2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 122.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-27 17:24:25 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第三章3.3.2 抛物线的简单几何性质
一、单选题
1.（2025湖南长沙市一中月考）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
2.(2025陕西榆林期中)已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.（2025北京房山区期末）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为5和3，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或9 D.2或9
4.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.16
5.(2025安徽阜阳太和中学月考)已知抛物线的焦点为，为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ）
A. B.1 C. D.2
6.（2025黑龙江龙东联盟联考）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.（2025辽宁大连联考）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为2，为上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.的坐标为 B.若，则周长的最小值为11
C.若，则的最小值为 D.在轴上不存在点，使得为钝角
8.(2025四川成都模拟)已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则的值可取为（ ）
A.1 B.2 C.9 D.18
9.(2025江西部分高中期中联考)已知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，与轴交于点，与在第一、四象限内的交点分别为，坐标原点为，则下列结论正确的是（ ）
A.若轴，则 B.若轴，则
C. D.
三、填空题
10.（2025重庆八中期中）已知抛物线的离心率为，焦点坐标为，则抛物线的标准方程为______。
11.(2024江苏常州联盟学校期中)已知为坐标原点，，为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的取值范围是______。
12.（2025江苏南通三校联考）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构。如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为______m。
四、解答题
13.(2025广东中山一中段考)已知抛物线的准线方程为。
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，求弦长。
14.(2024陕西西安期中)已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且。
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程。
15.（2025河南南阳六校联考）已知圆。
(1)若直线平分圆，求的最小值；
(2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值。
一、单选题
1.答案：D
解析：抛物线顶点在原点、对称轴为轴，标准方程为（），核心性质：顶点到准线的距离为。
已知顶点到准线距离为4，故，解得，因此，抛物线标准方程为。
2.答案：A
解析：抛物线（）的定义推论：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（准线方程）。
设，则（到准线距离为横坐标加）；
又在抛物线上，故，即；
联立与，得，化简为，解得；
准线方程为。
3.答案：C
解析：抛物线（）的对称轴为轴，点到对称轴距离为3，故的纵坐标为，代入抛物线得（为的横坐标）。
点到准线距离为5，由定义得，联立与，得：
解得或。
4.答案：C
解析：抛物线的焦点为，倾斜角的直线斜率，直线方程为。
联立直线与抛物线方程：
设、，由韦达定理得。
焦点弦长公式：（），故。
5.答案：A
解析：抛物线的焦点，准线。的周长，其中（定值），故需最小化。
由定义，到准线的距离，故到的距离。当在过且平行于轴的直线（）与抛物线的交点时，距离和最小，此时。
计算的面积：以为底，到直线的距离（高）为1，面积。
6.答案：B
解析：设正三角形的一个顶点为（，因抛物线开口向左），另一个顶点为（对称于轴）。
边长为，两对称顶点间距为，由正三角形性质得，平方得；
又，代入得，解得（舍去）；
代入，得，边长。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：抛物线（）的焦点到准线距离为2，故，抛物线方程，焦点，准线。
选项A：错误，应为；
选项B：周长，到准线距离，最小值为到准线距离（）加，总最小值，正确；
选项C：，二次函数在时取最小值12，故最小值，正确；
选项D：假设，为钝角则，代入得，判别式为0，不等式无解，故不存在这样的，正确。
8.答案：BD
解析：抛物线（）的点到对称轴距离为6，故，代入得（）。
点到准线距离为10，故，联立得：
解得或。
9.答案：ABD
解析：抛物线的焦点，直线（），、。
选项A：轴，则，，正确；
选项B：代入直线得，，，比值为1，正确；
选项C：（由距离公式推导），，因，比值不相等，错误；
选项D：、，故，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：抛物线的离心率，故焦点坐标为（焦点在轴负半轴）。
标准方程为，，故方程为。
11.答案：
解析：设（，），，平方得：
对恒成立，二次函数的对称轴。当（即）时，在单调递增，满足条件，故。
12.答案：50
解析：设抛物线方程（顶点，），江面，代入得。
桥面弦，代入得。
两式相除得，化简得，解得，故顶端到桥面距离。
四、解答题
13.解：
(1) 抛物线的准线，故（），方程为。
(2) 联立与，得，化简为。
设、，由韦达定理得。
弦长，故弦长为。
14.解：
(1) 抛物线的焦点，在抛物线上，故。
由，得，代入得：
解得（舍去），方程为。
(2) 设、，中点，故、。
由、，两式相减得：
直线方程为，整理为。
15.解：
(1) 圆配方得，圆心。直线平分圆则过圆心，代入得（）。
（均值不等式），最小值为。
(2) 抛物线准线与圆相切，故（或）。
当时，抛物线，焦点，，；
，令，比值，最大值为（当时）。
综上，的最大值为。
第三章3.3.2 抛物线的简单几何性质
一、单选题
1.（2025湖南长沙市一中月考）顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
2.(2025陕西榆林期中)已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.（2025北京房山区期末）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为5和3，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或9 D.2或9
4.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.16
5.(2025安徽阜阳太和中学月考)已知抛物线的焦点为，为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ）
A. B.1 C. D.2
6.（2025黑龙江龙东联盟联考）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7.（2025辽宁大连联考）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为2，为上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.的坐标为 B.若，则周长的最小值为11
C.若，则的最小值为 D.在轴上不存在点，使得为钝角
8.(2025四川成都模拟)已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则的值可取为（ ）
A.1 B.2 C.9 D.18
9.(2025江西部分高中期中联考)已知抛物线的焦点为，直线与轴交于点，与轴交于点，与在第一、四象限内的交点分别为，坐标原点为，则下列结论正确的是（ ）
A.若轴，则 B.若轴，则
C. D.
三、填空题
10.（2025重庆八中期中）已知抛物线的离心率为，焦点坐标为，则抛物线的标准方程为______。
11.(2024江苏常州联盟学校期中)已知为坐标原点，，为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的取值范围是______。
12.（2025江苏南通三校联考）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构。如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为______m。
四、解答题
13.(2025广东中山一中段考)已知抛物线的准线方程为。
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，求弦长。
14.(2024陕西西安期中)已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且。
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程。
15.（2025河南南阳六校联考）已知圆。
(1)若直线平分圆，求的最小值；
(2)顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值。
一、单选题
1.答案：D
解析：抛物线顶点在原点、对称轴为轴，标准方程为（），核心性质：顶点到准线的距离为。
已知顶点到准线距离为4，故，解得，因此，抛物线标准方程为。
2.答案：A
解析：抛物线（）的定义推论：抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离（准线方程）。
设，则（到准线距离为横坐标加）；
又在抛物线上，故，即；
联立与，得，化简为，解得；
准线方程为。
3.答案：C
解析：抛物线（）的对称轴为轴，点到对称轴距离为3，故的纵坐标为，代入抛物线得（为的横坐标）。
点到准线距离为5，由定义得，联立与，得：
解得或。
4.答案：C
解析：抛物线的焦点为，倾斜角的直线斜率，直线方程为。
联立直线与抛物线方程：
设、，由韦达定理得。
焦点弦长公式：（），故。
5.答案：A
解析：抛物线的焦点，准线。的周长，其中（定值），故需最小化。
由定义，到准线的距离，故到的距离。当在过且平行于轴的直线（）与抛物线的交点时，距离和最小，此时。
计算的面积：以为底，到直线的距离（高）为1，面积。
6.答案：B
解析：设正三角形的一个顶点为（，因抛物线开口向左），另一个顶点为（对称于轴）。
边长为，两对称顶点间距为，由正三角形性质得，平方得；
又，代入得，解得（舍去）；
代入，得，边长。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：抛物线（）的焦点到准线距离为2，故，抛物线方程，焦点，准线。
选项A：错误，应为；
选项B：周长，到准线距离，最小值为到准线距离（）加，总最小值，正确；
选项C：，二次函数在时取最小值12，故最小值，正确；
选项D：假设，为钝角则，代入得，判别式为0，不等式无解，故不存在这样的，正确。
8.答案：BD
解析：抛物线（）的点到对称轴距离为6，故，代入得（）。
点到准线距离为10，故，联立得：
解得或。
9.答案：ABD
解析：抛物线的焦点，直线（），、。
选项A：轴，则，，正确；
选项B：代入直线得，，，比值为1，正确；
选项C：（由距离公式推导），，因，比值不相等，错误；
选项D：、，故，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：抛物线的离心率，故焦点坐标为（焦点在轴负半轴）。
标准方程为，，故方程为。
11.答案：
解析：设（，），，平方得：
对恒成立，二次函数的对称轴。当（即）时，在单调递增，满足条件，故。
12.答案：50
解析：设抛物线方程（顶点，），江面，代入得。
桥面弦，代入得。
两式相除得，化简得，解得，故顶端到桥面距离。
四、解答题
13.解：
(1) 抛物线的准线，故（），方程为。
(2) 联立与，得，化简为。
设、，由韦达定理得。
弦长，故弦长为。
14.解：
(1) 抛物线的焦点，在抛物线上，故。
由，得，代入得：
解得（舍去），方程为。
(2) 设、，中点，故、。
由、，两式相减得：
直线方程为，整理为。
15.解：
(1) 圆配方得，圆心。直线平分圆则过圆心，代入得（）。
（均值不等式），最小值为。
(2) 抛物线准线与圆相切，故（或）。
当时，抛物线，焦点，，；
，令，比值，最大值为（当时）。
综上，的最大值为。