第62讲 二项式定理
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn (1)n+1
2.k+1 3.an-kbk
4.(2)① ②
(3)①2n ②2n-1
【对点演练】
1.160 [解析] (1+2x)6的展开式的通项为 Tr+1=16-r(2x)r=2rxr,令r=3,则展开式中x3的系数为×23=×8=160.
2.2 [解析] 设f(x)=,则由题意得f(1)=(a-1)9=1,解得a=2.
3.672 [解析] 由题意得2n=128,则n=7,则的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r=(-1)r27-rx7-2r,令7-2r=3,可得r=2,所以展开式中x3的系数为(-1)2×25=672.
4.10n-1 [解析] ·32n+·32n-2+·32n-4+…+·32=·(32)n+·(32)n-1+·(32)n-2+…+·(32)1+·(32)0-·(32)0=(32+1)n-1=10n-1.
5.6 [解析] (x+y)20的展开式的通项为Tr+1=x20-r(y)r=x20-ryr·,当为整数时,系数为有理数.因为0≤r≤20,且r∈N,所以r=0,4,8,12,16,20,所以展开式中系数为有理数的项共有6项.
6.3 [解析] 令x=1,得展开式各项系数的和为4n,又各二项式系数的和为2n,所以4n-2n=56,即(2n)2-2n-56=0,可得2n=8,故n=3.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)先求出展开式的通项,令x的指数等于0,求得r=3,即可求解.(2)写出二项式展开式的通项,由条件列出方程,即可得到结果.
(1)20 (2)±1 [解析] (1)的展开式的通项为Tr+1==36-2rx6(r-3),r=0,1,…,6,令6(r-3)=0,可得r=3,所以常数项为30=20.
(2)(+a)6的展开式的通项为Tr+1=()6-rar=ar,因为x的系数与x2的系数相等,所以a4=a2,即a4=a2,所以a2(a2-1)=0,又a≠0,所以a=±1.
变式题 (1)B (2)D [解析] (1)的展开式的通项为Tr+1=(x2)3-r=x6-3r,令6-3r=0,可得r=2,所以T3=×=,故选B.
(2)的展开式中第7项为T7=(x2)n-6=(-a)6x2n-14,由题意得2n-14=0,(-a)6=7(a>0),所以n=7,a=1,则展开式的通项为Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k,k=0,1,2,…,7,令∈Z,则k=0,3,6,所以展开式中有理项共有3项.故选D.
例2 [思路点拨] (1)根据二项式系数的性质得n=7,再根据二项展开式的通项即可求得指定项的系数.(2)根据二项式定理写出展开式的通项,假设第r+1项的系数最大,利用最大系数大于等于前一项系数和后一项系数建立不等式组求解.
(1)B (2)5 [解析] (1)因为(x-2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,所以=,则n=7.(x-2y)7的展开式的通项为Tr+1=x7-r(-2y)r,令r=2,则展开式中x5y2的系数为(-2)2=84.故选B.
(2)展开式的通项为Tr+1=xr,0≤r≤10,且r∈Z,设展开式中系数最大的项为第r+1项,则需要满足解得≤r≤,又r∈Z,所以r=8,即展开式中,各项系数中的最大值为=5.
变式题 (1)240x6 (2) [解析] (1)由题可得+1=4,解得n=6,所以T5=(-2x2)4=240x6.
(2)∵+=45,∴n=9,的展开式的通项为Tk+1=
x-(9-k)=2k-9,令=0,得k=6,∴展开式中的常数项为·2-3=.
例3 [思路点拨] (1)根据展开式的特点,令x=0,1或-1,分析各选项即可.(2)对已知等式求导并赋值构造出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5即可.
(1)BCD (2)240 [解析] (1)令x=0,则a0=1,A选项错误;令x=1,则(-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=(-1)5-a0=-2,B选项正确;(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=×15-r×(-2x)r,所以a4=(-2)4=80,C选项正确;令x=-1,则35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,所以a1+a3+a5=×[a0+a1+a2+a3+a4+a5-(a0-a1+a2-a3+a4-a5)]==-122,D选项正确.故选BCD.
(2)(3x-4)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,对式子两边同时求导,得15(3x-4)4=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+4a4(x-1)3+5a5(x-1)4,令x=2,得15×(3×2-4)4=a1+2a2+3a3+4a4+5a5=240.
变式题 (1) (2)0 [解析] (1)令x=1,得(1+2)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0=243,令x=-1,得(-1+2)5=-a5+a4-a3+a2-a1+a0=1,则a5+a3+a1=×[(a5+a4+a3+a2+a1+a0)-(-a5+a4-a3+a2-a1+a0)]==121,且a4+a2+a0=×[(a5+a4+a3+a2+a1+a0)+(-a5+a4-a3+a2-a1+a0)]==122,故=.
(2)令x=-,可得0=a0-+-+-…-.
例4 [思路点拨] 根据展开式的特征,将x4+(x+1)7转化为[(x+2)-2]4+[(x+2)-1]7,利用二项展开式的通项即可求解.
B [解析] 由题意得x4+(x+1)7=[(x+2)-2]4+[(x+2)-1]7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2)7,故a3=(-2)1+(-1)4=-8+35=27,故选B.
变式题 78 [解析] 令x=0,可得a0=2,令x=1,可得27=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7①,令x=-1,可得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7②,所以由①+②可得2(a0+a2+a4+a6)=25+27=160,所以2+a2+a4+a6=80,则a2+a4+a6=78.
例5 [思路点拨] (1)(x+y)8可化为(x+y)8-(x+y)8,结合二项式展开式的通项求解.(2)根据题意可得,5个因式中3个因式选择x,2个因式选择常数,即可求解.
(1)-28 (2)A [解析] (1)因为(x+y)8=(x+y)8-(x+y)8,所以(x+y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6-x3y5=-28x2y6,(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28.
(2)5个因式中3个因式选择x,2个因式选择常数,则含x3的项的系数是(-4)×5+3×5+3×(-4)+(-2)×5+(-2)×3+(-2)×(-4)+1×5+1×(-4)+1×3+1×(-2)=-23.故选A.
变式题 (1)D (2)C [解析] (1)根据二项式定理得(1-x)(1+2x)4=(1-x)(1+8x+24x2+32x3+16x4),所以a0=1,a4x4=-x·32x3+1×16x4=-16x4,则a4=-16,所以a4-a0=-16-1=-17.故选D.
(2)由题意得(2-1)×(1+a)3=27,解得a=2,所以(2-x)(1+2x)3的展开式中x2的系数为2×22-×2=18.故选C.
例6 [思路点拨] 根据给定的多项式,分析展开式中含x3的项的构成,列式计算即可.
C [解析] 可看作5个相乘,展开式中含x3的项可由2种情况获得:从5个式子中取2个式子提供x3,余下3个式子提供,可得(x3)2·=10x3;从5个式子中取1个式子提供x3,余下4个式子提供-1,则可得到(x3)1·(-1)4=5x3.所以的展开式中x3的系数为10+5=15.故选C.
变式题 (1)A (2)49 [解析] (1)(x-2y+3z)6相当于6个因式(x-2y+3z)相乘,其中1个因式取x,有种取法,余下5个因式中有2个取-2y,有种取法,最后3个因式全部取3z,有种取法,故(x-2y+3z)6的展开式中xy2z3的系数为×1××(-2)2××33=6480.
(2)的展开式的通项为Tr+1=×(-1)r=(-1)rx4-r-m=
(-1)r2mx4-r-2m,当m=0,r=4时,常数项为1;当m=1,r=2时,常数项为(-1)221=24;当m=2,r=0时,常数项为(-1)022=24.所以的展开式中常数项为1+24+24=49.第62讲 二项式定理
1.D [解析] (1-2x)8的展开式共有9项,所以中间一项为第5项,则中间一项的二项式系数为.
2.D [解析] (2x+3)4的展开式的通项为Tr+1=(2x)4-r3r.当r=3时,T4=33×21×·x=216x,故选D.
3.C [解析] 的展开式的通项为Tk+1=(-)k=(-1)k,令-6=0,解得k=4,所以的展开式中的常数项为(-1)4=15.故选C.
4.BD [解析] 对于A,因为的展开式一共有五项,所以展开式中二项式系数最大的项为第三项,故A错误;对于B,令x=1,则=0,所以展开式中各项系数的和为0,故B正确;对于C,的展开式的通项为Tr+1=x4-r=(-1)rx4-2r(r=0,1,2,3,4),令4-2r=4,得r=0,故展开式中含x4的项的系数为·(-1)0=1,故C错误;对于D,展开式中所有项的二项式系数的和为24=16,故D正确.故选BD.
5.AD [解析] 由题意知(x-2)n=(-2+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a0=(-2)n=-32,得n=5,A正确;令x=1,由(x-2)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,得(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,即a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故ai=-1-a0=-1+32=31,B错误;a3=(-2)2=40,C错误;a4=(-2)1=-10,D正确.故选AD.
6.5 [解析] (1+x)6的展开式的通项为Tr+1=xr,∴展开式中x3的系数为-=20-15=5.
7.12 [解析] 由题意可知,(x-1)3的展开式的通项为Tr+1=x3-r(-1)r,令3-r=2,则r=1,所以(x-1)3的展开式中x2的系数为×(-1)=-3;(x-1)6的展开式的通项为Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=2,则k=4,所以(x-1)6的展开式中x2的系数为(-1)4=15.所以a2=(-1)+(-1)4=12.
8.B [解析] (x-2y)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k(-2y)k=
(-2)kx5-kyk,令k=3,得T4=-8x2y3=-80x2y3,所以的展开式中x的系数为-80.故选B.
9.D [解析] 令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+…+a2024=22024,两式相减得a1+a2+…+a2024=22024-1=41012-1,因为41012=(3+1)1012=31012+31011+…+3+,其中31012+31011+…+31能被3整除,所以41012被3除的余数为1,故a1+a2+…+a2024能被3整除.故选D.
10.B [解析] (x+3)(x+2)8=[(x+1)+2][(x+1)+1]8,其中[(x+1)+1]8的展开式的通项为Tr+1=(x+1)8-r·1r=(x+1)8-r,其中r∈N且r≤8,当r=0时,T1=(x+1)8=(x+1)8,此时只需乘第一个因式[(x+1)+2]中的2,可得2(x+1)8;当r=1时,T2=(x+1)7=8(x+1)7,此时只需乘第一个因式[(x+1)+2]中的(x+1),可得8(x+1)8.所以a8=2+8=10.故选B.
11.AB [解析] 的展开式中二项式系数的最大值为=6.的展开式的通项为Tr+1=x3-rarx-r=arx3-2r,令3-2r=-1,得r=2,故的展开式中的系数为a2,故3a2=6,解得a=±.故选AB.
12.AC [解析] 令x=1,得(2×1-1)10=1=a0,所以选项A正确;令x=2,得310=a0+a1+a2+…+a10,所以a1+a2+…+a10=310-1,所以选项B错误;因为(2x-1)10=[2(x-1)+1]10,所以Tr+1=[2(x-1)]10-r,则a2=·22=180,所以选项C正确;(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,两边对x求导得10×(2x-1)9×2=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+10a10(x-1)9,令x=2得a1+2a2+3a3+…+10a10=20×39,所以选项D错误.故选AC.
13.-30 [解析] 因为是由5个相乘得到,所以要想得到,则-x2取1个,取2个,y取2个,故所求系数为·(-1)·=-30.
14.3 53 [解析] 当x=1时,(1+a)3=64,得a=3,则原式=(2-x2)(1+3x)3=2(1+3x)3-x2(1+3x)3,2(1+3x)3的展开式中含x2的项的系数是2×·32=54,x2(1+3x)3的展开式中含x2的项的系数为1,所以(2-x2)(1+3x)3的展开式中含x2的项的系数为54-1=53.
15.7 [解析] (2+3x)10的展开式的通项为Tr+1=·210-r(3x)r=3r·210-r·xr,设系数最大的项为第k+1项,可得
即
即解得≤k≤,因为k∈N*,所以k=6,所以展开式中系数最大的项为第7项.
16.C [解析] 因为(x+2)n-(x+2)n-1+(x+2)n-2-…+(-1)n=(x+2-1)n=(x+1)n,所以(x+1)n=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,当x=1时,a0+a1+…+an=(1+1)n=2n,当x=0时,an=(0+1)n=1,易知a0===an=1,所以a1+a2+…+an-1=2n-2,故选C.
17. -
[解析] 由题意知,“莱布尼茨三角形”第8行的第5个数是=.由“莱布尼茨三角形”的特点可知,每个数均等于其“脚下”两个数之和,则+=,+=,+=,…,+=,+=,将上述各式相加,得+++…++=,∴+Sn=,∴Sn=-.第62讲 二项式定理
【课标要求】 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
定理内容:(a+b)n= (n∈N*,其中a,b可以是数或多项式或其他,要灵活看待).
注意点:
(1)项数:展开式共有 项.
(2)幂指数:①字母a的幂指数从n逐项递减到0,字母b的幂指数从0逐项递增到n;
②各项中所有字母的幂指数之和均为n.
2.二项式系数
(k∈{0,1,2,…,n})是第 项的二项式系数.
3.二项展开式的通项
Tk+1= (a,b的顺序不能颠倒).
4.二项式系数的性质
(1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
(2)二项式系数先增后减,中间一项或中间两项的二项式系数最大.
①当n为偶数时,第+1项的二项式系数最大,最大值为 ;
②当n为奇数时,第项和第项的二项式系数最大,最大值为 或 .
(3)各二项式系数的和.
①+++…+= ,
②+++…=+++…= .
常用结论
赋值法的应用
(1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
①f(0)=a0.
②f(1)=a0+a1+a2+…+an.
③奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=.
④偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
题组一 常识题
1.[教材改编] (1+2x)6的展开式中x3的系数为 .(用数字作答)
2.[教材改编] 若二项式的展开式中各项系数的和为1,则实数a的值为 .
3.[教材改编] 已知的展开式中各二项式系数的和为128,则展开式中x3的系数是 .
题组二 常错题
◆索引:对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等需满足的条件;混淆二项式系数与项的系数.
4.化简:·32n+·32n-2+·32n-4+…+·32= .
5.在的展开式中,系数为有理数的项共有 项.
6.在(n∈N*)的展开式中,各项系数的和与各二项式系数的和之差为56,则n= .
求展开式中的特定项或特定系数
例1 (1)[2024·天津卷] 在的展开式中,常数项为 .
(2)若(+a)6(a≠0)的展开式中x的系数与x2的系数相等,则实数a= .
总结反思
本类题考查的核心是(a+b)n的展开式的通项=an-rbr.求解此类问题可以分两步完成:
(1)根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数或其他参数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n为正整数,r为非负整数,且n≥r);
(2)根据所求的指数或其他参数求解所求的项.
变式题 (1)[2024·浙江精诚联盟模拟] 的展开式的常数项为 ( )
A.- B.
C. D.4
(2)[2024·河南名师联盟模拟] 已知(其中a>0)的展开式中第7项为7,则展开式中有理项共有 ( )
A.6项 B.5项
C.4项 D.3项
二项式系数与各项的系数问题
角度1 二项式系数与系数最值
例2 (1)已知(x-2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,则展开式中x5y2的系数为 ( )
A.-4 B.84
C.-280 D.560
(2)[2024·全国甲卷] 的展开式中,各项系数中的最大值为 .
总结反思
(1)二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,求法上也有较大差异.由二项式系数的性质可知,当n为偶数时,中间的一项的二项式系数最大,当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等,同时取得最大值.系数最大的项不一定在中间,需要利用二项展开式的通项,根据系数值的增减性(有时还要结合正负的变化情况)具体讨论而定.
(2)对于(ax+bx-1)n,当x,x-1的系数均为1时,某项的二项式系数和系数相等.
变式题 (1)[2024·广东六校联考] 已知的展开式中,仅有第4项的二项式系数最大,则展开式中的第5项是 .
(2)已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45,则展开式中的常数项为 .
角度2 展开式中各项系数的和
例3 (1)(多选题)[2024·重庆一模] 已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列说法正确的是 ( )
A.a0=-1
B.a1+a2+a3+a4+a5=-2
C.a4=80
D.a1+a3+a5=-122
(2)若(3x-4)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5= .
总结反思
形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和时,常采用赋值法,令x=1即可.
变式题 (1)若(x+2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则= .
(2)若(1+ex)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025,则a0-+-+-…-= .
多项展开式中的特定项
角度1 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题
例4 若x4+(x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2)7,则a3= ( )
A.45 B.27
C.15 D.3
总结反思
求几个多项式和的展开式中的特定项(系数),先分别求出每一个多项式的展开式中的特定项,再合并即可.
变式题 已知(1-x)5+(1+x)7=a0-a1x+a2x2-a3x3+a4x4-a5x5+a6x6-a7x7,则a2+a4+a6的值为 .
角度2 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题
例5 (1)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 .(用数字作答)
(2)[2024·广东佛山模拟] 在(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)(x+5)的展开式中,含x3的项的系数是 ( )
A.-23 B.-3
C.3 D.15
总结反思
几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项进行合并即可.
变式题 (1)已知(1-x)(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4-a0= ( )
A.30 B.-30
C.17 D.-17
(2)已知(2-x)(1+ax)3的展开式中各项系数之和为27,则展开式中x2的系数为 ( )
A.-7 B.6
C.18 D.30
角度3 三项展开式中的特定项(系数)问题
例6 的展开式中x3的系数为 ( )
A.5 B.-5
C.15 D.-15
总结反思
三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:
(1)通常先将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解.
(2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.
变式题 (1)[2024·河北沧州二模] (x-2y+3z)6的展开式中xy2z3的系数为 ( )
A.6480 B.2160
C.60 D.-2160
(2)[2024·福建福州三模] 的展开式中常数项为 . 第62讲 二项式定理
(时间:45分钟)
1.在(1-2x)8的展开式中,中间一项的二项式系数是 ( )
A.-32 B.
C.16 D.
2.(2x+3)4的展开式中,x的系数为 ( )
A.96 B.144
C.180 D.216
3.的展开式中的常数项为 ( )
A.-15 B.-20
C.15 D.-6
4.(多选题)[2024·广西来宾一模] 的展开式中,下列结论正确的是 ( )
A.二项式系数最大的项为第五项
B.各项系数和为0
C.含x4的项的系数为4
D.所有项的二项式系数和为16
5.(多选题)已知(x-2)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a0=-32,则 ( )
A.n=5 B.ai=-1
C.a3=-80 D.a4=-10
6.[2024·福建龙岩三模] 在(1-x)(1+x)6的展开式中,x3的系数为 .
7.若(x-1)3+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a2= .
8.[2024·四川达州二模] 的展开式中x的系数为 ( )
A.80 B.-80
C.40 D.-40
9.[2024·湖北荆州三模] 已知(3x-1)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,则a1+a2+…+a2024被3除的余数为 ( )
A.3 B.2
C.1 D.0
10.[2024·山东潍坊三模] 已知(x+3)(x+2)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9,则a8= ( )
A.8 B.10
C.28 D.29
11.(多选题)[2024·江西南昌三模] 已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等,则实数a的值可能为 ( )
A. B.-
C. D.-
12.(多选题)若(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,x∈R,则 ( )
A.a0=1
B.a1+a2+…+a10=310
C.a2=180
D.a1+2a2+3a3+…+10a10=10×39
13.[2024·安徽黄山三模] 的展开式中的系数为 .
14.已知(2-x2)(1+ax)3的展开式的所有项系数之和为64,则实数a= ,展开式中含x2的项的系数是 .(用数字作答)
15.(2+3x)10的展开式中系数最大的项为第 项.
16.设(x+2)n-(x+2)n-1+(x+2)n-2-…+(-1)n=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,则a1+a2+…+an-1= ( )
A.2n-1-2 B.2n-1-1
C.2n-2 D.2n-1
17.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现,它的开头几行如图所示,它包含了很多有趣的组合数性质.如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数,那么得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”,莱布尼茨由它得到了很多定理,甚至影响到了微积分的创立.“莱布尼茨三角形”第8行的第5个数是 ;若Sn=++++…++(n≥3),则Sn= .(用含n的代数式作答) (共83张PPT)
第62讲 二项式定理
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理,会用
二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
定理内容： ________________________________________
____（，其中， 可以是数或多项式或其他，要灵活看待）.
注意点：
（1）项数:展开式共有______项.
（2）幂指数:①字母的幂指数从逐项递减到0,字母 的幂指数从0
逐项递增到 ;
②各项中所有字母的幂指数之和均为 .
◆ 知识聚焦 ◆
2.二项式系数
是第______项的二项式系数.
3.二项展开式的通项
__________（， 的顺序不能颠倒）.
4.二项式系数的性质
（1）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
（2）二项式系数先增后减，中间一项或中间两项的二项式系数最大.
①当为偶数时,第 项的二项式系数最大,最大值为_ ___;
②当为奇数时,第项和第 项的二项式系数最大,最大值为_ ____
或_ ____.
（3）各二项式系数的和.
① ____,
② ______.
常用结论
赋值法的应用
（1）在二项式定理中，令,，得
.
（2）若，则
①.
②.
③奇数项系数之和为.
④偶数项系数之和为.
题组一 常识题
1.［教材改编］的展开式中 的系数为_____.（用数字作答）
160
[解析] 的展开式的通项为 ，
令，则展开式中的系数为 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 若二项式 的展开式中各项系数的和为1，
则实数 的值为___.
2
[解析] 设，则由题意得 ，
解得 .
3.［教材改编］ 已知 的展开式中各二项式系数的和为128，
则展开式中 的系数是_____.
672
[解析] 由题意得，则，则 的展开式的通项为
，
令 ，可得，
所以展开式中的系数为 .
题组二 常错题
◆ 索引：对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等
需满足的条件;混淆二项式系数与项的系数.
4.化简： ________.
[解析]
.
5.在 的展开式中，系数为有理数的项共有___项.
6
[解析] 的展开式的通项为
，
当 为整数时，系数为有理数.
因为，且，所以 ,4,8,12,16,20，
所以展开式中系数为有理数的项共有6项.
6.在 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数
的和之差为56，则 ___.
3
[解析] 令，得展开式各项系数的和为 ，
又各二项式系数的和为，所以，
即，可得 ，故 .
探究点一 求展开式中的特定项或特定系数
例1（1）[2024·天津卷] 在 的展开式中，常数项为____.
20
［思路点拨］先求出展开式的通项，令的指数等于0，求得 ，
即可求解.
[解析] 的展开式的通项为
,,1, ,6，
令，可得，所以常数项为 .
（2）若的展开式中的系数与 的系数相等，则实
数 ____.
［思路点拨］写出二项式展开式的通项，由条件列出方程，
即可得到结果.
[解析] 的展开式的通项为 ，
因为的系数与的系数相等，所以，即 ，
所以，又，所以 .
[总结反思]
本类题考查的核心是的展开式的通项.求解
此类问题可以分两步完成:
（1）根据给出的条件（特定项）和通项,建立方程来确定指数或其他
参数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件,即为正整数,为
非负整数,且）;
（2）根据所求的指数或其他参数求解所求的项.
变式题（1）[2024·浙江精诚联盟模拟] 的展开式的常数项
为( )
A. B. C. D.4
[解析] 的展开式的通项为
，令 ，
可得，所以 ，故选B.
√
（2）[2024·河南名师联盟模拟]已知（其中 ）的展开
式中第7项为7，则展开式中有理项共有( )
A.6项 B.5项 C.4项 D.3项
[解析] 的展开式中第7项为
，由题意得 ，
，所以， ，则展开式的通项为
，,1,2, ,7，
令，则 ,3,6，所以展开式中有理项共有3项.故选D.
√
探究点二 二项式系数与各项的系数问题
角度1 二项式系数与系数最值
例2（1）已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，
则展开式中 的系数为( )
A. B.84 C. D.560
［思路点拨］根据二项式系数的性质得 ，再根据二项展开式的
通项即可求得指定项的系数.
√
[解析] 因为 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，
所以，则
的展开式的通项为，
令，则展开式中 的系数为 .故选B.
（2）[2024·全国甲卷] 的展开式中，各项系数中的最大值
为___．
5
［思路点拨］根据二项式定理写出展开式的通项，假设第 项的
系数最大，利用最大系数大于等于前一项系数和后一项系数建立不
等式组求解.
[解析] 展开式的通项为，，且 ，
设展开式中系数最大的项为第 项，则需要满足
解得,
又,所以 ,即展开式中，各项系数中的最大值为 .
[总结反思]
（1）二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,求法上
也有较大差异.由二项式系数的性质可知,当为偶数时,中间的一项的
二项式系数最大，当为奇数时,中间两项的二项式系数相等,同时取
得最大值.系数最大的项不一定在中间,需要利用二项展开式的通项,根
据系数值的增减性（有时还要结合正负的变化情况）具体讨论而定.
（2）对于,当,的系数均为1时,某项的二项式系数和
系数相等.
变式题（1）[2024·广东六校联考] 已知 的展开式中，仅有
第4项的二项式系数最大，则展开式中的第5项是_______.
[解析] 由题可得，解得 ，
所以 .
（2）已知二项式 的展开式中第二、三项的二项式系数的
和等于45，则展开式中的常数项为___.
[解析] ，， 的展开式的通项为
，
令，得， 展开式中的常数项为 .
角度2 展开式中各项系数的和
例3（1）（多选题）[2024·重庆一模] 已知
，则下列说法正
确的是( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］根据展开式的特点,令,1或 ,分析各选项即可.
√
√
√
[解析] 令，则，A选项错误；
令 ，则 ，
所以，B选项正确；
的展开式的通项为 ，
所以，C选项正确；
令 ，则，所以，D选项正确.故选 .
（2）若，则 _____.
240
［思路点拨］对已知等式求导并赋值构造出式子
即可.
[解析] ，对式子两边同时求导，得
，
令 ，得 .
[总结反思]
形如,的式子求其展开式的
各项系数之和时,常采用赋值法,令即可.
[解析] 令，得 ，
令，得 ，
则 ，
且，故 .
变式题（1）若 ，
则 ____.
（2）若 ，则
___.
0
[解析] 令，可得 .
探究点三 多项展开式中的特定项
角度1 几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题
例4 若 ，
则 ( )
A.45 B.27 C.15 D.3
［思路点拨］ 根据展开式的特征，将 转化为
，利用二项展开式的通项即可求解.
√
[解析] 由题意得 ，
故 ，故选B.
[总结反思]
求几个多项式和的展开式中的特定项（系数），先分别求出每一个
多项式的展开式中的特定项,再合并即可.
变式题 已知
，则 的值为____.
78
[解析] 令，可得，
令 ，可得，
令 ，可得，
所以由 可得，
所以 ，则 .
角度2 几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题
例5（1）的展开式中 的系数为_____.（用数字作
答）
［思路点拨］可化为 ，
结合二项式展开式的通项求解.
[解析] 因为 ，
所以的展开式中含 的项为
，
的展开式中 的系数为 .
（2）[2024·广东佛山模拟]在 的
展开式中，含 的项的系数是( )
A. B. C.3 D.15
［思路点拨］根据题意可得，5个因式中3个因式选择 ，2个因式选
择常数，即可求解.
[解析] 5个因式中3个因式选择，2个因式选择常数，则含 的项的
系数是 .故选A.
√
[总结反思]
几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法:先分别
将每个多项式化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生
的每一种情形,求出相应的特定项进行合并即可.
变式题（1）已知
，则
( )
A.30 B. C.17 D.
[解析] 根据二项式定理得
，
所以，，
则 ，所以 .故选D.
√
（2）已知 的展开式中各项系数之和为27，则展开
式中 的系数为( )
A. B.6 C.18 D.30
[解析] 由题意得，解得 ，
所以的展开式中的系数为
.故选C.
√
角度3 三项展开式中的特定项（系数）问题
例6 的展开式中 的系数为( )
A.5 B. C.15 D.
［思路点拨］ 根据给定的多项式，分析展开式中含 的项的构成，
列式计算即可.
√
[解析] 可看作5个相乘，
展开式中含 的项可由2种情况获得：
从5个式子中取2个式子提供 ，余下3个式子提供，
可得；
从5个式子中取1个式子提供 ，余下4个式子提供，
则可得到 .
所以的展开式中的系数为 .故选C.
[总结反思]
三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法:
（1）通常先将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展
开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解.
（2）将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再
分类考虑特定项产生的所有可能情形.
变式题（1）[2024·河北沧州二模]的展开式中 的
系数为( )
A.6480 B.2160 C.60 D.
[解析] 相当于6个因式 相乘，
其中1个因式取，有种取法，余下5个因式中有2个取，
有 种取法，最后3个因式全部取，有种取法，
故 的展开式中的系数为
.
√
（2）[2024·福建福州三模] 的展开式中常数项为____.
49
[解析] 的展开式的通项为
，
当,时，常数项为1；当 , 时，
常数项为；当, 时，常数项
为.
所以 的展开式中常数项为 .
例1 ［配例1使用］ [2024·贵州贵阳二模] 已知
，则 ( )
A.15 B.10 C. D.
[解析] 易知 ，其展开式的通项为
，所以 .故选C.
√
【备选理由】例1考查展开式中的特定项系数问题；
例2 ［配例2使用］ （多选题）[2024·山西临汾三模] 在
的展开式中( )
A.所有奇数项的二项式系数的和为128
B.二项式系数最大的项为第5项
C.有理项共有两项
D.所有项的系数的和为
√
√
【备选理由】例2考查二项式系数的性质应用问题；
[解析] 对于A,易知展开式中二项式系数和为 ，则所有奇数项的二
项式系数的和为，故A正确；
对于B,二项式系数最大的为 ，所以展开式中二项式系数最大的
项为第5项，故B正确；
对于C, 的展开式的通项为
，若，则 ,3,6，
所以展开式中有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，得所有项的系数和为 ，故D错误.
故选 .
例3 ［配例3使用］ （多选题）[2024·重庆十一中质检] 已知
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
【备选理由】例3考查赋值法的应用问题,是高考常考题型；
[解析] 对于A，令，得 ，故A正确；
对于B，的展开式的通项为，
令 ，得，令，得 ，
所以，故B错误；
对于C，令 ，得，故C正确；
对于D，令 ，得，
又因为 ，两式相减得
，所以 ，故D正确.
故选 .
例4 ［补充使用］ 若的展开式中的系数为，则 的值
为__，展开式中系数最大的项的系数为___.
【备选理由】例4考查展开式中项的系数最大问题；
[解析] 的展开式的通项为 ，
令，得，则，解得 的展开
式的通项为，
由 得
解得，所以 ，
所以展开式中系数最大的项的系数为 .
例5 ［配例4使用］ 已知
,则
____.
22
[解析] 的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为 ，
所以 .
【备选理由】例5考查多个二项式和的展开式中的特定项系数问题；
例6 ［配例5使用］ [2024·天津和平区三模] 在 的
展开式中，常数项为_____.（请用数字作答）
[解析] 的展开式的通项为
,,，
由 或，得或 ，
所以展开式中的常数项为 .
【备选理由】例6考查多个二项式积的展开式中的特定项系数问题；
例7 ［配例6使用］ [2024·山西朔州一模] 的展开
式中 的系数为___.
[解析] 的展开式的通项为
，由题令，则 .
的展开式的通项为
，令 ，
得，所以展开式中的系数为 .
【备选理由】例7考查三项展开式中的特定项系数问题.
作业手册
1.在 的展开式中，中间一项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
[解析] 的展开式共有9项，所以中间一项为第5项，
则中间一项的二项式系数为 .
√
◆ 基础热身 ◆
2.的展开式中， 的系数为( )
A.96 B.144 C.180 D.216
[解析] 的展开式的通项为.
当 时， ,故选D.
√
3. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C.15 D.
[解析] 的展开式的通项为
，
令，解得 ，
所以的展开式中的常数项为 .故选C.
√
4.（多选题）[2024·广西来宾一模] 的展开式中，下列结论
正确的是( )
A.二项式系数最大的项为第五项 B.各项系数和为0
C.含 的项的系数为4 D.所有项的二项式系数和为16
√
√
[解析] 对于A，因为 的展开式一共有五项，
所以展开式中二项式系数最大的项为第三项，故A错误；
对于B，令 ，则 ，所以展开式中各项系数的和为0，
故B正确；
对于C， 的展开式的通项为
，令 ，
得，故展开式中含的项的系数为 ，故C错误；
对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为 ，故D正确.
故选 .
5.（多选题）已知 ，若
，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由题意知 ，
则,得，A正确；
令 ，由 ，
得 ，
即 ，故
，B错误；
，C错误；
，D正确.故选 .
6.[2024·福建龙岩三模] 在的展开式中， 的系数为___.
5
[解析] 的展开式的通项为，
展开式中 的系数为 .
7.若，则 ____.
12
[解析] 由题意可知，的展开式的通项为 ，
令，则，所以的展开式中 的系数为
；
的展开式的通项为 ，
令，则，所以的展开式中 的系数为
.
所以 .
8.[2024·四川达州二模]的展开式中 的系数为( )
A.80 B. C.40 D.
[解析] 的展开式的通项为
，令，得 ，
所以的展开式中的系数为 .故选B.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2024·湖北荆州三模]已知
，则
被3除的余数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 令，得，令 ，得
，两式相减得
，
因为 ，
其中能被3整除，所以 被
3除的余数为1，故 能被3整除.故选D.
√
10.[2024·山东潍坊三模]已知
，则 ( )
A.8 B.10 C. D.
√
[解析] ，
其中 的展开式的通项为
，其中且 ，
当时， ，此时只需乘第一个因式
中的2，可得；
当 时，，此时只需乘第一个因式
中的，可得.
所以 .故选B.
11.（多选题）[2024·江西南昌三模] 已知 的展开式中二项式
系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数 的值可能
为( )
A. B. C. D.
[解析] 的展开式中二项式系数的最大值为.
的展开式的通项为 ，
令，得，故的展开式中的系数为 ，
故，解得.故选 .
√
√
12.（多选题）若
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
√
√
[解析] 令，得 ，所以选项A正确；
令，得 ，
所以 ，所以选项B错误；
因为，所以 ,则 ,所以选项C正确；
，
两边对求导得，令 得
，所以选项D错误.故选 .
13.[2024·安徽黄山三模] 的展开式中 的系数为
_____.
[解析] 因为是由5个 相乘得到，
所以要想得到，则取1个，取2个， 取2个，
故所求系数为 .
14.已知 的展开式的所有项系数之和为64，则实数
___，展开式中含 的项的系数是____.（用数字作答）
3
53
[解析] 当时，，得 ，
则原式，
的展开式中含的项的系数是，
的展开式中含 的项的系数为1，
所以的展开式中含 的项的系数为 .
15. 的展开式中系数最大的项为第___项.
7
[解析] 的展开式的通项为
，
设系数最大的项为第项，可得
即 即解得，
因为，所以 ，所以展开式中系数最大的项为第7项.
16.设，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以，
当 时，，
当时， ，
易知，所以 ，
故选C.
√
◆ 能力拓展 ◆
17.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》
一书中出现，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数
性质.如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数 ，
那么得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很
多定理，甚至影响到了微积分的创立.“莱布尼茨三角形”第8行的第5
个数是____；若
，则
_ _____________.（用含 的代数式作答）
[解析] 由题意知，“莱布尼茨三角形”第8行的第5个数是 .
由“莱布尼茨三角形”的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之
和，则， ，
， ， ，
，将上述各式相加，得
，
， .
【知识聚焦】1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn (1)n+1 2.k+1 3.an-kbk
4.(2)① ② (3)①2n ②2n-1
【对点演练】1.160 2.2 3.672 4.10n-1 5.6 6.3
课堂考点探究
例1 (1)20 (2)±1 变式题 (1)B (2)D
例2 (1)B (2)5 变式题 (1)240x6 (2)
例3 (1)BCD (2)240 变式题 (1) (2)0
例4 B 变式题 78
例5 (1)-28 (2)A 变式题 (1)D (2)C 例6 C 变式题 (1)A (2)49
教师备用习题
例1 C 例2 AB 例3 ACD 例4 例5 22 例6 -46 例7
基础热身
1.D 2.D 3.C 4.BD 5.AD 6.5 7.12
综合提升
8.B 9.D 10.B 11.AB 12. AC 13. -30 14. 3 53 15. 7
能力拓展
16. C 17. -
