21.2 解一元二次方程 同步练习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2 解一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．若关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值可能为（　　）
A． B． C． D．0
2．已知关于x的方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根分别是p，q，那么p+q的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20，则m＝（　　）
A．2或6 B．3或5 C．4 D．6
5．对于代数式M、N，定义新运算M N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　）
①若（2x） 1＝1，则或1
②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a b的值为
③若关于x的方程|2 （x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
6．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　 　 ．
7．若关于x的一元二次方程（x+2）2+k＝3有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
8．若α，β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为　 　 ．
9．已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则mn﹣m﹣n的值是　 　 ．
10．设x1，x2是方程x2+5x＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ．
三．解答题（共3小题）
11．解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程有一个根为﹣1，求m的值．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求m的值．
21.2 解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值可能为（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【解答】解：由条件可知Δ＝12﹣4m＞0，且m≠0，
解得：m且m≠0，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
2．已知关于x的方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根分别是p，q，那么p+q的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+px+q＝0的两个不相等的实数根分别是p，q，
∴p+q＝﹣p，pq＝q，
∴q＝﹣2p，p＝1，
∴p+q＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
3．已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】A
【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝3，
∴m2+5m+n+2024
＝m2+4m+m+n+2024
＝3﹣4+2024
＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键．
4．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20，则m＝（　　）
A．2或6 B．3或5 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2m，x1 x2＝m2﹣4m﹣1，把（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20变形为2（x1+x2）﹣x1x2﹣16＝0，再代入得方程m2﹣8m+15＝0，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，
∴，
∵x1+x2＝2m，，（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝20，
∴2（x1+x2）﹣x1x2﹣16＝0，
∴4m﹣（m2﹣4m﹣1）﹣16＝0，
∴m2﹣8m+15＝0，
解得，m1＝3，m2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”．
5．对于代数式M、N，定义新运算M N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　）
①若（2x） 1＝1，则或1
②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a b的值为
③若关于x的方程|2 （x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据新定义得（2x） 1＝4x2﹣2x﹣1＝1，则2x2﹣x﹣1＝0得出或x＝1，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝﹣5，ab＝3，则（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝13，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得x2﹣5＝±（x+b），根据一元二次方程的判别式，即可判断③．
【解答】解：①由题意得，（2x） 1＝4x2﹣2x﹣1＝1，
∴2x2﹣x﹣1＝0，
∴（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴或x＝1，故①正确；
②a b＝a2﹣ab﹣b2＝（a+b）（a﹣b）﹣ab，
∵方程x2+5x+3＝0的解为a、b，
∴a+b＝﹣5，ab＝3，
∴a b＝a2﹣ab﹣b2＝﹣5（a﹣b）﹣3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝13，则
当时，，
当时，，
∴a b的值为或，故②不正确；
③∵|2 （x﹣1）|＝|22﹣2（x﹣1）﹣（x﹣1）2|＝|﹣x2+5|，方程|2 （x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，
∴x2﹣5＝±（x+b），
当x2﹣5＝x+b时，
∴x2﹣x﹣（5+b）＝0，
∴Δ＝1+4（5+b）＝21+4b＞0，
∴．
当x2﹣5＝﹣（x+b）时，
∴x2+x﹣（5﹣b）＝0，
∴Δ＝1+4（5﹣b）＝21﹣4b＞0，
∴．
∴，
故③不正确；
综上，正确的有①，共1个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则．
二．填空题（共5小题）
6．若m、n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，多项式2n2﹣mn+2m的值是 　11　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则．由题意得n2﹣n﹣3＝0，m+n＝1，mn＝﹣3，再代入计算即可求解．
【解答】解：由题意得：n2﹣n﹣3＝0，m+n＝1，mn＝﹣3，
∴n2＝n+3，
∴2n2﹣mn+2m＝2n+6﹣mn+2m＝2（m+n）﹣mn+6＝2﹣（﹣3）+6＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．若关于x的一元二次方程（x+2）2+k＝3有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜3　 ．
【答案】k＜3．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4（1+k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：（x+2）2+k＝3，
x2+4x+1+k＝0，
a＝1，b＝4，c＝1+k，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4（1+k）＞0，
解得：k＜3．
故答案为：k＜3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
8．若α，β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为　12　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程解的定义得到2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β，αβ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵α为2x2﹣5x﹣1＝0的实数根，
∴2α2﹣5α﹣1＝0，即2α2＝5α+1，
∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，
∴α+β，αβ，
∴2α2+3αβ+5β＝53×（）+1＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程解的定义．
9．已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则mn﹣m﹣n的值是　3　 ．
【答案】3．
【分析】由根与系数关系得m+n＝﹣4，mn＝﹣1，再整体代入即可求值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴由根与系数关系得m+n＝﹣4，mn＝﹣1，
则mn﹣m﹣n
＝mn﹣（m+n）
＝﹣1﹣（﹣4）
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．设x1，x2是方程x2+5x＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣5　 ．
【答案】﹣5．
【分析】利用根与系数关系求解．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣5
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
三．解答题（共3小题）
11．解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣6x+8＝0．
【答案】（1）x1＝0，x2＝3；
（2）x1＝2，x2＝4．
【分析】（1）原方程利用因式分解法求解即可；
（2）原方程利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x＝0，
变形为：x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程有一个根为﹣1，求m的值．
【答案】（1）∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）＝m2+2m+13＝（m+1）2+12＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）．
【分析】（1）证明Δ＞0即可；
（2）把x＝﹣1代入原方程得到关于m的方程，再解新方程即可求得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣1）＝（m+1）2+12＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由条件可知1+m+3+m﹣1＝0，
解得：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当方程的一个根是1时，求m的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判定即可；
（2）将x＝1代入x2+（2m+1）x+m＝0，求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m+1）2﹣4m
＝4m2+4m+1﹣4m
＝4m2+1＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由条件可得12+（2m+1）+m＝0，
解得：．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．
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