22.1 二次函数的图象和性质 同步练习（含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1 二次函数的图象和性质
一．选择题（共5小题）
1．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）
2．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．若﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0，x3＞1，则y1，y2，y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
3．抛物线y＝（x﹣1）2﹣9经变换后得到抛物线y＝（x+1）2﹣9，则下列变换正确的是（　　）
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移2个单位长度
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
B．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
C．a+b+c＜0
D．当x＞﹣3时，y随着x的增大而增大
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b≥n（an+b），⑤2c＜3b．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共3小题）
6．当m＝　 　 时，函数是二次函数．
7．已知二次函数y＝ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m，过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D．
（1）若a＝1，m＝2，则OB：OC的值为　 　 ；
（2）在（1）的条件下BD：CD的值为　 　 ．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则y＜3时，该函数的自变量x的取值范围是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
9．已知二次函数y＝3x2+6x．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你判断点P（1，10）是否在此二次函数的图象上．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
11．在平面直角坐标系xOy中，点（2，n）在抛物线y＝x2+（k﹣2）x+4k上，且它的对称轴为直线x＝t．
（1）当n＝0时，求t的值；
（2）如果点A（t+k，y1），B（t﹣2k，y2）在抛物线上，当k＜0时，比较y1和y2的大小，并说明理由．
12．在平面直角坐标系xOy中，点（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣1），当自变量x满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，点（6，y1），（m﹣4，y2），（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上．若y2＜y1＜c，请求出m的取值范围．
13．已知函数（m为常数）．
（1）求当m为何值时y是x的二次函数；
（2）在（1）的条件下，点（2，a）在此函数图象上，求a的值．
22.1 二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【答案】B
【分析】由二次函数顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．若﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0，x3＞1，则y1，y2，y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】C
【分析】先化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，结合﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0，x3＞1得出点C离抛物线对称轴最远，点B离抛物线对称轴最近，即可得解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0，x3＞1，
∴点C离抛物线对称轴最远，点B离抛物线对称轴最近，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．抛物线y＝（x﹣1）2﹣9经变换后得到抛物线y＝（x+1）2﹣9，则下列变换正确的是（　　）
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度
D．向右平移2个单位长度
【答案】C
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
将抛物线y＝（x﹣1）2﹣9向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣7．
故A选项不符合题意．
将抛物线y＝（x﹣1）2﹣9向下平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣11．
故B选项不符合题意．
将抛物线y＝（x﹣1）2﹣9向左平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣9．
故C选项符合题意．
将抛物线y＝（x﹣1）2﹣9向右平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣9．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
B．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
C．a+b+c＜0
D．当x＞﹣3时，y随着x的增大而增大
【答案】B
【分析】根据题意，求出二次函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
将（﹣5，4），（﹣4，0），（0，4）代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得，
所以二次函数得解析式为，
则抛物线的对称轴为直线x，
所以A选项不符合题意；
将x＝0代入二次函数解析式得，y＝4，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），
所以B选项符合题意；
因为a+b+c＝1+5+4＝10＞0，
所以C选项不符合题意；
因为抛物线的对称轴为直线x，且开口向上，
所以当x时，y随x的增大而增大，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b≥n（an+b），⑤2c＜3b．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④，特殊点结合对称轴判断⑤．
【解答】解：①由条件可知：a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵a＜0，b＞0，
∴b﹣2a＞0，故②错误；
③由图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，当x＝n时，y＝an2+bn+c，
∴a+b+c≥an2+bn+c，
∴a+b≥n（an+b），故④正确；
⑤由对称性可知：x＝3和x＝﹣1的函数值相同，
∴9a+3b+c＜0，
∵，
∴，
∴2c＜3b；故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共3小题）
6．当m＝　﹣2　 时，函数是二次函数．
【答案】﹣2．
【分析】二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可．
【解答】解：∵函数是二次函数，
∴m2﹣2＝2，
解得m＝±2，
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，解题的关键是掌握相关知识．
7．已知二次函数y＝ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m，过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D．
（1）若a＝1，m＝2，则OB：OC的值为　2　 ；
（2）在（1）的条件下BD：CD的值为　　 ．
【答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）由a＝1，m＝2可得二次函数y＝ax2的解析式为y＝x2，点A的横坐标是2，进而可得A（2，4），由AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C可得B（0，4），C（2，0），进而可得OB＝AC＝4，OC＝AB＝2，由此即可求出OB：OC的值；
（2）由a＝1，m＝2可得二次函数y＝ax2的解析式为y＝x2，点A的横坐标是2，进而可得A（2，4），由AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C可得B（0，4），C（2，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（2，0）代入，得，解得，于是可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+4，设D（n，﹣2n+4）（n＞0），则有﹣2n+4＝n2，解方程即可求得，过点D作DE⊥y轴于点E，则，由垂直于同一直线的两直线平行可得DE∥x轴，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）可得OB＝4，且，于是得解．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2的解析式为y＝x2，点A的横坐标是2，
当x＝2时，y＝22＝4，
∴A（2，4），
∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，
∴B（0，4），C（2，0），
∴OB＝AC＝4﹣0＝4，OC＝AB＝2﹣0＝2，
∴OB：OC＝4：2＝2，
故答案为：2；
（2）由条件可知二次函数y＝ax2的解析式为y＝x2，点A的横坐标是2，
当x＝2时，y＝22＝4，
∴A（2，4），
∵AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，
∴B（0，4），C（2，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（0，4），C（2，0）代入，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4，
∵BC与抛物线交于点D，
∴设D（n，﹣2n+4）（n＞0），则有：
﹣2n+4＝n2，
解得：或（不合题意，故舍去），
∴，
如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴，
由条件可知DE∥x轴，
，
由（1）可得：OB＝4，
∵，
∴BD：CD的值为：
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，公式法解一元二次方程，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则y＜3时，该函数的自变量x的取值范围是　x＜﹣2或x＞0　 ．
【答案】x＜﹣2或x＞0．
【分析】依据题意，先根据抛物线的对称性求出点（﹣2，3）在二次函数图象上，再结合函数图象求解即可．
【解答】解：由图象知，二次函数图象过点（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数图象过点（﹣2，3），
∵抛物线开口向下，
∴当y＜3时，x＜﹣2或x＞0．
故答案为：x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的对称性得到点（﹣2，3）在二次函数图象上是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
9．已知二次函数y＝3x2+6x．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你判断点P（1，10）是否在此二次函数的图象上．
【答案】（1）函数图象的开口向上、对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标为（﹣1，﹣3）
（2）点P（1，10）不在此二次函数的图象上
【分析】（1）把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论；
（2）通过计算自变量为1时的函数值，则可判断点P（1，10）是否在此二次函数的图象上．
【解答】解：（1）∵y＝3x2+6x
＝3（x2+2x）
＝3（x2+2x+1﹣1）
＝3（x+1）2﹣3，
∴a＝3＞0，
∴此函数图象的开口向上、对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标为（﹣1，﹣3）；
（2）∵当x＝1时，y＝3x2+6x＝3×12+6×1＝9≠10，
∴点P（1，10）不在此二次函数的图象上．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和﹣3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：
﹣4﹣2m+3＝3，
解得m＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解
11．在平面直角坐标系xOy中，点（2，n）在抛物线y＝x2+（k﹣2）x+4k上，且它的对称轴为直线x＝t．
（1）当n＝0时，求t的值；
（2）如果点A（t+k，y1），B（t﹣2k，y2）在抛物线上，当k＜0时，比较y1和y2的大小，并说明理由．
【答案】（1）t＝1；（2）y2＞y1．
【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2+（k﹣2）x+4k求出k，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解；
（2）先确定点A（t+k，y1）在对称轴左侧，点B（t﹣2k，y2）在对称轴右侧，求出点B（t﹣2k，y2）关于对称轴直线x＝t的对称点为：B'（t+2k，y2），可得t+2k＜t+k，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当 n＝0时，把（2，0）代入y＝x2+（k﹣2）x+4k，
则4+2（k﹣2）+4k＝0，
解得：k＝0，
∴抛物线为：y＝x2﹣2x；
∴；
（2）∵k＜0，
∴t+k＜t，t﹣2k＞t，
∴点A（t+k，y1）在对称轴左侧，点B（t﹣2k，y2）在对称轴右侧，
∴点B（t﹣2k，y2）关于对称轴直线x＝t的对称点为：B'（t+2k，y2），
∵k＜0，
∴t+2k＜t+k，
∵抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴y2＞y1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
12．在平面直角坐标系xOy中，点（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣1），当自变量x满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，点（6，y1），（m﹣4，y2），（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上．若y2＜y1＜c，请求出m的取值范围．
【答案】（1） 或0＜a≤4；
（2）5＜m＜6或m＞10．
【分析】（1）把（0，3），（﹣1，﹣1）代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分a＞0和a＜0，由函数的增减性求出a的取值范围；
（2）先画出函数图象，再根据y2＜y1＜c确定m的取值范围．
【解答】解：（1）由条件可知c＝3，a﹣b+3＝﹣1，
∴b＝a+4，
∴对称轴为直线，
①当a＞0时，
∵﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴a+4≥2a，
解得a≤4，
∴0＜a≤4；
②当a＜0时，
∵﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴a+4≥﹣4a，
解得，
∴，
综上：a的取值范围是 或0＜a≤4；
（2）∵点（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴c＝3，
∵点（m﹣4，y2），（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴对称轴为直线，
①如图所示：
∵y2＜y1＜c，
∴m＜6且，
∴5＜m＜6；
②如图所示：
∵y2＜y1＜c，
∴m﹣4＞6，
∴m＞10，
综上所述，m的取值范围为5＜m＜6或m＞10．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
13．已知函数（m为常数）．
（1）求当m为何值时y是x的二次函数；
（2）在（1）的条件下，点（2，a）在此函数图象上，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数的定义即可求解；
（2）根据（1）得出二次函数的解析式，再把点（2，a）代入计算即可求解．
【解答】解：（1）解：由题意得，m2﹣7＝2且m+3≠0，
解得m＝3，
∴当m＝3时y是x的二次函数；
（2）∵m＝3，
∴y＝﹣6x2﹣2x+1，
∵点（2，a）在此函数图象上，
∴a＝﹣6×22﹣2×2+1＝﹣27．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键．
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