2.1认识有理数
【知识点1】正数和负数 2
【知识点2】数轴 3
【知识点3】绝对值 4
【知识点4】有理数 5
【知识点5】非负数的性质：绝对值 6
【知识点6】有理数大小比较 7
【知识点7】相反数 8
【题型1】正数与负数中数字变化规律探究 9
【题型2】根据定义求一个数的相反数 11
【题型3】绝对值的意义 11
【题型4】利用数轴上的点比较大小 13
【题型5】0的意义 14
【题型6】绝对值的其他应用 15
【题型7】判定是否为相反数 16
【题型8】相反数的应用 19
【题型9】数轴的三要素及其画法 20
【题型10】用数轴上的点表示有理数 22
【题型11】带“非”字的有理数 23
【题型12】用正负数表示相反意义的量 25
【题型13】数轴上的动点问题 27
【题型14】化简多重符号 30
【题型15】有理数大小比较的实际应用 32
【题型16】绝对值方程 33
【题型17】正数与负数的概念及表示方法 34
【题型18】有理数的分类 36
【题型19】利用绝对值的非负性解题 37
【题型20】化简绝对值 38
【题型21】根据点在数轴上的位置来确定数 39
【题型22】利用定义求数的绝对值 41
【题型23】数轴上两点之间的距离 42
【题型24】利用绝对值比较两个负数的大小 45
【题型25】有理数的概念 46
【题型26】对具有相反意义的量的了解 47
【题型27】正负数的实际应用 49
【知识点1】正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
1.（2025春 望奎县期末）下列每组中的两个量不是具有相反意义的一组量是（ ）
A．收入40元与支出10元 B．浪费1吨水与节约1吨水
C．向东走4米与向北走4米 D．增产12吨与减产12吨
【答案】C
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量，据此进行判断即可．
【解答】解：收入40元与支出10元是具有相反意义的一组量，则A不符合题意，
浪费1吨水与节约1吨水是具有相反意义的一组量，则B不符合题意，
向东走4米与向北走4米不是具有相反意义的一组量，则C符合题意，
增产12吨与减产12吨是具有相反意义的一组量，则D不符合题意，
故选：C．
2.（2025春 安次区校级月考）立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是1.76m.若小红跳出1.81m,记为+0.05m,则珍珍跳出1.71m,应记为（ ）
A．-0.05m B．+0.05m C．-0.1m D．+0.1m
【答案】A
【分析】利用正数和负数的意义解答．
【解答】解：1.71-1.76=-0.05，
珍珍跳出1.71m,应记为-0.05m.故选：A．
3.（2025春 南岗区期末）在-7，2.5，-0.5，0，中负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：-7＜0，是负数；
2.5＞0，是正数；
-0.5＜0，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
＞0，是正数；
∴负数有-7，-0.5，共2个．
故选：B．
【知识点2】数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
1.（2025 靖江市校级三模）如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数可能是下列四个数中的（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可．
【解答】解：由题意可得：该数可能是-3．
故选：A．
2.（2025春 鼓楼区期末）数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ）
A．a+c＞b+c B．a-c＞b-c C．ac＜bc D．ac2＜bc2
【答案】D
【分析】利用数轴知识和不等式的性质判断即可．
【解答】解：∵a＜b,
∴a+c＜b+c,故选项A不符合题意；
∵a＜b,
∴a-c＜b-c,故选项B不符合题意；
∵a＜b,c＜0，
∴ac＞bc,故选项C不符合题意；
∵a＜b,c2＞0，
∴ac2＜bc2，故选项D符合题意；
故选：D．
【知识点3】绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
1.（2025 连云港）-5的绝对值是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
【解答】解：-5的绝对值为5．
故选：A．
2.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-（+5）与+（-5） B．与-（+0.5）
C．-|-0.01|与-（-） D．与0.3
【答案】C
【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解．
【解答】解：A．-（+5）=-5，+（-5）=-5，选项A不符合题意；
B．-（+0.5）=-0.5，与-相等，选项B不符合题意；
C．-|-0.01|=-0.01，-（-）==0.01，-0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意；
D．-与0.3不是相反数，选项D不符合题意；
故选：C．
【知识点4】有理数
我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
1.（2024秋 静海区校级期末）下列7个数：，1.010010001，，0，-2π，-3.141441444…（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，对各个数逐一判断即可．
【解答】解：，1.010010001，，0，都是有理数，共5个，
故选：C．
2.（2024秋 桑植县期末）下列四个有理数中属于负数的是（ ）
A． B．0 C．-0.3 D．1
【答案】C
【分析】根据正数和负数的意义选出即可．
【解答】解：-0.3属于负数．
故选：C．
3.（2024秋 武威期末）在-3，，5，0，-0.2中，负整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】根据有理数的分类判断即可．
【解答】解：在-3，，5，0，-0.2中，负整数有-3，共1个．
故选：D．
【知识点5】非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1.（2024秋 历城区校级月考）已知|a+3|+|b-2|=0，则a-b=（ ）
A．5 B．1 C．3 D．-5
【答案】D．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|a+3|+|b-2|=0，
∴a+3=0，b-2=0，
∴a=-3，b=2，
∴a-b=-5．
故选：D．
2.（2024秋 凯里市期中）若|x+3|与|y-5|互为相反数，则x+y的值是（ ）
A．-3 B．5 C．2 D．-2
【答案】C．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x+3|和|y-5|互为相反数，
∴|x+3|+|y-5|=0，
∴x+3=0，y-5=0，
∴x=-3，y=5，
∴x+y=-3+5=2．
故选：C．
【知识点6】有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b．
1.（2025 福州模拟）下列四个数中最小的数是（ ）
A．0 B．-2 C．-5 D．1
【答案】C．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵-5＜-2＜0＜1，
∴最小的数是：-5．
故选：C．
2.（2025 碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（ ）
A．-1.5 B．0 C．3 D．1
【答案】A
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵-1.5＜0＜1＜3，
∴最小的数是：-1.5．
故选：A．
3.（2025 定西一模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．-2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】首先求出每个数的绝对值各是多少，然后根据有理数大小比较的方法，判断出四个数中，绝对值最小的数是哪个即可．
【解答】解：|-2|=2，|0|=0，|-|=，
∵0＜＜2，
∴四个数中，绝对值最大的数是-2．
故选：A．
【知识点7】相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
1.（2025春 新田县期末）的相反数是（ ）
A．- B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：的相反数是-．
故选：A．
2.（2025春 丽江期末）若-（+a）=+（-6），则a的值是（ ）
A． B． C．6 D．-6
【答案】C
【分析】根据相反数的定义化简-（+a）=+（-6），得出-a=-6，即可求出a的值．
【解答】解：∵-（+a）=+（-6），
∴-a=-6，
∴a=6，
故选：C．
【题型1】正数与负数中数字变化规律探究
【典型例题】根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，2012÷4＝503，即0到2011共2012个数，构成前面503个循环，所以2012是第504个循环的第1个数，2013是第504个循环组的第2个数，所以从2013到2014再到2015，箭头的方向是．
【举一反三1】一组数据如下：1＋m，2－m，3＋m，4－m，5＋m，……则第2016个数是( )
A. 2016＋m B. 2016－m C. 2015＋m D. 2015－m
【答案】B
【解析】数字是一组连续的自然数，当是第奇数个时加上m，当是第偶数个时减去m.所以第2016个数是2016－m.
故选B.
【举一反三2】有一列数：1，，，，，，，……第9个数是________________.
【答案】
【解析】分母是1的数有1个，分母是2的分数有2个，分母是3的分数有3个，分母是4的分数有4个，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以第9个数的分母是4，是分母为4的第3个，为.
【举一反三3】观查下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个数、第101个数、第2020个数是什么吗？
(1)-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……
(2)1，，3，，5，，7，， ， ， ，…
【答案】解 (1)根据已知数据，可得数据规律为：二负一正，三个数字一个循环，这样往复下去，且数字依次增加1，后面的三个数据为：+9，-10，-11，第18个数为+18，第101个数为-101，第2020个数为-2020；
(2)根据已知数据，可得数据规律为：一正一负，且奇数数字为1、3、5、7、……，奇数为正数；偶数数字分母为2、4、6、8、……，且为负数，所以后面的三个数据为：9，-，11，第18个数为，第l01个数为101，第2020个数为．
【题型2】根据定义求一个数的相反数
【典型例题】小明身高，则他身高的相反数是( )
A. B. C.+1.78 D.
【答案】B
【解析】的相反数是，
故选B．
【举一反三1】的相反数是( )
A. B.4 C. D.
【答案】B
【解析】的相反数是4．
故选B．
【举一反三2】与3互为相反数，则___________．
【答案】
【解析】因为与3互为相反数，所以，，
故答案为.
【举一反三3】如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数．
求：，，的值.
【答案】解 观察正方形的展开图，a与是相对面，b与是相对面，c与2是相对面，因为相对面上的两个数互为相反数，所以，，.
【题型3】绝对值的意义
【典型例题】下列说法正确的是
A.一个数的绝对值一定比0大
B.绝对值等于它本身的数一定是正数
C.一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
D.绝对值最小的数是0
【答案】D
【解析】由于，故选项A错误；
0和正数的绝对值是它本身，故选项B错误；
负数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠左，故选项C错误；
绝对值最小的数是0，故选项D正确．
故选D．
【举一反三1】．绝对值大于1且小于5的所有整数的和是( )
A.7 B.－7 C.0 D.5
【答案】C
【解析】绝对值大于1且小于5的所有整数有：-4，-3，-2，2，3，4．
则-4-3-2+2+3+4=0．
故选C．
【举一反三2】已知|m|＝3，那么m＝_________.
【答案】3或-3
【解析】因为|m|＝3，所以m＝3或-3.
故答案是：3或-3.
【举一反三3】若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】(1)，
，
即：；
(2)，且，
．
【举一反三4】已知，，且，试求出所有可能的和的值．
【答案】解 ，，
，，
，
，或，．
【题型4】利用数轴上的点比较大小
【典型例题】已知:数a与－1在数轴上表示的点如图所示，则数－a与1的大小关系是( )
A.–a=1 B.–a>1 C.-a＜1 D.无法确定
【答案】B
【解析】由图可知，a＜-1＜0，|a|＞1， |a|=-a， -a＞1．
故选B．
【举一反三1】实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】C
【解析】由图可知，，
故选：C．
【举一反三2】两数在数轴上的位置如图所示，则________(用“”“”“”填空)．
【答案】
【解析】根据在数轴的位置可知，，
故答案为：．
【举一反三3】画一条数轴，在数轴上表示下列各数：0，–4，，–2，+5，1.5，并用“>”号连接．
【答案】解 在数轴上表示如图所示：
．
【举一反三4】画出数轴，把下列各数所表示的点在数轴上画出来，并用“＜”把这些数连接起来.
+3，-2.5，0，，4.7，-1.
【答案】解 如图所示.
【题型5】0的意义
【典型例题】下列说法错误的是( )
A.0是最小的自然数
B.0既不是正数，也不是负数
C.海拔高度是0米表示没有高度
D.0℃是零上温度和零下温度的分界线
【答案】C
【解析】海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故C项是错误的，符合题意.
其他选项都正确，故选C.
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.一个数不是正数就是负数
B.0是正数
C.0不是自然数
D.自然数中除0外都是正数
【答案】D
【解析】0既不是正数也不是负数，0是自然数，所以A、B、C三项是错误的；自然数包括0和正整数，故D项是正确的.
故选D.
【举一反三2】零是( )
A.最小的有理数
B.最大的负有理数
C.最小的非负有理数
D.最小的整数
【答案】C
【解析】没有最小的有理数，没有最大的负有理数，也没有最小的整数，0是最小的非负有理数，故C项正确.
故选C.
【举一反三3】____________既不是正数，也不是分数，但它是整数．
【答案】0
【解析】0既不是正数也不是负数，也不是分数，但它是整数.
故答案为0.
【举一反三4】“不是正数的数一定是负数，不是负教的数一定是正数”的说法对吗？为什么？
【答案】解 不对．因为0既不是正数也不是负数．
【题型6】绝对值的其他应用
【典型例题】若，则的关系是( )
A. B. C.或 D.以上都不是
【答案】C
【解析】当mn≥0时，由|m|=|n|，得：m=n，
当mn＜0时，由|m|=|n|，得：m=-n，
综上，m=n或m=n，
故选C．
【举一反三1】已知一个数的绝对值等于2，那么这个数与2的和为( )
A.4 B.0 C.4或—4 D.0或4
【答案】D
【解析】这个数的绝对值为2，这个数为2或－2，2+2=4，－2+2=0，
故选：D.
【举一反三2】绝对值不大于11的整数有( )
A.11个 B.12个 C.22个 D.23个
【答案】D
【解析】设绝对值不大于11的整数为x，
因为x的绝对值不大于11， 所以|x|≤11，解得-11≤x≤11，
∴绝对值不大于11的整数有：±11，±10，±9，±8，±7，±6，±5，±4，±3，±2，±1，0，
共23个．
故选D．
【举一反三3】代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ．
【答案】3 -9
【解析】当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，
∴ab=-9，
故答案为：3，-9．
【举一反三4】若a、b、c为整数，且，试计算的值.
【答案】解 由题意知，|a-b|与中一个为0，另一个为1.
当，时，原式；
当时，原式.
【题型7】判定是否为相反数
【典型例题】下列各对数中，互为相反数的( )
A.和a B.﹣(+1.5)和+1.5 C.和2 D.+(﹣22)和﹣(+22)
【答案】B
【解析】 =a，故A不互为相反数；
﹣(+1.5)和+1.5互为相反数，故B符合；
和2不互为相反数，故C不符合题意；
+(﹣22)=﹣(+22)，故D不互为相反数.
故选B.
【举一反三1】在8，，5，，4，0这六个数中，互为相反数的是( )
A.8和 B.8和 C.5和0 D.和4
【答案】D
【解析】根据相反数的定义可知，和4互为相反数，
故选：D．
【举一反三2】下列各对数中，是互为相反数的是( )
A.﹣(+7)与+(﹣7)
B.﹣与+(﹣0.5)
C.与
D.+(﹣0.01)与
【答案】C
【解析】A．﹣(+7)=+(﹣7)，不互为相反数；
B．﹣=+(﹣0.5)，不互为相反数；
C．与互为相反数；
D．+(﹣0.01)=，不互为相反数.
故选C.
【举一反三3】互为相反数是指( )
A.意义相反的两个量
B.一个负数前面加上符号“－”所得的数与原数
C.数轴上原点两侧的两个点所表示的两个数
D.只有符号不同的两个数(0的相反数是0)
【答案】D
【解析】向南走3米与向北走2米是具有相反意义的两个量，但不互为相反数，A错误；
一个数的前面添上“-”号所得的数是原数的相反数，互为相反数是指两个数，故B错误；
数轴上-3在原点的左边，2在原点的右边，但-3和2不互为相反数，故C错误；
只有符号不同的两个数互为相反数，故D正确.
故选D.
【举一反三4】下列各对数中，互为相反数的有( )
①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
【答案】B
【解析】①与互为相反数，符合题意；②=1，1与互为相反数，符合题意；
③=2， =-2，2与-2互为相反数，符合题意；
④=， =， =，不符合题意；
⑤=-1， =1，-1与1互为相反数，符合题意；
⑥=-2， =2，-2与2互为相反数，符合题意；
所以符合题意的有5对，
故选：B．
【举一反三5】下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数：③若a、b互为相反数，则=-1；④若=-1，则a、b互为相反数．正确的结论有 个.
【答案】3
【解析】①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，若、互为相反数，则故①正确；a+b=0，a=－b，所以a、互为相反数，故②正确；0的相反数是0，若时，无意义，故③错误；因为，所以a=－b，a、互为相反数，故④正确．
故答案为①③④.
【举一反三6】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
【答案】②④
【解析】-a-b=-(a+b)，①a﹣b与﹣a﹣b不互为相反数；②a+b与﹣a﹣b互为相反数；
③a+1与1﹣a不互为相反数；﹣a+b=b-a，④﹣a+b与a﹣b互为 相反数.
故互为相反数有②④.
【举一反三7】下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数：③若a、b互为相反数，则=-1；④若=-1，则a、b互为相反数．正确的结论有 个.
【答案】3
【解析】①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，若、互为相反数，则故①正确；a+b=0，a=－b，所以a、互为相反数，故②正确；0的相反数是0，若时，无意义，故③错误；因为，所以a=－b，a、互为相反数，故④正确．
故答案为①③④.
【题型8】相反数的应用
【典型例题】互为相反数的两个数的和为( )
A.0 B.正数 C.负数 D.无法确定
【答案】A
【解析】互为相反数的两个数的和为0．
故选A
【举一反三1】-a+b-c的相反数是( )
A.-a-b+c B.a+(-b)+c C.-a-b-c D.a-b-c
【答案】B
【解析】-a+b-c的相反数是：；
故选择：B.
【举一反三2】计算﹣1 1＝0，则“ ”表示的运算符号是( )
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【答案】A
【解析】 和1互为相反数，所以，填“+”，.
故选A.
【举一反三3】若m，n互为相反数，则5m＋5n= ．
【答案】-5
【解析】由题意得m＋n=0，
则5m＋5n
＝5(m＋n)
=．
故答案为：．
【举一反三4】将—8，—6，—4，—2，0，2，4，6，8这9个数分别填入下图中使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加均为0．
【答案】解 观察各数可知：9个数中除了0，其余8个数是4对相反数，因此把0放在最中间位置，其余各对相反数放在一条直线上，然后使得各条线上的数相加得0即可．
如图所示：
【举一反三5】如果a 和 b表示有理数，在什么条件下， a+b 和a-b互为相反数
【答案】解 由题意得：a+b+a b=0，
解得：a=0.
故当a=0时，a+b和a b互为相反数.
【题型9】数轴的三要素及其画法
【典型例题】下列各图中，表示数轴正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】数轴的三要素是：原点，正方向，单位长度，
A. 符合数轴的要求，正确；
B. 原点左边的数字顺序错误；
C. 无原点错误；
D. 无正方向错误.
故答案选A.
【举一反三1】下列给出的四条数轴，错误的是（ ）
A.①② B.②③④ C.①②③ D.①②③④
【答案】C
【解析】数轴是规定了原点，正方向及单位长度的直线；
①中没有原点，利用正方向得出，负数标注不正确，故此项错误；
②利用正方向得出，负数标注不正确，故此项错误；
③利用正方向得出，数据标注不正确，故此项错误；
④利用数轴三要素得出此图象正确；
故错误的有①②③．
故选：C．
【举一反三2】下列能正确表示数轴的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A选项不是一条直线，数轴是一条直线，故说法错误；
B选项单位长度不一致，说法错误；C选项没有正方向，说法错误；D选项正确。
故选D．
【举一反三3】画一条 ，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作 ，选取某一长度作为 ，规定直线上向右的方向为 ，就得到 ．
【答案】水平直线 原点 单位长度 正方向 数轴
【举一反三4】画数轴：
①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”．
②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示．
③选择适当的长度为单位长度．
【答案】解 作图如下：
【题型10】用数轴上的点表示有理数
【典型例题】如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A.1.5 B.﹣2.6 C.﹣1.4 D.2.6
【答案】C
【解析】由数轴上M点所表示的位置可知，﹣2＜M＜﹣1，
只有选项C满足条件．
【举一反三1】点A、B、C、D在数轴上的位置如图用示，点A、D表示的数是互为相反数，若点B所表示的数为a，，则点D所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：点B所表示的数为a，，所以点A表示的数为:，
∵点A、D表示的数是互为相反数，
点D表示的数为：，
故选：A．
【举一反三2】如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为 （ ）
A.30 B.50 C.60 D.80
【答案】C
【解析】每个间隔之间表示的长度为：100÷5=20，A离原点三格，因此A表示的数为：20×3=60．
故选C．
【举一反三3】数轴上点表示的数是，点到点的距离为个单位，则点表示的数是 ．
【答案】-3或
【解析】在表示-1左边的，比-1小2的数时，这个数是-1-2=-3；
在表示-1右边的，比-1大2的数时，这个数是-1+2=1．
【举一反三4】以下四个有理数：－3，，0，0.5，2.5，－1，把以上各数表示在数轴上．
【答案】解 ，
如图所示．
【题型11】带“非”字的有理数
【典型例题】在-1，0，1，3.7，，中，非负数有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.1
【答案】C
【解析】 =2； =-3， 所以非负数共有0，1，3.7，共4个
故选C.
【举一反三1】在，0，3.14，，，，中，非负整数的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】，，，所以非负整数有：0，，，
，共4个.
故选C.
【举一反三2】下列各数，2，，0，π，0.0123中，非负数的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】根据正数定义可知，在这一组数中非负数有2，0，π，0.0123，共有4个．
故选：D．
【举一反三3】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内．
.
(1)正分数集合：｛ …｝； (2)负整数集合：｛ …｝；
(3)非负整数集合：｛ …｝； (4)非正数集合：｛ …｝；
(5)有理数集合：｛ …｝.
【答案】(1)8.6；(2)；(3)；(4) ；
(5).
【解析】(1)正分数集合：｛ 8.6 …｝；(2)负整数集合：｛ -11，-9 …｝；
(3)非负整数集合：｛ 0， +12 …｝；(4)非正数集合：；
(5)有理数集合：
【举一反三4】把下列各数：，2，0，，，，，，，，，填入相应的大括号内．
正整数：{ …}； 非负整数：{ …}；
分数：{ …}； 负数：{ ……}．
【答案】解 正整数：{2，…}；
非负整数：{2，0，…}；
分数：{，，，，，…}；
负数：{，，，，……}．
【举一反三5】给出下列各数：，，0，，，2，，，，．把这些数分别填入相应的大括号内．
(1)整数：{ }． (2)分数：{ }．
(3)负数：{ }． (4)非负整数：{ }．
【答案】解 (1)整数：0，，2，，；
(2)分数：，，，，；
(3)负数：，，，；
(4)非负整数：0，2．
【题型12】用正负数表示相反意义的量
【典型例题】如果收入120元记作+120元，那么－100元表示( )
A.支出20元 B.收入20元 C.支出100元 D.收入100元
【答案】C
【解析】根据正负数表示相反意义的量，易得C. 故选C.
【举一反三1】若规定收入为“+”，那么﹣100元表示( )
A.收入了100元
B.支出了100元
C.没有收入也没有支出
D.收入了200元
【答案】B
【解析】因为规定收入为“+”， 所以-100元表示支出了100元．
故选B．
【举一反三2】规定一个物体向上移动 1 m，记作 +1 m，则这个物体向下移动了 5 m，可记作( )
A. m B. m C. m D. m
【答案】A
【解析】根据正负数是表示两种具有相反意义的量，规定一个物体向上移动1m，记作+1m，
则这个物体向下移动了5m，可记作-5m．
故选A.
【举一反三3】现实生活中，如果前进50米记作米，那么米表示( )
A.后退120米 B.前进120米 C.后退米 D.前进100米
【答案】A
【解析】根据正负数表示具有相反意义的量可知，前进50米记作米，那么米表示
后退120米.
故选A.
【举一反三4】月球表面的白天平均温度零上℃，记作℃，夜间平均温度零下℃，应记作( )
A.℃ B.℃ C.℃ D.℃
【答案】B
【解析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负，所以
夜间平均温度零下150℃应记作℃.
故选B .
【举一反三5】填空：
(1)如果零上5 ℃记为＋5 ℃，那么－9 ℃表示的意义是 ；
(2)高出海平面129米记为＋129米，那么－45米表示的是 ；
(3)某仓库运出货物40千克记为－40千克，那么运进21千克货物应记为 ；
(4)如果下降5米记为－5米，那么上升4米应记为 ；
(5)某钢厂增产14吨钢记为＋14吨，那么减产3吨应记为 ．
【答案】(1)零下9 ℃(2)低于海平面45米 (3)+21千克 (4)+4米 (5)－3吨
【解析】(1)零上5 ℃规定为＋5 ℃，即“＋”号表示“零上”，那么与它相反意义的量“零下”就规定为“－”.本题里的各小题中的“零上、上升、高出、运 进、增产”等表示的量均为正数，与它们意义相反的量则都用负数表示.
(4)本小题的“－”号表示“下降”，因此，“上 升”应记为 “＋”，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负.
故：(1)如果零上5 ℃记为＋5 ℃，那么－9 ℃表示的意义是零下9 ℃；
(2)高出海平面129米记为＋129米，那么－45米表示的是低于海平面45米；
(3)某仓库运出货物40千克记为－40千克，那么运进21千克货物应记为+21千克；
(4)如果下降5米记为－5米，那么上升4米应记为+4米；
(5)某钢厂增产14吨钢记为＋14吨，那么减产3吨应记为－3吨．
【举一反三6】用正数和负数可以表示 的量．如规定向前为正，向后为负，则向前走米的意义是 ．
【答案】具有相反意义 向后走5米
【解析】用正数和负数可以表示具有相反意义的量．如规定向前为正，向后为负，则向前走 －5米的意义是：向后走5米.
故答案为：具有相反意义； 向后走5米.
【举一反三7】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为
米.
【答案】
【解析】向东走5米记为米，
向西走3米可记为米，
故答案为：.
【题型13】数轴上的动点问题
【典型例题】．在数轴上，点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是( )
A.﹣7 B.1 C.4 D.﹣7或1
【答案】D
【解析】∵点A表示﹣3，
∴从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是﹣3+4=1；
∴从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是
∴点B表示的数是1或﹣7．
故选D．
【举一反三1】如图，点A，在数轴上，点为原点，.按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点A表示的数是，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点为原点，，可知A、B表示的数互为相反数，
点A表示的数是，所以B表示的数为-，又因为，所以点表示的数为.
故选B.
【举一反三2】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2013次后，数轴上数2013所对应的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】B
【解析】解：每4次翻转为一个循环组依次循环， 所以 2013÷4=503…1，
∴翻转2013次后点A在数轴上，点A对应的数是2013﹣1=2012，
数轴上数2013所对应的点是点B．
故选B．
【举一反三3】将所对应的点在数轴上先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后，得到的点对应的数是 ．
【答案】
【解析】依题意得：，
故答案为：．
【举一反三4】如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
①第几次滚动后，A点距离原点最远？此时点A所表示的数是多少？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
(以上小题结果保留π)
【答案】 解 (1)∵圆片沿数轴滚动1周的长度为dπ＝π.
∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是-π．
故答案为：-π；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，则滚动的长度为2π，点D表示的数是2π或 2π．
故答案为：2π或 2π；
(3)①由表格可得第1次滚动后，A点距离原点为π；
第2次滚动后，A点距离原点为3π；
第3次滚动后，A点距离原点为2π；
第4次滚动后，A点距离原点为-2π；
第5次滚动后，A点距离原点为π；
∴第2次滚动后，A点距离原点最远；
②∵|＋1|＋|+2|＋|-1|＋| 4|＋|+3|＝11，
∴11×π＝11π，
∴A点运动的路程共有11π个单位，此时点A所表示的数是π．
【举一反三5】杭州市地铁5号线，首通段西起普贤站，东至良睦路，共设12个地下车站，2019年6月24日开通运营，自西向东连接余杭区、西湖区、拱墅区三个行政区，12个站点如图所示．
某天，王红从蒋村站开始乘坐地铁，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向良睦路站方向为正，当天的乘车记录如下(单位：站)
+4，-2，-6，+3，+4，-9，+1．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)相邻两站之间的距离约为1.3千米，求这次王红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是约为多少千米？
【答案】解 (1)
∴A站是大运河站；
(2)，
(千米)．
【题型14】化简多重符号
【典型例题】化简得( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
故选：B．
【举一反三1】下列化简正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．≠-3，化简错误；
B． ，化简正确；
C．≠5 ，化简错误；
D．≠-8 ，化简错误；
故选B.
【举一反三2】( )
A. B.2 C. D.1
【答案】A
【解析】，
故选：A．
【举一反三3】化简： ， ， ．
【答案】3 6 2023
【解析】3，6，2023.
【举一反三4】如果400的前面有2020个“”号，那么化简后的结果是 ．
【答案】400
【解析】因为400的前面有2020个“ ”号，“”的个数是偶数，所以化简后的结果为正数，即结果为400，
故答案为400.
【举一反三5】化简
(1)； (2)； (3) ；(4).
【答案】解 (1)；
(2)；
(3)；
(4).
【举一反三6】(1)化简下列各式：
①___________； ②__________； ③___________；
④__________；⑤_________；⑥________.
(2)根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少 当前面有2022个负号时，化简后结果是多少
(3)结合(2)中的规律，用文字叙述你所得到的结论.
【答案】解 (1)①； ②； ③；
④；⑤；⑥；
(2)当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是；
(3)规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数．
【题型15】有理数大小比较的实际应用
【典型例题】如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是( )
A.6.5m B.6m C.5.5m D.4.5m
【答案】D
【解析】这个桥洞的限高标志指的是车辆高度不能超过，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
【举一反三1】人口自然增长率是指在一定时期内(通常为一年)人口增加数与该时期内平均人数之比．人口自然增长率是反映人口发展速度和制定人口计划的重要指标，用来表明人口自然增长的程度和趋势．2015年，一些国家的人口自然增长率(%)如下表所示，人口自然增长趋势最慢的国家是( )
A.卡塔尔 B.中国 C.日本 D.德国
【答案】D
【解析】因为，
所以人口自然增长趋势最慢的国家是德国，
故选：D．
【举一反三2】2012年伦敦奥运会上，中国选手吕小军在男子举重77公斤级比赛中，打破了原奥运会纪录，创造了新抓举纪录，成绩是175公斤，下列说法正确的是( )
A.原来奥运会纪录是175公斤
B.原来奥运会纪录是77公斤
C.原来奥运会纪录小于77公斤
D.原来奥运会纪录小于175公斤
【答案】D
【解析】由题意得，原来奥运会纪录小于175公斤，
故选D.
【举一反三3】大于的负整数有 个．
【答案】2
【解析】大于-3的负整数有-2，-1，共2个，
故选A．
【举一反三4】不小于﹣3的负整数是 ．
【答案】﹣3、﹣2、﹣1
【解析】根据有理数比较大小的方法，可得不小于﹣3的负整数是﹣3、﹣2、﹣1．
故答案为﹣3、﹣2、﹣1．
【举一反三5】一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时)
如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管 请写明推理过程．
【答案】解 比较第一列与第三列得注水速度:；
比较第一列与第五列得注水速度:；
比较第二列与第五列得注水速度:；
比较第二列与第四列得注水速度:；
较第三列与第四列得注水速度:．
所以，注水速度:最快．
【题型16】绝对值方程
【典型例题】若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是( )
A.﹣12或﹣2 B.﹣2或12 C.12或2 D.2或﹣12
【答案】C
【解析】因为|m|＝5，|n|＝7，且m+n＜0，所以m＝5，n＝﹣7；m＝﹣5，n＝﹣7，
可得m﹣n＝12或2，则m﹣n的值是12或2.
故选：C.
【举一反三1】已知是方程的解，则k的值为( )
A.11或 B.9或 C.11或 D.或9
【答案】C
【解析】将代入方程，得，，
解得或．
故选：C．
【举一反三2】若|x|=2，则x的值为 .
【答案】2或-2
【解析】因为|x|=2，所以x=2或-2，
故答案为2或-2．
【举一反三3】如果│2x 4│=4 2x，则 x 的取值范围是 .
【答案】x≤2
【解析】由题意得：2x-4和4-2x互为相反数，且4-2x≥0，即x≤2.
故答案为x≤2.
【举一反三4】已知，求的值.
【答案】解 |x﹣1|=2，所以 x﹣1=±2， 解得： x=3或﹣1．
①当x=3时，|1+x|﹣5=﹣1； ②当x=﹣1时，|1+x|﹣5=﹣5．
综上所述：|1+x|﹣5的值为－1或－5．
【题型17】正数与负数的概念及表示方法
【典型例题】“为正数”的表达式是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 正数是指大于0的数，
∴的正数，即，
故选B .
【举一反三1】在－2，＋，－3，2，0，4，5，－1中，非负数有（ ）
A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
【答案】B
【解析】根据非负数即正数和0逐一判断可知：在－2，＋，－3，2，0，4，5，－1中，非负数有+，2，0，4，5，共5个数.
故选B.
【举一反三2】下列说法正确的有（ ）
①一个数不是正数就是负数；
②海拔表示比海平面低；
③负分数不是有理数；
④零是最小的数；
⑤零是整数，也是正数；
⑥是最大的负数．
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】0既不是正数也不是负数，①错误，
海拔表示比海平面低，②正确，
负分数是有理数，③错误，
负数比零小，④错误，
零是整数，但不是正数，⑤错误，
是最大的负整数，不是最大的负数，⑥错误.
故选A.
【举一反三3】六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 岁．
【答案】
【解析】如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作岁．
故答案为：．
【举一反三4】逆时针旋转记作，则表示的意义是 ．
【答案】顺时针旋转
【解析】∵逆时针旋转记作，
∴顺时针旋转记作，
故答案为：顺时针旋转．
【举一反三5】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81．
【答案】解 正数有：3.2，，+2.009，，81；
负数有：，，.
【题型18】有理数的分类
【典型例题】在，，0，这四个有理数中，负分数是( )
A. B. C.0 D.
【答案】D
【解析】在，，0，这四个有理数中，负分数是，
故选D.
【举一反三1】下列各数中，既是分数，又是负数的数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】既是分数又是负数的数即为负分数，选项中是负分数.
故选B.
【举一反三2】把下列各数填入相应的集合里．
﹣3.5，，0，2003，﹣14，，0.608，，0.1．
整数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}．
【答案】0，2003，﹣14；﹣3.5，﹣14，，；，0.608，0.1
【解析】由题意得，整数集合：{ 0，2003，﹣14…}
负数集合：{﹣3.5，﹣14，，…}；正分数集合：{，0.608，0.1…}．
【举一反三3】把下列各数填入相应的集合中：
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%，
正分数集合：{ …}； 正整数集合：{ …}；
整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}．
【答案】0.75，，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%
【解析】正分数集合{0.75，，9%…}； 正整数集合{ +6，+8；…}；
整数集合{ +6，﹣3，0，+8 …}； 有理数集合{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%，…}．
【举一反三4】把下列各数填入适当的分类中：
，3.1415，，0，6，，，
整数( )； 分数( )；正数( ).
【答案】解 整数：(，，)；
分数：(，，，)；
正数：(，，，)．
【题型19】利用绝对值的非负性解题
【典型例题】若(2a﹣1)2+2|b﹣3|＝0，则﹣2a﹣b的值为( )
A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.﹣7
【答案】B
【解析】(2a﹣1)2+2|b﹣3|＝0，
所以a＝，b＝3，
﹣2a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4．
故选B．
【举一反三1】若，则关于x，y的取值，下列说法正确的是( )
A.， B.， C.， D.，
【答案】A
【解析】因为，
所以x-1=0; y+2=0，
所以，x=1，y=-2
故选A.
【举一反三2】如果，那么的值为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，，
解得，，
．
故答案为：．
【举一反三3】若|2x+2|+|3y|+|z﹣5|＝0，求x+y+z的值.
【答案】解 |2x+2|+|3y|+|z﹣5|＝0，
所以 2x+2＝0，3y＝0，z﹣5＝0，
解得：x＝-1，y＝0，z＝5，
所以x+y+z＝4．
【题型20】化简绝对值
【典型例题】若则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为a<0， 所以|a|=-a．
原式=a+(-a)=0．
故选B．
【举一反三1】当a＜0时，|a﹣1|等于( )
A.a+1 B.﹣a﹣1 C.a﹣1 D.1﹣a
【答案】D
【解析】当a＜0时，a-1＜0，|a﹣1|=1-a．
故选D．
【举一反三2】若，那么 ．
【答案】7
【解析】，，，，
故答案为：7．
【举一反三3】若，则 ．
【答案】a+3
【解析】因为a＞3，所以2﹣a＜0，所以|2﹣a|+5＝﹣(2﹣a)+5＝a﹣2+5＝a+3．
故答案为：a+3．
【举一反三4】已知有理数、b满足：＜0，b＞0，且||＜|b|，化简|-b|+|+b|-|--b|+| b -|
【答案】解 因为＜0，b＞0，且||＜|b|，所以
∴|-b|+|+b|-|--b|+| b -|
=b-++b--b+b-
=2b-2．
【举一反三5】已知，，并且，求，的值．
【答案】解 因为，，
所以，．
因为，所以，．
【题型21】根据点在数轴上的位置来确定数
【典型例题】如图，在数轴上点A，，对应的有理数分别是，，．下列结论：①；②；③；其中正确的是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
【答案】D
【解析】根据数轴可知，，，，，
所以，结论正确的有①②．
故选：D.
【举一反三1】有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，，，
故A，C，D都是错误的，B是正确的，
故选B．
【举一反三2】实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【答案】C
【解析】， a与b异号，
由数轴上观察可知：， ，
又，负数的绝对值大于正数的绝对值， C点由可能是原点．
故选：C．
【举一反三3】如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则 0(填“” “” “”)．
【答案】
【解析】由数轴可知，，，，
故答案为：．
【举一反三4】已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b 0．(填“＞”，“＜”或“＝”)
【答案】＞
【解析】由图可得：－1＜a＜0＜1＜b，则有a+b＞0．
故答案为＞．
【举一反三5】数a、b在数轴上的对应位置如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；
其中正确的有 (填写序号)．
【答案】③④
【解析】由数轴可得，所以，，故①错误；
因为，
所以，，， 故②错误；
因为，所以，，故③正确；
因为，所以，，故④正确，
故答案为：③④．
【题型22】利用定义求数的绝对值
【典型例题】-2025的绝对值是（ ）
A.2025 B. C.-2025 D.
【答案】A
【解析】-2025的绝对值是2025，
故选A.
【举一反三1】的绝对值是（ ）
A.23 B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
【举一反三2】计算： = ．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【举一反三3】__________．
【答案】16
【解析】，
故答案为：.
【举一反三4】（1）若a、b互为相反数，，求的值．
（2）已知，a、b互为相反数，求b的值．
【答案】解 （1）a、b互为相反数，，
，；
（2），，
a、b互为相反数，
．
【举一反三5】计算：已知，．若，求的值．
【答案】解 |x|＝5，|y|＝3，所以x＝±5，y＝±3，
又因为xy＜0，
所以x，y异号，
当x＝5，y＝﹣3时，|x﹣y|＝8；
当x＝﹣5，y＝3时，|x﹣y|＝8；
综上所述，|x﹣y|的值为8．
【题型23】数轴上两点之间的距离
【典型例题】如图是5个城市的国际标准时间(单位：时)，那么北京时间2021年10月12日上午9时对应的是( )
A.伦敦时间2021年10月12日凌晨2时
B.纽约时间2021年10月12日晚上22时
C.多伦多时间2021年10月11日晚上20时
D.汉城时间2021年10月12日上午10时
【答案】D
【解析】A.北京时间2021年10月12日上午9时对应的是伦敦时间2021年10月12日凌晨1时，错误；
B.北京时间2021年10月12日上午9时对应的是纽约时间2021年10月11日晚上20时，错误；
C.北京时间2021年10月12日上午9时对应的是多伦多时间2021年10月11日晚上21时，错误；
D.北京时间2021年10月12日上午9时对应的是汉城时间2021年10月12日上午10时，正确，符合题意，
故选：D．
【举一反三1】在数轴上，与表示的点的距离等于的点为( )
A. B. C. D.和
【答案】D
【解析】在数轴上，与表示 1的点距离等于2的点表示的数为 1或 3．
故选：D．
【举一反三2】如图，在数轴上与点A的距离为的点表示的数是( )
A. B.1 C.或2 D.或1
【答案】D
【解析】根据图示，A表示的数为，
∵，，与点A距离为的点表示的数为或，
故选：D ．
【举一反三3】点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为_______________．
【答案】4
【解析】根据平移规律，得，，故点B表示的数是4，
故答案为：4．
【举一反三4】学习了有理数的减法以后，王老师和同学们一起利用这种运算探究数轴上两个点之间的距离．王老师给出这样一个问题：如图()，数轴上点和点分别表示有理数和，求，两点之间的距离，甲，乙，丙，丁四名学生分别给出了如下解答过程和结果：
甲、；
乙、；
丙、；
丁、；
(1)四名学生中有一名学生的解答过程不符合题目要求，不能推广，这名学生是______；
(2)如图()，数轴上点A和点分别表示有理数和，请你在四名学生中选择一种正确的方法求A，两点之间的距离；
(3)若数轴上A，两个不同点分别表示有理数和，求A，两点之间的距离．
【答案】解 (1)甲的解答过程只适应两数分布在原点两侧，
故答案为：甲；
(2)乙、；
丙、；
丁、；
(3)同()可得：．
【举一反三5】操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，
探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上A、两点折叠后重合，、两点折叠后重合
(1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合；
(2)若点A到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数；
(3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数．
【答案】解 (1)数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，
，而， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合．
故答案为：；
(2)点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，
∵A、B两点经折叠后重合， 当点A表示时，，，
当点A表示5时，，，
B点表示的数是或1；
(3)M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，
∴，，
又∵M点表示的数比N点表示的数大，
∴M点表示的数是，N点表示的数是．
【题型24】利用绝对值比较两个负数的大小
【典型例题】已知，，且，那么将，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】a＜0，ab＜0，所以 b＞0，又∵|a|＞|b|，
所以设a=-2，b=1，则-a=2，-b=-1，则-2＜-1＜1＜2．
故-a＞b＞-b＞a．
故选：D．
【举一反三1】在－3，－1，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A.－3 B.－1 C.0 D.
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，，在这四个数中，最小的数是，
故选：A．
【举一反三2】比较大小： ﹣1．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】>
【解析】因为 |-|=，|﹣1|＝1， 所以﹣>﹣1．
故答案为>．
【举一反三3】比较大小：
； ； ．
【答案】 ＞ ＞ <
【解析】，；因为，所以；
，，
因为，所以；，
因为, 所以，
故答案为：＞，＞，<．
【举一反三4】比较与的大小．
【答案】解 ∵，，，
所以， ．
【举一反三5】若a＜0，试比较a与的大小.
【答案】解 当－1＜a＜0时，a＞；
当a=－1时，a=；当a＜－1时，a＜.
【题型25】有理数的概念
【典型例题】下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】①0不带“-”号，但是它不是正数；②正数前面加上“-”号表示的数就是负数，正确，正数前面加上“-”号表示正数的相反数，故是负数；③0既不是正数也不是负数，故错误；
④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．
综上所述，①③④错误，
故选B.
【举一反三1】在﹣4，，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】小数点后的是无限循环的，则在这些数中，正有理数为，共3个，故选C.
【举一反三2】，，，，，4，这些数中，有理数有 个．
【答案】6
【解析】有理数有：，，，，4，，共6个．
故答案为：6．
【举一反三3】把下列各数填在相应的大括号里：2 016，1，，，0.5，，，，0，20%．
(1)正数：{ …}；
(2)负数：{ …}；
(3)负分数：{ …}；
【答案】解 根据正数、负数、负分数的定义可知：
(1)正数：{ 2016，1，0.5，， …}；
(2)负数：{，，， …}；
(3)负分数：{， …}．
【题型26】对具有相反意义的量的了解
【典型例题】在下列选项中、具有相反意义的量是（ ）
A.收入20元与支出30元
B.上升了6米和后退了7米
C.向东走3千米与向南走4千米
D.足球比赛胜5场与平2场
【答案】A
【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
A.收入20元与支出30元是一对相反意义的量，故本选项符合题意；
其他选项都不是一对相反意义的量．
故选：A．
【举一反三1】某校举行“生活中的数学”知识竞赛，若将加30分记为分，则扣20分记为（ ）
A.分 B.分 C.分 D.分
【答案】A
【解析】若将加30分记为分，则扣20分记为分，
故选A.
【举一反三2】如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示 千克.
【答案】+2
【解析】如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示千克．
故答案为：．
【举一反三3】一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动6.8m各应记作什么？运动了6m，运动了-15m，运动了0m各表示什么意义？
【答案】解 一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向
东运动5米记作＋5米，那么向西运动6.8米怎样表示 6.8米；
运动6m米表示物体向东运动6米，运动 15m米表示物体向西运动15米，运动0m米表示物体没有运动．
【举一反三4】将下列具有相反意义的量用线连起来．
【答案】解
【题型27】正负数的实际应用
【典型例题】七年四班期末数学考试的平均成绩是分，小东得了分，记作分，小明的成绩记作分，则小明得了（ ）
A.83分 B.85分 C.91分 D.92分
【答案】B
【解析】依题意，小明得了分，故选B.
【举一反三1】在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若李洪跳出了4.22米，可记作+0.22，那么张丽跳出了3.85米，记作（ ）
A.﹣0.15 B.+0.22 C.+0.15 D.﹣0.22
【答案】A
【解析】跳远比赛中，以4.00米为标准，李洪跳出了4.22米，记做+0.22米，
张丽跳出3.85米应记作：-0.15米.
故选A.
【举一反三2】随着短视频的兴起，“直播带货”已发展成为一种重要的销售形式，某国货品牌的直播间在某个时刻在线人数达到了2万人．若在线人数增加1500时记为人，那么在线人数减少800人时记为 ．
【答案】－800
【解析】正数、负数表示具有相反意义的量，在线人数增加1500时记为人，那么减少800人时记为人．
故答案为：人．
【举一反三3】在一次数学测试中，某班同学的平均分为85分，如果浩浩得94分记作＋9分，那么丽丽得80分记作 分，琳琳得85分记作 分．
【答案】－5 0
【解析】80－85=－5，85－85=0；故丽丽得80分记做－5分，琳琳得85分记做0分．
故答案为－5，0．
【举一反三4】某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．
问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？
【答案】解 由题意可得，，
答：上周星期一至星期五该班一共借书册．2.1认识有理数
【知识点1】正数和负数 2
【知识点2】数轴 2
【知识点3】绝对值 3
【知识点4】有理数 3
【知识点5】非负数的性质：绝对值 4
【知识点6】有理数大小比较 4
【知识点7】相反数 5
【题型1】正数与负数中数字变化规律探究 6
【题型2】根据定义求一个数的相反数 6
【题型3】绝对值的意义 7
【题型4】利用数轴上的点比较大小 7
【题型5】0的意义 8
【题型6】绝对值的其他应用 8
【题型7】判定是否为相反数 9
【题型8】相反数的应用 9
【题型9】数轴的三要素及其画法 10
【题型10】用数轴上的点表示有理数 11
【题型11】带“非”字的有理数 11
【题型12】用正负数表示相反意义的量 12
【题型13】数轴上的动点问题 13
【题型14】化简多重符号 15
【题型15】有理数大小比较的实际应用 15
【题型16】绝对值方程 17
【题型17】正数与负数的概念及表示方法 17
【题型18】有理数的分类 17
【题型19】利用绝对值的非负性解题 18
【题型20】化简绝对值 18
【题型21】根据点在数轴上的位置来确定数 19
【题型22】利用定义求数的绝对值 19
【题型23】数轴上两点之间的距离 20
【题型24】利用绝对值比较两个负数的大小 21
【题型25】有理数的概念 22
【题型26】对具有相反意义的量的了解 22
【题型27】正负数的实际应用 23
【知识点1】正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
1.（2025春 望奎县期末）下列每组中的两个量不是具有相反意义的一组量是（ ）
A．收入40元与支出10元 B．浪费1吨水与节约1吨水
C．向东走4米与向北走4米 D．增产12吨与减产12吨
2.（2025春 安次区校级月考）立定跳远是河北省初中学业水平体育与健康科目考试的抽考项目，女生的满分标准是1.76m.若小红跳出1.81m,记为+0.05m,则珍珍跳出1.71m,应记为（ ）
A．-0.05m B．+0.05m C．-0.1m D．+0.1m
3.（2025春 南岗区期末）在-7，2.5，-0.5，0，中负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点2】数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
1.（2025 靖江市校级三模）如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数可能是下列四个数中的（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
2.（2025春 鼓楼区期末）数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ）
A．a+c＞b+c B．a-c＞b-c C．ac＜bc D．ac2＜bc2
【知识点3】绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
1.（2025 连云港）-5的绝对值是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
2.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-（+5）与+（-5） B．与-（+0.5）
C．-|-0.01|与-（-） D．与0.3
【知识点4】有理数
我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数．
1.（2024秋 静海区校级期末）下列7个数：，1.010010001，，0，-2π，-3.141441444…（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2024秋 桑植县期末）下列四个有理数中属于负数的是（ ）
A． B．0 C．-0.3 D．1
3.（2024秋 武威期末）在-3，，5，0，-0.2中，负整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【知识点5】非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1.（2024秋 历城区校级月考）已知|a+3|+|b-2|=0，则a-b=（ ）
A．5 B．1 C．3 D．-5
2.（2024秋 凯里市期中）若|x+3|与|y-5|互为相反数，则x+y的值是（ ）
A．-3 B．5 C．2 D．-2
【知识点6】有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b．
1.（2025 福州模拟）下列四个数中最小的数是（ ）
A．0 B．-2 C．-5 D．1
2.（2025 碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（ ）
A．-1.5 B．0 C．3 D．1
3.（2025 定西一模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．-2 B． C．0 D．
【知识点7】相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
1.（2025春 新田县期末）的相反数是（ ）
A．- B． C． D．
2.（2025春 丽江期末）若-（+a）=+（-6），则a的值是（ ）
A． B． C．6 D．-6
【题型1】正数与负数中数字变化规律探究
【典型例题】根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( )
A. B. C. D.
【举一反三1】一组数据如下：1＋m，2－m，3＋m，4－m，5＋m，……则第2016个数是( )
A. 2016＋m B. 2016－m C. 2015＋m D. 2015－m
【举一反三2】有一列数：1，，，，，，，……第9个数是________________.
【举一反三3】观查下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个数、第101个数、第2020个数是什么吗？
(1)-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……
(2)1，，3，，5，，7，， ， ， ，…
【题型2】根据定义求一个数的相反数
【典型例题】小明身高，则他身高的相反数是( )
A. B. C.+1.78 D.
【举一反三1】的相反数是( )
A. B.4 C. D.
【举一反三2】与3互为相反数，则___________．
【举一反三3】如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数．
求：，，的值.
【题型3】绝对值的意义
【典型例题】下列说法正确的是
A.一个数的绝对值一定比0大
B.绝对值等于它本身的数一定是正数
C.一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
D.绝对值最小的数是0
【举一反三1】．绝对值大于1且小于5的所有整数的和是( )
A.7 B.－7 C.0 D.5
【举一反三2】已知|m|＝3，那么m＝_________.
【举一反三3】若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ．
【举一反三4】已知，，且，试求出所有可能的和的值．
【题型4】利用数轴上的点比较大小
【典型例题】已知:数a与－1在数轴上表示的点如图所示，则数－a与1的大小关系是( )
A.–a=1 B.–a>1 C.-a＜1 D.无法确定
【举一反三1】实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
【举一反三2】两数在数轴上的位置如图所示，则________(用“”“”“”填空)．
【举一反三3】画一条数轴，在数轴上表示下列各数：0，–4，，–2，+5，1.5，并用“>”号连接．
【举一反三4】画出数轴，把下列各数所表示的点在数轴上画出来，并用“＜”把这些数连接起来.
+3，-2.5，0，，4.7，-1.
【题型5】0的意义
【典型例题】下列说法错误的是( )
A.0是最小的自然数
B.0既不是正数，也不是负数
C.海拔高度是0米表示没有高度
D.0℃是零上温度和零下温度的分界线
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.一个数不是正数就是负数
B.0是正数
C.0不是自然数
D.自然数中除0外都是正数
【举一反三2】零是( )
A.最小的有理数
B.最大的负有理数
C.最小的非负有理数
D.最小的整数
【举一反三3】____________既不是正数，也不是分数，但它是整数．
【举一反三4】“不是正数的数一定是负数，不是负教的数一定是正数”的说法对吗？为什么？
【题型6】绝对值的其他应用
【典型例题】若，则的关系是( )
A. B. C.或 D.以上都不是
【举一反三1】已知一个数的绝对值等于2，那么这个数与2的和为( )
A.4 B.0 C.4或—4 D.0或4
【举一反三2】绝对值不大于11的整数有( )
A.11个 B.12个 C.22个 D.23个
【举一反三3】代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ．
【举一反三4】若a、b、c为整数，且，试计算的值.
【题型7】判定是否为相反数
【典型例题】下列各对数中，互为相反数的( )
A.和a B.﹣(+1.5)和+1.5 C.和2 D.+(﹣22)和﹣(+22)
【举一反三1】在8，，5，，4，0这六个数中，互为相反数的是( )
A.8和 B.8和 C.5和0 D.和4
【举一反三2】下列各对数中，是互为相反数的是( )
A.﹣(+7)与+(﹣7)
B.﹣与+(﹣0.5)
C.与
D.+(﹣0.01)与
【举一反三3】互为相反数是指( )
A.意义相反的两个量
B.一个负数前面加上符号“－”所得的数与原数
C.数轴上原点两侧的两个点所表示的两个数
D.只有符号不同的两个数(0的相反数是0)
【举一反三4】下列各对数中，互为相反数的有( )
①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
【举一反三5】下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数：③若a、b互为相反数，则=-1；④若=-1，则a、b互为相反数．正确的结论有 个.
【举一反三6】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
【举一反三7】下列说法：①若a、b互为相反数，则a+b=0；②若a+b=0，则a、b互为相反数：③若a、b互为相反数，则=-1；④若=-1，则a、b互为相反数．正确的结论有 个.
【题型8】相反数的应用
【典型例题】互为相反数的两个数的和为( )
A.0 B.正数 C.负数 D.无法确定
【举一反三1】-a+b-c的相反数是( )
A.-a-b+c B.a+(-b)+c C.-a-b-c D.a-b-c
【举一反三2】计算﹣1 1＝0，则“ ”表示的运算符号是( )
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【举一反三3】若m，n互为相反数，则5m＋5n= ．
【举一反三4】将—8，—6，—4，—2，0，2，4，6，8这9个数分别填入下图中使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加均为0．
【举一反三5】如果a 和 b表示有理数，在什么条件下， a+b 和a-b互为相反数
【题型9】数轴的三要素及其画法
【典型例题】下列各图中，表示数轴正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列给出的四条数轴，错误的是（ ）
A.①② B.②③④ C.①②③ D.①②③④
【举一反三2】下列能正确表示数轴的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三3】画一条 ，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作 ，选取某一长度作为 ，规定直线上向右的方向为 ，就得到 ．
【举一反三4】画数轴：
①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”．
②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示．
③选择适当的长度为单位长度．
【题型10】用数轴上的点表示有理数
【典型例题】如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A.1.5 B.﹣2.6 C.﹣1.4 D.2.6
【举一反三1】点A、B、C、D在数轴上的位置如图用示，点A、D表示的数是互为相反数，若点B所表示的数为a，，则点D所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为 （ ）
A.30 B.50 C.60 D.80
【举一反三3】数轴上点表示的数是，点到点的距离为个单位，则点表示的数是 ．
【举一反三4】以下四个有理数：－3，，0，0.5，2.5，－1，把以上各数表示在数轴上．
【题型11】带“非”字的有理数
【典型例题】在-1，0，1，3.7，，中，非负数有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.1
【举一反三1】在，0，3.14，，，，中，非负整数的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】下列各数，2，，0，π，0.0123中，非负数的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内．
.
(1)正分数集合：｛ …｝； (2)负整数集合：｛ …｝；
(3)非负整数集合：｛ …｝； (4)非正数集合：｛ …｝；
(5)有理数集合：｛ …｝.
【举一反三4】把下列各数：，2，0，，，，，，，，，填入相应的大括号内．
正整数：{ …}； 非负整数：{ …}；
分数：{ …}； 负数：{ ……}．
【举一反三5】给出下列各数：，，0，，，2，，，，．把这些数分别填入相应的大括号内．
(1)整数：{ }． (2)分数：{ }．
(3)负数：{ }． (4)非负整数：{ }．
【题型12】用正负数表示相反意义的量
【典型例题】如果收入120元记作+120元，那么－100元表示( )
A.支出20元 B.收入20元 C.支出100元 D.收入100元
【举一反三1】若规定收入为“+”，那么﹣100元表示( )
A.收入了100元
B.支出了100元
C.没有收入也没有支出
D.收入了200元
【举一反三2】规定一个物体向上移动 1 m，记作 +1 m，则这个物体向下移动了 5 m，可记作( )
A. m B. m C. m D. m
【举一反三3】现实生活中，如果前进50米记作米，那么米表示( )
A.后退120米 B.前进120米 C.后退米 D.前进100米
【举一反三4】月球表面的白天平均温度零上℃，记作℃，夜间平均温度零下℃，应记作( )
A.℃ B.℃ C.℃ D.℃
【举一反三5】填空：
(1)如果零上5 ℃记为＋5 ℃，那么－9 ℃表示的意义是 ；
(2)高出海平面129米记为＋129米，那么－45米表示的是 ；
(3)某仓库运出货物40千克记为－40千克，那么运进21千克货物应记为 ；
(4)如果下降5米记为－5米，那么上升4米应记为 ；
(5)某钢厂增产14吨钢记为＋14吨，那么减产3吨应记为 ．
【举一反三6】用正数和负数可以表示 的量．如规定向前为正，向后为负，则向前走米的意义是 ．
【举一反三7】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为
米.
【题型13】数轴上的动点问题
【典型例题】．在数轴上，点A表示﹣3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是( )
A.﹣7 B.1 C.4 D.﹣7或1
【举一反三1】如图，点A，在数轴上，点为原点，.按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点A表示的数是，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和-1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2013次后，数轴上数2013所对应的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三3】将所对应的点在数轴上先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后，得到的点对应的数是 ．
【举一反三4】如图，直径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．
(1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 ；
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
①第几次滚动后，A点距离原点最远？此时点A所表示的数是多少？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
(以上小题结果保留π)
【举一反三5】杭州市地铁5号线，首通段西起普贤站，东至良睦路，共设12个地下车站，2019年6月24日开通运营，自西向东连接余杭区、西湖区、拱墅区三个行政区，12个站点如图所示．
某天，王红从蒋村站开始乘坐地铁，在地铁各站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，约定向良睦路站方向为正，当天的乘车记录如下(单位：站)
+4，-2，-6，+3，+4，-9，+1．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)相邻两站之间的距离约为1.3千米，求这次王红志愿服务期间乘坐地铁行进的路程是约为多少千米？
【题型14】化简多重符号
【典型例题】化简得( )
A. B. C. D.
【举一反三1】下列化简正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】( )
A. B.2 C. D.1
【举一反三3】化简： ， ， ．
【举一反三4】如果400的前面有2020个“”号，那么化简后的结果是 ．
【举一反三5】化简
(1)； (2)； (3) ；(4).
【举一反三6】(1)化简下列各式：
①___________； ②__________； ③___________；
④__________；⑤_________；⑥________.
(2)根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少 当前面有2022个负号时，化简后结果是多少
(3)结合(2)中的规律，用文字叙述你所得到的结论.
【题型15】有理数大小比较的实际应用
【典型例题】如图是某桥洞的限高标志，则能通过此桥洞的车辆高度是( )
A.6.5m B.6m C.5.5m D.4.5m
【举一反三1】人口自然增长率是指在一定时期内(通常为一年)人口增加数与该时期内平均人数之比．人口自然增长率是反映人口发展速度和制定人口计划的重要指标，用来表明人口自然增长的程度和趋势．2015年，一些国家的人口自然增长率(%)如下表所示，人口自然增长趋势最慢的国家是( )
A.卡塔尔 B.中国 C.日本 D.德国
【举一反三2】2012年伦敦奥运会上，中国选手吕小军在男子举重77公斤级比赛中，打破了原奥运会纪录，创造了新抓举纪录，成绩是175公斤，下列说法正确的是( )
A.原来奥运会纪录是175公斤
B.原来奥运会纪录是77公斤
C.原来奥运会纪录小于77公斤
D.原来奥运会纪录小于175公斤
【举一反三3】大于的负整数有 个．
【举一反三4】不小于﹣3的负整数是 ．
【举一反三5】一个水池安装有五根水管，有的专门放水，有的专门进水，如果用两根水管同时工作，将空池注满所用的时间如下表所示．(单位:小时)
如果用一根水管进水，要尽快把空池注满，那么应选用哪一根水管 请写明推理过程．
【题型16】绝对值方程
【典型例题】若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是( )
A.﹣12或﹣2 B.﹣2或12 C.12或2 D.2或﹣12
【举一反三1】已知是方程的解，则k的值为( )
A.11或 B.9或 C.11或 D.或9
【举一反三2】若|x|=2，则x的值为 .
【举一反三3】如果│2x 4│=4 2x，则 x 的取值范围是 .
【举一反三4】已知，求的值.
【题型17】正数与负数的概念及表示方法
【典型例题】“为正数”的表达式是（ ）
A. 0 B. C. D.
【举一反三1】在－2，＋，－3，2，0，4，5，－1中，非负数有（ ）
A.4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
【举一反三2】下列说法正确的有（ ）
①一个数不是正数就是负数；
②海拔表示比海平面低；
③负分数不是有理数；
④零是最小的数；
⑤零是整数，也是正数；
⑥是最大的负数．
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三3】六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 岁．
【举一反三4】逆时针旋转记作，则表示的意义是 ．
【举一反三5】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81．
【题型18】有理数的分类
【典型例题】在，，0，这四个有理数中，负分数是( )
A. B. C.0 D.
【举一反三1】下列各数中，既是分数，又是负数的数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】把下列各数填入相应的集合里．
﹣3.5，，0，2003，﹣14，，0.608，，0.1．
整数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}．
【举一反三3】把下列各数填入相应的集合中：
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%，
正分数集合：{ …}； 正整数集合：{ …}；
整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}．
【举一反三4】把下列各数填入适当的分类中：
，3.1415，，0，6，，，
整数( )； 分数( )；正数( ).
【题型19】利用绝对值的非负性解题
【典型例题】若(2a﹣1)2+2|b﹣3|＝0，则﹣2a﹣b的值为( )
A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.﹣7
【举一反三1】若，则关于x，y的取值，下列说法正确的是( )
A.， B.， C.， D.，
【举一反三2】如果，那么的值为 ．
【举一反三3】若|2x+2|+|3y|+|z﹣5|＝0，求x+y+z的值.
【题型20】化简绝对值
【典型例题】若则的值等于( )
A. B. C. D.
【举一反三1】当a＜0时，|a﹣1|等于( )
A.a+1 B.﹣a﹣1 C.a﹣1 D.1﹣a
【举一反三2】若，那么 ．
【举一反三3】若，则 ．
【举一反三4】已知有理数、b满足：＜0，b＞0，且||＜|b|，化简|-b|+|+b|-|--b|+| b -|
【举一反三5】已知，，并且，求，的值．
【题型21】根据点在数轴上的位置来确定数
【典型例题】如图，在数轴上点A，，对应的有理数分别是，，．下列结论：①；②；③；其中正确的是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
【举一反三1】有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则原点所在的位置有可能是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
【举一反三3】如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，则 0(填“” “” “”)．
【举一反三4】已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b 0．(填“＞”，“＜”或“＝”)
【举一反三5】数a、b在数轴上的对应位置如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；
其中正确的有 (填写序号)．
【题型22】利用定义求数的绝对值
【典型例题】-2025的绝对值是（ ）
A.2025 B. C.-2025 D.
【举一反三1】的绝对值是（ ）
A.23 B. C. D.
【举一反三2】计算： = ．
【举一反三3】__________．
【举一反三4】（1）若a、b互为相反数，，求的值．
（2）已知，a、b互为相反数，求b的值．
【举一反三5】计算：已知，．若，求的值．
【题型23】数轴上两点之间的距离
【典型例题】如图是5个城市的国际标准时间(单位：时)，那么北京时间2021年10月12日上午9时对应的是( )
A.伦敦时间2021年10月12日凌晨2时
B.纽约时间2021年10月12日晚上22时
C.多伦多时间2021年10月11日晚上20时
D.汉城时间2021年10月12日上午10时
【举一反三1】在数轴上，与表示的点的距离等于的点为( )
A. B. C. D.和
【举一反三2】如图，在数轴上与点A的距离为的点表示的数是( )
A. B.1 C.或2 D.或1
【举一反三3】点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为_______________．
【举一反三4】学习了有理数的减法以后，王老师和同学们一起利用这种运算探究数轴上两个点之间的距离．王老师给出这样一个问题：如图()，数轴上点和点分别表示有理数和，求，两点之间的距离，甲，乙，丙，丁四名学生分别给出了如下解答过程和结果：
甲、；
乙、；
丙、；
丁、；
(1)四名学生中有一名学生的解答过程不符合题目要求，不能推广，这名学生是______；
(2)如图()，数轴上点A和点分别表示有理数和，请你在四名学生中选择一种正确的方法求A，两点之间的距离；
(3)若数轴上A，两个不同点分别表示有理数和，求A，两点之间的距离．
【举一反三5】操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，
探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上A、两点折叠后重合，、两点折叠后重合
(1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合；
(2)若点A到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数；
(3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数．
【题型24】利用绝对值比较两个负数的大小
【典型例题】已知，，且，那么将，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在－3，－1，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A.－3 B.－1 C.0 D.
【举一反三2】比较大小： ﹣1．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【举一反三3】比较大小：
； ； ．
【举一反三4】比较与的大小．
【举一反三5】若a＜0，试比较a与的大小.
【题型25】有理数的概念
【典型例题】下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】在﹣4，，0，3.14159，﹣5.2，2中正有理数的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】，，，，，4，这些数中，有理数有 个．
【举一反三3】把下列各数填在相应的大括号里：2 016，1，，，0.5，，，，0，20%．
(1)正数：{ …}；
(2)负数：{ …}；
(3)负分数：{ …}；
【题型26】对具有相反意义的量的了解
【典型例题】在下列选项中、具有相反意义的量是（ ）
A.收入20元与支出30元
B.上升了6米和后退了7米
C.向东走3千米与向南走4千米
D.足球比赛胜5场与平2场
【举一反三1】某校举行“生活中的数学”知识竞赛，若将加30分记为分，则扣20分记为（ ）
A.分 B.分 C.分 D.分
【举一反三2】如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示 千克.
【举一反三3】一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动6.8m各应记作什么？运动了6m，运动了-15m，运动了0m各表示什么意义？
【举一反三4】将下列具有相反意义的量用线连起来．
【题型27】正负数的实际应用
【典型例题】七年四班期末数学考试的平均成绩是分，小东得了分，记作分，小明的成绩记作分，则小明得了（ ）
A.83分 B.85分 C.91分 D.92分
【举一反三1】在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若李洪跳出了4.22米，可记作+0.22，那么张丽跳出了3.85米，记作（ ）
A.﹣0.15 B.+0.22 C.+0.15 D.﹣0.22
【举一反三2】随着短视频的兴起，“直播带货”已发展成为一种重要的销售形式，某国货品牌的直播间在某个时刻在线人数达到了2万人．若在线人数增加1500时记为人，那么在线人数减少800人时记为 ．
【举一反三3】在一次数学测试中，某班同学的平均分为85分，如果浩浩得94分记作＋9分，那么丽丽得80分记作 分，琳琳得85分记作 分．
【举一反三4】某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．
问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？
