2.4有理数的乘方
【知识点1】有理数的乘方 1
【知识点2】科学记数法与有效数字 3
【知识点3】近似数和有效数字 3
【知识点4】科学记数法—表示较小的数 4
【知识点5】科学记数法—表示较大的数 5
【知识点6】非负数的性质：偶次方 6
【知识点7】科学记数法—原数 6
【题型1】有理数乘方的应用 7
【题型2】用科学记数法表示绝对值大于1的数 10
【题型3】对有理数幂概念的理解 11
【题型4】有理数乘方运算 12
【题型5】有理数乘方的符号规律 13
【题型6】求用科学记数法表示的数的原数 15
【题型7】有理数乘方的逆运算 16
【知识点1】有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
1.（2025 睢宁县三模）下列各数中，是负数的是（ ）
A．-（-2） B．（-2）2 C．|-2| D．-2
【答案】D．
【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
【解答】解：A．-（-2）=2＞0，是正数，故A选项错误；
B．（-2）2=4＞0，是正数，故B选项错误；
C．|-2|=2＞0，是正数，故C选项错误；
D．-2＜0，是负数，故D选项正确；
故选：D．
2.（2025春 鲁山县期中）-23的含义正确的是（ ）
A．-2与3的积，即：-2×3=-6
B．3个-2相乘的积，即：（-2）×（-2）×（-2）=-8
C．3个2相乘的积的相反数，即：-2×2×2=-8
D．2个3相乘的积的相反数，即：-3×3=-9
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方，相反数的定义，逐句判断即可．
【解答】解：A、-2与3的积，不能写成幂的形式，故A选项错误；
B、3个-2相乘的积，即：（-2）×（-2）×（-2）=（-2）3，故B选项错误；
C、-23的含义是3个2相乘的积的相反数，故C选项正确；
D、2个3相乘的积的相反数，即：-3×3=-32，故D选项错误．
故选：C．
3.（2024秋 横山区期末）下列各式的结果中，最大的是（ ）
A．-42 B．-（-10） C．|-23| D．-|-15|
【答案】B
【分析】首先对各个数进行化简，然后比较大小即可得出结论．
【解答】解：∵-42=-16，-（-10）=10，|-23|=8，-|-15|=-15，
-16＜-15＜8＜10，
∴-42＜-|-15|＜|-23|＜-（-10），
∴最大的是-（-10）．
故选：B．
【知识点2】科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
【知识点3】近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
1.（2024秋 安阳期末）把19547精确到千位的近似数是（ ）
A．1.95×103 B．1.95×104 C．2.0×104 D．1.9×104
【答案】C
【分析】先用科学记数法表示数，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：19547≈2.0×104（精确到千位）．
故选：C．
2.（2024秋 桥西区期末）用四舍五入法将3.8541精确到十分位后的结果是（ ）
A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．3.85
【答案】B
【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：将3.8541精确到十分位后的结果是3.9．
故选：B．
3.（2024秋 江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.23，下列说法正确的是（ ）
A．精确到个位 B．精确到十分位
C．精确到百分位 D．精确到千分位
【答案】C
【分析】根据近似数的精确度进行判断．
【解答】解：近似数1.23精确到百分位．
故选：C．
【知识点4】科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a|
＜10 整数的位数-1
|x|＜1 a×10-n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
1.（2025春 良庆区校级月考）微生物包括细菌、病毒、真菌等，目前已知最小的微生物是病毒，其大小通常在几纳米到几百纳米之间．例如，口蹄疫病毒是已知最小的病毒之一，其直径约为0.000002厘米．将数据“0.000002”用科学记数法表示为（ ）
A．2×10-4 B．2×10-5 C．2×10-6 D．2×10-7
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000002=2×10-6．
故选：C．
2.（2025 槐荫区二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s.数据0.0000893用科学记数法表示为（ ）
A．8.93×10-5 B．893×10-4 C．8.93×10-4 D．8.93×10-7
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值．
【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为8.93×10-5，
故选：A．
【知识点5】科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
1.（2025 深圳一模）2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客1954.2万人次，日均到发旅客55.8万人次，用1954.2万科学记数法表示为（ ）
A．1.9542×105 B．1.9542×106 C．1.9542×107 D．1.9542×108
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1954.2万=19542000=1.9542×107．
故选：C．
2.（2025 雨城区校级模拟）2024年，在市委市政府的领导下，雅安高质量发展迈出坚实步伐．根据地区生产总值统一核算结果，2024年雅安实现地区生产总值约1083亿元．1083亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.083×109 B．1.083×1010 C．1.083×1011 D．1.083×1012
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1083亿=108300000000=1.083×1011．
故选：C．
【知识点6】非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1.（2024秋 城口县校级期中）已知|3a+1|+（b-3）2=0，则（ab）2024的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．3
【答案】A．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|3a+1|+（b-3）2=0，
∴3a+1=0，b-3=0，
∴a=，b=3，
∴（ab）2024==1．
故选：A．
2.（2024秋 官渡区期末）如果两个数m,n满足（m+6）2+|n-2|=0，那么m+n的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．-4
【答案】D．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（m+6）2+|n-2|=0，
∴m+6=0，n-2=0，
∴m=-6，n=2，
∴m+n=-6+2=-4．
故选：D．
【知识点7】科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
1.（2024 威远县校级模拟）据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校1.12×104所，在校生超过2.915×107人，则1.12×104表示的原数为（ ）
A．112000 B．1120 C．11200 D．112
【答案】C
【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位．
【解答】解：1.12×104表示的原数为11200．
故选：C．
2.（2024 沈丘县一模）小数0.0…0221用科学记数法表示为2.21×10 15，则原数中“0”的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法；当用科学记数法表示较小的数时，n为从左往右看第一个不为0 的数前面0的个数，据此即可求得答案．
【解答】解：∵0.0…0221=2.21×10-15，
∴原数中“0”的个数为15．
故选：B．
【题型1】有理数乘方的应用
【典型例题】求的值，可令①，①式两边都乘以3，则②，②-①得，则仿照以上推理，计算出的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令①，
①式两边同时乘以5，得②，
②-①得，即．
故选：C．
【举一反三1】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是( )
A.253 B.255 C.257 D.259
【答案】C
【解析】根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
【举一反三2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是( )
A.253 B.255 C.257 D.259
【答案】C
【解析】根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；
2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；
3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n＝8时，存活个数是28+1＝257．
故选：C．
【举一反三3】观察下列算式:用你所发现规律写出的末位数字是( )
A.3 B.9 C.7 D.1
【答案】C
【解析】由已知算式可知，每四个式子为一个循环，末位数字依次为
则与每四个式子中的第三个式子的末位数字相同，即末位数字为7
故选：C．
【举一反三4】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 次后可拉出64根细面条.
【答案】6
【解析】∵26=64，
∴捏合到第6次后可拉出64根细面条，
故答案为6．
【举一反三5】大肠杆菌每过30分钟由1个分裂成2个，若现在有1个这种大肠杆菌，则经过3小时后大肠杆菌的个数是 ．
【答案】64
【解析】由题意，得3小时=180分钟，大肠杆菌需要分裂6次，
∴26=64．
故答案为：64．
【举一反三6】看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空．
【答案】230
【解析】由题意得，变了30次共有230个孙悟空．
故答案为：230．
【题型2】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【典型例题】安徽省统计局发布了2023年全省生产总值为亿元，其中数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】亿，
故选：D．
【举一反三1】据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】39000000000=3.9×1010．
故选A．
【举一反三2】用科学记数法表示136000，其结果是 ．
【答案】1.36×105
【解析】136000=1.36×105．
故答案为1.36×105．
【举一反三3】亚洲陆地面积约为44000000平方千米，将44000000用科学记数法表示为的形式，则 ．
【答案】7
【解析】将44000000用科学记数法表示为， 则n=7．
故答案为：7．
【举一反三4】用科学记数法表示下列各数．
； ； ；．
【答案】解 (1)4020.7=4.0207×103；
(2)576=5.76×102；
(3)0.027×104=270=2.7×102；
(4)﹣7089=﹣7.089×103．
【题型3】对有理数幂概念的理解
【典型例题】代数式可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
【举一反三1】对于式子，下列说法不正确的是( )
A.指数是3 B.底数是 C.结果为 D.表示3与相乘
【答案】D
【解析】式子中：指数是3，故A选项正确；底数是，故B选项正确；
结果为，故C选项正确；表示3个相乘，故D选项错误；
故选D．
【举一反三2】若为正整数，则的意义为( )
A.3个相加 B.5个相加 C.3个相乘 D.8个相乘
【答案】C
【解析】由题意可得，表示3个相乘，
故选C．
【举一反三3】观察下列算式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649…….通过观察你用你发现的规律写出72019的末位数字是 ．
【答案】3
【解析】∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
∴个位数字以7、9、3、1这4个数字为一循环，
∴2019÷4=504…3， 72019的个位数字与73的个位数字相同是3．
故答案为：3．
【举一反三4】(1)中，底数、指数各是什么？
(2)中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？
【答案】解 (1)中，底数是，指数是8；
(2)中叫做底数，8叫做指数，是正数．
【题型4】有理数乘方运算
【典型例题】计算的值为( )
A. B. C. D.－2
【答案】B
【解析】，
故选B.
【举一反三1】若是任意有理数，则下列不等式中一定成立的是( )
A.＞0 B.＞0 C.＞ D.＞0
【答案】B
【解析】A．(a+1)2≥0，故本选项错误；
B．a2≥0，a2+1＞0，正确；
C．a为负数时，2a＜a，故本选项错误；
D．a2≥0，故本选项错误．
故选B．
【举一反三2】观察下列算式发现规律：，，，，，，……，则的个位数字是 ．
【答案】1
【解析】∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7，
个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4，
因为2020÷4=505，所以72020的个位数字为1，
故答案为：1．
【举一反三3】计算： ．
【答案】
【解析】原式=12020×52021=1×52021=52021，
故答案为：52021．
【举一反三4】阅读下列各式： =， =， =…回答下列三个问题：
(1)验证： =_______，×=_______；
(2)通过上述验证，归纳得出： =_______； =_______．
(3)请应用上述性质计算：××．
【答案】解 (1)=1，×==1；
(2)(a b)n=anbn，(abc)n=anbncn；
(3)××= (-0.125)2015×22015×42015×[(-0.125)×(-0.125)×2]
=(-0.125×2×4)2015×= (-1)2015×=.
【题型5】有理数乘方的符号规律
【典型例题】若m表示任意的有理数，则下列式子一定表示负数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．当m＜0时，﹣m＞0，不符合题意；
B．当m=0时，﹣m2=0，不符合题意；
C．当m是任意的有理数时，＜0，符合题意；
D．当m=1时， =0，不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】最大的负整数的2014次方与绝对值最小的数的2015次方的和是( )
A. B.1 C.0 D.2
【答案】B
【解析】根据数的意义知最大的负整数是，因此它的2014次方为1，
而绝对值最小的数是0，0的任何次方都等于0，
所以两者的和为1．
故选：B．
【举一反三2】一小球从距地面高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
(1)小球第2次着地时，经过的总路程 m；
(2)小球第次着地后，反弹的高度为 m．
【答案】(1)6 (2)
【解析】(1)小球第2次着地时，经过的总路程为：，故答案为：6；
(2)第1次着地后反弹的高度为：，
第2次着地后反弹的高度为：，
第3次着地后反弹的高度为：，
……
第n次着地后反弹的高度为：，
故答案为：．
【举一反三3】在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020．
【答案】解 设，
则，
两式相减得：
即．
【题型6】求用科学记数法表示的数的原数
【典型例题】人类已知最大的恒星是盾牌座UY，它的规模十分巨大，如果将盾牌座UY放在太阳系的中心，它的表面将接近土星轨道，半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143344937km B.1433449370km C.14334493700km D.1.43344937km
【答案】B
【解析】把1.43344937×109的小数点向后移动9，可得1433449370.
故选择B.
【举一反三1】长江是我国最长的河流，全长约为6400千米，将6400千米用科学记数法表示为，其中表示单位，则单位应该( )
A.千米 B.米 C.分米 D.厘米
【答案】B
【解析】， 6400千米=6400000米米．
故选：B．
【举一反三2】有 个整数位；是 位数．
【答案】5 9
【解析】整数位有5位；
整数位有9位；
故答案为5，9．
【举一反三3】把下列用科学记数法表示的数写成原来的形式：
； ； .
【答案】100000 6320 -725.4
【解析】 100000， 6320， -725.4.
故填：100000，6320，-725.4.
【举一反三4】下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数．
(1)． (2)． (3)． (4)．
【答案】解 (1)；
(2)；
(3)；
(4)
【举一反三5】还原下列用科学记数法表示的数：
(1)5.02×103； (2)7.26×107； (3)－2.0×106.
【答案】解 (1)5.02×103=5020；
(2)7.26×107=72600000；
(3)－2.0×106=-2000000.
【题型7】有理数乘方的逆运算
【典型例题】计算的结果是( )
A.9 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】原式=，
故选B
【举一反三1】平方等于16的数有( )
A.4 B.﹣4 C.4和﹣4 D.无法确定
【答案】C
【解析】平方等于16的数有4和﹣4，
故选：C.
【举一反三2】若a2=(－2)2，则a= .
【答案】或
【解析】因为，所以或，
故填：或.
【举一反三3】探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )，
23﹣22= =2( )，
24﹣23= =2( )，
……
(1)请仔细观察，写出第4个等式；
(2)请你找规律，写出第n个等式；
(3)计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
【答案】解 探究：，
，
．
(1)第4个等式为；
(2)归纳类推得：第n个等式为；
(3)原式
．2.4有理数的乘方
【知识点1】有理数的乘方 1
【知识点2】科学记数法与有效数字 2
【知识点3】近似数和有效数字 2
【知识点4】科学记数法—表示较小的数 3
【知识点5】科学记数法—表示较大的数 3
【知识点6】非负数的性质：偶次方 4
【知识点7】科学记数法—原数 4
【题型1】有理数乘方的应用 5
【题型2】用科学记数法表示绝对值大于1的数 5
【题型3】对有理数幂概念的理解 6
【题型4】有理数乘方运算 6
【题型5】有理数乘方的符号规律 7
【题型6】求用科学记数法表示的数的原数 8
【题型7】有理数乘方的逆运算 8
【知识点1】有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
1.（2025 睢宁县三模）下列各数中，是负数的是（ ）
A．-（-2） B．（-2）2 C．|-2| D．-2
2.（2025春 鲁山县期中）-23的含义正确的是（ ）
A．-2与3的积，即：-2×3=-6
B．3个-2相乘的积，即：（-2）×（-2）×（-2）=-8
C．3个2相乘的积的相反数，即：-2×2×2=-8
D．2个3相乘的积的相反数，即：-3×3=-9
3.（2024秋 横山区期末）下列各式的结果中，最大的是（ ）
A．-42 B．-（-10） C．|-23| D．-|-15|
【知识点2】科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
【知识点3】近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
1.（2024秋 安阳期末）把19547精确到千位的近似数是（ ）
A．1.95×103 B．1.95×104 C．2.0×104 D．1.9×104
2.（2024秋 桥西区期末）用四舍五入法将3.8541精确到十分位后的结果是（ ）
A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．3.85
3.（2024秋 江都区期末）用四舍五入法得到的近似数1.23，下列说法正确的是（ ）
A．精确到个位 B．精确到十分位
C．精确到百分位 D．精确到千分位
【知识点4】科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a|
＜10 整数的位数-1
|x|＜1 a×10-n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
1.（2025春 良庆区校级月考）微生物包括细菌、病毒、真菌等，目前已知最小的微生物是病毒，其大小通常在几纳米到几百纳米之间．例如，口蹄疫病毒是已知最小的病毒之一，其直径约为0.000002厘米．将数据“0.000002”用科学记数法表示为（ ）
A．2×10-4 B．2×10-5 C．2×10-6 D．2×10-7
2.（2025 槐荫区二模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s.数据0.0000893用科学记数法表示为（ ）
A．8.93×10-5 B．893×10-4 C．8.93×10-4 D．8.93×10-7
【知识点5】科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
1.（2025 深圳一模）2025春运期间，深圳铁路累计到发旅客1954.2万人次，日均到发旅客55.8万人次，用1954.2万科学记数法表示为（ ）
A．1.9542×105 B．1.9542×106 C．1.9542×107 D．1.9542×108
2.（2025 雨城区校级模拟）2024年，在市委市政府的领导下，雅安高质量发展迈出坚实步伐．根据地区生产总值统一核算结果，2024年雅安实现地区生产总值约1083亿元．1083亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.083×109 B．1.083×1010 C．1.083×1011 D．1.083×1012
【知识点6】非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1.（2024秋 城口县校级期中）已知|3a+1|+（b-3）2=0，则（ab）2024的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．3
2.（2024秋 官渡区期末）如果两个数m,n满足（m+6）2+|n-2|=0，那么m+n的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．-4
【知识点7】科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
1.（2024 威远县校级模拟）据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校1.12×104所，在校生超过2.915×107人，则1.12×104表示的原数为（ ）
A．112000 B．1120 C．11200 D．112
2.（2024 沈丘县一模）小数0.0…0221用科学记数法表示为2.21×10 15，则原数中“0”的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【题型1】有理数乘方的应用
【典型例题】求的值，可令①，①式两边都乘以3，则②，②-①得，则仿照以上推理，计算出的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是( )
A.253 B.255 C.257 D.259
【举一反三2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是( )
A.253 B.255 C.257 D.259
【举一反三3】观察下列算式:用你所发现规律写出的末位数字是( )
A.3 B.9 C.7 D.1
【举一反三4】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 次后可拉出64根细面条.
【举一反三5】大肠杆菌每过30分钟由1个分裂成2个，若现在有1个这种大肠杆菌，则经过3小时后大肠杆菌的个数是 ．
【举一反三6】看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有 个孙悟空．
【题型2】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【典型例题】安徽省统计局发布了2023年全省生产总值为亿元，其中数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】用科学记数法表示136000，其结果是 ．
【举一反三3】亚洲陆地面积约为44000000平方千米，将44000000用科学记数法表示为的形式，则 ．
【举一反三4】用科学记数法表示下列各数．
； ； ；．
【题型3】对有理数幂概念的理解
【典型例题】代数式可表示为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】对于式子，下列说法不正确的是( )
A.指数是3 B.底数是 C.结果为 D.表示3与相乘
【举一反三2】若为正整数，则的意义为( )
A.3个相加 B.5个相加 C.3个相乘 D.8个相乘
【举一反三3】观察下列算式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649…….通过观察你用你发现的规律写出72019的末位数字是 ．
【举一反三4】(1)中，底数、指数各是什么？
(2)中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？
【题型4】有理数乘方运算
【典型例题】计算的值为( )
A. B. C. D.－2
【举一反三1】若是任意有理数，则下列不等式中一定成立的是( )
A.＞0 B.＞0 C.＞ D.＞0
【举一反三2】观察下列算式发现规律：，，，，，，……，则的个位数字是 ．
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】阅读下列各式： =， =， =…回答下列三个问题：
(1)验证： =_______，×=_______；
(2)通过上述验证，归纳得出： =_______； =_______．
(3)请应用上述性质计算：××．
【题型5】有理数乘方的符号规律
【典型例题】若m表示任意的有理数，则下列式子一定表示负数的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】最大的负整数的2014次方与绝对值最小的数的2015次方的和是( )
A. B.1 C.0 D.2
【举一反三2】一小球从距地面高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
(1)小球第2次着地时，经过的总路程 m；
(2)小球第次着地后，反弹的高度为 m．
【举一反三3】在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020．
【题型6】求用科学记数法表示的数的原数
【典型例题】人类已知最大的恒星是盾牌座UY，它的规模十分巨大，如果将盾牌座UY放在太阳系的中心，它的表面将接近土星轨道，半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143344937km B.1433449370km C.14334493700km D.1.43344937km
【举一反三1】长江是我国最长的河流，全长约为6400千米，将6400千米用科学记数法表示为，其中表示单位，则单位应该( )
A.千米 B.米 C.分米 D.厘米
【举一反三2】有 个整数位；是 位数．
【举一反三3】把下列用科学记数法表示的数写成原来的形式：
； ； .
【举一反三4】下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数．
(1)． (2)． (3)． (4)．
【举一反三5】还原下列用科学记数法表示的数：
(1)5.02×103； (2)7.26×107； (3)－2.0×106.
【题型7】有理数乘方的逆运算
【典型例题】计算的结果是( )
A.9 B. C.2 D.
【举一反三1】平方等于16的数有( )
A.4 B.﹣4 C.4和﹣4 D.无法确定
【举一反三2】若a2=(－2)2，则a= .
【举一反三3】探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )，
23﹣22= =2( )，
24﹣23= =2( )，
……
(1)请仔细观察，写出第4个等式；
(2)请你找规律，写出第n个等式；
(3)计算：21+22+23+…+22019﹣22020．
