名老师之间至少有一名同学，
则不同的站法有( )
A.48种 B.64种 C.72种 D.120种
[解析] 根据题意，分两步进行：第一步，安排3名同学站成一排，
不同的站法共有 种；
第二步，安排2名老师，采用插空法，不同的站法共有种.
由分步乘法计数原理可得，不同的站法共有 （种）.故选C.
√
5.由3个2,1个0,2个5组成的六位数中,满足有相邻四位恰好是2025的六
位数的个数为( )
A.3 B.6 C.9 D.24
[解析] 由题得3个2,1个0,2个5中,除去四个数字2，0，2，5后,
还剩1个2,1个5,将2025看作1个元素，与2，5共3个元素全排列，
有 （个）六位数.故选B.
√
6.现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，
则不同排法共有________种.
30 240
[解析] 先将10人全排列，即为 ，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全
排列，即为，故共有 （种）不同排法.
7.[2024·贵州遵义二模] 某校开展劳动技能比赛，高三（1）班有3名
男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比
赛，要求男、女生各至少1人，则不同的选派方案共有____种.
65
[解析] 从8名同学中任选4名，有 种方法，其中全是女生的选法有
种，所以不同的选派方案共有 （种）.
8.学校有8个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年
级至少1个名额，则不同的分配方案有( )
A.45种 B.210种 C.21种 D.120种
[解析] 问题等价于将8个完全相同的小球放入3个不同的盒子，
每个盒子至少1个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为 .故选C.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2024·安徽安庆三模]，，，， 这5所学校将分别组织部分学
生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校
只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则 校不去甲地，
乙地仅有2所学校去的不同选择共有( )
A.36种 B.42种 C.48种 D.60种
[解析] ①若校去乙地，则有 （种）不同的选择；
②若校与另一所学校去丙地，则有 （种）不同的选择；
③若校单独去丙地，则有 （种）不同的选择.
所以共有 （种）不同的选择，故选B.
√
10.（多选题）某中学某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物
理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是
( )
A.若数学课不安排在第一节且不安排在最后一节课，则有72种不同
的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48
种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不
同的安排方法
√
√
[解析] 对于A，若数学课不安排在第一节且不安排在最后一节课，
则数学课有3节课可选，其余科目没有要求，有 种安排方法，
则一共有 （种）不同的安排方法，故A正确；
对于B，语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目
一起排列，则有 （种）不同的安排方法，故B错误；
对于C，先安排英语、物理、化学3节课，有 （种）不同的
安排方法，把语文课和数学课安排在英语、物理、化学3节课产生
的4个空位上，有 （种）不同的安排方法，
则共有 （种）不同的安排方法，故C正确；
对于D，若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，
则有（种）不同的安排方法，故D错误.故选 .
11.（多选题）将9本书分给甲、乙在内的3位同学，下列说法正确的
是( )
A.若9本书内容完全一样，每人至少一本，则有28种不同的分法
B.若9本书内容都不一样，分给3位同学,则有 种不同的分法
C.若9本书内容完全一样，分给3位同学，则有55种不同的分法
D.若9本书内容都不一样，甲同学至少分得一本，乙同学至少分得2
本，则有729种不同的分法
√
√
√
[解析] 对于A，将9本相同的书分给3位同学，每人至少一本，
利用挡板法分析，在9本书之间的8个空隙中任选2个，插入挡板即可，有 （种）不同的分法，故A正确.
对于B，根据题意，9本书内容都不一样，则每本书都可以分给3人中的任意一人，即有3种分法，所以9本书有 种不同的分法，故B正确.
对于C，若内容完全一样的9本书分给3位同学，则3人中有可能有人分不到书，则先借给这3人每人一本书，此时每人至少分1本书，
再利用隔板法，可得有 （种）不同的分法，故C正确.
对于D，可以分为11类情况：
①“1，2，6”型，有 （种）分法；
②“1，3，5”型，有 （种）分法；
③“1，4，4”型，有（种）分法；
④“1，7，1”型，有 （种）分法；
⑤“1，8，0”型，有 （种）分法；
⑥“2，2，5” 型，有 （种）分法；
⑦“2，3，4”型，有（种）分法；
⑧“2，7，0”型，有 （种）分法；
⑨“3，3，3”型，有 （种）分法；
⑩“3，6，0”型,有 （种）分法；
“4，5，0”型，有（种）分法.
所以共有 （种）不同的分法，故D错误.
故选 .
12.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比
40 000大的偶数共有_____个.
120
[解析] 当五位数的万位为4时，个位数可以是0，2，
此时满足条件的偶数共有 （个）；
当五位数的万位为5时，个位数可以是0，2，4，
此时满足条件的偶数共有 （个）.
所以比40 000大的偶数共有 （个）.
13.2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3
个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都
有人去，若甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同
的分配方法共有____种.（用数字作答）
30
[解析] 分两类：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，
共有 种分配方法；
第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，
共有种分配方法.
故共有 （种）不同的分配方法.
14.2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜
利召开.某村党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻
2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求，甲、乙必须相邻，
甲、丙、丁不能相邻，则不同的座位安排有________种.（用数字作
答）
43 200
[解析] 甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，
与除丙、丁外的其他6人排成一圈，共有 （种）排法.
甲和丙、丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙、丁外的
其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙、丁不能相邻，
故丙、丁只有6个空位可选，有 （种）选法.
根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法
有 （种）.
15.[2025·浙江七彩阳光联盟联考]将若干个除颜色外完全相同的红色
小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总
数为8时，满足条件的不同排列方法的种数为( )
A.20 B.36 C.54 D.108
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，
则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论:
1个红球7个黑球时，先排7个黑球共有1种排法，
从8个空里面选出1个空让红球插入，有 （种）选法;
2个红球6个黑球时，先排6个黑球共有1种排法，
从7个空里面选出2个空让红球插入，有 （种）选法;
3个红球5个黑球时，先排5个黑球共有1种排法，
从6个空里面选出3个空让红球插入，有 （种）选法;
4个红球4个黑球时，先排4个黑球共有1种排法，
从5个空里面选出4个空让红球插入，有 （种）选法.
所以满足条件的不同排列方法的种数为 .
故选C.
16.已知斐波那契数列满足， ，若
，是数列中的任意两项，，当 时，称数
组为数列的“平缓数组”与 为相同的“平缓
数组”），为数组的组差.现从 的所有“平缓数组”中随机
抽取3个，则这3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法种数为
( )
A.24 B.26 C.29 D.35
√
[解析] 由题意得， ，
，，，，，
又 ，所以当时，，
所以 的所有“平缓数组”有，，，，
，，，共7个，
其中组差为0的有1个，为 ，组差为1的有3个，为，
， ，组差为2的有3个，为，， ，
所以随机抽取的3个“平缓数组”的组差中至少有2个相等的取法
种数为 ，故选B.
【知识聚焦】1.一定的顺序 2.不同排列 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 不同组合
【对点演练】1.4 2.2400 3.20 4.5 120 96 5.720 720 6.150
课堂考点探究
例1 (1)D (2)D 变式题 (1)C (2)C
例2 (1)D (2)64 变式题 (1)AD (2)42
例3 (1)C (2)276 变式题 (1)C (2)864
例4 C 变式题 D
例5 D 变式题 15
例6 360 变式题 B
教师备用习题
例1 75 例2 792 例3 C 例4 ACD 例5 56 例6 A
基础热身
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.30 240 7.65
综合提升
8.C 9.B 10.AC 11.ABC 12. 120 13. 30 14. 43 200
能力拓展
15.C 16.B
