2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 35.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-27 17:21:27 | ||
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文档简介
2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第三章3.2.2 双曲线的简单几何性质
一、单选题
1.(2025河北邢台期中)双曲线的实轴长比虚轴长短（ ）
A.4 B.2 C.10 D.20
2.(2025山东准山期中)双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.(2025浙江台州期中)已知双曲线的焦距为6，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知点是双曲线的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个端点与点恰好是一直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.(2025江苏扬州大学附属中学期中)已知双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6.(2025江苏无锡期中)以椭圆的长轴的两个端点为顶点，焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.若双曲线的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程可能为（ ）
A. B. C. D.
8.(2025福建泉州期中)已知椭圆与双曲线有公共焦点，若与在第一象限内的交点为，且，的离心率分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，则
C.的最小值为1
D.记的内心为，的右顶点为，则轴
9.(2024四川成都石室中学期中)设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内的一点，则（ ）
A. B.
C.若，则的面积为2 D.若平行于轴，则
三、填空题
10.(2025广东深圳期中)已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为______。
11.(2025四川成都期中)已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是______。
12.(2025五中封)双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是______。
四、解答题
13.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)左顶点为，且与椭圆有共同的焦点；
(2)过点且与双曲线有相同的渐近线。
14.(2024河南驻马店高级中学期中)已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点到渐近线的距离为，为坐标原点，为双曲线右支上一动点。
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求的最小值。
15.(2025河北石家庄期中)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点。
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值。
一、单选题
1.答案：A
解析：双曲线中，实半轴（），虚半轴（）。
实轴长为，虚轴长为；
实轴长比虚轴长短。
2.答案：C
解析：双曲线的标准形式为（），其中（），（）。
双曲线渐近线方程为，代入得。
3.答案：B
解析：双曲线的焦距为6，即（）。
由双曲线性质，其中，，得（）。
渐近线方程为。
4.答案：C
解析：设双曲线焦点，实轴端点，虚轴端点，三者构成直角三角形。
由直角条件（直角在或附近）及，推导得（为离心率）；
解得正根（排除负根及大于2的根，符合双曲线的范围）。
5.答案：B
解析：双曲线渐近线方程为，代入点得（）。
离心率。
6.答案：C
解析：椭圆中，长轴端点为，焦点为（）。
双曲线以椭圆焦点为顶点（），椭圆长轴端点为焦点（），故，标准方程为。
二、多选题
7.答案：AC
解析：需满足“渐近线过”且“焦点到渐近线距离为2”：
选项A：，渐近线（过），焦点，距离，符合；
选项B：，渐近线（不过），排除；
选项C：，渐近线（过），焦点，距离，符合；
选项D：，渐近线（不过），排除。
8.答案：BCD
解析：椭圆与双曲线共焦点，，设焦距：
选项A：，双曲线中（非双曲线，需距离差不为0），排除；
选项B：，得，结合及勾股定理，推导得双曲线，，正确；
选项C：由（为双曲线实半轴），结合均值不等式，得，最小值为1，正确；
选项D：双曲线右顶点，焦点三角形内心横坐标为（与横坐标相同），故轴，正确。
9.答案：CD
解析：双曲线即，，：
选项A：渐近线，到渐近线距离，排除；
选项B：设，推导，与双曲线方程联立无符合第一象限的解，排除；
选项C：，联立与双曲线方程，得，面积，正确；
选项D：轴，，得，计算，，两者相等，正确。
三、填空题
10.答案：1
解析：双曲线中，（），渐近线。
焦点到渐近线的距离。
11.答案：-2
解析：设，。
由双曲线方程得，代入得：
二次函数对称轴，时单调递增，最小值在处，值为。
12.答案：8
解析：方程为双曲线，故，整理为。
离心率，，得。由，得（），虚轴长。
四、解答题
13.解：
(1) 左顶点，故（）。椭圆的焦点（），双曲线。
由，方程为。
(2) 设与同渐近线的双曲线方程为。
代入得，整理为。
14.解：
(1) 渐近线，故。右焦点到渐近线距离（）。
由，得，方程为。
(2) 设（），。
由双曲线方程，代入得。
二次函数对称轴，时单调递增，最小值在处，值为。
15.解：
(1) 设双曲线方程为（与已知双曲线同渐近线）。
代入得，整理为。
(2) 联立与双曲线方程，得。
中点纵坐标，横坐标，代入圆得，解得。
第三章3.2.2 双曲线的简单几何性质
一、单选题
1.(2025河北邢台期中)双曲线的实轴长比虚轴长短（ ）
A.4 B.2 C.10 D.20
2.(2025山东准山期中)双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.(2025浙江台州期中)已知双曲线的焦距为6，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.已知点是双曲线的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个端点与点恰好是一直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.(2025江苏扬州大学附属中学期中)已知双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6.(2025江苏无锡期中)以椭圆的长轴的两个端点为顶点，焦点为顶点的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.若双曲线的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程可能为（ ）
A. B. C. D.
8.(2025福建泉州期中)已知椭圆与双曲线有公共焦点，若与在第一象限内的交点为，且，的离心率分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，则
C.的最小值为1
D.记的内心为，的右顶点为，则轴
9.(2024四川成都石室中学期中)设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内的一点，则（ ）
A. B.
C.若，则的面积为2 D.若平行于轴，则
三、填空题
10.(2025广东深圳期中)已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为______。
11.(2025四川成都期中)已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是______。
12.(2025五中封)双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是______。
四、解答题
13.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)左顶点为，且与椭圆有共同的焦点；
(2)过点且与双曲线有相同的渐近线。
14.(2024河南驻马店高级中学期中)已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点到渐近线的距离为，为坐标原点，为双曲线右支上一动点。
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求的最小值。
15.(2025河北石家庄期中)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点。
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值。
一、单选题
1.答案：A
解析：双曲线中，实半轴（），虚半轴（）。
实轴长为，虚轴长为；
实轴长比虚轴长短。
2.答案：C
解析：双曲线的标准形式为（），其中（），（）。
双曲线渐近线方程为，代入得。
3.答案：B
解析：双曲线的焦距为6，即（）。
由双曲线性质，其中，，得（）。
渐近线方程为。
4.答案：C
解析：设双曲线焦点，实轴端点，虚轴端点，三者构成直角三角形。
由直角条件（直角在或附近）及，推导得（为离心率）；
解得正根（排除负根及大于2的根，符合双曲线的范围）。
5.答案：B
解析：双曲线渐近线方程为，代入点得（）。
离心率。
6.答案：C
解析：椭圆中，长轴端点为，焦点为（）。
双曲线以椭圆焦点为顶点（），椭圆长轴端点为焦点（），故，标准方程为。
二、多选题
7.答案：AC
解析：需满足“渐近线过”且“焦点到渐近线距离为2”：
选项A：，渐近线（过），焦点，距离，符合；
选项B：，渐近线（不过），排除；
选项C：，渐近线（过），焦点，距离，符合；
选项D：，渐近线（不过），排除。
8.答案：BCD
解析：椭圆与双曲线共焦点，，设焦距：
选项A：，双曲线中（非双曲线，需距离差不为0），排除；
选项B：，得，结合及勾股定理，推导得双曲线，，正确；
选项C：由（为双曲线实半轴），结合均值不等式，得，最小值为1，正确；
选项D：双曲线右顶点，焦点三角形内心横坐标为（与横坐标相同），故轴，正确。
9.答案：CD
解析：双曲线即，，：
选项A：渐近线，到渐近线距离，排除；
选项B：设，推导，与双曲线方程联立无符合第一象限的解，排除；
选项C：，联立与双曲线方程，得，面积，正确；
选项D：轴，，得，计算，，两者相等，正确。
三、填空题
10.答案：1
解析：双曲线中，（），渐近线。
焦点到渐近线的距离。
11.答案：-2
解析：设，。
由双曲线方程得，代入得：
二次函数对称轴，时单调递增，最小值在处，值为。
12.答案：8
解析：方程为双曲线，故，整理为。
离心率，，得。由，得（），虚轴长。
四、解答题
13.解：
(1) 左顶点，故（）。椭圆的焦点（），双曲线。
由，方程为。
(2) 设与同渐近线的双曲线方程为。
代入得，整理为。
14.解：
(1) 渐近线，故。右焦点到渐近线距离（）。
由，得，方程为。
(2) 设（），。
由双曲线方程，代入得。
二次函数对称轴，时单调递增，最小值在处，值为。
15.解：
(1) 设双曲线方程为（与已知双曲线同渐近线）。
代入得，整理为。
(2) 联立与双曲线方程，得。
中点纵坐标，横坐标，代入圆得，解得。