2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-27 17:10:54 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第三章3.2.1 双曲线及其标准方程
一、单选题
1.(2025四川宜宾期中)与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条直线上 D.一个圆上
2.（2025四川绵阳期中）已知定点，，动点满足，则动点的轨迹为（ ）
A.双曲线的上支 B.双曲线的下支 C.双曲线的左支 D.轴负半轴上的射线
3.(2025福建长泰实验中学期中)双曲线的左、右两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ）
A.1 B.9 C.1或9 D.9或13
4.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.(2024黑龙江牡丹江第一高级中学期中)已知双曲线的左焦点为，右焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，且，的周长为10，为线段的中点，则=（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2025广东中山一中段考)已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.平面内到两定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹可能是（ ）
A.椭圆 B.一条直线 C.两条射线 D.双曲线
8.(2025浙江温州十校联合体期中)在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一个动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹是双曲线 B.若，则点的轨迹是椭圆
C.若，则点的轨迹是一条直线 D.若，则点的轨迹是圆
9.（2025安徽宣城三校联考）已知方程表示曲线，则下列为真命题的是（ ）
A.当时，曲线一定是椭圆
B.当或时，曲线一定是双曲线
C.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
三、填空题
10.（2025江苏南通期中）若点在运动过程中总满足关系式，则点的轨迹方程为______。
11.(2025江苏徐州期中)双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为______。
12.(2025河北保定六校联盟期中) 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为______。
四、解答题
13.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
(2)，经过点，焦点在轴上。
14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、。
(1) 若双曲线 与椭圆 有共同的焦点，且双曲线 过点 ，求该双曲线的标准方程；
(2) 若 ，点 在双曲线右支上，且 ，求 的面积。
15.(2025江苏扬州中学期中)已知曲线。
(1)若曲线为双曲线，求的取值范围；
(2)若，点在曲线上，且点在第一象限内，，，，求点的横坐标。
一、单选题（每题5分，共30分）
1.答案：B
解析：先确定两定圆的圆心与半径：
圆的圆心，半径；
圆配方得，圆心，半径。
设动圆半径为，则动圆到的距离为，到的距离为，两者之差为（定值）。
又，符合双曲线一支的定义（平面内到两定点距离差为定值，且定值小于两定点间距），故动圆圆心在双曲线的一支上。
2.答案：A
解析：定点、为双曲线焦点，在轴上，（即，）。
动点满足（即，），且，符合双曲线定义。
因，说明，动点更靠近上焦点，故轨迹为双曲线的上支。
3.答案：B
解析：双曲线的焦距为8，即，。
由双曲线性质，代入，得，故。
因在双曲线左支上，根据双曲线定义：（左支上点到右焦点距离减去左焦点距离为）。
已知，代入得（左支上点到右焦点距离不可能小于，故排除“1”）。
4.答案：A
解析：已知双曲线的焦点满足，故公共焦点的。
设所求双曲线方程为（焦点在轴），则。
双曲线过点，代入方程得，即。
联立，解得，，故所求方程为。
5.答案：B
解析：右焦点，故，。
由，得；又周长为10，故。
因是中点，是中点，根据三角形中位线定理，。
6.答案：C
解析：焦点、在轴上，故。
由，得，。
由双曲线性质，故标准方程为。
二、多选题
7.答案：CD
解析：两定点、的间距（即），设距离差绝对值为：
若：符合双曲线定义，轨迹为双曲线；
若：轨迹为以、为端点的两条射线（左支射线：，右支射线：）；
若：轨迹为线段的中垂线（一条直线，非必然选项）；若：无轨迹。
椭圆需“距离和为定值”，故排除A；“一条直线”仅特殊情况成立，CD为明确的可能轨迹，故选CD。
8.答案：ACD
解析：两定点、的间距：
A选项：，符合双曲线定义，轨迹为双曲线，正确；
B选项：，轨迹为线段（非椭圆，椭圆需距离和大于两定点间距），错误；
C选项：，轨迹为线段的中垂线（即轴，一条直线），正确；
D选项：，整理得，为圆，正确。
9.答案：BD
解析：方程的曲线类型由分母符号决定：
A选项：时，若（即），方程为（圆，非椭圆），错误；
B选项：时，、，方程为（双曲线）；时，、，方程为（双曲线），正确；
C选项：焦点在轴的双曲线需、，即（非），错误；
D选项：焦点在轴的双曲线需、，即，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：表示动点到两定点、的距离差绝对值为2。
由双曲线定义：（），（），故，轨迹方程为。
11.答案：
解析：将双曲线方程整理为标准形式：。
因焦点在轴上，方程需化为（分母为正），故，。
由得，解得。
12.答案：9
解析：双曲线中，，，左焦点（圆1圆心），右焦点（圆2圆心）。
圆1半径，最大值为；
圆2半径，最小值为。
由双曲线定义，故。
四、解答题
13.解：
(1) 焦点在轴上，设方程为，已知，故。
双曲线过点，代入得，即。
联立，解得，，方程为。
(2) 焦点在轴上，设方程为，已知，故。
双曲线过点，代入得，即，解得。
方程为。
14.解：
(1) 椭圆的焦点满足，故双曲线的（）。
设双曲线方程为，过点，代入得。
联立，解得，，方程为。
(2) 已知，设，（在右支，），由双曲线定义得。
在中，，由余弦定理：。
又，代入得，解得。
面积。
15.解：
(1) 曲线为双曲线，需满足“分母异号”，即（双曲线标准方程要求中）。
解不等式，得，故的取值范围为。
(2) 当时，曲线的方程为。
设（第一象限，，），由，得。
因、，故，，点积为，即。
联立双曲线方程，消去得，即，解得。
因，故，即点的横坐标为。
第三章3.2.1 双曲线及其标准方程
一、单选题
1.(2025四川宜宾期中)与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条直线上 D.一个圆上
2.（2025四川绵阳期中）已知定点，，动点满足，则动点的轨迹为（ ）
A.双曲线的上支 B.双曲线的下支 C.双曲线的左支 D.轴负半轴上的射线
3.(2025福建长泰实验中学期中)双曲线的左、右两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ）
A.1 B.9 C.1或9 D.9或13
4.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.(2024黑龙江牡丹江第一高级中学期中)已知双曲线的左焦点为，右焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，且，的周长为10，为线段的中点，则=（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2025广东中山一中段考)已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.平面内到两定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹可能是（ ）
A.椭圆 B.一条直线 C.两条射线 D.双曲线
8.(2025浙江温州十校联合体期中)在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一个动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则点的轨迹是双曲线 B.若，则点的轨迹是椭圆
C.若，则点的轨迹是一条直线 D.若，则点的轨迹是圆
9.（2025安徽宣城三校联考）已知方程表示曲线，则下列为真命题的是（ ）
A.当时，曲线一定是椭圆
B.当或时，曲线一定是双曲线
C.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
D.若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
三、填空题
10.（2025江苏南通期中）若点在运动过程中总满足关系式，则点的轨迹方程为______。
11.(2025江苏徐州期中)双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为______。
12.(2025河北保定六校联盟期中) 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为______。
四、解答题
13.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
(2)，经过点，焦点在轴上。
14.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、。
(1) 若双曲线 与椭圆 有共同的焦点，且双曲线 过点 ，求该双曲线的标准方程；
(2) 若 ，点 在双曲线右支上，且 ，求 的面积。
15.(2025江苏扬州中学期中)已知曲线。
(1)若曲线为双曲线，求的取值范围；
(2)若，点在曲线上，且点在第一象限内，，，，求点的横坐标。
一、单选题（每题5分，共30分）
1.答案：B
解析：先确定两定圆的圆心与半径：
圆的圆心，半径；
圆配方得，圆心，半径。
设动圆半径为，则动圆到的距离为，到的距离为，两者之差为（定值）。
又，符合双曲线一支的定义（平面内到两定点距离差为定值，且定值小于两定点间距），故动圆圆心在双曲线的一支上。
2.答案：A
解析：定点、为双曲线焦点，在轴上，（即，）。
动点满足（即，），且，符合双曲线定义。
因，说明，动点更靠近上焦点，故轨迹为双曲线的上支。
3.答案：B
解析：双曲线的焦距为8，即，。
由双曲线性质，代入，得，故。
因在双曲线左支上，根据双曲线定义：（左支上点到右焦点距离减去左焦点距离为）。
已知，代入得（左支上点到右焦点距离不可能小于，故排除“1”）。
4.答案：A
解析：已知双曲线的焦点满足，故公共焦点的。
设所求双曲线方程为（焦点在轴），则。
双曲线过点，代入方程得，即。
联立，解得，，故所求方程为。
5.答案：B
解析：右焦点，故，。
由，得；又周长为10，故。
因是中点，是中点，根据三角形中位线定理，。
6.答案：C
解析：焦点、在轴上，故。
由，得，。
由双曲线性质，故标准方程为。
二、多选题
7.答案：CD
解析：两定点、的间距（即），设距离差绝对值为：
若：符合双曲线定义，轨迹为双曲线；
若：轨迹为以、为端点的两条射线（左支射线：，右支射线：）；
若：轨迹为线段的中垂线（一条直线，非必然选项）；若：无轨迹。
椭圆需“距离和为定值”，故排除A；“一条直线”仅特殊情况成立，CD为明确的可能轨迹，故选CD。
8.答案：ACD
解析：两定点、的间距：
A选项：，符合双曲线定义，轨迹为双曲线，正确；
B选项：，轨迹为线段（非椭圆，椭圆需距离和大于两定点间距），错误；
C选项：，轨迹为线段的中垂线（即轴，一条直线），正确；
D选项：，整理得，为圆，正确。
9.答案：BD
解析：方程的曲线类型由分母符号决定：
A选项：时，若（即），方程为（圆，非椭圆），错误；
B选项：时，、，方程为（双曲线）；时，、，方程为（双曲线），正确；
C选项：焦点在轴的双曲线需、，即（非），错误；
D选项：焦点在轴的双曲线需、，即，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：表示动点到两定点、的距离差绝对值为2。
由双曲线定义：（），（），故，轨迹方程为。
11.答案：
解析：将双曲线方程整理为标准形式：。
因焦点在轴上，方程需化为（分母为正），故，。
由得，解得。
12.答案：9
解析：双曲线中，，，左焦点（圆1圆心），右焦点（圆2圆心）。
圆1半径，最大值为；
圆2半径，最小值为。
由双曲线定义，故。
四、解答题
13.解：
(1) 焦点在轴上，设方程为，已知，故。
双曲线过点，代入得，即。
联立，解得，，方程为。
(2) 焦点在轴上，设方程为，已知，故。
双曲线过点，代入得，即，解得。
方程为。
14.解：
(1) 椭圆的焦点满足，故双曲线的（）。
设双曲线方程为，过点，代入得。
联立，解得，，方程为。
(2) 已知，设，（在右支，），由双曲线定义得。
在中，，由余弦定理：。
又，代入得，解得。
面积。
15.解：
(1) 曲线为双曲线，需满足“分母异号”，即（双曲线标准方程要求中）。
解不等式，得，故的取值范围为。
(2) 当时，曲线的方程为。
设（第一象限，，），由，得。
因、，故，，点积为，即。
联立双曲线方程，消去得，即，解得。
因，故，即点的横坐标为。