第65讲 全概率公式及应用
● 课前基础巩固
【对点演练】
1.0.65 [解析] 设A1为“第一天选择一餐厅就餐”,B1为“第一天选择二餐厅就餐”,A2为“第二天选择一餐厅就餐”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.7,由全概率公式可知P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.7=0.65.
2.86.4% [解析] 用A表示生产线初始状态良好,B表示第一件产品为合格品,则P(A)=80%,P(B|A)=95%,P(B|)=60%,所以P(A|B)=
=
≈86.4%.
3.0.25 [解析] 设事件Ai=“第i天去2楼阅读”,事件Bi=“第i天去3楼阅读”,i=1,2,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(B2|A1)=1-0.7=0.3,P(B2|B1)=1-0.8=0.2,所以P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.3+0.5×0.2=0.25.
4. [解析] 分为第一位顾客中奖和没中奖两种情况,所以第二位顾客中奖的概率为×+×=.
5.0.323 [解析] 设事件A=“呈阳性反应”,事件B=“患有此种疾病”,则P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%,所以P(B|A)==≈0.323,则化验结果为阳性,此人确实患有此病的概率约为0.323.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 根据全概率公式计算即可得解.
(1)B (2)B [解析] (1)因为P(A)=0.5,所以P()=1-0.5=0.5,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×P(B|A)+0.5×0.2=0.3,解得P(B|A)=0.4.故选B.
(2)由题意可得P(|B)=1-P(A|B)=,P(|)=1-P(A|)=,所以P()=P()P(|)+P(B)P(|B)=[1-P(B)]+P(B)=,解得P(B)=.故选B.
变式题 (1) (2) [解析] (1)因为P(A)=,所以P()=,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
(2)由题意得P(A2|A1)=3P(A1)=3×=,P(A2|)=,则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=,则P(A3|A2)=3P(A2)=3×=,又P(A3|)=,所以P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P()P(A3|)=×+×=.
例2 [思路点拨] (1)分别考虑从甲盒中取出两个白球和一白一红的情况,利用全概率公式计算即可.(2)任取一个零部件,来源有甲、乙、丙三种可能,考虑来自各厂的概率,利用全概率公式求解.
(1) (2)C [解析] (1)记“从乙盒中取出的是红球”为事件B,“从甲盒中任取2个球”为事件A,事件A1为“从甲盒中任取2个球均为白球”,事件A2为“从甲盒中任取2个球为一白一红”,A=A1∪A2,且A1,A2互斥,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=×+×=.
(2)根据题意,设任取一个零部件,来自甲、乙、丙三厂的事件分别为A,B,C,设任取一个零部件为次品为事件D,则P(A)==,P(B)=,P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×+×=0.07,故选C.
变式题 (1)B (2)0.825 [解析] (1)设A=“发送的信号为0”, B=“接收的信号为0”,则=“发送的信号为1”, =“接收的信号为1”,则P(A)=0.5,P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=0.95,所以接收的信号为0的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475,所以接收的信号为1的概率P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.故选B.
(2)设事件E=“小明与第一代传播者接触”,事件F=“小明与第二代传播者接触”,事件G=“小明与第三代传播者接触”,事件D=“小明被感染”,则P(E)=0.5,P(F)=0.25,P(G)=0.25,P(D|E)=0.9,P(D|F)=0.8,P(D|G)=0.7,所以P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|F)P(F)+P(D|G)P(G)=0.9×0.5+0.8×0.25+0.7×0.25=0.825,所以所求概率为0.825.
例3 [思路点拨] (1)根据题意,由贝叶斯公式代入计算,即可得到结果.(2)利用全概率公式求得取到一件产品为正品的概率,再根据贝叶斯公式求解.
(1)C (2)丙 [解析] (1)记“视频是‘AI’合成的”为事件A,记“鉴定结果为‘AI’”为事件B,则P(A)=0.001,P()=0.999,P(B|A)=0.98,P(B|)=0.04,由贝叶斯公式得P(A|B)==
≈0.024,故选C.
(2)取到一件产品为正品的概率为0.95×+0.9×+0.8×=0.86,则它是由甲厂生产的概率为=,它是由乙厂生产的概率为=,它是由丙厂生产的概率为=,因为>>,所以它是由丙厂生产的概率最大.
变式题 (1)B (2)D [解析] (1)记事件A为“从剩下的9箱中随机打开2箱,结果是1箱语文书、1箱数学书”,记事件B1为“丢失的一箱是语文书”,事件B2为“丢失的一箱是数学书”,事件B3为“丢失的一箱是英语书”,则P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=×+×+×=,由贝叶斯公式可得P(B3|A)==.故选B.
(2)设事件M=“此人参加户外极限运动”,事件R=“此人来自A地区”,事件S=“此人来自B地区”.依题意,P(R)=,P(S)=,P(M|R)=,P(M|S)=,则p1=P(M)=P(MR)+P(MS)=P(M|R)P(R)+P(M|S)P(S)=×+×==,p2=P(R|M)====.故选D.
例4 [思路点拨] (1)记事件A=“从这批产品中任取一件为一级品”,事件Bn=“使用零件n次,没有发生故障”,利用全概率公式求出P(B3),再由条件概率公式计算即可得解;(2)依题意X的所有可能取值为0,1,2,求出所对应的概率,即可得到X的分布列与数学期望.
解:(1)记事件A=“从这批产品中任取一件为一级品”,则P(A)=0.8,P()=0.2,记事件Bn=“使用零件n次,没有发生故障”,则P(Bn|A)=1,P(Bn|)=0.9n,则P(B3)=P(B3|A)P(A)+P(B3|)P()=1×0.8+0.93×0.2=0.8+0.145 8=0.945 8,
所以P(A|B3)==
==.
(2)依题意X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=P(B2|A)P(A)+P(B2|)P()=1×0.8+0.92×0.2=0.962,
P(X=1)=P( )[P(A)+
P(B1)]+P[(B1)]=
P(|)P()[P(A)+P(B1|)P()]+P[(B1)|]P()=0.1×0.2×(0.8+0.9×0.2)+0.9×0.1×0.2=0.037 6,P(X=2)=[P( )]2=(0.2×0.1)2=0.000 4,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.962 0.037 6 0.000 4
所以E(X)=0×0.962+1×0.037 6+2×0.000 4=0.038 4.
变式题 解:(1)设事件Ai=“奖品在第i号箱子里(i=1,2,3)”,事件B=“主持人打开3号箱”,由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×1+×0=.
(2)P(A1|B)==
=,P(A2|B)===,
因为P(A1|B)
所以建议抽奖人改选2号箱.第65讲 全概率公式及应用
1.A [解析] 因为P(A)=P(),P(A)+P()=1,所以P(A)=P()=0.5,因为P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×P(B|A)+0.5×0.4=0.3,所以P(B|A)=0.2.故选A.
2.D [解析] 用事件A表示“抽中第一批”,事件B表示“抽中合格品”,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=0.6×(1-0.05)+0.4×(1-0.04)=0.57+0.384=0.954.故选D.
3.B [解析] 设事件A为“第一次摸出的球是白球”,事件B为“第二次摸出的球是黄球”,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=+=.故选B.
4.A [解析] 设事件A1=“该汽车是货车”,事件A2=“该汽车是客车”,事件B=“一辆汽车中途停车修理”,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),故该汽车是货车的概率为P(A1|B)=
==
=0.8.故选A.
5.D [解析] 设第一天他俩结伴回家的概率为p,则由全概率公式可得0.5p+0.6(1-p)=1-0.46,即-0.1p+0.6=0.54,解得p=0.6.故选D.
6.0.74 [解析] 因为P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,P(B|)=0.3,所以P()=0.6,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.4×0.2+0.6×0.3=0.26,所以P()=1-P(B)=1-0.26=0.74.
7. [解析] 设事件A为“抽到的学生来自高三(1)班”,事件B为“抽到的学生来自高三(2)班”,事件C为“抽到的学生参加数学兴趣社团”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)==,P(C|B)==,由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=,由乘法公式得P(AC)=P(A)P(C|A)=×=,由条件概率公式得P(A|C)===.
8.A [解析] 由题可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=,P(A2)=,P(B|A2)==,则P(A2|B)====.故选A.
9.C [解析] 记事件D为“选取的这个人患流感”,事件E为“此人选自A地区”,事件F为“此人选自B地区”,事件G为“此人选自C地区”,则由题意可得P(E)==0.25,P(F)==0.35,P(G)==0.4,P(D|E)=0.06,P(D|F)=0.05,P(D|G)=0.04.由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.25×0.06+0.35×0.05+0.4×0.04=0.048 5,故A错误;P(E)==0.25,P(D|E)=0.06,则此人选自A地区且患流感的概率为P(E)·P(D|E)=0.25×0.06=0.015,故B错误;由贝叶斯公式可得P(E|D)===,故C正确;从这三个地区任意选取1人,此人患流感的概率为0.048 5,任意选取100人,设这100人中患流感的人数为X,则X~B(100,0.048 5),所以E(X)=100×0.048 5=4.85,故D错误.故选C.
10.ABC [解析] 设事件A为“李明与甲组选手比赛”,事件B为“李明与乙组选手比赛”,事件C为“李明获胜”,则由题可知P(A)=,P(B)=.对于A,李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)=P(A)P(C|A)=×0.6=,故A正确;对于B,李明获胜的概率为P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×0.6+×0.5=,故B正确;对于C,若李明获胜,则对手来自甲组的概率为P(A|C)===,故C正确;对于D,若李明获胜,则对手来自乙组的概率为P(B|C)====,故D错误.故选ABC.
11.CD [解析] 对于A,第一次投篮的人是甲的概率为=,故A错误;对于C,设A,B分别表示“第一次投篮的人是甲”和“第二次投篮的人是乙”,则P(A|B)==
=
=,故C正确;对于B,D,用An表示“第n次投篮的人是甲”,则当n≥2时,an=P(An)=P(An|An-1)P(An-1)+P(An|)P()=an-1+(1-an-1)=-an-1,故a1=,an=-an-1(n≥2),则a2=,a3=,6an+an-1=3(n≥2),所以第三次投篮的人是乙的概率为1-=,故B错误,D正确.故选CD.
12.3 [解析] 记A1,A2,A3分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子,则A1,A2,A3互斥,所以P(A)=P(A1)P(A|A1)+P(A2)P(A|A2)+P(A3)P(A|A3)=×+×+×=≥,解得x≥3,故整数x的最小值为3.
13. [解析] 设粒子从i号仓出发最终从1号仓到达容器外的概率为Pi,则得P1=.
14.解:(1)记事件A表示“球取自甲箱”,事件表示“球取自乙箱”,事件B表示“取得黑球”,则P(A)=P()=,P(B|A)==,P(B|)=,
由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
(2)该球取自乙箱的可能性更大,理由如下:该球取自甲箱的概率P(A|B)===,该球取自乙箱的概率P(|B)===,
因为P(A|B)15.解:(1)用事件A1表示“第一回合该运动员赢球”,事件A2表示“第二回合该运动员赢球”,事件B表示“第二回合比赛有运动员得分”,
由已知得P(A1)=,P(A2)=,P()=,P()=,P(B|A1)=P(A2),P(B|)=P(),则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P()P(B|)=P(A1)P(A2)+P()P()=×+×=,即第二回合比赛有运动员得分的概率为.
(2)设运动员甲先发球,记事件Mi表示第i回合运动员甲赢球,记事件M表示运动员甲先得第一分,则M=M1∪(M2M3)∪(M2M4M5)∪…,
则P(M)=+++…,
所以P(M)>,即第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于,
则比赛双方运动员实力相当的情况下,先发球者更大概率占据心理上的优势,所以旧制不合理.第65讲 全概率公式及应用
【课标要求】 1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
2.了解贝叶斯公式.
1.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),该公式为全概率公式.
2.*贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.
常用结论
(1)最简单的全概率公式:一般地,如果样本空间为Ω,A,B为事件,那么BA,B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,从而P(B)=P(BA)+P(B).当P(A)>0,且P()>0时,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
(2)最简单的贝叶斯公式:一般地,当00时,有P(A|B)==.
题组一 常识题
1.[教材改编] 学校食堂分设有一、二餐厅,学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐,根据统计:第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为 .
2.[教材改编] 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现,每天生产线启动时,初始状态良好的概率为80%.当生产线初始状态良好时,第一件产品合格的概率为95%;否则,第一件产品合格的概率为60%.某天生产线启动时,生产出的第一件产品是合格品,则当天生产线初始状态良好的概率为 (精确到0.1%).
题组二 常错题
◆索引:不理解全概率公式与贝叶斯公式,混淆公式中的概率的意义.
3.某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读,第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.已知在第一天去2楼的条件下第二天还去2楼阅读的概率为0.7,在第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为0.8,则该同学第二天去3楼阅读的概率为 .
4.若10张彩票中有2张有奖,两位顾客按照先后顺序各抽一张,则第二位顾客中奖的概率为 .
5.用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病.在患有此种疾病的人群中,通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应.某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率是 .(精确到0.001)
全概率公式的直接计算
例1 (1)设A,B为两个事件,已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(B|)=0.2,则P(B|A)= ( )
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
(2)[2024·郑州模拟] 已知0A. B. C. D.
总结反思
与全概率公式有关的直接计算问题,根据已知条件准确确定出公式中涉及的各个概率值,直接代入公式求解,或建立方程(组)求解.
变式题 (1)已知P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)= .
(2)某射手射击三次,记事件Ai=“第i次命中目标”(i=1,2,3),P(A1)=,=3,P(Ai+1|)=(i=1,2),则P(A3)= .
全概率公式的简单应用
例2 (1)[2024·广东江门模拟] 已知甲盒中有4个白球,1个红球,乙盒中有4个白球,2个红球,这些球除颜色外完全相同.先从甲盒中任取2个球放入乙盒,再从乙盒中任取1个球,则从乙盒中取出的是红球的概率为 .
(2)[2024·内蒙古包头三模] 设某工厂购进10盒同样规格的零部件,已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、3盒、3盒.若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一个零部件,则取得的零部件是次品的概率为 ( )
A.0.08 B.0.075
C.0.07 D.0.06
总结反思
两个事件的全概率问题求解策略及步骤:
(1)拆分:将样本空间拆成互斥的两部分,如A1,A2(或A,).
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
变式题 (1)在数字通信中,信号由数字0和1组成.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.若发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为 ( )
A.0.475 B.0.525
C.0.425 D.0.575
(2)某病毒会造成“持续的人传人”,即存在A传B,B又传C,C又传D的传染现象,那么A,B,C就被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8,0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会,参加宴会的人中有4名第一代传播者,2名第二代传播者,2名第三代传播者,若小明参加宴会仅和感染的8个人中的一个有所接触,则小明被感染的概率为 .
贝叶斯公式
例3 (1)[2024·江苏宿迁一模] 人工智能领域大量用到了贝叶斯公式:P(A|B)=.AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有98%的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”,则该视频是“AI”合成的可能性约为 ( )
A.0.1% B.0.4%
C.2.4% D.4%
(2)一种产品由甲、乙、丙三家工厂供应,由长期的经验知,甲、乙、丙三家工厂的正品率分别为0.95,0.9,0.8,甲、乙、丙三家工厂的产品数所占比例为2∶3∶5.现取到一件产品为正品,则它是由甲、乙、丙三家工厂中 (填“甲”或“乙”或“丙”)厂生产的可能性最大.
总结反思
把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An看作该过程的若干个原因,若已知事件B已经发生,要求此时是由第i(i=1,2,…,n)个原因引起的概率,则用贝叶斯公式求解.
变式题 (1)某货车为某书店运送10箱书籍,其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书,到达目的地时发现丢失1箱,但不知丢失的是哪1箱.现从剩下的9箱中随机打开2箱,结果是1箱语文书、1箱数学书,则丢失的一箱是英语书的概率为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2024·大连模拟] 越来越多的人喜欢参加户外极限运动,据调查数据显示,A,B两个地区分别有3%,8%的人参加户外极限运动,两个地区的总人口数的比为2∶3.若从这两个地区中任意选取一人,则此人参加户外极限运动的概率为p1,若此人参加户外极限运动,则此人来自A地区的概率为p2,那么 ( )
A.p1=,p2= B.p1=,p2=
C.p1=,p2= D.p1=,p2=
全概率公式的拓展应用
例4 [2024·宿迁三模] 某批零件一级品的比例为80%,其余均为二级品.使用一级品零件时肯定不会发生故障,而在使用二级品零件时发生故障的概率为0.1.某项任务需要使用该零件n次(若使用期间出现故障则下一次换一件使用).
(1)某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下,求该零件为一级品的概率;
(2)当n=2时,求发生故障次数X的分布列及数学期望.
总结反思
全概率公式在一些更加复杂的问题中,可以描述动态的概率过程,有着明显的“工具性”,要能够在实际问题中建立应用全概率公式的基本意识,便于掌握好统计和概率.
变式题 在一个抽奖游戏中,主持人在编号分别为1,2,3的空箱(外观相同)中随机选择一个箱子放入奖品,并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是:抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个,在开箱之前,主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子(若此时两个箱子都是空的,则从中随机选取一个),并给抽奖人第二次选择箱子的机会,然后,主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.若奖品在打开的箱子里,则奖品由抽奖人获得;否则,抽奖人未获得奖品.已知抽奖人第一次选择了1号箱.
(1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率.
(2)若主持人打开的空箱子是3号箱,请问抽奖人是坚持选择1号箱,还是改选2号箱 请你给出建议,并说明理由.
第65讲 全概率公式及应用
(时间:45分钟)
1.已知事件A,B满足P(A)=P(),P(B)=0.3,P(B|)=0.4,则P(B|A)= ( )
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.5
2.[2024·贵州贵阳二模] 某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎,第一批占60%,次品率为5%;第二批占40%,次品率为4%.现从仓库中任抽取1个轮胎,则这个轮胎是合格品的概率是 ( )
A.0.046 B.0.90
C.0.952 D.0.954
3.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球,第一次从中随机摸出一个球,观察其颜色后放回,同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球,第二次再从中随机摸出一个球,则此次摸出的是黄球的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车、客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,今有一辆汽车中途停车修理(该汽车只可能是货车或客车),则该汽车是货车的概率为 ( )
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.3
5.甲、乙是同班同学,他们的家之间的距离很近,放学之后经常结伴回家,有时也单独回家.如果第一天他俩结伴回家,那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5;如果第一天他俩单独回家,那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6.已知第二天他俩单独回家的概率为0.46,则第一天他俩结伴回家的概率为 ( )
A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.6
6.已知P(A)=0.4,P(B|A)=0.2,P(B|)=0.3,则P()= .
7.某校高三(1)班和(2)班各有40名同学,其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人,现从这两个班中随机抽取一名同学,若抽到的是参加数学兴趣社团的学生,则他来自高三(1)班的概率是 .
8.[2024·邯郸模拟] 甲口袋中有3个红球和2个白球,乙口袋中有4个红球和3个白球,先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋,分别用事件A1,A2表示从甲口袋取出的球是红球、白球;再从乙口袋中随机取出1个球,用事件B表示从乙口袋取出的球是红球,则P(A2|B)= ( )
A. B. C. D.
9.已知地区A,B,C分别有6%,5%,4%的人患了流感,且这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一人,则下列说法正确的是 ( )
A.这个人患流感的概率为0.15
B.此人选自A地区且患流感的概率为0.375
C.若此人患流感,则此人选自A地区的概率为
D.若从这三个地区共任意选取100人,则这100人中患流感的人数约为4
10.(多选题)[2024·广东佛山模拟] 中国象棋是一种益智游戏,也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛,李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中,甲、乙两组的人数之比为2∶1,李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛,下列说法正确的是 ( )
A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B.李明获胜的概率为
C.若李明获胜,则对手来自甲组的概率为
D.若李明获胜,则对手来自乙组的概率为
11.(多选题)[2024·河北邢台二模] 为加强学生体质健康,某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏,每次由其中一人投篮,规则如下:若投中,则继续投篮,若未投中,则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为,由掷两枚质地均匀硬币的方式确定第一次投篮的人选(一正一反向上是甲投篮,同正或同反向上是乙投篮),以下选项正确的是 ( )
A.第一次投篮的人是甲的概率为
B.第三次投篮的人是乙的概率为
C.已知第二次投篮的人是乙的情况下,第一次投篮的人是甲的概率为
D.设第n次投篮的人是甲的概率为an,则6an+an-1=3(n≥2,n∈N*)
12.若甲筐中有5个苹果,3个梨子,2个橙子,乙筐中有x个苹果、1个梨子、2个橙子,现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐,再从乙筐中随机取出一个水果,记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A,若P(A)≥,则整数x的最小值为 .
13.[2024·武汉调研] “布朗运动”是指微小颗粒永不停息地无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 .
14.现有完全相同的甲、乙两个箱子(如图),其中甲箱装有2个黑球和4个白球,乙箱装有2个黑球和3个白球,这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子,再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率;
(2)若已知摸出的球是黑球,请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
15.[2024·上海奉贤区三模] 在杭州亚运会上,中国羽毛球队延续了传统优势项目,以4金3银2铜的成绩傲视亚洲.在旧制的羽毛球赛中,只有发球方赢得这一球才可以得分,即若发球方在此回合的争夺中输球,则双方均不得分.但发球方输掉此回合后,下一回合改为对方发球.
(1)在旧制羽毛球赛中,某运动员每一回合比赛赢球的概率均为,且各回合相互独立.若第一回合该运动员发球,求第二回合比赛有运动员得分的概率.
(2)羽毛球比赛中,先获得第一分的运动员往往会占据心理上的优势,给出以下假设:
假设1:各回合比赛相互独立;
假设2:比赛双方运动员甲和乙的实力相当,即每回合比赛中甲获胜的概率均为.
求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率,并说明旧制是否合理 (共88张PPT)
第65讲 全概率公式及应用
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.
2.了解贝叶斯公式.
1.全概率公式
一般地，设,, ,是一组两两互斥的事件，
，且,,2, ,，则对任意的事
件 ，有，该公式为全概率公式.
◆ 知识聚焦 ◆
2.贝叶斯公式
设,, ,是一组两两互斥的事件， ，且
,,2, ,，则对任意的事件 ，，有
，,2, ,.
常用结论
（1）最简单的全概率公式：一般地，如果样本空间为 ，,为事
件，那么,是互斥的，且，从而
当，且时，
.
（2）最简单的贝叶斯公式：一般地，当且时，
有.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机
选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选
择一餐厅就餐的概率为 ，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐
厅就餐的概率为 ，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为
_____.
0.65
◆ 对点演练 ◆
[解析] 设为“第一天选择一餐厅就餐”， 为“第一天选择二餐厅就
餐”，为“第二天选择一餐厅就餐”，则 ,
,,
由全概率公式可知 .
2.［教材改编］ 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，
每天生产线启动时，初始状态良好的概率为 .当生产线初始状态
良好时，第一件产品合格的概率为 ；否则，第一件产品合格的
概率为 .某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则
当天生产线初始状态良好的概率为_______（精确到 ）.
[解析] 用表示生产线初始状态良好， 表示第一件产品为合格品，
则，，，
所以
.
题组二 常错题
◆ 索引：不理解全概率公式与贝叶斯公式，混淆公式中的概率的意义.
3.某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读，第一
天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.已知在
第一天去2楼的条件下第二天还去2楼阅读的概率为 ，在第一天去
3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为 ，则该同学第二天去3楼
阅读的概率为_____.
0.25
[解析] 设事件“第天去2楼阅读”，事件“第 天去3楼阅读”，
,2，则， ，
，
所以
.
4.若10张彩票中有2张有奖，两位顾客按照先后顺序各抽一张，则第
二位顾客中奖的概率为__.
[解析] 分为第一位顾客中奖和没中奖两种情况，
所以第二位顾客中奖的概率为 .
5.用一项血液化验来鉴别某人是否患有一种疾病.在患有此种疾病的
人群中，通过化验有 的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也
会有的人呈阳性反应.某地区此种病的患者仅占人口的 .若某
人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率是______.
（精确到 ）
0.323
[解析] 设事件“呈阳性反应”，事件 “患有此种疾病”，
则 ，
所以 ，
则化验结果为阳性，此人确实患有此病的概率约为0.323.
探究点一 全概率公式的直接计算
例1
（1）设,为两个事件,已知,, ,
则 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
[解析] 因为,所以 ,所以
,
解得 .故选B.
√
［思路点拨］ 根据全概率公式计算即可得解.
（2）[2024·郑州模拟]已知，， ，
若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得 ，
，所以
，
解得 .故选B.
√
[总结反思]
与全概率公式有关的直接计算问题，根据已知条件准确确定出公式
中涉及的各个概率值，直接代入公式求解，或建立方程（组）求解.
变式题（1）已知,,,则 __.
[解析] 因为,所以 ,由全概率公式得
.
（2）某射手射击三次，记事件“第次命中目标” ，
，，，则 ____.
[解析] 由题意得， ，则
，则
，
又，所以 .
探究点二 全概率公式的简单应用
例2（1）[2024·广东江门模拟] 已知甲盒中有4个白球，1个红球，乙
盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.先从甲盒中任
取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，则从乙盒中取出的是红
球的概率为___.
［思路点拨］分别考虑从甲盒中取出两个白球和一白一红的情况，
利用全概率公式计算即可.
[解析] 记“从乙盒中取出的是红球”为事件 ，“从甲盒中任取2个球”
为事件，事件为“从甲盒中任取2个球均为白球”，事件 为“从甲
盒中任取2个球为一白一红”，，且, 互斥，
所以
.
（2）[2024·内蒙古包头三模]设某工厂购进10盒同样规格的零部件，
已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、3盒、3盒.若甲、乙、
丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，， ，现从这10盒
中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品
的概率为( )
A.0.08 B.0.075 C.0.07 D.0.06
［思路点拨］任取一个零部件，来源有甲、乙、丙三种可能，
考虑来自各厂的概率，利用全概率公式求解.
√
[解析] 根据题意，设任取一个零部件，来自甲、乙、丙三厂的事件
分别为,,，设任取一个零部件为次品为事件，则 ,
,，,,，
所以 ，故选C.
[总结反思]
两个事件的全概率问题求解策略及步骤：
（1）拆分：将样本空间拆成互斥的两部分，如,（或,）.
（2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
（3）求和：所求事件的概率.
变式题（1）在数字通信中，信号由数字0和1组成.由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，
接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概
率分别为0.95和0.05.若发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1
的概率为( )
A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.575
√
[解析] 设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，则 “发送
的信号为1”，“接收的信号为1”，则， ，
，，， ，
所以接收的信号为0的概率
，
所以接收的信号为1的概率 .
故选B.
（2）某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传， 又传
的传染现象，那么,, 就被称为第一代、第二代、第三代传播者.
假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概
率分别为,, .已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会
的人中有4名第一代传播者，2名第二代传播者，2名第三代传播者，
若小明参加宴会仅和感染的8个人中的一个有所接触，则小明被感染
的概率为______.
0.825
[解析] 设事件“小明与第一代传播者接触”，事件 “小明与第
二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件
“小明被感染”，则,, ，
,,，
所以 ，所以所求概率为0.825.
探究点三 贝叶斯公式
例3（1）[2024·江苏宿迁一模]人工智能领域大量用到了贝叶斯公
式： 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站
利用该技术掺入了一些“”视频，“ ”视频占有率为0.001.某团队决
定用对抗 ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术
的准确率是，即在该视频是伪造的情况下，它有 的可能鉴
定为“”；它的误报率是 ，即在该视频是真实的情况下，它有
的可能鉴定为“”.已知某个视频被鉴定为“”，则该视频是“ ”
合成的可能性约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记“视频是‘’合成的”为事件，记“鉴定结果为‘’”为事件 ，
则,,, ，
由贝叶斯公式得
，故选C.
［思路点拨］根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.
（2）一种产品由甲、乙、丙三家工厂供应，由长期的经验知，甲、
乙、丙三家工厂的正品率分别为,, ，甲、乙、丙三家工厂
的产品数所占比例为 5.现取到一件产品为正品，则它是由甲、乙、
丙三家工厂中____（填“甲”或“乙”或“丙”）厂生产的可能性最大.
丙
［思路点拨］利用全概率公式求得取到一件产品为正品的概率，
再根据贝叶斯公式求解.
[解析] 取到一件产品为正品的概率为
，
则它是由甲厂生产的概率为，
它是由乙厂生产的概率为 ，
它是由丙厂生产的概率为，
因为 ，所以它是由丙厂生产的概率最大.
[总结反思]
把事件看作某一过程的结果，把,, ,看作该过程的若干个
原因，若已知事件已经发生，要求此时是由第个原
因引起的概率，则用贝叶斯公式求解.
变式题（1）某货车为某书店运送10箱书籍，其中5箱语文书、3箱数
学书、2箱英语书，到达目的地时发现丢失1箱，但不知丢失的是哪1
箱.现从剩下的9箱中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，
则丢失的一箱是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记事件 为“从剩下的9箱中随机打开2箱，结果是1箱语文书、
1箱数学书”，记事件为“丢失的一箱是语文书”，事件 为“丢失的
一箱是数学书”，事件 为“丢失的一箱是英语书”，则
，
由贝叶斯公式可得 .故选B.
（2）[2024·大连模拟]越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查
数据显示，,两个地区分别有, 的人参加户外极限运动，两个
地区的总人口数的比为 .若从这两个地区中任意选取一人，则此
人参加户外极限运动的概率为 ,若此人参加户外极限运动，则此人
来自地区的概率为 ，那么( )
A.， B.，
C., D.,
√
[解析] 设事件“此人参加户外极限运动”，事件“此人来自 地
区”，事件“此人来自地区”.
依题意，, , ,,
则 ，
.故选D.
探究点四 全概率公式的拓展应用
例4 [2024·宿迁三模] 某批零件一级品的比例为 ，其余均为二级
品．使用一级品零件时肯定不会发生故障，而在使用二级品零件时
发生故障的概率为0.1．某项任务需要使用该零件 次（若使用期间
出现故障则下一次换一件使用）．
（1）某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一
级品的概率；
［思路点拨］记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，事件
“使用零件次，没有发生故障”，利用全概率公式求出 ，
再由条件概率公式计算即可得解；
解：记事件“从这批产品中任取一件为一级品”，
则 ，,
记事件“使用零件 次，没有发生故障”，
则,，则 ，
所以 ．
（2）当时，求发生故障次数 的分布列及数学期望．
［思路点拨］依题意 的所有可能取值为0，1，2，求出所对应的概
率，即可得到 的分布列与数学期望.
解：依题意 的所有可能取值为0，1，2．
，
,
,
所以 的分布列为
0 1 2
0.962
所以 ．
[总结反思]
全概率公式在一些更加复杂的问题中，可以描述动态的概率过程，
有着明显的“工具性”，要能够在实际问题中建立应用全概率公式的
基本意识，便于掌握好统计和概率.
变式题 在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为1,2,3的空箱
（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持
人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：抽奖人有两次选择箱子的机
会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开
另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中
随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持
人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.若奖品在打开的箱子里，则奖
品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.已知抽奖人第一次选择
了1号箱.
（1）求主持人打开的空箱子是3号箱的概率.
解：设事件“奖品在第号箱子里”，
事件 “主持人打开3号箱”，由全概率公式，得
.
（2）若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，
还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由.
解： ，
，
因为 ，所以建议抽奖人改选2号箱.
【备选理由】例1考查全概率公式的直接计算，体现方程思想的应用；
例1 ［配例1使用］ 设， 是一个随机试验中的两个事件，且
，， ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为，，，所以 ，
，，又 ，
所以，解得 ，
故A错误；
由，可得 ，故B错误；
，故C正确；
，则 ，故D错误.故选C.
例2 ［配例4使用］ [2023·昆明模拟] 随机化回答技术是为调查敏感
性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查
的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回
答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获
得所需要的真实信息.某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决
定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案
是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工
每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一
次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”.
【备选理由】例2考查全概率公式的拓展应用;
①若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例为 ，用频
率估计概率，则该公司员工对新考勤管理方案的满意率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其中结果为一次正面朝上
一次反面朝上”为事件，则， .
设“回答①且画”为事件，则，
则 .
设“回答②且画”为事件，则 ，
所以该公司员工对新考勤管理方案的满意率为 .故选C.
例3 ［配例2、例3使用］ 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以
发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元 所
用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用
于 中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱
子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，
乙箱中有4个红球、1个白球.
【备选理由】例3考查全概率公式和贝叶斯公式的简单应用,
考查逻辑思维能力.
（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球
都是红球的概率；
解：用事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件 表示“两个球都是
红球”，则,，
故 .
（2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于或等于4，从甲箱子中
随机抽出1个球；如果点数大于或等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.
求抽到的球是红球的概率；
解：用事件表示“从乙箱中抽球”，则事件 表示“从甲箱中抽球”，
事件 表示“抽到红球”，则,,
, ，
所以 .
（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.
解：在（2）的条件下 .
作业手册
1.已知事件，满足，， ，则
( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
[解析] 因为， ，
所以，
因为，所以 .故选A.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024·贵州贵阳二模]某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第
一批占，次品率为；第二批占，次品率为 .现从仓库
中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是( )
A.0.046 B.0.90 C.0.952 D.0.954
[解析] 用事件表示“抽中第一批”，事件 表示“抽中合格品”，则
.故选D.
√
3.在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次
从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与
所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出
的是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 设事件为“第一次摸出的球是白球”，
事件 为“第二次摸出的球是黄球”，则
.
故选B.
√
4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 ，货车、客车中途
停车修理的概率分别为， ，今有一辆汽车中途停车修理
（该汽车只可能是货车或客车），则该汽车是货车的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3
√
[解析] 设事件“该汽车是货车”，事件 “该汽车是客车”，
事件“一辆汽车中途停车修理”，则， ，
， ，
则 ，故该汽车是货车的概率为
.
故选A.
5.甲、乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴
回家，有时也单独回家.如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩
结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩
结伴回家的概率为0.6.已知第二天他俩单独回家的概率为 ，则第
一天他俩结伴回家的概率为( )
A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.6
[解析] 设第一天他俩结伴回家的概率为 ,则由全概率公式可得
,即,解得 .
故选D.
√
6.已知,,，则 _____.
0.74
[解析] 因为，， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
7.某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团
的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽
到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是__.
[解析] 设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件 为“抽到的
学生来自高三（2）班”，事件 为“抽到的学生参加数学兴趣社团”，
则，，， ，
由全概率公式得 ，
由乘法公式得 ，
由条件概率公式得 .
8.[2024·邯郸模拟]甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有4个红
球和3个白球，先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，分别用事
件, 表示从甲口袋取出的球是红球、白球；再从乙口袋中随机取
出1个球，用事件表示从乙口袋取出的球是红球，则
( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由题可知
,
, ,
则 .故选A.
9.已知地区，，分别有，， 的人患了流感，且这三个
地区的人口数的比为 ，现从这三个地区中任意选取一人，则下
列说法正确的是( )
A.这个人患流感的概率为0.15
B.此人选自 地区且患流感的概率为0.375
C.若此人患流感，则此人选自地区的概率为
D.若从这三个地区共任意选取100人，则这100人中患流感的人数约
为4
√
[解析] 记事件为“选取的这个人患流感”，事件为“此人选自 地
区”，事件为“此人选自地区”，事件为“此人选自 地区”，则由
题意可得，， ，
，，.
由全概率公式可得 ，
故A错误；
，，则此人选自 地区且患流感的概
率为 ，故B错误；
由贝叶斯公式可得 ，故C正确；
从这三个地区任意选取1人，此人患流感的概率为 ，任意选取100人，设这100人中患流感的人数为，则 ，所以 ，故D错误.故选C.
10.（多选题）[2024·广东佛山模拟] 中国象棋是一种益智游戏，也体
现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参
加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为 ，李明与
甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为， .从甲、乙两组参赛选
手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是 ( )
A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B.李明获胜的概率为
C.若李明获胜，则对手来自甲组的概率为
D.若李明获胜，则对手来自乙组的概率为
√
√
√
[解析] 设事件为“李明与甲组选手比赛”，事件 为“李明与乙组选
手比赛”，事件为“李明获胜”，则由题可知, .
对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
，故A正确；
对于B，李明获胜的概率为
，故B正确；
对于C，若李明获胜，则对手来自甲组的概率为
，故C正确；
对于D，若李明获胜，则对手来自乙组的概率为
，故D错误.故选 .
11.（多选题）[2024·河北邢台二模] 为加强学生体质健康，某中学积
极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每
次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，
则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中
率均为 ，由掷两枚质地均匀硬币的方式确定第一次投篮的人选
（一正一反向上是甲投篮，同正或同反向上是乙投篮），以下选项
正确的是( )
A.第一次投篮的人是甲的概率为
B.第三次投篮的人是乙的概率为
C.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率
为
D.设第次投篮的人是甲的概率为 ，则
√
√
[解析] 对于A，第一次投篮的人是甲的概率为 ，故A错误；
对于C，设, 分别表示“第一次投篮的人是甲”和“第二次投篮的
人是乙”，则
，故C正确；
对于B，D，用 表示“第次投篮的人是甲”，则当 时，，故， ，则
，， ，所以第三次投篮的人是
乙的概率为,故B错误，D正确.故选 .
12.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有 个苹果、1
个梨子、2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙
筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件 ，
若，则整数 的最小值为___.
3
[解析] 记，， 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、
梨子、橙子，则，， 互斥，
所以
，
解得，故整数 的最小值为3.
13.[2024·武汉调研] “布朗运动”是指微小颗粒永不停息地无规则随机
运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布
朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者
容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试
验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号
仓到达容器外的概率为___.
[解析] 设粒子从号仓出发最终从1号仓到达容器外的概率为 ，则
得 .
14.现有完全相同的甲、乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球
和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.
某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.
（1）求摸出的球是黑球的概率；
解：记事件表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件 表
示“取得黑球”，则，， ，
由全概率公式得
.
（2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子
的可能性更大.
解：该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球取自甲箱的概率 ，
该球取自乙箱的概率 ，
因为 ，所以该球取自乙箱的可能性更大.
15.[2024·上海奉贤区三模] 在杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传
统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲.在旧制的羽毛球赛中，只
有发球方赢得这一球才可以得分，即若发球方在此回合的争夺中输球，
则双方均不得分.但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球.
◆ 能力拓展 ◆
（1）在旧制羽毛球赛中，某运动员每一回合比赛赢球的概率均为 ，
且各回合相互独立.若第一回合该运动员发球，求第二回合比赛有运
动员得分的概率.
解：用事件表示“第一回合该运动员赢球”，事件 表示“第二回合
该运动员赢球”，事件 表示“第二回合比赛有运动员得分”，
由已知得,,, ，
,，
则 ，
即第二回合比赛有运动员得分的概率为 .
（2）羽毛球比赛中，先获得第一分的运动员往往会占据心理上的优
势，给出以下假设：
假设1：各回合比赛相互独立；
假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜
的概率均为 .
求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是
否合理？
解：设运动员甲先发球，记事件表示第 回合运动员甲赢球，
记事件 表示运动员甲先得第一分，
则 ，
则 ，
所以 ，即第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率
大于 ，则比赛双方运动员实力相当的情况下，
先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理.
【对点演练】1.0.65 2.86.4% 3.0.25 4. 5.0.323
课堂考点探究
例1 (1)B (2)B 变式题 (1) (2)
例2 (1) (2)C 变式题 (1)B (2)0.825
例3 (1)C (2)丙 变式题 (1)B (2)D
例4 (1) (2)X的分布列为 E(X)=0.038 4
变式题 (1) (2)建议抽奖人改选2号箱
教师备用习题
例1 C 例2 C 例3 (1) (2) (3)
X 0 1 2
P 0.962 0.037 6 0.000 4
基础热身
1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.0.74 7.
综合提升
8.A 9.C 10.ABC 11. CD 12. 3 13.
14. (1) (2)该球取自乙箱的可能性更大
能力拓展
15. (1) (2)旧制不合理