第64讲 随机事件的相互独立性与条件概率
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)P(A)P(B)
2.(1) (2)①1
②P(B|A)+P(C|A) ③对立事件
(3)①P(A)P(B|A) ②相互独立
【对点演练】
1.0.7 [解析] 由事件A与B相互独立,得P(AB)=P(A)P(B),即0.6×P(B)=0.42,所以P(B)=0.7.
2. [解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件A,“乙独立地破解出该谜题”为事件B,“该谜题被破解”为事件C,且事件A与B相互独立,则P(C)=1-P( )=1-×=.
3. [解析] 由题意可知P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以P(B|A)===,P(A|B)===.
4. [解析] 由事件A和事件B相互独立,得事件A和事件也相互独立,所以P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=×=.
5. [解析] 记事件A为“小明选择篮球”,事件B为“小明、小红的选择不同”,则P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)===.
6. [解析] 设“第1次按对”为事件A1,“第2次按对”为事件A2,则不超过2次就按对的概率P=P(A1)+P(A2)=P(A1)+P()P(A2|)=+×=.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 结合枚举法以及古典概型的概率计算公式,判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立.
B [解析] P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)==,P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙),故选B.
例2 [思路点拨] (1)由题意分析知第一轮比赛选手的对战安排可以为{AB,CD},{AC,BD},{AD,BC};(2)设事件M=“选手A与选手D相遇”,以对战情况分类讨论,进而求解;(3)设采用方案一、二种子选手夺冠的概率分别为P1,P2,由独立事件的乘法公式求出P1,P2,比较P1,P2的大小即可.
解:(1)第一轮比赛选手的对战安排可以为{AB,CD},{AC,BD},{AD,BC},故共有3种对战方案.
(2)设事件M=“选手A与选手D相遇”,当对战安排为{AD,BC}时,A,D两选手相遇的概率为1;当对战安排为{AB,CD}时,A,D两选手相遇的概率为×=;当对战安排为{AC,BD}时,A,D两选手相遇的概率为×=.抽到三种对战安排的概率均为,则P(M)=×1+×+×=,即选手A与选手D相遇的概率为.
(3)设采用方案一、二种子选手夺冠的概率分别为P1,P2.若采用方案一,假设第一轮对战安排为{AC,BD},第一轮比赛两种子选手获胜,则第二轮比赛种子选手一定夺冠,其概率为×=;第一轮比赛选手A,D获胜,第二轮比赛A获胜,其概率为××=;第一轮比赛选手C,B获胜,第二轮比赛B获胜,其概率为××=;第一轮比赛选手C,D获胜,则种子选手不能夺冠.所以P1=+×2=.若采用方案二,则第一轮对战安排为{AB,CD},第一轮比赛选手A,C获胜,第二轮比赛A获胜,其概率为××=;第一轮比赛选手A,D获胜,第二轮比赛A获胜,其概率为××=;第一轮比赛选手B,C获胜,第二轮比赛B获胜,其概率为××=;第一轮比赛选手B,D获胜,第二轮比赛B获胜,其概率为××=.所以P2=×4=.因为P1>P2,所以方案一种子选手夺冠的概率更大.
变式题 (1)ABD [解析] 对于A,发送1,0,1,收到1,0,1的概率分别为1-β,1-α,1-β,因为信号传输是相互独立的,所以由相互独立事件的概率公式得,所求概率为(1-α)(1-β)2,故A正确.对于B,采用三次传输方案,发送1,1,1,收到1,0,1的概率分别为1-β,β,1-β,由相互独立事件的概率公式得,所求概率为β(1-β)2,故B正确.对于C,采用三次传输方案,发送1,1,1,收到的译码为1,则收到的信号可能为(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),故所求概率为3β(1-β)2+(1-β)3,故C错误.对于D,若采用三次传输方案,发送0,收到的译码为0,则收到的信号可能为(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),故所对应的概率P1=3α(1-α)2+(1-α)3,若采用单次传输方案,发送0,则收到信号0即为译码,所对应的概率P2=1-α,因为0<α<0.5,所以P1-P2=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=(1-α)(1-2α)α>0,所以P1>P2,故D正确.故选ABD.
(2)解:①三人各自独立闯关,其中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,甲、丙都闯关成功的概率为,设乙闯关成功的概率为P1,丙闯关成功的概率为P2,根据相互独立事件同时发生时的概率公式得
解得即乙闯关成功的概率为,丙闯关成功的概率为.
②团体总分为4分,即甲、乙、丙三人中恰有两人闯关成功,设“团体总分为4分”为事件A,则P(A)=××+××+××=,即团体总分为4分的概率是.
③团体总分不小于4分,即团体总分为4分或6分,设“团体总分不小于4分”为事件B,由②可知团体总分为4分的概率为,团体总分为6分,即三人闯关都成功,其概率为××=,则P(B)=+=,所以该小组参加下一轮比赛的概率为.
例3 [思路点拨] (1)由题求出同时喜欢两项运动的概率,然后利用条件概率的知识求解.(2)利用乘法公式即可求解.
(1)A (2)C [解析] (1)设“在该校高二年级的学生中随机调查一名学生,该学生喜欢打篮球”为事件A,“在该校高二年级的学生中随机调查一名学生,该学生喜欢打排球”为事件B,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8,所以P(AB)=0.2,则P(B|A)===.
(2)设“从1号箱中取到红球”为事件A,“从2号箱中取到红球”为事件B,由题意知P(A)==,P(B|A)==,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.故选C.
变式题 (1)B (2)0.24 0.36
[解析] (1)方法一:设“第一次摸出白球”为事件A,“第二次摸出黑球”为事件B,则“第一次摸出黑球”为事件.∵P(B)=P(AB)+P(B)=×+×=,∴P(A|B)===.
方法二:设“第一次摸出白球”为事件A,“第二次摸出黑球”为事件B,则n(B)=7×3+3×2=27,n(AB)=7×3=21,∴P(A|B)===.故选B.
(2)设“第一问做出”为事件A,“第二问做出”为事件B,由题意可得P(A)==0.6,P(B|)=0.1,P(|A)=0.6,则P()=0.4,P(|)=0.9,P(B|A)=0.4,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.24,P( )=P()P(|)=0.36,即此题得满分的概率是0.24,得0分的概率是0.36.第64讲 随机事件的相互独立性与条件概率
1.D [解析] ∵两次均未中奖的概率是0.4×0.4=0.16,∴若可以连抽两次,则中奖的概率是1-0.16=0.84.故选D.
2.A [解析] 用A,B分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.一共有10名特种兵,从中选出4名,则P(A)==.从10名特种兵中随机选出4名,如果甲和乙都被选中,那么剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名,故选取方式有种,所以P(AB)===.故P(B|A)===.故选A.
3.B [解析] 因为事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,所以P(AB)=P(A)P(B)=,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=.故选B.
4.C [解析] 记甲、乙两人各射击一次的得分之和为X,则P(X=2)=×(1-p)+×p=-p=,解得p=.故选C.
5.ABC [解析] P(A)==,故A正确;P(AB)==,故B正确;P(B|A)===,故C正确;P()==,P(B)==,P(B|)===,故D错误.故选ABC.
6. [解析] 根据题意可得该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为×+×=.
7. [解析] 没有取到黄球,可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球,第二次取到红球”,用事件R1表示第一次取到红球,R2表示第二次取到红球,G1表示第一次取到绿球,则P(R1)=,P(G1R2)=P(G1)P(R2|G1)=×=,所以没有取到黄球的概率P=+=.
8.B [解析] ∵P(A|B)=,P(B|A)=,且P(A|B)=P(B|A)=,∴P(A)=P(B),又P()=,∴P(A)=1-P()=,∴P(B)=.故选B.
9.C [解析] 分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,B,C,记甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级为事件D,记乙获得优秀等级为事件E.由题知,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7,所以P(D)=P(A )+P(B)+P( C)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29,P(DE)=P(B)=0.5×0.6×0.3=0.09,所以P(E|D)==.故选C.
10.AD [解析] 对于A,由题意知,每次只摸出一个球,A1∩A2= ,P(A1)=,P(A2)=,则P(A1)+P(A2)=1,所以A1,A2是对立事件,故A正确;对于B,P(A1)=,P(B2)=×+×=,P(A1B2)=×=,则P(A1B2)≠P(A1)P(B2),所以A1,B2不相互独立,故B错误;对于C,P(B2|A2)==,故C错误;对于D,P(A2B1)=×=,P(A1B2)=×=,所以P(B1|A2)+P(B2|A1)=+=,故D正确.故选AD.
11.BC [解析] 显然事件B,C相互独立,且A=BC,所以P(A)=P(B)·P(C),故A错误,B正确;事件包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,因此P()=P(C)+P(B)+P( ),则P()>P(C)+P(B),故C正确;依题意,P(C)=P()P(C)=·=,P(B)=P(B)P()=·=,因为a,b∈N且a>b>1,所以>,即P(C)>P(B),故D错误.故选BC.
12. [解析] 至少有两人去南湖的情况有三种:两人去,三人去,四人去,其概率为=,至少有两人去南湖且有人去净月的概率为=,所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为=.
13. [解析] 第3次投壶的人是乙的情况有甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、乙甲乙,所以第3次投壶的人是乙的概率P=××+××+××+××=.第2次投壶的人是甲的情况有甲甲、乙甲,第1次投壶的人是乙的情况有乙,设“第2次投壶的人是甲”为事件A,“第1次投壶的人是乙”为事件B,则P(B|A)===.
14.解:(1)∵甲教师总得分为0,∴甲教师在三个项目的比赛中赢一项输两项,
∴所求概率为0.4×0.4×0.4+0.6×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6=0.352.
(2)不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A,B,C,则教师甲获得冠军的概率p1=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.4×0.6×0.6+0.6×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6+0.4×0.6×0.4=0.552,∴教师乙获得冠军的概率p2=1-p1=0.448,
∴|p1-p2|=0.104,≈0.376,∴|p1-p2|<,∴甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.
15.解:(1)四人实力旗鼓相当,即各比赛每人的胜率均为50%,即为.
①由题意,第一轮比赛A,D一组,B,C一组,要A获得季军,则A进入胜者组,后续连败两轮,或A进入负者组,后续两轮先胜后败,所以A获得季军的概率为××+××=.
②用Wi表示“D在所参加的比赛i中胜利”,Li表示“D在所参加的比赛i中失败”,事件E表示“D获得亚军”,事件F表示“D所参加的所有比赛中失败了两场”,事件F包括L1L4,L1W4L5,W1L3L5,W1L3W5L6,L1W4W5L6五种情况,这五种情况彼此互斥,
则P(F)=P(L1L4)+P(L1W4L5)+P(W1L3L5)+P(W1L3W5L6)+P(L1W4W5L6)=×+××+××+×××+×××=,事件EF包括W1L3W5L6,L1W4W5L6两种情况,则P(EF)=P(W1L3W5L6)+P(L1W4W5L6)=×××+×××=,所以所求概率为P(E|F)===.
(2)由题意得,一场比赛中A获胜的概率为,B,C,D之间获胜的概率均为.
要使D进入决赛且先前与对手已有过招,可分为三种情况:
①若A与D在决赛中相遇,则A:1胜,3胜,D:1负4胜5胜,或A:1负4胜5胜,D:1胜,3胜,其概率P1=×××+×××=;
②若B与D在决赛中相遇,则D:1胜,3胜,B:2胜3负5胜,或D:1胜,3负,5胜,B:2胜3胜,其概率P2=×××+×××=;
③若C与D在决赛中相遇,同B与D在决赛中相遇,其概率P3=×××+×××=.
所以D进入决赛且先前与对手已有过招的概率P=P1+P2+P3=.第64讲 随机事件的相互独立性与条件概率
【课标要求】 1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型,利用独立性计算概率.
2.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
3.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
1.事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 成立,则称事件A与事件B相互独立.
(2)判断方法:
①根据定义;
②根据实际意义;
③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件,事件与事件B,事件 与事件也相互独立.
(3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不可以推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时, P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立.
2.条件概率
(1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
(2)性质:设P(A)>0,则
①P(Ω|A)= ;
②若B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= ;
③设和B互为 ,则P(|A)=1-P(B|A).
(3)注意:①乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= .
②特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B 时,有P(B|A)=P(B).
常用结论
1.乘法公式的推广:
设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2).其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.
2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知事件A与B相互独立,P(A)=0.6,P(AB)=0.42,则P(B)= .
2.[教材改编] 甲、乙两人独立地破解同一个谜题,他们破解出该谜题的概率分别为,,则该谜题被破解的概率为 .
3.[教材改编] 交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查,发现该地区上班时间拥堵的概率为,下班时间拥堵的概率为,上、下班时间都拥堵的概率为.设事件A为“上班时间拥堵”,事件B为“下班时间拥堵”,则P(B|A)= ,P(A|B)= .
题组二 常错题
◆索引:事件的相互独立性理解不准确;条件概率的含义理解不准确;乘法公式应用不准确.
4.已知事件A和事件B相互独立,表示事件B的对立事件,P(A)=,P(B)=,则P(A)= .
5.某校体育活动期间,有足球、篮球、乒乓球三项运动供学生选择.小明、小红从这三项运动中各随机选择一项,且他们的选择相互独立,在小明选择篮球的前提下,两人的选择不同的概率为 .
6.一张储蓄卡的密码共6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,他任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率为 .
相互独立事件的概率
例1 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
例2 已知A,B,C,D四名选手参加某项比赛,其中A,B为种子选手,C,D为非种子选手,种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为,种子选手之间获胜的概率为,非种子选手之间获胜的概率为.比赛规则:第一轮两两对战,胜者进入第二轮,负者淘汰;第二轮的胜者为冠军.
(1)若你是主办方,则第一轮选手的对战安排一共有多少种不同的方案
(2)选手A与选手D相遇的概率为多少
(3)以下两种方案,哪一种比赛种子选手夺冠的概率更大
方案一:第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛;
方案二:第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.
总结反思
1.两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响.
(2)定义法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤:
(1)首先确定两个事件是相互独立的;
(2)确定两个事件可以同时发生;
(3)求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收 到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则 ( )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
(2)甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关,在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为,甲、乙都闯关成功的概率为,甲、丙都闯关成功的概率为,每人闯关成功记2分,闯关失败记0分,三人得分之和记为小组团体总分.
①求乙、丙各自闯关成功的概率;
②求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率;
③若团体总分不小于4分,则小组可参加下一轮比赛,求该小组参加下一轮比赛的概率.
条件概率与乘法公式
例3 (1)[2024·山西太原二模] 某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球,40%的学生喜欢打排球,80%的学生喜欢打篮球或排球.在该校高二年级的学生中随机调查一名学生,若该学生喜欢打篮球,则他也喜欢打排球的概率为 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球(白球与红球大小、形状、质地相同),现随机从1号箱中取出1个球放入2号箱,再从2号箱中随机取出1个球,则两次都取到红球的概率是 ( )
A. B. C. D.
总结反思
求条件概率的常用方法
(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).
(2)缩小样本空间法:先求事件A所包含的样本点个数n(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=.
变式题 (1)在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球,其中白球7个,黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球,已知第二次摸出的是黑球,则第一次摸出的是白球的概率为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2024·杭州模拟] 已知一道解答题有两小问,每小问5分,共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问,且在第一问做不出的情况下,第二问做出的概率为0.1;第一问做出的情况下,第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率,则此题得满分的概率是 ,得0分的概率是 . 第64讲 随机事件的相互独立性与条件概率
(时间:45分钟)
1.某超市采用旋转如图所示的圆盘的方式抽奖,若可以连抽两次,则中奖的概率是 ( )
A.0.36 B.0.48 C.0.6 D.0.84
2.现从含甲、乙在内的10名特种兵中随机选出4名去参加抢险,则在甲被选中的前提下,乙也被选中的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.[2024·盐城一模] 已知随机事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A∪B)= ( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛,其中每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为,假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为 ( )
A. B. C. D.
5.(多选题)某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是 ( )
A.P(A)=
B.P(AB)=
C.P(B|A)=
D.P(B|)=
6.某同学参加学校组织的化学竞赛,比赛分为笔试和实验操作测试,该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为,在实验操作测试中结果为优秀的概率为,则该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为 .
7.盒中有4个质地、形状完全相同的小球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.现从盒中随机不放回地取球,每次取1个,直到取出红球为止,则在此过程中没有取到黄球的概率为 .
8.已知P(A|B)=P(B|A)=,P()=,则P(B)= ( )
A. B.
C. D.
9.[2024·河南郑州二模] 在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级的条件下,乙获得优秀等级的概率为 ( )
A. B. C. D.
10.(多选题)甲、乙两个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的小球,甲袋中装有3个红球和4个绿球;乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中,再从乙袋中随机摸出一个小球,用A1表示事件“从甲袋摸出的是红球”,A2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”,用B1表示事件“从乙袋摸出的是红球”,B2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”,则下列说法正确的是 ( )
A.A1,A2是对立事件
B.A1,B2是独立事件
C.P(B2|A2)=
D.P(B2|A1)+P(B1|A2)=
11.(多选题)大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术,在AI算法的驱动下,无论是图文编辑、视频编辑,还是素材制作,所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个,图片b张(a,b∈N且a>b>1).从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是 ( )
A.P(A)=P(B)+P(C)
B.P(A)=P(B)·P(C)
C.P()>P(C)+P(B)
D.P(C)
12.小王、小李、小张、小刘四人计划“五一”去踏青,现有三个出游的景点:南湖、净月、莲花山.假设每人随机选择一处景点,在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 .
13.[2024·河南南阳一模] 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏,游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏.为弘扬传统文化,某单位开展投壶游戏,现甲、乙两人为一组玩投壶游戏,每次由其中一人投壶,规则如下:若投中,则此人继续投壶,若未投中,则换为对方投壶,无论之前投壶的情况如何,甲每次投壶的命中率均为,乙每次投壶的命中率均为,由抽签确定第1次投壶的人选,第1次投壶的人是甲、乙的概率各为,则第3次投壶的人是乙的概率为 ,在第2次投壶的人是甲的情况下,第1次投壶的人是乙的概率为 .
14.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后,由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目,每个项目胜者得10分,负者得-5分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6,各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1,p2.
(1)求甲教师总得分为0的概率;
(2)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别.
15.双败淘汰赛制是一种竞赛形式,比赛一般分两个组进行,即胜者组与负者组.在第一轮比赛后,获胜者编入胜者组,失败者编入负者组继续比赛,之后的每一轮,在负者组中的失败者将被淘汰;胜者组的情况也类似,只是失败者仅被淘汰出胜者组进入负者组,只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A,B,C,D四人参加的双败淘汰赛制的流程如图所示(其中虚线表示失败者进组,实线表示获胜者进组),其中比赛6为决赛.
(1)假设四人实力旗鼓相当,即各比赛每人的胜率均为50%,求:
①A获得季军的概率;
②D在一共输了两场比赛的情况下,成为亚军的概率.
(2)若A的实力出类拔萃,与其他三人的比赛中其胜率均为75%,其余三人实力旗鼓相当,求D进入决赛且先前与对手已有过招的概率.(共84张PPT)
第64讲 随机事件的相互独立性与条
件概率
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型,
利用独立性计算概率.
2.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
3.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果 __________成立,则
称事件与事件 相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；
②根据实际意义；
③应用结论：当事件,相互独立时,事件与事件,事件与事件 ,
事件 与事件 也相互独立.
◆ 知识聚焦 ◆
（3）注意：公式 不可以推广到多个事件.
当事件,, ,两两独立时,
不一定成立.
2.条件概率
（1）定义：设,为两个随机事件,且,我们称
_ _____为在事件发生的条件下,事件 发生的条件概率，简称条件概率.
（2）性质：设 ,则
① ___;
②若与是两个互斥事件,则 ________________;
③设和互为__________,则 .
1
对立事件
（3）注意：①乘法公式：对任意两个事件与,若 ,则
____________.
②特例：当时,当且仅当事件与 __________时,有
.
相互独立
常用结论
1.乘法公式的推广：
设表示事件，，2，3，且，，则
.其中表示已知
与同时发生时发生的概率，表示，，同时
发生的概率.
2.事件的拆分：对 中的任意事件，
都有.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知事件与相互独立， ，
，则 ____.
0.7
[解析] 由事件与相互独立，得 ，
即，所以 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 甲、乙两人独立地破解同一个谜题，他们破解出该
谜题的概率分别为， ，则该谜题被破解的概率为__.
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件 ，“乙独立地破解出该谜
题”为事件，“该谜题被破解”为事件，且事件与 相互独立，
则 .
3.［教材改编］ 交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，
发现该地区上班时间拥堵的概率为，下班时间拥堵的概率为 ，上、
下班时间都拥堵的概率为.设事件为“上班时间拥堵”，事件 为
“下班时间拥堵”，则___， __.
[解析] 由题意可知，， ，
所以， .
题组二 常错题
◆ 索引：事件的相互独立性理解不准确;条件概率的含义理解不准
确;乘法公式应用不准确.
4.已知事件和事件相互独立，表示事件 的对立事件，
，，则 __.
[解析] 由事件和事件相互独立，得事件和事件 也相互独立，
所以 .
5.某校体育活动期间，有足球、篮球、乒乓球三项运动供学生选择.
小明、小红从这三项运动中各随机选择一项，且他们的选择相互独
立，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为__.
[解析] 记事件为“小明选择篮球”，事件 为“小明、小红的选择不
同”，则，，所以 .
6.一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从 中任选一个.
某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，他
任意按最后一位数字，则不超过2次就按对的概率为__.
[解析] 设“第1次按对”为事件，“第2次按对”为事件 ，
则不超过2次就按对的概率
.
探究点一 相互独立事件的概率
例1 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回
地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字
是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次
取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是
7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
√
[解析] （甲），（乙），（丙）， （丁），
（甲丙）（甲）（丙），
（甲丁） （甲）（丁），
（乙丙）（乙）（丙），
（丙丁）（丁） （丙），故选B.
［思路点拨］ 结合枚举法以及古典概型的概率计算公式,判断
是否成立.
例2 已知，，，四名选手参加某项比赛，其中， 为种子选
手，， 为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概
率为，种子选手之间获胜的概率为 ，非种子选手之间获胜的概率
为 .比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二
轮的胜者为冠军.
（1）若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少种不同的
方案？
解：第一轮比赛选手的对战安排可以为,，,，
, ，故共有3种对战方案.
［思路点拨］由题意分析知第一轮比赛选手的对战安排可以为
,，,，, ；
（2）选手与选手 相遇的概率为多少？
解：设事件“选手与选手相遇”，当对战安排为, 时，
，两选手相遇的概率为1；
当对战安排为,时，， 两选手相遇的概率为；
当对战安排为,时，， 两选手相遇的概率为.
抽到三种对战安排的概率均为 ，则，
即选手与选手 相遇的概率为 .
［思路点拨］设事件“选手与选手 相遇”，以对战情况分类讨
论，进而求解；
（3）以下两种方案，哪一种比赛种子选手夺冠的概率更大？
方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛；
方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛.
［思路点拨］设采用方案一、二种子选手夺冠的概率分别为， ，
由独立事件的乘法公式求出，，比较， 的大小即可.
解：设采用方案一、二种子选手夺冠的概率分别为， .
若采用方案一，假设第一轮对战安排为, ，
第一轮比赛两种子选手获胜，则第二轮比赛种子选手一定夺冠，
其概率为 ；
第一轮比赛选手,获胜，第二轮比赛获胜，其概率为 ；
第一轮比赛选手,获胜，第二轮比赛获胜，其概率为 ；
第一轮比赛选手, 获胜，则种子选手不能夺冠.
所以.
若采用方案二，则第一轮对战安排为, ，
第一轮比赛选手,获胜，第二轮比赛 获胜，其概率为；
第一轮比赛选手,获胜，第二轮比赛 获胜，其概率为；
第一轮比赛选手,获胜，第二轮比赛 获胜，其概率为；
第一轮比赛选手,获胜，第二轮比赛 获胜，其概率为.
所以.
因为 ，所以方案一种子选手夺冠的概率更大.
[总结反思]
1.两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响.
（2）定义法:若，则事件与事件相互独立.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤:
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，
信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 ，收到0
的概率为 ；发送1时，收 到0的概率为 ，收到1的
概率为 .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是
指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的
信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；
三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次
收到1，0，1，则译码为1）.则( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的
概率为
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D.当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率
大于采用单次传输方案译码为0的概率
√
√
√
[解析] 对于A，发送1，0，1，收到1，0，1的概率分别为 ，
， ，因为信号传输是相互独立的，所以由相互独立事
件的概率公式得，所求概率为 ，故A正确.
对于B，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到1，0，1的概率分别为 ，， ，由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，则收到的信号可能为，， ，，故所求概率为 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，则收到的信号可能为，，， ，故所对应的概率
，
若采用单次传输方案，发送0，则收到信号0即为译码，所对应的概率 ，
因为 ，所以，所以,故D正确.故选 .
（2）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯
关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概
率为，甲、乙都闯关成功的概率为 ，甲、丙都闯关成功的概率为
， 每人闯关成功记2分，闯关失败记0分，三人得分之和记为小组
团体总分.
①求乙、丙各自闯关成功的概率；
解：三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为 ，甲、乙都闯关
成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为 ，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为 ，
根据相互独立事件同时发生时的概率公式得
解得即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为 .
②求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率；
解：团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有两人闯关成功，
设 “团体总分为4分”为事件 ，则
，
即团体总分为4分的概率是 .
③若团体总分不小于4分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加
下一轮比赛的概率.
解：团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件，由②可知团体总分为4分的概率为 ，
团体总分为6分，即三人闯关都成功，其概率为 ，
则，所以该小组参加下一轮比赛的概率为 .
探究点二 条件概率与乘法公式
例3（1）[2024·山西太原二模]某校高二年级学生中有 的学生喜
欢打篮球，的学生喜欢打排球， 的学生喜欢打篮球或排球.
在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，
则他也喜欢打排球的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，该学生喜欢
打篮球”为事件 ,“在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，该
学生喜欢打排球”为事件,
则, ，,
所以 ,则 .
［思路点拨］由题求出同时喜欢两项运动的概率，然后利用条件概
率的知识求解.
（2）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红
球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出1
个球放入2号箱，再从2号箱中随机取出1个球，则两次都取到红球的
概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 设“从1号箱中取到红球”为事件 ，“从2号箱中取到红球”为事
件，由题意知， ，所以
.故选C.
√
［思路点拨］利用乘法公式即可求解.
[总结反思]
求条件概率的常用方法
（1）定义法:先求和,再由求.
（2）缩小样本空间法:先求事件所包含的样本点个数,
再求事件所包含的样本点个数,则.
变式题（1）在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，
其中白球7个，黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知
第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：设“第一次摸出白球”为事件 ，“第二次摸出黑球”为
事件，则“第一次摸出黑球”为事件 .
，
.
方法二：设“第一次摸出白球”为事件，“第二次摸出黑球”为事件 ，
则， ，
.故选B.
（2）[2024·杭州模拟] 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10
分.现每十个人中有六人能够做出第一问，且在第一问做不出的情况
下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出
的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______，得0
分的概率是_____.
[解析] 设“第一问做出”为事件，“第二问做出”为事件 ，
由题意可得,,，
则 , ,，
所以 ，，
即此题得满分的概率是 ，得0分的概率是0.36.
例1 ［配例1使用］ 投壶在中国古代是一项比较常见的比赛，比赛
规则如下：比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五
种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”
算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.甲、乙两
人进行一种投壶比赛，假设甲投中“有初”的概率为 ，投中“贯耳”的
概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为 ，投中“依
竿”的概率为 ，如下表所示：
【备选理由】例1考查相互独立事件的概率计算；
有初 贯耳 散射 双耳 依竿
筹数 2 4 5 6 10
甲投中的概率
乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立，比赛的第一场，
两人平局；比赛的第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”.则三
场比赛结束时，甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知，在前两场比赛中，乙比甲多得两筹，若甲要想赢得
比赛，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹，分四种情况讨论，
①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率 ；
②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的
概率 ；
③甲得“六筹”，乙得“零筹”或 “两筹”，此种情况发生的
概率 ；
④甲得“十筹”，乙得“零筹”“两筹”“四筹”“五筹”或“六筹”，
此种情况发生的概率 .
故甲获胜的概率 .故选D.
例2 ［配例3使用］ 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲
先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮
结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为 ，且
各次投篮互不影响.
【备选理由】例2考查乘法公式的应用，考查灵活应用基础知识的能力；
（1）求甲获胜的概率；
解：用，分别表示甲、乙在第次投篮投中 ，
则， ，
设“甲获胜”为事件，则，而 ，
， 互斥，
故 .
（2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；
解：设“投篮结束时，甲只投了2个球”为事件 ，
则，而， 互斥，
所以
.
（3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，
求投球3次后，投篮结束的概率.
解：设“投球3次后，投篮结束”为事件 ，分两种情况讨论：
若甲先投篮，投球3次后，投篮结束，即事件 ，
若乙先投篮，投球3次后，投篮结束，即事件 ，
故 .
例3 ［配例3使用］ [2024·湖南长沙二模] 某罐中装有大小和质地相
同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记 “第一
次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”， “第二次
摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”， “两次都摸到
红球”， “两次都摸到绿球”，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例3考查条件概率与乘法公式，考查逻辑思维能力
及运算能力.
[解析] 由条件概率公式，可得
，故C正确；
因为，,不相互独立，
所，故A错误；
因为 ,, ，所以，故B错误；
由 ,，
得 ，故D错误.故选C.
作业手册
1.某超市采用旋转如图所示的圆盘的方式抽奖，
若可以连抽两次，则中奖的概率是( )
A.0.36 B.0.48 C.0.6 D.0.84
[解析] 两次均未中奖的概率是
， 若可以连抽两次，则中
奖的概率是 .故选D.
√
◆ 基础热身 ◆
2.现从含甲、乙在内的10名特种兵中随机选出4名去参加抢险，则在
甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 用, 分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.
一共有10名特种兵，从中选出4名，则 .
从10名特种兵中随机选出4名，如果甲和乙都被选中，那么剩余2个
被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名，
故选取方式有 种，所以.
故 .故选A.
√
3.[2024·盐城一模]已知随机事件，相互独立，且 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为事件，相互独立，且 ，
所以 ，
所以 .故选B.
√
4.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中每射击一次击中目标得2
分，未击中目标得0分.已知甲、乙两人射击的命中率分别为和 ，且
甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 ，假设甲、乙两人射
击互不影响，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 记甲、乙两人各射击一次的得分之和为 ，
则，
解得 .故选C.
√
5.（多选题）某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加
比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回
地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件
为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] ，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，
故D错误.故选 .
6.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，
该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果
为优秀的概率为，在实验操作测试中结果为优秀的概率为 ，则该
同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为优秀的概率为___.
[解析] 根据题意可得该同学在这次竞赛中仅有一项测试结果为
优秀的概率为 .
7.盒中有4个质地、形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2
个黄球.现从盒中随机不放回地取球，每次取1个，直到取出红球为止，
则在此过程中没有取到黄球的概率为_ _.
[解析] 没有取到黄球，可以是“第一次取到红球”或“第一次取到绿球，
第二次取到红球”，用事件表示第一次取到红球， 表示第二次取
到红球，表示第一次取到绿球，
则 ， ，
所以没有取到黄球的概率 .
8.已知，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，且
，，
又 ，， .故选B.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2024·河南郑州二模]在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀
等级的概率分别是，和 ，且三人的测试结果相互独立，测
试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级的条件
下，乙获得优秀等级的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件,, ，
记甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级为事件 ，
记乙获得优秀等级为事件.
由题知，,, ，所以
，
，所以 .
故选C.
10.（多选题）甲、乙两个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的
小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿
球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出
一个小球，用表示事件“从甲袋摸出的是红球”， 表示事件“从甲
袋摸出的是绿球”，用表示事件“从乙袋摸出的是红球”， 表示事
件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是( )
A.，是对立事件 B.， 是独立事件
C. D.
√
√
[解析] 对于A，由题意知，每次只摸出一个球， ，
,，则，所以, 是对立事件，
故A正确；
对于B，, ，
，则，
所以, 不相互独立，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D，， ，
所以，故D正确.
故选 .
11.（多选题）大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和
先进的数据科学技术，在 算法的驱动下，无论是图文编辑、视频
编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某
数据库有视频个，图片张,且 .从中随机选出一
个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件 ，“视频甲入
选”为事件，“图片乙入选”为事件 ，则下列判断中正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 显然事件,相互独立，且，所以 ，
故A错误，B正确；
事件 包含“视频甲未入选，图片乙入选”“视频甲入选，图片乙未入选”
“视频甲、图片乙都未入选”三种情况，因此
，则 ，故C正确；
依题意， ，
，因为,且 ，
所以，即，故D错误.故选 .
12.小王、小李、小张、小刘四人计划“五一”去踏青，现有三个出游
的景点：南湖、净月、莲花山.假设每人随机选择一处景点，在至少
有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__.
[解析] 至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为 ，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为 ，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 .
13.[2024·河南南阳一模] 投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投
掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投.《醉翁亭记》中的“射”指的就是
“投壶”这个游戏.为弘扬传统文化，某单位开展投壶游戏，现甲、乙
两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，
则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情
况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为 ，
由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为 ，
则第3次投壶的人是乙的概率为____，在第2次投壶的人是甲的情况
下，第1次投壶的人是乙的概率为__.
[解析] 第3次投壶的人是乙的情况有甲甲乙、甲乙乙、乙乙乙、
乙甲乙，所以第3次投壶的人是乙的概率
.
第2次投壶的人是甲的情况有甲甲、乙甲，第1次投壶的人是乙的
情况有乙，设“第2次投壶的人是甲”为事件，
“第1次投壶的人是乙”为事件 ，则 .
14.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮
比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个
项目胜者得10分，负者得 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总
得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为 ,
, ，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记
为, .
（1）求甲教师总得分为0的概率；
解： 甲教师总得分为0， 甲教师在三个项目的比赛中赢一项输两项，
所求概率为
.
（2）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别
.
解：不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,, ，
则教师甲获得冠军的概率
，
教师乙获得冠军的概率 ，,
，，
甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.
15.双败淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者
组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者
组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者
组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组进入负者组，只有
在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.，，， 四人参
加的双败淘汰赛制的流程如图所示（其中虚线表示失败者进组，实
线表示获胜者进组），其中比赛6为决赛.
◆ 能力拓展 ◆
（1）假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为 ，求：
① 获得季军的概率；
解：四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为，即为 .
由题意，第一轮比赛,一组，,一组，要获得季军，则 进
入胜者组，后续连败两轮，或 进入负者组，后续两轮先胜后败，
所以 获得季军的概率为
.
② 在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率.
解：用表示“在所参加的比赛中胜利”，表示“ 在所参加的比
赛中失败”，事件表示“获得亚军”，事件表示“ 所参加的所有
比赛中失败了两场”，
事件包括，， ，， 五种情况，
这五种情况彼此互斥，
则
，
事件包括， 两种情况，则
，所以所求概率为 .
（2）若的实力出类拔萃，与其他三人的比赛中其胜率均为 ，
其余三人实力旗鼓相当，求 进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
解：由题意得，一场比赛中获胜的概率为，，， 之间获胜的
概率均为 .
要使 进入决赛且先前与对手已有过招，可分为三种情况：
①若与在决赛中相遇，则胜，3胜，负4胜5胜，或
负4胜5胜， 胜，3胜，其概率
；
②若与在决赛中相遇，则胜，3胜，胜3负5胜，或
胜，3负，5胜， 胜3胜，其概率
；
③若与在决赛中相遇，同与 在决赛中相遇，其概率
.
所以进入决赛且先前与对手已有过招的概率 .
【知识聚焦】1.(1)P(A)P(B) 2.(1) (2)①1 ②P(B|A)+P(C|A) ③对立事件
(3)①P(A)P(B|A) ②相互独立
【对点演练】1.0.7 2. 3. 4. 5. 6.
课堂考点探究
例1 B 例2 (1) 3种 (2) (3)方案一
变式题 (1) ABD (2)
例3 (1)A (2)C 变式题 (1)B (2)0.24 0.36
教师备用习题
例1 D 例2 (1) (2) (3) 例3 C
基础热身
1.D 2.A 3.B 4.C 5.ABC 6. 7.
综合提升
8.B 9.C 10.AD 11. BC 12. 13.
14. (1) 0.352 (2)甲、乙获得冠军的实力没有明显差别
能力拓展
15. (1) ① ② (2)