2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 47.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-27 16:33:32 | ||
图片预览
文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第三章3.3.1 抛物线及其标准方程
一、单选题
1.已知点，直线，点是上的动点。若过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
2.(2025山西太原五中月考)已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.(2025湖北重点高中联考协作体联考)已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
4.(2024黑龙江鸡西十九中期中)焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
5.(2025湖南长沙期中)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
6.(2025陕西榆林期中)设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二、多选题
7.已知，则方程与在同一坐标系内表示的曲线可能是（ ）
A.椭圆与抛物线 B.双曲线与抛物线 C.两条双曲线 D.椭圆与直线
8.(2024黑龙江哈尔滨德强高级中学月考)经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9.(2025江苏盐城五校期中联考)已知抛物线的焦点为，是经过焦点的弦，是线段的中点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.是线段的一个三等分点 D.
三、填空题
10.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为______。
11.(2025江苏常州田家炳高级中学期中)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______。
12.若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为______。
四、解答题
13.动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程。
14.(2025江西南昌期中)将抛物线绕坐标原点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，求的值；若进一步，设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以点为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，求的取值范围。
15.(2024江苏宿迁沭阳期中)一隧道内设有双行线公路，其截面近似由一长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米。已知行车道的总宽度为8米，即米。
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；
(2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道。
一、单选题
1.答案：D
解析：根据抛物线的定义——平面内到定点与定直线的距离相等（定点不在定直线上）的点的轨迹为抛物线。
已知点（定点），直线（定直线），点在的垂直平分线上，故。
因轴且在上，即为到直线的水平距离，即到定直线的距离。
综上，到定点的距离等于到定直线的距离，符合抛物线定义，故点的轨迹是抛物线。
2.答案：A
解析：抛物线的核心性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（定义推论）。
焦点坐标为，准线方程为；
点到焦点的距离为6，故（点到准线的距离为横坐标加），解得；
准线方程为。
3.答案：B
解析：先由抛物线过点求参数，再确定焦点坐标。
抛物线过点，代入得，即，解得；
抛物线的焦点在轴正半轴，坐标为，代入得焦点。
4.答案：D
解析：根据焦点位置确定抛物线标准方程形式：
焦点在轴负半轴，对应抛物线标准方程为（，为焦点到原点的距离）；
此处，故方程为。
5.答案：C
解析：利用抛物线定义转化距离，结合“两点之间线段最短”求最小值。
抛物线的焦点，准线方程为；
由定义，点到准线的距离等于，故所求距离和为；
当、、三点共线时，最小，即；
计算。
6.答案：C
解析：同理利用抛物线定义转化，结合“点到直线的垂线段最短”求最小值。
抛物线的焦点，准线方程为；
由定义，等于到准线的距离，故等于到准线的距离；
当在过且垂直于准线的直线上时，距离和最小，即到准线的距离；
计算到准线的距离为。
二、多选题
7.答案：AB
解析：先分析第二个方程的曲线类型，再结合第一个方程判断：
方程可整理为（），含与的一次项，必为抛物线；
第一个方程：若、同正且不等，为椭圆；若、异号，为双曲线；
选项C（两条双曲线）、D（椭圆与直线）均不含抛物线，排除；故正确选项为AB。
8.答案：AC
解析：分抛物线开口方向设方程，代入点验证：
开口向右（）：代入得，即，解得，方程为（选项A正确）；
开口向下（）：代入得，即，解得，方程为（选项C正确）；
开口向左（）：代入得，（不符合，排除）；
开口向上（）：代入得，（不符合，排除）。
9.答案：ABD
解析：结合抛物线定义、梯形中位线性质及斜率关系分析：
选项A：、、，是中点，故是梯形的中位线，。由定义、，故，得（正确）；
选项B：设、，则、。的斜率为，的斜率为，两者乘积为，故（正确）；
选项C：是与抛物线的交点，，结合焦点弦性质，计算得（错误）；
选项D：由、，代入、，结合，可证，故（正确）。
三、填空题
10.答案：
解析：抛物线的焦点，准线。由定义，即到准线的距离为3，故（为的纵坐标），解得。代入抛物线方程得，故到轴的距离为。
11.答案：
解析：先求双曲线右焦点：双曲线中，、，故（），右焦点为。
抛物线以为焦点，开口向右，标准方程为，代入得。
12.答案：
解析：转化距离条件：点到的距离比到的距离小1，即到的距离等于到的距离（将“小1”转化为到左移1个单位的直线距离）。
由抛物线定义，焦点、准线，故方程为（）。
四、解答题
13.解：根据题意列距离关系，分情况化简：
动点到轴的距离为，到定点的距离为，由条件得：
当时：方程化为，两边平方得：
当时：方程化为，两边平方得：此时，但时，原条件“到轴距离比到距离小2”即，恒成立，但是轴负半轴，属于退化轨迹，通常忽略，故主要轨迹为抛物线。
综上，动点的轨迹方程为。
14.解：
(1) 抛物线旋转变换：点绕原点顺时针旋转后变为。
原抛物线上的点旋转后在上，故，即。
与原抛物线对比，得。
(2) 抛物线的焦点，准线。
以为圆心、为半径的圆与准线相交，需满足“圆的半径到准线的距离”：
到准线的距离为；
，由（在上），得：
平方化简：
因（抛物线开口向上），故。
综上，，的取值范围为。
15.解：先建立坐标系，确定抛物线方程，再计算限制高度及车辆通行情况：
(1) 建立坐标系与抛物线方程：
设隧道截面中，长方形底边在轴上，中点为原点，则、。
设抛物线顶点为（假设总高6米，长方形高4米，抛物线过），方程为，代入得：
故抛物线方程为，即。
计算限制高度：
车辆顶部与隧道顶部的高度差至少0.5米，行车道宽8米（），抛物线在的最低值在处，。
故限制高度为米。
(2) 判断车辆能否通过：
载重汽车宽3.5米，故车辆边缘对应的（以中线为界）。
代入抛物线方程计算此处隧道高度：
车辆顶部高度4.2米，高度差为，故该车能安全通过。
综上，(1)车辆通过隧道的限制高度为米；(2)该车能安全通过隧道。
第三章3.3.1 抛物线及其标准方程
一、单选题
1.已知点，直线，点是上的动点。若过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
2.(2025山西太原五中月考)已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.(2025湖北重点高中联考协作体联考)已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
4.(2024黑龙江鸡西十九中期中)焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
5.(2025湖南长沙期中)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
6.(2025陕西榆林期中)设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二、多选题
7.已知，则方程与在同一坐标系内表示的曲线可能是（ ）
A.椭圆与抛物线 B.双曲线与抛物线 C.两条双曲线 D.椭圆与直线
8.(2024黑龙江哈尔滨德强高级中学月考)经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9.(2025江苏盐城五校期中联考)已知抛物线的焦点为，是经过焦点的弦，是线段的中点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.是线段的一个三等分点 D.
三、填空题
10.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为______。
11.(2025江苏常州田家炳高级中学期中)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为______。
12.若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为______。
四、解答题
13.动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程。
14.(2025江西南昌期中)将抛物线绕坐标原点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，求的值；若进一步，设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以点为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，求的取值范围。
15.(2024江苏宿迁沭阳期中)一隧道内设有双行线公路，其截面近似由一长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米。已知行车道的总宽度为8米，即米。
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；
(2)现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道。
一、单选题
1.答案：D
解析：根据抛物线的定义——平面内到定点与定直线的距离相等（定点不在定直线上）的点的轨迹为抛物线。
已知点（定点），直线（定直线），点在的垂直平分线上，故。
因轴且在上，即为到直线的水平距离，即到定直线的距离。
综上，到定点的距离等于到定直线的距离，符合抛物线定义，故点的轨迹是抛物线。
2.答案：A
解析：抛物线的核心性质：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（定义推论）。
焦点坐标为，准线方程为；
点到焦点的距离为6，故（点到准线的距离为横坐标加），解得；
准线方程为。
3.答案：B
解析：先由抛物线过点求参数，再确定焦点坐标。
抛物线过点，代入得，即，解得；
抛物线的焦点在轴正半轴，坐标为，代入得焦点。
4.答案：D
解析：根据焦点位置确定抛物线标准方程形式：
焦点在轴负半轴，对应抛物线标准方程为（，为焦点到原点的距离）；
此处，故方程为。
5.答案：C
解析：利用抛物线定义转化距离，结合“两点之间线段最短”求最小值。
抛物线的焦点，准线方程为；
由定义，点到准线的距离等于，故所求距离和为；
当、、三点共线时，最小，即；
计算。
6.答案：C
解析：同理利用抛物线定义转化，结合“点到直线的垂线段最短”求最小值。
抛物线的焦点，准线方程为；
由定义，等于到准线的距离，故等于到准线的距离；
当在过且垂直于准线的直线上时，距离和最小，即到准线的距离；
计算到准线的距离为。
二、多选题
7.答案：AB
解析：先分析第二个方程的曲线类型，再结合第一个方程判断：
方程可整理为（），含与的一次项，必为抛物线；
第一个方程：若、同正且不等，为椭圆；若、异号，为双曲线；
选项C（两条双曲线）、D（椭圆与直线）均不含抛物线，排除；故正确选项为AB。
8.答案：AC
解析：分抛物线开口方向设方程，代入点验证：
开口向右（）：代入得，即，解得，方程为（选项A正确）；
开口向下（）：代入得，即，解得，方程为（选项C正确）；
开口向左（）：代入得，（不符合，排除）；
开口向上（）：代入得，（不符合，排除）。
9.答案：ABD
解析：结合抛物线定义、梯形中位线性质及斜率关系分析：
选项A：、、，是中点，故是梯形的中位线，。由定义、，故，得（正确）；
选项B：设、，则、。的斜率为，的斜率为，两者乘积为，故（正确）；
选项C：是与抛物线的交点，，结合焦点弦性质，计算得（错误）；
选项D：由、，代入、，结合，可证，故（正确）。
三、填空题
10.答案：
解析：抛物线的焦点，准线。由定义，即到准线的距离为3，故（为的纵坐标），解得。代入抛物线方程得，故到轴的距离为。
11.答案：
解析：先求双曲线右焦点：双曲线中，、，故（），右焦点为。
抛物线以为焦点，开口向右，标准方程为，代入得。
12.答案：
解析：转化距离条件：点到的距离比到的距离小1，即到的距离等于到的距离（将“小1”转化为到左移1个单位的直线距离）。
由抛物线定义，焦点、准线，故方程为（）。
四、解答题
13.解：根据题意列距离关系，分情况化简：
动点到轴的距离为，到定点的距离为，由条件得：
当时：方程化为，两边平方得：
当时：方程化为，两边平方得：此时，但时，原条件“到轴距离比到距离小2”即，恒成立，但是轴负半轴，属于退化轨迹，通常忽略，故主要轨迹为抛物线。
综上，动点的轨迹方程为。
14.解：
(1) 抛物线旋转变换：点绕原点顺时针旋转后变为。
原抛物线上的点旋转后在上，故，即。
与原抛物线对比，得。
(2) 抛物线的焦点，准线。
以为圆心、为半径的圆与准线相交，需满足“圆的半径到准线的距离”：
到准线的距离为；
，由（在上），得：
平方化简：
因（抛物线开口向上），故。
综上，，的取值范围为。
15.解：先建立坐标系，确定抛物线方程，再计算限制高度及车辆通行情况：
(1) 建立坐标系与抛物线方程：
设隧道截面中，长方形底边在轴上，中点为原点，则、。
设抛物线顶点为（假设总高6米，长方形高4米，抛物线过），方程为，代入得：
故抛物线方程为，即。
计算限制高度：
车辆顶部与隧道顶部的高度差至少0.5米，行车道宽8米（），抛物线在的最低值在处，。
故限制高度为米。
(2) 判断车辆能否通过：
载重汽车宽3.5米，故车辆边缘对应的（以中线为界）。
代入抛物线方程计算此处隧道高度：
车辆顶部高度4.2米，高度差为，故该车能安全通过。
综上，(1)车辆通过隧道的限制高度为米；(2)该车能安全通过隧道。