增分微课9 利用数列递推关系解决概率问题
例1 解:(1)记该顾客第i(i∈N*)次摸球抽中奖品为事件Ai.依题意知P1=,P2=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.当n≥2时,P(An|An-1)=,P(An|)=,Pn=P(An),且P(An)=P(An-1)P(An|An-1)+P()P(An|),即Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+(n≥2),所以Pn-=-(n≥2),又因为P1-=-,所以数列是首项为-,公比为-的等比数列,
所以Pn=-.
(2)当n为奇数时,Pn=-<.当n为偶数时,Pn=+,此时Pn随着n的增大而减小,所以Pn≤P2=.综上,该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
变式题 解:(1)依题意,每一个顶点有3个相邻的顶点,其中两个在同一底面,所以当点Q在下底面时,随机移动一次仍在下底面的概率为,当点Q在上底面时,随机移动一次回到下底面的概率为,所以P1=,P2=×+×=.
(2)Pn+1=Pn+(1-Pn)=Pn+,所以Pn+1-=Pn-=,又因为P1=,所以P1-=-=≠0,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以Pn-=×=,则Pn=+,若Pn>,则+>,所以3n<1012,又36=729,37=2187,n∈N*,所以n≤6,故n的最大值为6.
例2 解:(1)“跳子”开始在第1格为必然事件,则P1=1;第一次掷硬币出现反面,“跳子”前进到第2格,其概率为,即P2=;第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面,“跳子”前进到第3格,其概率为+×=,即P3=.
(2)(i)证明:由(1)知,P1=1,P2=.“跳子”前进到第n(3≤n≤9)格的情况是下面两种,而且只有两种:
①“跳子”先到第n-2格,掷硬币掷出正面,其概率为Pn-2;
②“跳子”先到第n-1格,掷硬币掷出反面,其概率为Pn-1.∴Pn=Pn-2+Pn-1,则Pn-=- (Pn-1-Pn-2),又P2-P1=-≠0,∴数列{Pn-Pn-1}(2≤n≤9)是以-为首项,-为公比的等比数列.
(ii)由(i)得,Pn-Pn-1=(2≤n≤9),∴Pn=(Pn-Pn-1)+(Pn-1-Pn-2)+…+(P2-P1)+P1=++…++1==(2≤n≤9),∴P8=×=,
∴P10=P8=.
变式题 解:(1)甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分,记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为P'(0),P'(1),P'(2),则P'(0)=,P'(1)=×=,P'(2)=×=.经过4轮游戏,甲的累计积分为4分的所有可能情况如下:4轮中甲掷2轮,且每轮积分均为2分;甲掷3轮,且3轮的积分情况为2,1,1;甲掷4轮,且每轮积分均为1分.所以经过4轮游戏,甲的累计积分为4分的概率P=××+×××+×=.
(2)(i)证明:记“累计积分之和为n+2”为事件An+2,“累计积分之和为n+1”为事件An+1,“累计积分之和为n”为事件An,
则P(n+2)=P(An)P(An+2|An)+P(An+1)P(An+2|An+1)=P(n)+P(n+1),则P(n+2)-P(n+1)=-[P(n+1)-P(n)],又P(1)=,P(2)=+×=,P(2)-P(1)=≠0,所以{P(n+1)-P(n)}是首项为,公比为-的等比数列.
(ii)由(i)得,当n≥2时,P(n)-P(n-1)=×=,P(n-1)-P(n-2)=,…,P(2)-P(1)=,累加得P(n)-P(1)=++…+=,因此P(n)=(n≥2),当n≥5且 n为奇数时,P(n)=是递增的,且P(n)<,当n≥5且n为偶数时,P(n)=是递减的,且P(n)>,则当n=6时,P(n)最大,所以甲选择6分对自己最有利.
例3 解:(1)由题知,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)=1×+2×+3×=.
(2)证明:不妨令绳头编号为1,2,3,4,…,2n,其中1,2是同一根绳子的两个绳头,若这n根绳子打结后恰好能围成一个圈,则与绳头1打结的绳头有(2n-2)种可能,假设绳头1与绳头3打结,那么相当于对剩下(n-1)根绳子进行打结.设n(n∈N*)根绳子打结后可围成一个圈的打结方法有an种,经过一次打结后,剩下(n-1)根绳子打结后可围成一个圈的打结方法有an-1种,由此可得,an=(2n-2)an-1,n≥2,所以=2n-2,以此类推得=2n-4,…,=2,所以=(2n-2)×(2n-4)×…×2=2n-1·(n-1)!(n≥2),又a1=1,所以an=2n-1·(n-1)!(n≥2).当n=1时,也满足上式,所以an=2n-1·(n-1)!.
在2n个绳头中任意取2个绳头打结,共有N==
=
(种)打结方法,所以所求概率P===.
变式题 [解析] 从2n张卡片中选取3张卡片的选法共有种,手中这3张卡片中含有2张相同卡片的选法有n(2n-2)种,由古典概型的概率计算公式可得手中这3张卡片中含有2张相同卡片的概率为=.书包中2n张卡片全部被拿走的概率为Pn,将2张相同的卡片拿掉以后,相当于从n-1对卡片中已拿出一张卡片,事件“书包中2n张卡片全部被拿走”发生需保证事件“书包中2n-2张卡片全部被拿走”发生,且书包中2n-2张卡片全部被拿走的概率为Pn-1,因而Pn=Pn-1,且P2=1,则P3=P2=,P7=××××=.增分微课9 利用数列递推关系解决概率问题
解决概率问题需要比较强的分析推理能力,对于一些复杂的概率问题,后一步的概率与前一步或前两步有关,通过建立概率的递推关系,利用递推关系式构造数列,这样复杂的概率问题就可以迎刃而解.
类型一 一阶递推数列Pn=aPn-1+b
例1 [2024·山东省实验中学一模] 某品牌女装专卖店设计了摸球抽奖的促销活动,每位顾客每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为;从第二次摸球开始,若前一次没抽中奖品,则这次抽中的概率为,若前一次抽中奖品,则这次抽中的概率为.记该顾客第n(n∈N*)次摸球抽中奖品的概率为Pn.
(1)求P2的值,并探究数列{Pn}的通项公式;
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大,请给出证明过程.
变式题 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次,若质点Q的初始位置位于点A处,记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn.
(1)求P2;
(2)证明数列是等比数列,若Pn>,求n的最大值.
类型二 二阶递推数列
例2 某社团开展了“训练赢吉祥物”活动,游戏规则如下:有一张共10格的长方形格子图,依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第10格,游戏开始时“跳子”在第1格,社团成员每次完成训练后抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面,则“跳子”前进2格(从第k格到第k+2格),若出现反面,则“跳子”前进1格(从第k格到第k+1格)(k为正整数),当“跳子”前进到第9格或者第10格时,游戏结束.“跳子”落在第9格,则每位社团成员可以得到一只A玩偶,“跳子”落在第10格,则每位社团成员可以得到一只B玩偶.记“跳子”前进到第n格(1≤n≤10)的概率为Pn.
(1)求P3.
(2)(i)证明:数列{Pn-Pn-1}(2≤n≤9)是等比数列;
(ii)求社团成员参加一次这样的游戏获得B玩偶的概率.
变式题 [2024·山西晋中三模] 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏,规则如下:每人的初始积分均为0分,掷1枚骰子1次为一轮,在每轮游戏中,从甲、乙两人中随机选一人掷骰子,且两人被选中的概率均为,当骰子朝上的点数不小于3时,掷骰子的人积2分,否则此人积1分,未掷骰子的人本轮均积0分,然后进行下一轮游戏.已知每轮掷骰子的结果相互独立.
(1)求经过4轮游戏,甲的累计积分为4分的概率.
(2)经商议,甲、乙决定修改游戏规则,具体如下:甲、乙轮流掷骰子,谁掷谁积分,第一次由甲掷.当骰子朝上的点数不小于3时,积2分,否则积1分.甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数(含5分和25分),且两人所选的分数不同,当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时,此人赢得游戏.记两人累计积分之和为n的概率为P(n).
(i)证明:{P(n+1)-P(n)}为等比数列.
(ii)甲选哪个分数对自己最有利 请说明理由.
类型三 an+1=anf(n)型
例3 [2024·宁波一模] 现有n(n∈N*)根绳子,共有2n个绳头,将这2n个绳头两两连接,每个绳头只打一次结,且每个结仅含两个绳头,所有绳头打结完毕视为结束.
(1)当n=3时,记随机变量X为绳子围成的圈的个数,求X的分布列与数学期望;
(2)求证:这n根绳子打结后恰好能围成一个圈的概率为.
变式题 一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3,…,n,n”的2n张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片,并且不放回.若他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片,则他将两张卡片都扔掉;若他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走,则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为Pn,则P3= ,P7= . 增分微练9 利用数列递推关系解决概率问题
1.解:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,P(Ai+1)=P(AiAi+1)+
P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+
P(Bi)P(Ai+1|Bi),
即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2,构造等比数列{pi+λ},
设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-,则pi+1-=,
又p1=,p1-=,所以是首项为,公比为的等比数列,
则pi-=×,即pi=×+,即第i次投篮的人是甲的概率为×+.
2.解:(1)设“抽到甲参与传球训练”为事件A,则P(A)==.
(2)设经过n次传球后甲接到球的概率为Pn,则Pn=Pn-1×0+(1-Pn-1)×=-Pn-1(n≥2),即Pn-=-(n≥2),
而P1-=0-=-,所以是首项为-,公比为-的等比数列,则Pn-=-,即Pn=-.
3.解:由题意可得每次叫价增加1元的概率为,每次叫价增加2元的概率为.
设叫价为n元的概率为Pn,叫价出现n(3≤n≤10)元的情况只有下列两种:
①叫价为n-1元,且骰子点数大于2,其概率为;
②叫价为n-2元,且骰子点数小于3,其概率为.
所以Pn=+(n≥3),易得P1=,P2=×+=,因为Pn-=-+=-(-)(n≥3),所以当n≥2时,数列{Pn-}是首项为,公比为-的等比数列,
所以Pn-=×(n≥2),所以P10=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P9-P8)+(P10-P9)=+=+×≈0.75,故甲同学获得该笔记本购买资格的概率约为0.75.
4.解:(1)依题意得,每次抛出游戏币a2落下时正面朝上的概率均为,故X~B,所以E(X)=×10=.
由≥
,
≥
,得≤t≤,
所以当t=2时,P(X=t)最大.
(2)记事件Ai为“第ai枚游戏币向上抛出后,正面朝上”,则P(Ai)=,i=1,2,3,Y的所有可能取值为0,1,2,3,由事件Ai相互独立,得P(Y=0)=P( )=P()P()P()=××=,
P(Y=1)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=××+××+××=××+××+××=,
P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××=×+×+×=,
P(Y=3)=P(A1A2A3)=××=.故Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
(3)不妨假设按照a1,a2,…,an的顺序抛这n枚游戏币.
记抛出游戏币ak后,正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为Pk,k=1,2,…,n,
则Pk=Pk-1·+(1-Pk-1)·=Pk-1-+-=Pk-1+,k≥2,
即Pk=·Pk-1+,k≥2,
即kPk=(k-1)Pk-1+,k≥2.
记bk=kPk,则bk-bk-1=,k≥2,
故数列{bk}是首项为1×P1=,公差为的等差数列,故bk=+(k-1)×=,则kPk=,故Pk=,k=1,2,3,…,n,则Pn=,因此这个游戏规则公平.
5.解:(1)设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为p,则p=××=,
设“家用机器人智能自动检测合格”为事件A,“人工抽检合格”为事件B,
则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)==×=,
即在人工抽检时,工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率为.
(2)设乙箱中有n个球的概率为Pn(1≤n≤10),抽到奇数和偶数的概率都为.
若第一次抽到奇数,家用机器人运1个乒乓球,概率为,即P1=,
若乙箱中有2个球,分两种情况,
所以P2=×+=.
乙箱中有n(3≤n≤9)个球的情况有:
①家用机器人已运(n-2)个球,又抽出偶数,其概率为Pn-2;
②家用机器人已运(n-1)个球,又抽出奇数,其概率为Pn-1.
所以Pn=Pn-2+Pn-1(3≤n≤9),
所以Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)(3≤n≤9),又P2-P1=-=,
所以当2≤n≤9时,数列{Pn-Pn-1}是首项为,公比为-的等比数列,
所以Pn-Pn-1=×=(2≤n≤9),所以P2-P1=,P3-P2=,…,Pn-Pn-1=(2≤n≤9),
上述各式相加得Pn-P1=++…+==×(2≤n≤9),
又P1=,所以Pn=×(2≤n≤9),经检验,当n=1时上式也成立,所以Pn=×(1≤n≤9,n∈N*),
所以P9=×=,即获得“优惠券”的概率为.增分微练9 利用数列递推关系解决概率问题
(时间:45分钟)
1.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率.
2.[2024·广西南宁二模] 某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞,组建了一支女子排球队,其中主攻手2人,副攻手2人,接应手1人,二传手1人,自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练.
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练,先从甲开始,甲传给乙、丙的概率均为,当乙接到球时,乙传给甲、丙的概率分别为,,当丙接到球时,丙传给甲、乙的概率分别为,,假设球一直没有掉地上,求经过n次传球后甲接到球的概率.
3.对于优秀毕业生的笔记本,设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式:统一以0元为初始叫价,通过掷骰子确定新叫价,若点数大于2,则在已叫价格的基础上增加1元更新叫价,若点数小于3,则在已叫价格的基础上增加2元更新叫价,重复上述过程,能叫到10元,即可获得以10元为价格的购买资格,未出现叫价为10元的情况则失去购买资格,并结束叫价.若甲同学已选中了其中一本笔记本,试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
4.[2025·重庆八中模拟] 现有n枚质地不同的游戏币a1,a2,…,an(n>3),向上抛出游戏币am后,落下时正面朝上的概率为(m=1,2,…,n).甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏.
(1)甲将游戏币a2向上抛出10次,用X表示落下时正面朝上的次数,求X的期望E(X),并写出当t为何值时,P(X=t)最大;
(2)甲将游戏币a1,a2,a3向上抛出,用Y表示落下时正面朝上的游戏币的个数,求Y的分布列;
(3)将这n枚游戏币依次向上抛出,规定若落下时正面朝上的个数为奇数,则甲获胜,否则乙获胜,请判断这个游戏规则是否公平,并说明理由.
5.AI机器人,即人工智能机器人,是一种基于人工智能(AI)技术的机器人,目前应用前景广阔.我国某企业研发的家用AI机器人的生产共有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道工序是出厂检测工序,包括智能自动检测与人工抽检,其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰,合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为,,.
(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格的概率为99%,求在人工抽检时,工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率.
(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力,在直播现场进行家用AI机器人推广活动,现场人山人海,场面火爆,从现场抽取幸运顾客参与游戏,游戏规则如下:参与游戏的幸运顾客,每次都要有放回地从10张分别写有数字1~10的卡片中随机抽取一张,指挥家用机器人运乒乓球,直到获得奖品为止.每次游戏开始时,甲箱中有足够多的球,乙箱中没有球,若抽的卡片上的数字为奇数,则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱;若抽的卡片上的数字为偶数,则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱.当乙箱中的乒乓球数目达到9个时,获得奖品优惠券400元;当乙箱中的乒乓球数目达到10个时,获得奖品大礼包一个,获得奖品时游戏结束.求获得“优惠券”的概率.(共53张PPT)
增分微课9 利用数列递推关系解决
概率问题
类型一
类型二
类型三
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
解决概率问题需要比较强的分析推理能力，对于一些复杂的概
率问题,后一步的概率与前一步或前两步有关,通过建立概率的递推关
系,利用递推关系式构造数列,这样复杂的概率问题就可以迎刃而解.
类型一 一阶递推数列
例1 [2024·山东省实验中学一模] 某品牌女装专卖店设计了摸球抽奖
的促销活动，每位顾客每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客
第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽
中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的
概率为.记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为 .
（1）求的值，并探究数列 的通项公式；
解：记该顾客第次摸球抽中奖品为事件.
依题意知 ，
.
当时，，， ，
且 ，
即 ，
所以，
又因为 ，所以数列是首项为，
公比为 的等比数列，所以 .
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.
解：当为奇数时，.
当 为偶数时，，此时随着的增大而减小，
所以 .
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大.
变式题 如图，已知正方体 的
顶点处有一质点，点 每次会随机地沿一条棱
向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概
率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称
为移动一次，若质点的初始位置位于点 处，
记点移动次后仍在底面上的概率为 .
（1）求 ；
解：依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其
中两个在同一底面，
所以当点 在下底面时，随机移动一次仍在
下底面的概率为，
当点 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为 ，
所以， .
（2）证明数列是等比数列，若，求 的最大值.
解： ，
所以，
又因为 ，所以，所以数列 是以为
首项， 为公比的等比数列，所以，
则，
若 ，则，所以，
又，， ，所以，故 的最大值为6.
类型二 二阶递推数列
例2 某社团开展了“训练赢吉祥物”活动，游戏规则如下：有一张共
10格的长方形格子图，依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第10
格，游戏开始时“跳子”在第1格，社团成员每次完成训练后抛掷一枚
质地均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进2格（从第 格到第
格），若出现反面，则“跳子”前进1格（从第格到第 格）
（ 为正整数），当“跳子”前进到第9格或者第10格时，游戏结束.“跳
子”落在第9格，则每位社团成员可以得到一只A玩偶，“跳子”落在第
10格，则每位社团成员可以得到一只B玩偶.记“跳子”前进到第 格
的概率为 .
（1）求 .
解：“跳子”开始在第1格为必然事件，则 ；
第一次掷硬币出现反面，“跳子”前进到第2格，其概率为，即 ；
第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面，
“跳子”前进到第3格，其概率为，即 .
（2）（ⅰ）证明：数列 是等比数列；
证明：由（1）知，，.
“跳子”前进到第 格的情况是下面两种，而且只有两种：
①“跳子”先到第格，掷硬币掷出正面，其概率为 ；
②“跳子”先到第 格，掷硬币掷出反面，其概率为
，则 ，
又， 数列是以 为首项，
为公比的等比数列.
（ⅱ）求社团成员参加一次这样的游戏获得B玩偶的概率.
解：由（ⅰ）得， ，
，
， .
变式题 [2024·山西晋中三模] 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，
规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮
游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率
均为 ,当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积
1分，未掷骰子的人本轮均积0分，然后进行下一轮游戏.已知每轮掷
骰子的结果相互独立.
（1）求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率.
解：甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、
1分、2分的概率分别为,,，则 ,
, .
经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：
4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；甲掷3轮，且3轮的积分情况
为2，1，1；甲掷4轮，且每轮积分均为1分.
所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
.
（2）经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷
骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷.当骰子朝上的点数不小于3时，积
2分，否则积1分.甲、乙分别在 分之间选一个整数分数
（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首
先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏.记两人累计积分之和为
的概率为 .
（ⅰ）证明： 为等比数列.
证明：记“累计积分之和为”为事件,“累计积分之和为 ”
为事件,“累计积分之和为”为事件 ，
则，则 ，
又,, ，
所以是首项为,公比为 的等比数列.
（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由.
解：由（ⅰ）得，当 时，
，
， ， ，
累加得
，
因此，
当且 为奇数时，是递增的，且，
当且 为偶数时，是递减的，且，
则当 时， 最大，所以甲选择6分对自己最有利.
类型三 型
例3 [2024·宁波一模] 现有根绳子，共有 个绳头，将这
个绳头两两连接，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，
所有绳头打结完毕视为结束.
（1）当时，记随机变量为绳子围成的圈的个数，求 的分布
列与数学期望；
解：由题知，随机变量 的所有可能取值为1，2，3，
， ，
，所以 的分布列为
1 2 3
所以 .
（2）求证：这 根绳子打结后恰好能围成一个圈的概率为 .
证明：不妨令绳头编号为1，2，3，4， ， ，其中1，2是同一根
绳子的两个绳头，
若这 根绳子打结后恰好能围成一个圈，则与绳头1打结的绳头有
种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下
根绳子进行打结.
设 根绳子打结后可围成一个圈的打结方法有种，经过一次
打结后，剩下 根绳子打结后可围成一个圈的打结方法有 种，
由此可得， ，，所以 ，
以此类推得，， ，所以
，又
，所以.
当 时，也满足上式，所以 .
在个绳头中任意取2个绳头打结，共有
（种）打结方法，所以所求概率
.
变式题 一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3, ,,”的 张卡片.一个人
每次从中拿出一张卡片，并且不放回.若他拿出一张与已拿出的卡片
中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；若他手中有3张单张
卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被
拿走的概率为，则__， _____.
[解析] 从张卡片中选取3张卡片的选法共有 种，手中这3张卡
片中含有2张相同卡片的选法有 种，由古典概型的概率计
算公式可得手中这3张卡片中含有2张相同卡片的概率为.
书包中张卡片全部被拿走的概率为 ，将2张相同的卡片拿掉以后，
相当于从 对卡片中已拿出一张卡片，事件
“书包中张卡片全部被拿走”发生需保证事件“书包中 张卡片
全部被拿走”发生，且书包中张卡片全部被拿走的概率为 ，
因而，且，
则 ， .
作业手册
1.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人
继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每
次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定
第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
◆ 基础热身 ◆
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第 次投篮的人是乙”为事件
，所以 .
（2）求第 次投篮的人是甲的概率.
解：设，依题可知， ，
，
即 ，
构造等比数列 ，设，解得，
则 ， 又,，所以是首项为，
公比为 的等比数列，则,即，
即第 次投篮的人是甲的概率为 .
2.[2024·广西南宁二模] 某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓
舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1
人，二传手1人，自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练.
（1）求抽到甲参与传球训练的概率；
解：设“抽到甲参与传球训练”为事件，则 .
（2）若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传
给乙、丙的概率均为 ，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为
,，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为, ，假设球一直没
有掉地上，求经过 次传球后甲接到球的概率.
解：设经过次传球后甲接到球的概率为 ，
则 ，
即 ，
而，所以是首项为，
公比为 的等比数列，则，
即 .
3.对于优秀毕业生的笔记本,设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买
资格”的竞买方式:统一以0元为初始叫价,通过掷骰子确定新叫价,若点
数大于2,则在已叫价格的基础上增加1元更新叫价,若点数小于3,则在
已叫价格的基础上增加2元更新叫价,重复上述过程,能叫到10元,即可
获得以10元为价格的购买资格,未出现叫价为10元的情况则失去购买
资格,并结束叫价.若甲同学已选中了其中一本笔记本,试估计其获得该
笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.
◆ 综合提升 ◆
解：由题意可得每次叫价增加1元的概率为 ,
每次叫价增加2元的概率为 .
设叫价为元的概率为,叫价出现 元的情况只有下列
两种:
①叫价为元,且骰子点数大于2,其概率为 ;
②叫价为元,且骰子点数小于3,其概率为 .
所以,易得, ,
因为 ,
所以当时,数列是首项为,公比为 的等比数列,
所以 ,
所以
,
故甲同学获得该笔记本购买资格的概率约为0.75.
4.[2025·重庆八中模拟] 现有枚质地不同的游戏币,, ,
，向上抛出游戏币 后，落下时正面朝上的概率为
.甲、乙两人用这 枚游戏币玩游戏.
（1）甲将游戏币向上抛出10次，用 表示落下时正面朝上的次数，
求的期望，并写出当为何值时， 最大；
解：依题意得，每次抛出游戏币落下时正面朝上的概率均为 ，
故，所以 .
由 ，
，得 ，
所以当时， 最大.
（2）甲将游戏币,,向上抛出，用 表示落下时正面朝上的游戏
币的个数，求 的分布列；
解：记事件为“第 枚游戏币向上抛出后，正面朝上”，
则,,2,3，的所有可能取值为0,1,2,3，
由事件 相互独立，得 ，
，
，
.
0 1 2 3
故 的分布列为
（3）将这 枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数
为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，
并说明理由.
解：不妨假设按照,, ,的顺序抛这 枚游戏币.
记抛出游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为 ,
,2, , ，
则， ，
即， ，
即, .
记，则, ，
故数列是首项为，公差为 的等差数列，
故，则，故,,2,3, , ，则 ，因此这个游戏规则公平.
5.机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能 技术的机
器人，目前应用前景广阔.我国某企业研发的家用 机器人的生产共
有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测
工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的
会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人
在生产中前三道工序的次品率分别为，， .
◆ 能力拓展 ◆
（1）已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格的概率为 ，
求在人工抽检时，工人抽检一个家用 机器人恰好为合格品的概率.
解：设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为 ，
则 ，
设“家用机器人智能自动检测合格”为事件 ，“人工抽检合格”为事件
，则，，所以 ，
即在人工抽检时，工人抽检一个家用 机器人恰好为合格品的概率
为 .
（2）该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行
家用 机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸
运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要
有放回地从10张分别写有数字 的卡片中随机抽取一张，指挥家
用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止.每次游戏开始时，甲箱中有
足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲
箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱
中运两个乒乓球到乙箱.当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品
优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包
一个，获得奖品时游戏结束.求获得“优惠券”的概率.
解：设乙箱中有个球的概率为 ，
抽到奇数和偶数的概率都为 .
若第一次抽到奇数，家用机器人运1个乒乓球，概率为，即 ，
若乙箱中有2个球，分两种情况，所以 .
乙箱中有 个球的情况有：
①家用机器人已运个球，又抽出偶数，其概率为 ；
②家用机器人已运个球，又抽出奇数，其概率为 .
所以 ，
所以 ，
又 ，所以当时，数列是首项为，公比为 的等比数列，所以 ，所以，， ，
，
上述各式相加得
，
又，所以 ，
经检验，当 时上式也成立，所以 ，所以，
即获得“优惠券”的概率为 .
类型一
例1(1) P2= Pn=-(2)第二次摸球抽中奖品的概率最大
变式题 (1) (2) 6
类型二
例2 (1) (2)(i)证明略 (ii)
变式题 (1) (2)(i)证明略 (ii)甲选择6分对自己最有利
类型三
例3(1) 分布列略 E(X)= (2)证明略
变式题
基础热身
1. (1) 0.6 (2) ×+ 2. (1) (2) -
综合提升
3. 0.75 4. (1) E(X)=×10=,当t=2时,P(X=t)最大
(2)分布列略 (3)公平
能力拓展
5. (1) (2)
