7.1认识证明
【知识点1】命题与定理 1
【知识点2】反证法 1
【题型1】命题的识别 2
【题型2】猜想 3
【题型3】命题真假的识别 8
【题型4】假命题中的反例问题 12
【题型5】猜想与证明 13
【知识点1】命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【知识点2】反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【题型1】命题的识别
【典型例题】下列句子中不是命题的是( )
A.明天会下雨 B.两直线平行，同旁内角互补 C.三角形的内角和是180度吗 D.同角的余角相等
【答案】C
【解析】解：对于选项A，明天会下雨，是命题，
∴选项A不符合题意；
对于选项B，两直线平行，同旁内角互补，是命题，
∴选项B不符合题意；
对于选项C，三角形的内角和是180度吗，不是命题，
∴选项C符合题意；
对于选项D，同角的余角相等，是命题，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】下列语句是命题的是( )
A.你喜欢数学吗？ B.小明是男生 C.城阳世纪公园 D.加强体育锻炼
【答案】B
【解析】解：A项，不是命题，故该项错误，不符合题意；
B项，是命题，故该项正确，符合题意；
C项，不是命题，故该项错误，不符合题意；
D项，不是命题，故该项错误，不符合题意.
故选：B．
【举一反三2】下列语句中，不是命题的是( )
A.两直线平行，同旁内角相等 B.若2a＝4，则a＝2 C.过一点作已知直线的平行线 D.同角的余角相等
【答案】C
【解析】解：根据命题的定义，可知A，B，D都是命题，
而C属于作图语言，不是命题．
故选：C．
【举一反三3】下列语句是命题的是( )
A.画一条直线 B.正数都大于零 C.同位角相等吗？ D.明天晴天吗？
【答案】B
【解析】解：A项，画一条直线，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意；
B项，正数都大于零，是命题，符合题意；
C项，同位角相等吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意；
D项，明天晴天吗？没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意.
故选：B．
【题型2】猜想
【典型例题】旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，∠AOB＝90°，将∠AOB绕点O旋转，∠AOB的边OA始终在直线CD的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，甲、乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：α与β一定互余；乙：α与β有可能互补；丙：若α增大，则β一定减小．你认为猜想正确的是( )
A.甲 B.乙 C.甲、丙 D.乙、丙
【答案】B
【解析】解：如图,当OB在直线CD的上方时，
∵∠AOB＝90°，
∴α+β+∠AOB＝180°，即α+β＝90°，
∴此时α与β互余，α增大，β减小，
如图,当OB在直线CD的下方时且∠BOD＝β＝45°时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝β＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α+β＝180°，即α与β有可能互补，故甲错误，乙正确.
如图，当OB在直线CD的下方时，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣β，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴α﹣β＝90°，即β＝α﹣90°，此时α增大，β增大，故丙错误．
故选：B．
【举一反三1】连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成2个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第二次操作，又可将这个长方形分成2个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想的值等于( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意可得，；
…
故选：D．
【举一反三2】折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( )
A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【答案】C
【解析】解：如图②，∵△CDE由△ADE翻折而成，
∴AD＝CD，
如图③，∵△DCF由△DBF翻折而成，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD＝CD，点D是AB的中点，
∴CD＝AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
故选：C．
【举一反三3】观察以下各式，分析其中的规律，并根据“特殊到一般”进行归纳与猜想．①＝2；②＝3；③＝4；…．则第n个式子的表达式是 ．
【答案】=(n+1)
【解析】解：第①个式子为=(1+1)；
第②个式子为＝(2+1)；
第③个式子为＝(3+1)；
..．
第n个式子为.
故答案为：=(n+1).
【举一反三4】费马在1640年提出猜想：是素数，92年后的1732年瑞士数学家欧拉发现：当n＝5时，是一个合数，即能分解成除1和本身外的其它因数的积，从而说明费马的这个猜想不成立．合数中有一个因数是641，另一个因数是在641中的41左右插入0与数a，形式为6a0041a， 则另一个因数是________.
【答案】6 700 417
【解析】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…，
∴2的个位数字是6，
∴个位数字是7，
∵合数中有一个因数是641，
∴另一个因数个位数字是7，
∴另一个因数是6 700 417．
故答案为：6 700 417．
【举一反三5】(1)观察下列各式：＝＝＝，即＝；＝＝＝，即＝；
(2)按照上式所含的规律，根据你的理解填写：＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ;
(3)猜想 ＝ ；
(4)请你用含有自然数n(n≥2)的式子写出你发现的规律，并给出验证过程．
【答案】解：(2)根据你的理解填写：＝＝＝4，即 ＝4．
故答案为：，，4，4．
(3)猜想 ＝5．
故答案为：5.
(4)含有自然数n(n≥2)的式子为=n，
理由： ===n .
【举一反三6】阅读下面的材料并完成填空：
你能比较2 0102 011和2 0112 010的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1与(n+1)n的大小(n为大于0的整数)，然后从n＝1，n＝2，n＝3， 这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列各组数的大小(填“＞”“＝”或“＜”)：
①12 21；②23 32；
③34 43；④45 54；
⑤56 65；⑥67 76；
(2)根据(1)小题的结果，可以猜想nn+1与(n+1)n的大小关系是
；
(3)根据上面的归纳猜想：2 0102 011 2 0112 010(填“＞”“＝”或“＜”)．
【答案】解：(1)①∵12＝1，21＝2，1＜2，
∴12＜21；
②∵23＝8，32＝9，8＜9，
∴23＜32；
③∵34＝81，43＝64，81＞64，
∴34＞43；
④∵45＝1 024，54＝625，1 024＞625，
∴45＞54；
⑤∵56＝15 625，65＝7 776，15 625＞7 776，
∴56＞65；
⑥∵67＝279 936，76＝117 649，279 936＞117 649，
∴67＞76．
故答案为：＜；＜；＞；＞；＞；＞．
(2)根据第一问的规律可得，
当0＜n＜3时，nn+1＜(n+1)n；
当n≥3时，nn+1＞(n+1)n．
故答案为：nn+1＜(n+1)n(0＜n＜3，n为整数)；
nn+1＞(n+1)n(n≥3，n为整数)．
(3)∵2 010＞3，
∴2 0102 011＞2 0112 010．
故答案为：＞．
【题型3】命题真假的识别
【典型例题】下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂线段最长；③三条直线两两相交，交点只能有3个．其中是真命题的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②垂线段最短，原命题是假命题；
③三条直线两两相交，交点有3个或者1个，原命题是假命题．
∴真命题有0个，
故选：A．
【举一反三1】下列命题中，是真命题的是( )
A.两直线平行，内错角互补 B.4的平方根是2 C.﹣1的立方根是1 D.直角三角形的两个锐角互余
【答案】D
【解析】解：A项，两直线平行，内错角相等，结论错误，是假命题，不符合题意；
B项，4的平方根是±2，结论错误，是假命题，不符合题意；
C项，﹣1的立方根是﹣1，结论错误，是假命题，不符合题意；
D项，结论正确，是真命题，符合题意.
故选：D．
【举一反三2】下列命题是真命题的个数是( )
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有理数与数轴上的点一一对应；
⑤圆周率是一个无理数．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题为假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题；
③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故原命题为假命题；
④实数与数轴上的点一一对应，故原命题为假命题；
⑤圆周率是一个无理数，为真命题；
故真命题的个数为1.
故选：A．
【举一反三3】下列命题中的真命题是( )
A.内错角相等 B.三角形内角和是180° C.是有理数 D.若|a|＝1，则a＝1
【答案】B
【解析】解：两直线平行，才有内错角相等，故A是假命题，不符合题意；
三角形内角和是180°，故B是真命题，符合题意；
是无理数，故C是假命题，不符合题意；
若|a|＝1，则a＝±1，故D是假命题，不符合题意.
故选：B．
【举一反三4】下列命题中，是真命题的是( )
A.同位角相等 B.垂直于同一条直线的两直线平行 C.相等的角是对顶角 D.平行于同一条直线的两直线平行
【答案】D
【解析】解：A项，前提条件没有确定，同位角不一定相等，故本选项错误，
B项，垂直于同一条直线的两直线平行，必须在同一平面内，故本选项错误，
C项，相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故本选项错误，
D项，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．
故选：D．
【举一反三5】现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
【答案】①③
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题；
③在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c，原命题是假命题；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题.
故答案为：①③．
【举一反三6】命题“如果x2＝y2，那么x＝y”是 (真、假命题).
【答案】假
【解析】解：当x＝﹣1，y＝1时，满足x2＝y2，但x≠y，
故原命题是假命题．
故答案为：假．
【举一反三7】下列命题中正确的是 .
①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的和一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；
④两个无理数的积一定是无理数．
【答案】①
【解析】解：①有理数与无理数之和一定是无理数,是对的，例如，是无理数．
②无理数与无理数之和一定是无理数,是错误的，例如，，0是有理数．
③有理数与无理数之积一定是无理数,是错误的，例如，，0是有理数．
④无理数与无理数之积一定是无理数,是错误的，例如，，2是有理数．
故正确的只有①.
故答案为：①．
【举一反三8】现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
【答案】①③
【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②三角形的三条角平分线交于一点，是真命题；
③在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c，原命题是假命题；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，是真命题.
故答案为：①③．
【题型4】假命题中的反例问题
【典型例题】下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是( )
A.a＝2 B.a＝1 C.a＝﹣1 D.a＝﹣2
【答案】D
【解析】解：选项A的反例不满足命题的条件，不符合；
选项B，C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；
选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例.
故选：D．
【举一反三1】能说明命题“对于任意实数a，都有＞0”是假命题的反例是( )
A.a＝﹣2 B.a＝﹣1 C.a＝0 D.a＝1
【答案】B
【解析】解：∵当a＝﹣1时，(a+1)2＝0，
∴能说明命题“对于任意实数a，都有＞0”是假命题的反例是a＝﹣1．
故选：B．
【举一反三2】下列四个n的值，能说明命题“对于任意的实数n，2n+5均能被5整除”是假命题的是( )
A.n＝5 B.n＝25 C.n＝1 D.n＝0
【答案】C
【解析】解：A项，n＝5是5的整数倍，2n+5＝15是5的整数倍，故A不能说明命题“对于任意的实数n，2n+5均能被5整除”是假命题，不符合题意；
B项，n＝25是5的整数倍，2n+5＝55是5的整数倍，故B不能说明命题“对于任意的实数n，2n+5均能被5整除”是假命题，不符合题意；
C项，n＝1不是5的整数倍，2n+5＝7不是5的整数倍，故C能说明命题“对于任意的实数n，2n+5均能被5整除”是假命题，符合题意；
D项，n＝0是5的整数倍，2n+5＝5是5的整数倍，故D不能说明命题“对于任意的实数n，2n+5均能被5整除”是假命题，不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是( )
A.a＝2 B.a＝1 C.a＝﹣1 D.a＝﹣2
【答案】D
【解析】解：选项A的反例不满足命题的条件，不符合；
选项B，C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；
选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例.
故选：D．
【举一反三4】要说明命题“无限小数都是无理数”是假命题，可以举的反例是 ．
【答案】0.101 010…(答案不唯一)
【解析】解：0.101 010…是无限循环小数，是有理数，不是无理数，
∴命题“无限小数都是无理数”是假命题，
故答案为：0.101 010…(答案不唯一)．
【举一反三5】说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是 ．
【答案】互补的两个角可以都是直角
【解析】解：∵互补的两个角可以都是直角，
∴说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是“互补的两个角可以都是直角”．
【举一反三6】对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝ ，b＝ ．
【答案】﹣2 ﹣3(答案不唯一)
【解析】解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而＜，
说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故答案为：﹣2；﹣3(答案不唯一).
【题型5】猜想与证明
【典型例题】分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有( )
A.一组 B.两组 C.三组 D.四组
【答案】D
【解析】解：第１组，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为(a+b+c)d，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad+bd+cd，
所以有(a+b+c)d＝ad+bd+cd，
因此第1组符合题意；
第２组，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为(a+b)(c+d)，
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，
所以有(a+b)(c+d)＝ac+ad+bc+bd，
因此第2组符合题意；
第３组，整体正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有(a+b)2＝a2+2ab+b2，
因此第３组符合题意；
第４组，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a﹣b，因此面积为(a﹣b)2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，
另外两个长方形的长为(a﹣b)，宽为b，则面积为(a﹣b)×b×2＝2ab﹣2b2，
所以有a2＝(a﹣b)2+b2+2ab﹣2b2，
即(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2，
因此第４组符合题意，
综上所述，四组均符合题意.
故选：D．
【举一反三1】如图所示，根据图中的边长与面积能验证的结论是( )
A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.( a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 D.(a+2b)(a﹣b)＝a2+ab﹣2b2
【答案】B
【解析】解：图形中，较大正方形的边长为a﹣b，因此面积为(a﹣b)2，小正方形的边长为b，因此面积为b2，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，
由图形中各个部分面积之间的关系可得，
(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2．
故选：B．
【举一反三2】在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是( )
A.找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B.作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
C.构造几何模型，用已学过的知识证明
D.相信自己，两个影子就是平行的
【答案】B
【解析】解：A项，平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故本选项不符合题意；
B项，根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故本选项符合题意；
C项，没有具体的操作方法，故本选项不符合题意；
D项，没有理论依据，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三3】小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C.不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D.小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【答案】D
【解析】解：小强通过测量得∠AOC＝23°，∠BOC＝23°，得出∠AOC＝∠BOC，这种测量的方法证明结论，具有偶然性，缺少推理的依据，不严谨，
所以小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明．
故选：D．
【举一反三4】已知整式 2a2﹣3a+2 的值为 P，a2﹣a﹣3 的值为Q．
[发现](1)当a＝0时，P＝2，Q＝ ，P Q(填“＞”“＝”或“＜”)；
当a＝3时，P＝ ，Q＝3，P Q；
[猜想与验证](2)无论a为何值，P Q始终成立，并证明该猜想的结论．
【答案】解：(1)将a＝0代入Q＝a2﹣a﹣3＝﹣3，
∴P＞Q．
故答案为：﹣3，＞．
将a＝3，代入P＝2a2﹣3a+2＝2×32﹣3×3+2＝11，
∴P＞Q，
故答案为：11，＞．
(2)无论a为何值P＞Q恒成立，理由如下：
P﹣Q＝2a2﹣3a+2﹣(a2﹣a﹣3 )
＝2a2﹣3a+2﹣a2+a+3
＝a2﹣2a+5
＝(a﹣1)2+4．
∵(a﹣1)2≥0，
∴(a﹣1)2+4＞0，
∴P＞Q．
故答案为：＞．
【举一反三5】熟悉又陌生的三角尺．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD＝∠ECB＝90°．
①若∠ECD＝30°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝160°，则∠ECD＝ ；
②猜想∠ACB与∠ECD的数量关系并验证；
(2)如图2，者是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点重合在一起，则∠GAC与∠DAF的数量关系为 ；
(3)已知∠AOB＝α，∠COD＝β(α，β都是锐角)，如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系．
【答案】解：(1)①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝30°，
∴∠DCB＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝150°，
∵∠ACB＝160°，∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝160°﹣90°＝70°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：150°，20°；
②猜想得∠ACB+∠ECD＝180°(或∠ACB与∠ECD互补)，
理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACB+∠ECD＝180°．
(2)∠GAC+∠DAF＝120°，
理由如下：由于∠GAC＝∠GAD+∠DAF+∠FAC，
故∠GAC+∠DAF＝∠GAD+∠DAF+∠FAC+∠DAF＝∠GAF+∠DAC＝60°+60°＝120°．
故答案为：∠GAC+∠DAF＝120°．
(3)∠AOD+∠BOC＝α+β，
理由：∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，
即∠AOD＝α+β﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝α+β．7.1认识证明
【知识点1】命题与定理 1
【知识点2】反证法 1
【题型1】命题的识别 2
【题型2】猜想 2
【题型3】命题真假的识别 4
【题型4】假命题中的反例问题 5
【题型5】猜想与证明 6
【知识点1】命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【知识点2】反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【题型1】命题的识别
【典型例题】下列句子中不是命题的是( )
A.明天会下雨 B.两直线平行，同旁内角互补 C.三角形的内角和是180度吗 D.同角的余角相等
【举一反三1】下列语句是命题的是( )
A.你喜欢数学吗？ B.小明是男生 C.城阳世纪公园 D.加强体育锻炼
【举一反三2】下列语句中，不是命题的是( )
A.两直线平行，同旁内角相等 B.若2a＝4，则a＝2 C.过一点作已知直线的平行线 D.同角的余角相等
【举一反三3】下列语句是命题的是( )
A.画一条直线 B.正数都大于零 C.同位角相等吗？ D.明天晴天吗？
【题型2】猜想
【典型例题】旋转是一种图形变换，在图形的旋转过程中会产生数量和位置关系的变与不变．如图，∠AOB＝90°，将∠AOB绕点O旋转，∠AOB的边OA始终在直线CD的上方，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，甲、乙、丙三位同学给出了如下猜想：甲：α与β一定互余；乙：α与β有可能互补；丙：若α增大，则β一定减小．你认为猜想正确的是( )
A.甲 B.乙 C.甲、丙 D.乙、丙
【举一反三1】连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成2个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第二次操作，又可将这个长方形分成2个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想的值等于( )
A.1 B. C. D.
【举一反三2】折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( )
A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【举一反三3】观察以下各式，分析其中的规律，并根据“特殊到一般”进行归纳与猜想．①＝2；②＝3；③＝4；…．则第n个式子的表达式是 ．
【举一反三4】费马在1640年提出猜想：是素数，92年后的1732年瑞士数学家欧拉发现：当n＝5时，是一个合数，即能分解成除1和本身外的其它因数的积，从而说明费马的这个猜想不成立．合数中有一个因数是641，另一个因数是在641中的41左右插入0与数a，形式为6a0041a， 则另一个因数是________.
【举一反三5】(1)观察下列各式：＝＝＝，即＝；＝＝＝，即＝；
(2)按照上式所含的规律，根据你的理解填写：＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ;
(3)猜想 ＝ ；
(4)请你用含有自然数n(n≥2)的式子写出你发现的规律，并给出验证过程．
【举一反三6】阅读下面的材料并完成填空：
你能比较2 0102 011和2 0112 010的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn+1与(n+1)n的大小(n为大于0的整数)，然后从n＝1，n＝2，n＝3， 这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
(1)通过计算，比较下列各组数的大小(填“＞”“＝”或“＜”)：
①12 21；②23 32；
③34 43；④45 54；
⑤56 65；⑥67 76；
(2)根据(1)小题的结果，可以猜想nn+1与(n+1)n的大小关系是
；
(3)根据上面的归纳猜想：2 0102 011 2 0112 010(填“＞”“＝”或“＜”)．
【题型3】命题真假的识别
【典型例题】下列命题中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂线段最长；③三条直线两两相交，交点只能有3个．其中是真命题的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】下列命题中，是真命题的是( )
A.两直线平行，内错角互补 B.4的平方根是2 C.﹣1的立方根是1 D.直角三角形的两个锐角互余
【举一反三2】下列命题是真命题的个数是( )
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有理数与数轴上的点一一对应；
⑤圆周率是一个无理数．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】下列命题中的真命题是( )
A.内错角相等 B.三角形内角和是180° C.是有理数 D.若|a|＝1，则a＝1
【举一反三4】下列命题中，是真命题的是( )
A.同位角相等 B.垂直于同一条直线的两直线平行 C.相等的角是对顶角 D.平行于同一条直线的两直线平行
【举一反三5】现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
【举一反三6】命题“如果x2＝y2，那么x＝y”是 (真、假命题).
【举一反三7】下列命题中正确的是 .
①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的和一定是无理数；
③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数；
④两个无理数的积一定是无理数．
【举一反三8】现有四个命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②三角形的三条角平分线交于一点；
③如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；
④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行．
其中是假命题的是 ．
【题型4】假命题中的反例问题
【典型例题】下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是( )
A.a＝2 B.a＝1 C.a＝﹣1 D.a＝﹣2
【举一反三1】能说明命题“对于任意实数a，都有＞0”是假命题的反例是( )
A.a＝﹣2 B.a＝﹣1 C.a＝0 D.a＝1
【举一反三2】下列四个n的值，能说明命题“对于任意的实数n，2n+5均能被5整除”是假命题的是( )
A.n＝5 B.n＝25 C.n＝1 D.n＝0
【举一反三3】下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是( )
A.a＝2 B.a＝1 C.a＝﹣1 D.a＝﹣2
【举一反三4】要说明命题“无限小数都是无理数”是假命题，可以举的反例是 ．
【举一反三5】说明“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是假命题，可举出的反例是 ．
【举一反三6】对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则a＝ ，b＝ ．
【题型5】猜想与证明
【典型例题】分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有( )
A.一组 B.两组 C.三组 D.四组
【举一反三1】如图所示，根据图中的边长与面积能验证的结论是( )
A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.( a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2 D.(a+2b)(a﹣b)＝a2+ab﹣2b2
【举一反三2】在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是( )
A.找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行
B.作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行
C.构造几何模型，用已学过的知识证明
D.相信自己，两个影子就是平行的
【举一反三3】小强在证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”给出如下过程：
关于这个证明，下面说法正确的是( )
A.小强用到了从特殊到一般的方法证明该定理
B.只要测量一百个到角的两边的距离相等的点都在角的平分线上，就能证明该定理
C.不能只用这个角，还需要用其它角度进行测量验证，该定理的证明才完整
D.小强的方法可以用作猜想，但不属于严谨的推理证明
【举一反三4】已知整式 2a2﹣3a+2 的值为 P，a2﹣a﹣3 的值为Q．
[发现](1)当a＝0时，P＝2，Q＝ ，P Q(填“＞”“＝”或“＜”)；
当a＝3时，P＝ ，Q＝3，P Q；
[猜想与验证](2)无论a为何值，P Q始终成立，并证明该猜想的结论．
【举一反三5】熟悉又陌生的三角尺．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD＝∠ECB＝90°．
①若∠ECD＝30°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝160°，则∠ECD＝ ；
②猜想∠ACB与∠ECD的数量关系并验证；
(2)如图2，者是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点重合在一起，则∠GAC与∠DAF的数量关系为 ；
(3)已知∠AOB＝α，∠COD＝β(α，β都是锐角)，如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出∠AOD与∠BOC的数量关系．
