7.3平行线的证明
【知识点1】平行公理及推论 1
【知识点2】平行线的判定与性质 1
【知识点3】平行线的性质 2
【题型1】运用内错角相等证明两直线平行 2
【题型2】运用同旁内角互补证明两直线平行 3
【题型3】运用两直线平行分析内错角 4
【题型4】运用同位角相等证明两直线平行 5
【题型5】证明两直线平行的综合应用 7
【题型6】运用两直线平行分析同旁内角 7
【题型7】运用两直线平行分析同位角 9
【题型8】实际问题的建模运用 10
【题型9】平行线性质判定的综合运用 12
【知识点1】平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【知识点2】平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【知识点3】平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
【题型1】运用内错角相等证明两直线平行
【典型例题】如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠B＝∠C D.∠1＝∠D
【举一反三1】下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠B＝∠C D.∠1＝∠D
【举一反三3】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠3 C.∠5＝∠ADC D.∠2＝∠4
【举一反三4】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
【举一反三5】完成下面证明：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2( )，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠ ，
∴AB∥CD( )．
【题型2】运用同旁内角互补证明两直线平行
【典型例题】如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是( )
A.∠BDC＝90° B.∠BDF＝90° C.∠BAC＝90° D.∠ACE＝90°
【举一反三1】如图，已知∠B+∠BEF＝180°，则( )
A.AD∥EF B.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC
【举一反三2】如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.∠B+∠D＝180 D.∠1+∠3+∠D＝180°
【举一反三3】如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是( )
A.∠BDC＝90° B.∠BDF＝90° C.∠BAC＝90° D.∠ACE＝90°
【举一反三4】如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.∠B+∠D＝180 D.∠1+∠3+∠D＝180°
【题型3】运用两直线平行分析内错角
【典型例题】如图，已知BM平分∠ABC，且BM∥AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.70°
【举一反三1】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
【举一反三2】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是( )
A.64° B.68° C.58° D.60°
【举一反三3】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
【题型4】运用同位角相等证明两直线平行
【典型例题】如图，下列各条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3 C.∠2＝∠3 D.∠2＝∠4
【举一反三1】如图，若∠1＝63°，则添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2 ( )
A.∠2＝127° B.∠4＝117° C.∠3＝27° D.∠5＝17°
【举一反三2】如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )
A.15° B.25° C.35° D.50°
【举一反三3】如图，直线a，c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝ °时，有a∥b．
【举一反三4】如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
【题型5】证明两直线平行的综合应用
【典型例题】如图，点E在BC的延长线上，在下列四个条件中，不能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠B＝∠DCE C.∠3＝∠4 D.∠D+∠DAB＝180°
【举一反三1】如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( )
A.如图1，展开后测得∠1＝∠2
B.如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C.如图3，测得∠1＝∠2
D.如图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
【举一反三2】如图所示，由下列条件能判定AB∥CD的是( )
A.∠BAC＝∠DAC B.∠DAC＝∠ACB C.∠BAC＝∠DCA D.∠D+∠DCB＝180°
【举一反三3】如图，下列不能判定AB∥EF的条件是( )
A.∠B+∠BFE＝180° B.∠1＝∠2 C.∠3＝∠4 D.∠B＝∠5
【题型6】运用两直线平行分析同旁内角
【典型例题】如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2等于( )
A.55° B.60° C.65° D.75°
【举一反三1】如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为( )
A.64° B.66° C.84° D.86°
【举一反三2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为( )
A.70° B.80° C.40° D.30°
【举一反三3】如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为( )
A.64° B.66° C.84° D.86°
【举一反三4】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为( )
A.70° B.80° C.40° D.30°
【题型7】运用两直线平行分析同位角
【典型例题】如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝35°，则∠FGB等于( )
A.40° B.55° C.65° D.70°
【举一反三1】如图，四条直线a，b，c，d，其中a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于( )
A.30° B.40° C.45° D.75°
【举一反三2】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是( )
A.42° B.48° C.58° D.84°
【举一反三3】如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD等于( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【举一反三4】如图，四条直线a，b，c，d，其中a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于( )
A.30° B.40° C.45° D.75°
【题型8】实际问题的建模运用
【典型例题】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是( )
A.110° B.108° C.100° D.115°
【举一反三1】近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
【举一反三2】车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是( )
A.150° B.180° C.270° D.360°
【举一反三3】近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
【举一反三4】如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 ．
【举一反三5】如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面.调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝130°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是 ．
【举一反三6】光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 ．
【题型9】平行线性质判定的综合运用
【典型例题】如图所示，下列推理正确的个数有( )
①若∠1＝∠2，则AB∥CD ；
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°；
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC；
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是( )
A.∠1＝180°﹣∠3 B.∠1＝∠3﹣∠2 C.∠2+∠3＝180°﹣∠1 D.∠2+∠3＝180°+∠1
【举一反三2】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 ．
【举一反三3】阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点D，E分别在线段AB，BC上，AC∥DE，DF∥AE，DF交BC于点F，AE平分∠BAC，求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC(已知)，
∴∠1＝∠2 ( )．
∵AC∥DE(已知)，
∴∠1＝∠3 ( )，
∴∠2＝∠3 ( )．
∵DF∥AE ( )，
∴∠2＝∠5 ( )，
且∠3＝∠4 ( )，
∴∠4＝∠5 ( )，
∴DF平分∠BDE ( )．7.3平行线的证明
【知识点1】平行公理及推论 1
【知识点2】平行线的判定与性质 1
【知识点3】平行线的性质 2
【题型1】运用内错角相等证明两直线平行 2
【题型2】运用同旁内角互补证明两直线平行 5
【题型3】运用两直线平行分析内错角 7
【题型4】运用同位角相等证明两直线平行 10
【题型5】证明两直线平行的综合应用 12
【题型6】运用两直线平行分析同旁内角 15
【题型7】运用两直线平行分析同位角 18
【题型8】实际问题的建模运用 21
【题型9】平行线性质判定的综合运用 26
【知识点1】平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【知识点2】平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【知识点3】平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
【题型1】运用内错角相等证明两直线平行
【典型例题】如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠B＝∠C D.∠1＝∠D
【答案】C
【解析】解：由∠1＝∠3不能判定AB∥CD，
故A不符合题意；
由∠2＝∠4不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
∵∠1＝∠D，
∴AF∥DE，
故D不符合题意.
故选：C．
【举一反三1】下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A项，由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
B项，∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
C项，由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
D项，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故符合题意.
故选：D．
【举一反三2】如图，下列条件中，一定能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠3 B.∠2＝∠4 C.∠B＝∠C D.∠1＝∠D
【答案】C
【解析】解：由∠1＝∠3不能判定AB∥CD，
故A不符合题意；
由∠2＝∠4不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
∵∠1＝∠D，
∴AF∥DE，
故D不符合题意.
故选：C．
【举一反三3】如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠4 B.∠1＝∠3 C.∠5＝∠ADC D.∠2＝∠4
【答案】B
【解析】解：A项，∠1＝∠4，不能判定AB∥CD，故该选项不正确，不符合题意；
B项，∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故该选项正确，符合题意；
C项，∵∠5＝∠ADC，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
D项，∠2＝∠4，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意.
故选：B．
【举一反三4】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
【答案】解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQ＝APQ，∠2＝∠PQH＝∠EQD，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH．
【举一反三5】完成下面证明：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2( )，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠ ，
∴AB∥CD( )．
【答案】证明：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD(内错角相等两直线平行)．
故答案为：角平分线的定义，3，内错角相等两直线平行．
【题型2】运用同旁内角互补证明两直线平行
【典型例题】如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是( )
A.∠BDC＝90° B.∠BDF＝90° C.∠BAC＝90° D.∠ACE＝90°
【答案】C
【解析】解：A项，由∠BDC＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
B项，由∠BDF＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
C项，由∠BAC＝90°，能判定AB∥EF，故该选项符合题意；
D项，由∠ACE＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意.
故选：C．
【举一反三1】如图，已知∠B+∠BEF＝180°，则( )
A.AD∥EF B.EF∥BC C.AB∥CD D.AD∥BC
【答案】B
【解析】解：∵∠B+∠BEF＝180°，
∴EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
故选：B．
【举一反三2】如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.∠B+∠D＝180 D.∠1+∠3+∠D＝180°
【答案】D
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
由∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
由∠B+∠D＝180°，不能判定AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠1+∠3+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
故D符合题意.
故选：D．
【举一反三3】如图是一款教室护眼灯AB，用两根电线AC，BD吊在天花板EF上，已知∠ACD＝90°，为保证护眼灯AB与天花板EF平行，添加下列条件中，正确的是( )
A.∠BDC＝90° B.∠BDF＝90° C.∠BAC＝90° D.∠ACE＝90°
【答案】C
【解析】解：A项，由∠BDC＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
B项，由∠BDF＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意；
C项，由∠BAC＝90°，能判定AB∥EF，故该选项符合题意；
D项，由∠ACE＝90°，不能判定AB∥EF，故该选项不符合题意.
故选：C．
【举一反三4】如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.∠B+∠D＝180 D.∠1+∠3+∠D＝180°
【答案】D
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
由∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
由∠B+∠D＝180°，不能判定AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠1+∠3+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
故D符合题意.
故选：D．
【题型3】运用两直线平行分析内错角
【典型例题】如图，已知BM平分∠ABC，且BM∥AD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是( )
A.30° B.35° C.40° D.70°
【答案】B
【解析】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠ABC＝35°．
∵BM∥AD，
∴∠A＝∠MBA＝35°．
故选：B．
【举一反三1】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
【答案】B
【解析】解：如图，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BED＝30°，
又∵∠DEF＝45°，
∴∠BEF＝75°，
∴∠1＝180°﹣∠BEF＝105°.
故选：B．
【举一反三2】如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，EG平分∠AEF，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是( )
A.64° B.68° C.58° D.60°
【答案】A
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEG．
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEG，
∴∠AEF＝2∠1＝64°，
∴∠2＝∠AEF =64°．
故选：A．
【举一反三3】将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
【答案】B
【解析】解：如图，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BED＝30°，
又∵∠DEF＝45°，
∴∠BEF＝75°，
∴∠1＝180°﹣∠BEF＝105°.
故选：B．
【题型4】运用同位角相等证明两直线平行
【典型例题】如图，下列各条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠3 C.∠2＝∠3 D.∠2＝∠4
【答案】A
【举一反三1】如图，若∠1＝63°，则添加下列哪个条件后，可判定l1∥l2 ( )
A.∠2＝127° B.∠4＝117° C.∠3＝27° D.∠5＝17°
【答案】B
【解析】解：A项，∵∠2＝127°，∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝53°，
∵∠1＝63°，
∴∠1≠∠3，
∴不能判定l1∥l2，
故A不符合题意；
B项，∵∠4＝117°，∠4+∠3＝180°，
∴∠3＝63°，
∵∠1＝63°，
∴∠1＝∠3，
∴l1∥l2，
故B符合题意；
C项，∵∠1＝63°，∠3＝27°，
∴∠1≠∠3，
∴不能判定l1∥l2，
故C不符合题意；
D项，∵∠1＝63°，∠5＝∠3＝17°，
∴∠1≠∠3，
∴不能判定l1∥l2，
故D不符合题意.
故选：B．
【举一反三2】如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( )
A.15° B.25° C.35° D.50°
【答案】C
【解析】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．
故选：C．
【举一反三3】如图，直线a，c固定，∠1＝70°，直线b绕着点O旋转，当旋转到使∠2＝ °时，有a∥b．
【答案】70
【解析】解：当a∥b，
∴∠2＝∠1＝70°，
∴∠2＝70°时，∠2＝∠1，
∴a∥c.
故答案为：70．
【举一反三4】如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
【答案】解：因为CD平分∠ECF，
所以∠ECD＝∠FCD(角平分线的定义)．
因为∠ACB＝∠FCD(对顶角相等)，
所以∠ECD＝∠ACB(等量代换)．
因为∠B＝∠ACB，
所以∠B＝∠ECD(等量代换)．
所以AB∥CE(同位角相等，两直线平行)．
【题型5】证明两直线平行的综合应用
【典型例题】如图，点E在BC的延长线上，在下列四个条件中，不能判断AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2 B.∠B＝∠DCE C.∠3＝∠4 D.∠D+∠DAB＝180°
【答案】C
【解析】解：A项，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故此选项不符合题意；
B项，∵∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，故此选项不符合题意；
C项，∵∠3＝∠4，
∴AD∥CB，故此选项符合题意；
D项，∵∠D+∠DAB＝180°，
∴AB∥CD，故此选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( )
A.如图1，展开后测得∠1＝∠2
B.如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C.如图3，测得∠1＝∠2
D.如图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
【答案】C
【解析】解：A项，当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B项，由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b，故此选项不符合题意；
C项，∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
D项，由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意.
故选：C．
【举一反三2】如图所示，由下列条件能判定AB∥CD的是( )
A.∠BAC＝∠DAC B.∠DAC＝∠ACB C.∠BAC＝∠DCA D.∠D+∠DCB＝180°
【答案】C
【解析】解：由∠BAC＝∠DAC，不能判定AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
故B不符合题意；
∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
故C符合题意；
∵∠D+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，
故D不符合题意.
故选：C．
【举一反三3】如图，下列不能判定AB∥EF的条件是( )
A.∠B+∠BFE＝180° B.∠1＝∠2 C.∠3＝∠4 D.∠B＝∠5
【答案】B
【解析】解：A项，∵∠B+∠BFE＝180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)，故A不符合题意；
B项，∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)，故B符合题意；
C项，∵∠3＝∠4，
∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)，故C不符合题意；
D项，∵∠B＝∠5，
∴AB∥EF(同位角相等，两直线平行)，故D不符合题意.
故选：B．
【题型6】运用两直线平行分析同旁内角
【典型例题】如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2等于( )
A.55° B.60° C.65° D.75°
【答案】D
【解析】解：∵m∥n，
∴∠1+∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠1＝105°，
∴∠2＝180°﹣105°＝75°．
故选：D．
【举一反三1】如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为( )
A.64° B.66° C.84° D.86°
【答案】A
【解析】解：如图，
∵∠1+∠2＝232°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝116°，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝64°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝64°.
故选：A．
【举一反三2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为( )
A.70° B.80° C.40° D.30°
【答案】C
【解析】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠1＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠3＝180°﹣∠BEF＝40°.
故选：C．
【举一反三3】如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为( )
A.64° B.66° C.84° D.86°
【答案】A
【解析】解：如图，
∵∠1+∠2＝232°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝116°，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝64°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝64°.
故选：A．
【举一反三4】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，则∠3的度数为( )
A.70° B.80° C.40° D.30°
【答案】C
【解析】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠1＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠3＝180°﹣∠BEF＝40°.
故选：C．
【题型7】运用两直线平行分析同位角
【典型例题】如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝35°，则∠FGB等于( )
A.40° B.55° C.65° D.70°
【答案】B
【解析】解：∵AB∥DE，∠CDE＝35°，
∴∠B＝∠CDE＝35°，
又∵FG⊥BC，∴∠BFG=90°
由三角形内角和是180°可知
∠FGB＝180°-90°﹣∠B＝55.
故选：B．
【举一反三1】如图，四条直线a，b，c，d，其中a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于( )
A.30° B.40° C.45° D.75°
【答案】C
【解析】解：如图，
∵a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，
∴∠4+∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4=80°﹣35°＝45°．
故选：C．
【举一反三2】如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝42°，则∠2的度数是( )
A.42° B.48° C.58° D.84°
【答案】B
【解析】解：如图，
∵∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°，∠1＝42°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝48°．
故选：B．
【举一反三3】如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD等于( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【答案】C
【解析】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，又∵∠BAD＝35°，
∴∠BAE=55°.
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAE＝55°.
故选：C．
【举一反三4】如图，四条直线a，b，c，d，其中a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，则∠3等于( )
A.30° B.40° C.45° D.75°
【答案】C
【解析】解：如图，
∵a∥b，∠1＝35°，∠2＝80°，
∴∠4+∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4=80°﹣35°＝45°．
故选：C．
【题型8】实际问题的建模运用
【典型例题】如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝40°，边OB上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与边OB平行，∠ODE＝∠ADC，则∠CDE的度数是( )
A.110° B.108° C.100° D.115°
【答案】C
【解析】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等),
∴∠2＝∠3(等量代换).
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝40°，
∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
∴∠3＝∠1＝∠2＝50°，
∴∠CDE＝∠1+∠3＝100°．
故选：C．
【举一反三1】近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
【答案】A
【解析】解：过点C作CK∥AB，
∵ED∥AB，
∴CK∥ED，
∵BC⊥AB，
∴BC⊥CK，
∴∠BCK＝90°，
∵∠DCB＝140°，
∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，
∵CK∥DE，
∴∠EDC+∠DCK＝180°，
∴∠EDC＝130°．
故选：A．
【举一反三2】车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是( )
A.150° B.180° C.270° D.360°
【答案】C
【解析】解：过点B作BF∥AE，如图，
∵CD∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故选：C．
【举一反三3】近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
【答案】A
【解析】解：过点C作CK∥AB，
∵ED∥AB，
∴CK∥ED，
∵BC⊥AB，
∴BC⊥CK，
∴∠BCK＝90°，
∵∠DCB＝140°，
∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，
∵CK∥DE，
∴∠EDC+∠DCK＝180°，
∴∠EDC＝130°．
故选：A．
【举一反三4】如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 ．
【答案】210°
【解析】解：过∠2顶点做直线l∥支撑平台，
∴l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°，
∵∠4+∠5＝∠2，
∴∠2+∠3＝210°．
故答案为：210°．
【举一反三5】如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面.调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝130°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是 ．
【答案】105°
【解析】解：过D点作DI∥EF，如图，
∴∠F+∠FDI＝180°，
∵∠F＝130°，
∴∠FDI＝50°，
∵∠CDB＝25°，主柱AD垂直于地面，EF始终平行于底座AB，∴∠IDA=90°, ∠FDH=∠CDB＝25°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣25°﹣50°＝15°，
∴∠ABH＝90°﹣15°＝75°，
∵GH∥AB，
∴∠H+∠ABH＝180°，
∴∠H＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°．
【举一反三6】光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝60°，∠2＝43°，则∠DBC的度数为 ．
【答案】17°
【解析】解：
∵MN∥EF，
∴∠1+∠CBN＝180°，
∵∠1＝60°，
∴∠CBN＝180°﹣60°＝120°，
∵∠2＝43°，
∴∠CBA＝∠CBN+∠2＝120°+43°＝163°，
∵∠DBC+∠CBA＝180°，
∴∠DBC＝180°﹣163°＝17°，
故答案为：17°．
【题型9】平行线性质判定的综合运用
【典型例题】如图所示，下列推理正确的个数有( )
①若∠1＝∠2，则AB∥CD ；
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°；
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC；
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；
∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，∴③正确；
由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误.
正确的个数有2个.
故选：C．
【举一反三1】如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是( )
A.∠1＝180°﹣∠3 B.∠1＝∠3﹣∠2 C.∠2+∠3＝180°﹣∠1 D.∠2+∠3＝180°+∠1
【答案】D
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1.
故选：D．
【举一反三2】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 ．
【答案】110°
【解析】解：如图所示，由题意可知l∥l'，
∵l∥l'，
∴∠1+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠1＝70°，
∴∠3＝110°，
∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：110°．
【举一反三3】阅读下列推理过程，在括号中填写依据．
已知：如图，点D，E分别在线段AB，BC上，AC∥DE，DF∥AE，DF交BC于点F，AE平分∠BAC，求证：DF平分∠BDE．
证明：∵AE平分∠BAC(已知)，
∴∠1＝∠2 ( )．
∵AC∥DE(已知)，
∴∠1＝∠3 ( )，
∴∠2＝∠3 ( )．
∵DF∥AE ( )，
∴∠2＝∠5 ( )，
且∠3＝∠4 ( )，
∴∠4＝∠5 ( )，
∴DF平分∠BDE ( )．
【答案】证明：∵AE平分∠BAC(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)，
∵AC∥DE(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)，
∴∠2＝∠3(等量代换)，
∵DF∥AE(已知)，
∴∠2＝∠5(两直线平行，同位角相等)，
且∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)，
∴∠4＝∠5(等量代换)，
∴DF平分∠BDE(角平分线的定义)．
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的定义．
