21.1 一元二次方程 同步练习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.1 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣x2）﹣1＝0
C．x2﹣y﹣2＝0 D．
2．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
3．已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式a2+2a+2024的值为（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　）
A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022
5．已知整式，其中a3，a2，a1，a0均为整数，，且a0+a1+a2+a3＝4，下列结论：①满足条件的整式M中有4个单项式；②若，则方程M＝0一定有实数解；③若|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|，则满足条件的整式M共有5个；其中说法正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共3小题）
6．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝　 　 ．
7．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　 　 ．
8．已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
9．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，求k的值．
10．已知关于x的方程x2+kx+10＝0（k为常数）有一个实数根为﹣2，求常数k的值．
11．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
12．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣5＝0，若该方程的一个根为x＝3，求a的值并直接写出该方程的常数项．
13．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，求m的值．
21.1 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．2（x﹣x2）﹣1＝0
C．x2﹣y﹣2＝0 D．
【答案】B
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
【解答】解：A、当a＝0，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
B、2（x﹣x2）﹣1＝0是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；
C、x2﹣y﹣2＝0不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
D、不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【答案】D
【分析】根据题意，把x＝1代入计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一个根是1，
∴把x＝1代入得，12﹣k+2＝0，
解得：k＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的含义是关键．
3．已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式a2+2a+2024的值为（　　）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【分析】由a是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，得到a2+2a﹣1＝0，则a2+2a＝1，然后利用整体代入求值即可，
【解答】解：将a代入方程x2+2x﹣1＝0可得，
a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴a2+2a+2024＝1+2024＝2025，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键．
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一解为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一解为（　　）
A．x＝2026 B．x＝2025 C．x＝2024 D．x＝2022
【答案】A
【分析】先将方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2，整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，然后设x﹣2＝m，则am2+bm+2＝0，再根据x＝2024，从而进行计算即可解答．
【解答】解：a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2，
整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，
设x﹣2＝m，
∴am2+bm+2＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴am2+bm+2＝0有一个根为m＝2024，
∴x﹣2＝2024，
解得x＝2026，
∴一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣2必有一根为2026，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行是进行计算是解题的关键．
5．已知整式，其中a3，a2，a1，a0均为整数，，且a0+a1+a2+a3＝4，下列结论：①满足条件的整式M中有4个单项式；②若，则方程M＝0一定有实数解；③若|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|，则满足条件的整式M共有5个；其中说法正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题中所给规定，对每种情况进行分析，再进行判断即可．
【解答】解：根据单项式，一元二次方程的解，整式相关运算法则逐项分析判断如下：
∵，
∴a0＝4这个单项式不满足条件，
∴满足条件的整式M的单项式为4x，4x2，4x3这三种，
故①不正确；
∵，
∴a3＝0，a0＝a1﹣a2，
则可得a1﹣a2+a1+a2＝4，
解得a1＝2，
∴，
∵，
∴方程M＝0一定有实数解，故②正确；
当|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|＝1时，只有a0＝a1＝a2＝a3＝1这一种情况，
当|a0|＝|a1|＝|a2|＝|a3|＝2时，此时a1，a2，a3，a4中有一个数是﹣2，其余三个是2，则有4种情况，
∴满足条件的整式M共有5个；
故③正确，
故选：C．
【点评】本题考查单项式，一元二次方程的解，整式，解题的关键是掌握相关知识的运算和推理．
二．填空题（共3小题）
6．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝　﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入方程x2﹣kx﹣2＝0得1﹣k﹣2＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣kx﹣2＝0得1﹣k﹣2＝0，
解得k＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．关于x的方程是一元二次方程，则m＝　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【分析】利用二次项系数非零及未知数的最高次数为2，可列出关于m的不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
8．已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　3　 ．
【答案】3．
【分析】由已知条件可得y2＝x，将其代入x2﹣3y2+x﹣3＝0中整理后解一元二次方程求得符合题意的x的值即可．
【解答】解：∵y2﹣x＝0，
∴y2＝x≥0，
∵x2﹣3y2+x﹣3＝0，
∴x2﹣3x+x﹣3＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去），
即x的值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于x的方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
9．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，求k的值．
【答案】﹣3．
【分析】把x＝2代入方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2（k2﹣2）+2k+4＝0，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．
【解答】解：把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，
整理得k2+3k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣3．
∵k≠0，
∴k的值为﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
10．已知关于x的方程x2+kx+10＝0（k为常数）有一个实数根为﹣2，求常数k的值．
【答案】k＝7．
【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于k的新方程，解新方程即可求得k的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+kx+10＝0（k为常数）有一个实数根为﹣2，
∴（﹣2）2﹣2k+10＝0．
∴4﹣2k+10＝0．
∴2k＝14．
∴k＝7．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
11．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
【答案】11
【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×4+3
＝11．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的含义，解题的关键是根据方程的解的含义，将解代入原方程，从而求得代数式的解．
12．已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣5＝0，若该方程的一个根为x＝3，求a的值并直接写出该方程的常数项．
【答案】﹣1；﹣6．
【分析】把x＝3代入方程x2+ax+a﹣5＝0，易得a的值；然后代入原方程，由一元二次方程的一般形式写出该方程的常数项．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax+a﹣5＝0，得
32+3a+a﹣5＝0．
解得a＝﹣1．
则该方程为：x2﹣x﹣6＝0．
其常数项为﹣6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
13．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意先理解“凤凰方程”．
（1）根据凤凰方程的意义，把x＝﹣1代入方程判断即可；
（2）根据凤凰方程的意义，把x＝﹣1代入方程求出m即可．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当x＝﹣1时，得a﹣b+c＝0，
∴当一元二次方程的解为﹣1时，该方程为“凤凰方程”．
（1）一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是凤凰方程．
理由：当x＝﹣1时，一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0满足3+4﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是凤凰方程．
（2）∵2x2﹣mx+5＝0是关于x的凤凰方程，
∴2+m+5＝0．
∴m＝﹣7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握凤凰方程的意义是解决本题的关键．
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