第6讲 力的合成与分解
例1 B [解析] 先以力F1和F2为邻边作平行四边形,其合力与F3共线,大小F12=2F3,如图所示,F12再与第三个力F3合成求合力F合,可得F合=3F3,故选B.
例2 B [解析] 根据平行四边形定则可知,该牙所受两牵引力的合力大小为F合=2Fcos,故选B.
例3 B [解析] A图中,根据受力分析可知,受困车辆所受拉力为救援车辆拖拽力的两倍;B图中,根据受力分析可知,受困车辆所受拉力等效为分力,救援车辆的拖拽力等效为合力,因初始时刻两分力夹角接近180°,合力远小于分力;C图中,缆绳与树桩构成定滑轮系统,仅改变力的方向,未改变力的大小;D图中,根据受力分析可知,受困车辆所受拉力救援车辆拖拽力的;综上所述B图最省力.故选B.
变式1 B [解析] 把F分解,如图所示,可知刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬物的压力,故A错误,B正确;由牛顿第三定律可知刀具对硬物的作用力等于硬物对刀具的作用力,故C、D错误.
例4 C [解析] 已知分力F1有确定的方向,与合力F的方向成30°角,可知另一个分力的最小值为F2min=Fsin 30°=25 N,依题意25 N例5 B [解析] 对货船S受力分析如图甲所示,其中FT为绳的拉力,根据正交分解法可得2FTcos 30°=Ff,对拖船P受力分析如图乙所示,其中F为发动机提供的动力,有(FT'sin 30°)2+(Ff+FT'cos 30°)2=F2,根据牛顿第三定律可知FT'=FT,联立解得F=Ff,故B正确.
例6 C [解析] 由题知,每一条钢索与塔柱成α角,将每一对钢索的力F沿竖直方向和水平方向分解,则水平方向的力相互抵消,竖直方向的力对塔柱有拉力作用,故16条钢索对塔柱的拉力为F合=16Fcos α,故选C.
变式2 C [解析] 工件的重力可以分解为沿槽棱方向向下的分力Gsin 30°与垂直于槽棱方向的分力Gcos 30°,如图甲,垂直于槽棱方向的分力Gcos 30°又进一步分解为两个挤压斜面的压力,如图乙,由几何关系可知2F1cos 30°=Gcos 30°,解得F1=F2=G,故A、B错误;此时沿槽棱方向的分力Gsin 30°与工件和槽之间的摩擦力大小相等,有Ff=2μF1=Gsin 30°,解得μ=,故C正确,D错误.第6讲 力的合成与分解
1.C [解析] 三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1+F2+F3,但最小值不一定等于零,只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时,这三个力的合力才可能为零,选项A错误;合力可能比三个力都大,也可能比三个力都小,选项B错误;合力能够为零的条件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形,任意两个力的和必须大于第三个力,选项D错误,C正确.
2.C [解析] 弹力圈上的力可近似为大小处处相等,弹力圈对3号小朋友的张角最大,根据平行四边形定则可知合力最小,故选C.
3.C [解析] 因2 N和5 N的合力范围在3~7 N,而8 N不在合力范围之内,则合力不可能为零;因3 N和3 N的合力范围在0~6 N,而9 N不在合力范围之内,则合力不可能为零;因6 N和6 N的合力范围在0~12 N,而6 N在合力范围之内,则合力可能为零;因4 N和5 N的合力范围在1~9 N,而10 N不在合力范围之内,则合力不可能为零,故选C.
4.B [解析] 对曲辕犁,力F在水平方向及竖直方向的分力分别为F1x=Fsin α、F1y=Fcos α,对直辕犁,力F在水平方向及竖直方向的分力分别为F2x=Fsin β、F2y=Fcos β,因α<β,故F1xF2y,故A错误,B正确;耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对作用力和反作用力的关系,它们大小相等,故C、D错误.
5.A [解析] 将F分解在水平方向和竖直方向,则F与竖直方向的夹角为β,则F水平方向上的分力大小为Fsin β,故选A.
6.B [解析] 对每一根拉线的拉力正交分解,竖直方向的分力Fy=FTcos 30°,对返回舱,竖直方向列平衡方程有96FTcos 30°=G1,解得FT==,故选B.
7.A [解析] 甲图中,水平方向合力大小为Fx=F1-F3=4 N-1 N=3 N,所以合外力大小为F== N=5 N,故A正确;乙图中,水平方向合力大小为Fx=F1x-F3x=3 N-3 N=0,竖直方向合力大小为Fy=F2+F1y+F3y=2 N+1 N+2 N=5 N,所以合外力大小为F=Fy=5 N,故B错误;丙图中,F2与F3的合力等于F1,所以三个力的合力大小为F=2F1=6 N,故C错误;丁图中,三个力的图示首尾相接构成一个矢量三角形,所以合外力为零,故D错误.
8.D [解析] 对运动员受力分析,根据力的分解可知当θ=60°时,有2Fcos 30°=G,解得运动员的右侧手臂对身体的支持力大小为F=G;当θ=90°时,有2F'cos 45°=G,解得运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为F'=G;当θ=120°时,有2F″cos 60°=G,解得运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为F″=G,故选D.
9.C [解析] 已知F2为合力,F1为其中一个分力,则另外一个分力的大小、方向有且仅有一种情况,A正确;若F1是F2的一个分力,由三角形法则可知两分力要顺连,则另一个分力F3应该由C指向B,B正确;已知F1、F2为分力,将它们合成,则合力F的大小与F1、F2满足以下规律F2=++2F1F2cos α(α为F1与F2所形成的夹角),合力F的大小与F1、F2的大小有关,C错误;若将F1、F2进行合成,其合力的大小、方向固定,D正确.
10.B [解析] 根据题意F1、F2的合力与y轴正方向的夹角为37°,有两种情况,第一种情况夹角在y轴正方向右边,则F1sin 37°=F合cos 37°,代入得F合=15 N,由几何关系知F2=F1cos 37°-F合sin 37°=7 N,第二种情况夹角在y轴正方向左边,则F1sin 37°=F合'cos 37°,代入得F合'=15 N,由几何关系知=sin 37°,代入得F2'=25 N,由此可知F2可能为7 N或25 N,故选B.
11.B [解析] 根据题意,“菱形千斤顶”C点受到的压力F沿两臂分解,如图甲所示,根据对称性可知,两臂受到的压力大小相等,根据几何关系可得2F1sin θ=G,AC杆的弹力大小为F1=,故A、C错误;对“菱形千斤顶”A点受力分析如图乙,由平衡条件得F=2F1cos θ=,故B正确,D错误.
12.(1)0.5G (2)0.4G
[解析] (1)分析圆柱体工件的受力可知,沿轴线方向受到的拉力F等于两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力之和,将工件的重力进行分解,如图所示,由平衡条件可得G=F1=F2
则F=μF1+μF2=0.5G
(2)把整个装置倾斜,则重力沿压紧两侧的斜面的分力
F1'=F2'=Gcos 37°=0.8G
此时工件所受槽的摩擦力大小Ff'=μF1'+μF2'=0.4G
13.(1)0 (2)10 N 水平向右
(3)30 N 与水平方向成60° 角斜向右下方
[解析] (1)先合成F1、F2,根据力的平行四边形定则与几何关系可得F12=2F1cos =F1=10 N
如图甲所示,方向竖直向上,又F1、F2的合力与F3等大反向,所以F1、F2、F3的合力等于0
(2)将F1顺时针旋转120°,以水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立直角坐标系,如图乙所示
x轴有Fx=F1cos 30°+F2cos 30°=10 N
y轴有Fy=F1sin 30°+F2sin 30°-F3=0
F1、F2、F3的合力F=Fx=10 N,水平向右
(3)以水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立直角坐标系,如图丙所示
x轴有Fx=-F1cos 30°+F2cos 30°=15 N
y轴有Fy=F1sin 30°+F2sin 30°-F3=-45 N
F1、F2、F3的合力F==30 N,tan θ==,与水平方向成60°角斜向右下方第6讲 力的合成与分解
一、共点力 合力和分力
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点,或它们的作用线相交于一点,这几个力叫作共点力.
2.合力和分力
(1)定义:假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同,这一个力就叫作那几个力的 ,那几个力叫作这一个力的 .
(2)关系:合力和分力是 的关系.两力的合力范围为|F1-F2|≤F≤F1+F2.
二、力的合成
1.定义:求几个力的合力的过程.
2.运算法则
(1)平行四边形定则:求两个互成角度的共点力的合力时,以表示这两个力的有向线段为 作平行四边形,这两个邻边之间的 就代表合力的大小和方向,如图甲所示.
(2)三角形定则:把两个矢量首尾相接,从而求出合矢量的方法,如图乙所示.
三、力的分解
1.定义:求一个已知力的 的过程.
2.运算法则: 定则或 定则.
3.两种分解方法:正交分解法和效果分解法.
四、矢量和标量
1.矢量:既有大小又有 的量,运算时遵从 定则.
2.标量:只有大小没有方向的量,运算时按算术法则相加减.
【辨别明理】
1.几个力的共同作用效果可以用一个力来替代.( )
2.一个力只能分解为一对分力. ( )
3.两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们的夹角的增大而减小. ( )
4.互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形. ( )
共点力的合成
求合力的方法
作图法 作出力的图示,结合平行四边形定则,用刻度尺量出表示合力线段的长度,再结合标度算出合力大小
解析法 根据平行四边形定则作出力的示意图,然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力
例1 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用,三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等),则下列说法正确的是 ( )
A.三力的合力有最大值F1+F2+F3,方向不确定
B.三力的合力有唯一值3F3,方向与F3同向
C.三力的合力有唯一值2F3,方向与F3同向
D.由题给条件无法求合力大小
[反思感悟]
例2 [2023·重庆卷] 矫正牙齿时,可用牵引线对牙施加力的作用.若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F,夹角为α(如图),则该牙所受两牵引力的合力大小为 ( )
A.2Fsin
B.2Fcos
C.Fsin α
D.Fcos α
[反思感悟]
【技法点拨】
几种特殊情况的共点力的合成
情况 两力互 相垂直 两力等大, 夹角为θ 两力等大且 夹角为120°
图示
结论 F= tan θ= F=2F1cos F与F1夹角为 合力与 分力等大
力的分解
1.力的分解
力的分解是力的合成的逆过程,通常力的分解过程是按照力的实际效果进行的,必须根据题意分析力的作用效果,确定分力的方向,然后再根据平行四边形定则进行分解.
2.力的分解中的多解问题
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向 有唯一解
已知合力与两个分力的大小 在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向 有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 (1)在0<θ<90°时有三种情况:①当F1=Fsin θ或F1≥F时,有一组解;②当F1F时有一组解,其余情况无解
例3 [2024·广东广州模拟] 当汽车陷入泥潭时,需要救援车辆将受困车辆拖拽驶离,如图为其俯视图.救援人员发现在受困车辆的前方有一坚固的树桩可以利用,根据你所学过的知识判断,下列情况中,救援车辆用同样的力拖拽,受困车辆受到的拉力最大的方案为 ( )
A
B
C
D
[反思感悟]
变式1 [2024·云南昆明模拟] 如图甲所示是用刀具切硬物的情景,将刀刃放在硬物上,右手握住刀柄控制右侧刀面始终保持竖直,左手用力按压刀背使刀刃缓慢竖直切入硬物,刀刃切入硬物的横截面如图乙所示.下列说法正确的是 ( )
A.刀具左侧对硬物的压力小于右侧对硬物的压力
B.刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬物的压力
C.刀具对硬物的作用力小于硬物对刀具的作用力
D.刀具对硬物的作用力大于硬物对刀具的作用力
例4 [2024·河北保定模拟] 已知两个共点力的合力为50 N,分力F1的方向与合力F的方向成30°角,分力F2的大小为30 N.则 ( )
A.F1的大小是唯一的 B.F2的方向是唯一的
C.F2有两个可能的方向 D.F2可取任意方向
[反思感悟]
正交分解法的应用
当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法.
(1)建立坐标轴的原则:在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上);在动力学中,往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系.
(2)多个力求合力的方法:把各力向相互垂直的x轴、y轴分解.
x轴上的合力Fx=+++…
y轴上的合力Fy=+++…
合力大小F=
若合力方向与x轴夹角为θ,则tan θ=.
例5 [2024·湖北卷] 如图所示,两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进,两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°.假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为Ff,方向与船的运动方向相反,则每艘拖船发动机提供的动力大小为 ( )
A.Ff B.Ff
C.2Ff D.3Ff
[反思感悟]
例6 [2024·广东深圳模拟] 港珠澳大桥旅游试运营于2023年12月15日开通.大桥全长约55公里,“飞虹”连天堑、织经纬,“珠联璧合” 映落神州.作为连接粤港澳三地的超级工程和全国爱国主义教育基地,游客可经大桥珠海公路口岸出发,参团游览大桥,感受大国重器的魅力.风帆造型的九洲航道桥部分如图所示,这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索,每一对钢索等长.每一条钢索与塔柱成α角,若不计钢索的自重,且假设每条钢索承受的拉力大小相同为F,则该塔柱所承受的8对钢索的合力为 ( )
A.
B.
C.16Fcos α
D.8Fcos α
[反思感悟]
变式2 [2024·山东潍坊模拟] 将一重为G的圆柱形工件放在“V”形槽中,如图所示,槽的两侧面与水平面的夹角相同,“V”形槽两侧面的夹角为120°.当槽的棱与水平面的夹角为30°时,工件恰好能够匀速下滑,则 ( )
A.工件对槽每个侧面的压力均为G
B.工件对槽每个侧面的压力均为G
C.工件与槽间的动摩擦因数为
D.工件与槽间的动摩擦因数为
一、2.(1)合力 分力 (2)等效替代
二、2.(1)邻边 对角线
三、1.分力 2.平行四边形 三角形
四、1.方向 平行四边形
【辨别明理】
1.√ 2.× 3.√ 4.√第6讲 力的合成与分解 (限时40分钟)
1.三个共点力大小分别是F1、F2、F3,关于它们合力F的大小,下列说法正确的是 ( )
A.F大小的取值范围一定是0≤F≤F1+F2+F3
B.F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C.若F1∶F2∶F3=3∶6∶8,只要适当调整它们之间的夹角,一定能使合力为零
D.若F1∶F2∶F3=3∶6∶2,只要适当调整它们之间的夹角,一定能使合力为零
2.[2024·湖北荆州模拟] 四个小朋友玩“东西南北跑比赛”,他们被围在一个弹力圈中,从中心向外沿各自的方向移动,去拿外围的游戏道具,谁先拿到谁就能赢得比赛.某时刻四个小朋友处于如图所示的僵持状态,则此时受到弹力圈的弹力最小的是
( )
A.1号小朋友
B.2号小朋友
C.3号小朋友
D.4号小朋友
3.[2024·河北唐山模拟] 班级活动中,物理老师提出一个方案,每位同学从一副扑克牌中随机抽取三张牌,牌上的数字代表力的大小,若三个力的合力可以为0,则该同学表演节目.有四位同学抽取的牌上的数字分别如下,请判断需要表演节目的同学是 ( )
A.2,5,8 B.3,3,9
C.6,6,6 D.4,5,10
4.[2021·广东卷] 唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力.设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁,F与竖直方向的夹角分别为α和β,α<β,如图所示.忽略耕索质量,耕地过程中,下列说法正确的是 ( )
A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C.曲辕犁匀速前进时,耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D.直辕犁加速前进时,耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
5.[2024·重庆沙坪坝区模拟] “八字刹车”是滑雪的减速技术,其滑行时的滑行姿态,如图甲所示,左边雪板的受力情况可简化为图乙.雪板与水平雪面成β角,雪面对雪板的总作用力大小为F,方向可认为垂直于雪板所在平面ABCD.则其水平方向上的分力大小为 ( )
A.Fsin β B.Fcos β C.Ftan β D.
6.[2024·江苏苏州一中模拟] 佑护航天员平安返回的“生命之伞”,为我国载人航天任务作出了突出贡献.在某次神舟飞船竖直匀速返回地面过程中,假设返回舱重力为G1(不计它受到的空气阻力),降落伞重力为G2,有96根相同的拉线与返回舱相连,另一端均匀分布在伞的边缘,每根拉线和竖直方向都成30°角,则每根拉线上的张力大小为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·福建宁德一中模拟] 某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用,在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示1 N的力),该物体所受的合外力大小正确的是 ( )
A.甲图中物体所受的合外力大小等于5 N
B.乙图中物体所受的合外力大小等于4 N
C.丙图中物体所受的合外力大小等于3 N
D.丁图中物体所受的合外力大小等于2 N
8.[2024·山东青岛模拟] 重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时,有如图所示的比赛动作,当运动员竖直倒立保持静止状态时,两手臂对称支撑,夹角为θ,则( )
A.当θ=60°时,运动员的右侧手臂对身体的支持力大小为
B.当θ=60°时,运动员的右侧手臂对身体的支持力大小为G
C.当θ=90°时,运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为G
D.当θ=120°时,运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为G
9.[2024·云南昆明模拟] 已知F1和F2两个力的图示如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.若F1是F2的一个分力,则另一个分力只存在一种情况
B.若F1是F2的一个分力,则另一个分力的方向应该由C指向B
C.若将F1、F2进行合成,则合成之后的合力大小与F1、F2的大小无关
D.若将F1、F2进行合成,有且仅有一种情况出现
10.[2024·山东日照模拟] 如图所示,一个物体在xOy平面内受到F1、F2两个力的作用,F1的大小为20 N,方向与x轴正方向的夹角为37°,F2的方向沿着x轴负方向(图中未画出).已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.若F1、F2的合力与y轴正方向的夹角为37°,则F2的大小可能为 ( )
A.30 N B.25 N
C.15 N D.6 N
11.[2024·湖南岳阳模拟] 汽车内常备的“菱形千斤顶”如图所示,现逆时针摇动手柄,使螺旋杆转动(螺旋杆始终保持水平),A、B间距离变小,重物就被缓慢顶升起来,反之则可使重物下降.若重物重力为G,AB与AC之间的夹角为θ,不计千斤顶杆件自重,则以下判断正确的是( )
A.AC杆的弹力大小为
B.螺旋杆AB的拉力大小为
C.AC杆的弹力大小为
D.螺旋杆AB的拉力大小为Gtan θ
12.[2024·浙江杭州模拟] 一重力为G的圆柱体工件放在V形槽中,如图甲所示,槽顶角α=60°,槽的两侧面与水平方向的夹角相等,槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同,大小为μ=0.25,则:
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图乙所示)水平地把工件从槽中拉出来,人至少要施加多大的拉力
(2)现把整个装置倾斜,使圆柱体的轴线与水平方向成37°角,如图丙所示,且保证工件对V形槽两侧面的压力大小相等,发现工件能自动沿槽下滑,求此时工件所受槽的摩擦力大小.(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
13.有三个力F1、F2、F3作用于同一点O,并在同一平面内互成120°角.求:(要求写出求解过程,通过画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
(1)若三个力大小都为10 N,如图甲所示,求它们的合力;
(2)第(1)问中,将F1顺时针旋转120°,求它们的合力的大小和方向;
(3)若三个力大小分别为10 N、40 N、70 N,如图乙所示,求它们的合力的大小和方向.(共71张PPT)
第6讲 力的合成与分解
必备知识自查
核心考点探究
备用习题
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
一、共点力 合力和分力
1.共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或它们的作用线相交于一点，这几个
力叫作共点力.
2.合力和分力
(1) 定义：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，
这一个力就叫作那几个力的______，那几个力叫作这一个力的______.
(2) 关系：合力和分力是__________的关系.两力的合力范围为
.
合力
分力
等效替代
二、力的合成
1.定义：求几个力的合力的过程.
2.运算法则
(1) 平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力时，以表示这两个
力的有向线段为______作平行四边形，这两个邻边之间的________就代表
合力的大小和方向，如图甲所示.
邻边
对角线
(2)三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法，如图乙所示.
三、力的分解
1.定义：求一个已知力的______的过程.
2.运算法则：____________定则或____________定则.
分力
平行四边形
三角形
3.两种分解方法：正交分解法和效果分解法.
四、矢量和标量
1.矢量：既有大小又有______的量，运算时遵从____________定则.
方向
平行四边形
2.标量：只有大小没有方向的量，运算时按算术法则相加减.
【辨别明理】
1.几个力的共同作用效果可以用一个力来替代.( )
√
2.一个力只能分解为一对分力.( )
×
3.两个大小恒定的力、 的合力的大小随它们的夹角的增大而减小.( )
√
4.互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形.( )
√
考点一 共点力的合成
求合力的方法
作图法 作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力
线段的长度，再结合标度算出合力大小
解析法 根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三
角函数、正弦定理等求出合力
例1 一物体受到三个共面共点力、、 的作用，三力的矢量关系如图
所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A.三力的合力有最大值 ，方向不确定
B.三力的合力有唯一值，方向与 同向
C.三力的合力有唯一值，方向与 同向
D.由题给条件无法求合力大小
√
[解析] 先以力和为邻边作平行四边形，其合力与 共线，大小
，如图所示，再与第三个力合成求合力，可得 ，
故选B.
例2 [2023·重庆卷] 矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加
力的作用.若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为
，夹角为 (如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小
为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为
,故选B.
√
[技法点拨]
几种特殊情况的共点力的合成
情况 两力互相垂直
图示 ______________________ _________________________________ ___________________
结论 合力与分力
等大
考点二 力的分解
1.力的分解
力的分解是力的合成的逆过程，通常力的分解过程是按照力的实际效果进
行的，必须根据题意分析力的作用效果，确定分力的方向，然后再根据平
行四边形定则进行分解.
2.力的分解中的多解问题
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与 两个分力的 方向 _____________________________________________________ _______________________________________________
有唯一解
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与 两个分力的 大小 _______________________________________________________________
续表
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与 一个分力的 大小和方向 __________________________________________________________ ______________________________________________________
有唯一解
续表
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与 一个分力的 大小及另一 个分力的方 向 __________________________________________________________________
续表
例3 [2024·广东广州模拟] 当汽车陷入泥潭时，需要救援车辆将受困车辆
拖拽驶离，如图为其俯视图.救援人员发现在受困车辆的前方有一坚固的
树桩可以利用，根据你所学过的知识判断，下列情况中，救援车辆用同样
的力拖拽，受困车辆受到的拉力最大的方案为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] A图中，根据受力分析可知，受
困车辆所受拉力为救援车辆拖拽力的两
倍；B图中，根据受力分析可知，受困
车辆所受拉力等效为分力，救援车辆的拖拽力等效为合力，因初始时刻两
分力夹角接近 ，合力远小于分力；C图中，缆绳与树桩构成定滑轮系
统，仅改变力的方向，未改变力的大小；D图中，根据受力分析可知，受
困车辆所受拉力救援车辆拖拽力的 ；综上所述B图最省力.故选B.
变式1 [2024·云南昆明模拟] 如图甲所示是用刀具切硬物的情景，将刀刃
放在硬物上，右手握住刀柄控制右侧刀面始终保持竖直，左手用力按压刀
背使刀刃缓慢竖直切入硬物，刀刃切入硬物的横截面如图乙所示.下列说
法正确的是( )
A.刀具左侧对硬物的压力小于右侧对硬物的压力
B.刀具左侧对硬物的压力大于右侧对硬物的压力
C.刀具对硬物的作用力小于硬物对刀具的作用力
D.刀具对硬物的作用力大于硬物对刀具的作用力
√
[解析] 把 分解，如图所示，可知刀具左侧对
硬物的压力大于右侧对硬物的压力，故A错误，
B正确；由牛顿第三定律可知刀具对硬物的作
用力等于硬物对刀具的作用力，故C、D错误.
例4 [2024·河北保定模拟] 已知两个共点力的合力为，分力 的方向
与合力的方向成 角，分力的大小为 .则( )
A.的大小是唯一的 B. 的方向是唯一的
C.有两个可能的方向 D. 可取任意方向
[解析] 已知分力有确定的方向，与合力 的方向
成 角，可知另一个分力的最小值为
，依题意 ，
根据三角形定则，画出矢量三角形，如图所示，易
知有两个可能的方向， 的大小有两种可能，故C正确，A、B、D错误.
√
考点三 正交分解法的应用
当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法.
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则
(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直
加速度方向为坐标轴建立坐标系.
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的轴、 轴分解.
轴上的合力
轴上的合力
合力大小
若合力方向与轴夹角为 ，则 .
例5 [2024·湖北卷] 如图所示，两拖船、 拉着无
动力货船 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，
两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为 .假设水对
三艘船在水平方向的作用力大小均为 ，方向与船
的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大
小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对货船受力分析如图甲所示，其中 为绳的拉力，根据正交分解
法可得，对拖船受力分析如图乙所示，其中 为发动机提
供的动力，有 ，根据牛顿第三定律
可知，联立解得 ，故B正确.
例6 [2024·广东深圳模拟] 港珠澳大桥旅游试运营于2023年12月15日开通.
大桥全长约55公里，“飞虹”连天堑、织经纬，“珠联璧合” 映落神州.作为
连接粤港澳三地的超级工程和全国爱国主义教育基地，游客可经大桥珠海
公路口岸出发，参团游览大桥，感受大国重器的魅力.风帆造型的九洲航
道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每一对
钢索等长.每一条钢索与塔柱成 角，若不计钢索的自重，且假设每条钢
索承受的拉力大小相同为 ，则该塔柱所承受的8对钢索的合力为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，每一条钢索与塔柱成 角，将每一对钢索的力 沿竖直方
向和水平方向分解，则水平方向的力相互抵消，竖直方向的力对塔柱有拉
力作用，故16条钢索对塔柱的拉力为 ，故选C.
变式2 [2024·山东潍坊模拟] 将一重为的圆柱形工件放在“ ”形槽中，如
图所示，槽的两侧面与水平面的夹角相同，“”形槽两侧面的夹角为 .
当槽的棱与水平面的夹角为 时，工件恰好能够匀速下滑，则( )
A.工件对槽每个侧面的压力均为
B.工件对槽每个侧面的压力均为
C.工件与槽间的动摩擦因数为
D.工件与槽间的动摩擦因数为
√
[解析] 工件的重力可以分解为沿槽棱方向向下的分力 与垂直于
槽棱方向的分力 ，如图甲，垂直于槽棱方向的分力 又
进一步分解为两个挤压斜面的压力，如图乙，由几何关系可知
，解得 ，故A、B错误；此时沿槽棱方向的分力
与工件和槽之间的摩擦力大小相等，有，
解得 ，故C正确，D错误.
备 用 习 题
√
1.如图所示,AB是半圆的直径,O为圆心,P点是圆上的一点,P点作用了三个共点力F1、F2、F3.若F2的大小已知,则这三个力的合力为 ( )
A.F2 B.2F2
C.3F2 D.4F2
[解析] 以F1、F3为邻边作平行四边形,由几何特征可知该平行四边形是矩形,则合力F13=2F2,故F1、F2、F3的合力F=3F2,C正确.
考点一 共点力的合成
备 用 习 题
√
2.大小分别为F1、F2、F3的三个力恰好围成一个封闭的三角形,且这三个力的大小关系是F1C
A
B
D
[解析] 由三角形定则知,A中三力的合力为2F1,B中三力的合力为0,C中三力的合力为2F3,D中三力的合力为2F2,其中2F3最大,C正确.
备 用 习 题
√
3.如图所示,一个“Y”形弹弓顶部跨度为L,两根相同的橡皮条自由长度均为L,在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片.若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律,且劲度系数为k,发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为1.5L(弹性限度内),则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为 ( )
A.kL B.kL C.kL D.2kL
[解析] 根据胡克定律知,每根橡皮条的弹力F=k(1.5L-L)=0.5kL,设此时两根橡皮条与合力的夹角为θ,根据几何关系知sin θ=,根据平行四边形定则知,弹丸被发射过程中所受的最大弹力F合=2Fcos θ=kL.
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力,F2是物体对斜面的压力
B.物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用
C.FN和F2是作用力和反作用力
D.力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同
备 用 习 题
√
4.如图所示,把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力,下列说法正确的是 ( )
[解析] 物体受到mg、FN两个力作用,F1、F2两个力是重力的分力,不是实际受到的力,力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同,故A、B错误,D正确;FN和F2是一对平衡力,故C错误.
考点二 力的分解
A.可以小于Fsin θ B.一定等于Fsin θ
C.一定大于Fsin θ D.若大于Fsin θ,则F2可能有两个确定的方向
备 用 习 题
√
5.将力F分解为两个力,已知其中一个分力F1的方向与F的夹角为θ,可以判定另一个分力F2 ( )
[解析] 合力与其两个不在同一直线上的两个分力可构成一闭合三角形,根据题意,如图,可知当F2垂直于F1时F2有最小值,最小值为Fsin θ;当F>F2>Fsin θ时,F2有两个确定的方向,故选D.
备 用 习 题
√
6.某压榨机的结构示意图如图所示,其中B为固定铰链,若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F,则由于力F的作用,使滑块C压紧物体D,设C与D接触面光滑,杆的重力及滑块C的重力不计,图中a=0.5 m,b=0.05 m,则物体D所受压力的大小与力F的比值为 ( )
A.4 B.5 C.10 D.1
[解析] 按作用效果将F沿AC、AB杆方向分解为如图甲所示的F1、F2,则F1=F2=,由几何知识得tan θ==10,再按作用效果将F1沿水平方向和竖直方向分解为如图乙所示的F3、F4,则F4=F1sin θ,联立得F4=5F,即物体D所受压力的大小与力F的比值为5,B正确.
A.弹簧弹力在竖直方向的分量增大,滑块受到的摩擦力不变
B.弹簧弹力在竖直方向的分量不变,滑块受到的摩擦力变小
C.弹簧弹力在竖直方向的分量增大,滑块受到的摩擦力变小
D.弹簧弹力在竖直方向的分量不变,滑块受到的摩擦力不变
备 用 习 题
√
7.如图所示,滑块放在水平地面上,左边受一轻质弹簧的拉力作用,弹簧左端与右端之间的竖直距离为h,弹簧原长为l0(l0考点三 正交分解法的应用
备 用 习 题
[解析] 滑块受到重力、支持力、水平拉力、弹簧弹力,设某一位置时弹簧与水平方向的夹角为θ,此时弹簧的长度为l,弹簧的原长为l0,弹簧伸长量为x2,根据正交分解得,竖直方向有FN=mg-F弹sin θ,根据几何关系得F弹sin θ=kx2·=k·,其中h和l0为定值,当x2逐渐增大时，竖直分量F弹sin θ 增大，支持力FN逐渐减小,根据Ff=μFN ,可知摩擦力减小，故C正确,A、B、D错误.
A.cos θ+μsin θ B.cos θ-μsin θ
C.1+μtan θ D.1-μtan θ
备 用 习 题
√
8.如图所示,质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上,物体与斜面之间的动摩擦因数为μ,先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑,若改用水平推力F2作用于物体上,也能使物体沿斜面匀速上滑,则两次的推力大小之比为 ( )
备 用 习 题
[解析] 物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分别如图甲、乙所示.图甲中,由平衡条件可得F1=mgsin θ+Ff1,FN1=mgcos θ,其中Ff1=μFN1,解得F1=mgsin θ+μmgcos θ,图乙中,将重力mg、力F2沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解,由平衡条件可得F2cos θ=mgsin θ+Ff2,FN2=mgcos θ+F2sin θ,其中Ff2=μFN2,解得F2=,故=cos θ-μsin θ,B正确.
作业手册
1.三个共点力大小分别是、、，关于它们合力 的大小，下列说法
正确的是( )
A.大小的取值范围一定是
B.至少比、、 中的某一个力大
C.若 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D.若 ，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
√
[解析] 三个大小分别是、、 的共点力合成后的最大值一定等于
，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两
个力的合力范围内时，这三个力的合力才可能为零，选项A错误；合力可
能比三个力都大，也可能比三个力都小，选项B错误；合力能够为零的条
件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大
于第三个力，选项D错误，C正确.
2.[2024·湖北荆州模拟] 四个小朋友玩“东西南北
跑比赛”，他们被围在一个弹力圈中，从中心向
外沿各自的方向移动，去拿外围的游戏道具，谁
先拿到谁就能赢得比赛.某时刻四个小朋友处于
如图所示的僵持状态，则此时受到弹力圈的弹力
最小的是( )
A.1号小朋友 B.2号小朋友 C.3号小朋友 D.4号小朋友
[解析] 弹力圈上的力可近似为大小处处相等，弹力圈对3号小朋友的张角
最大，根据平行四边形定则可知合力最小，故选C.
√
3.[2024·河北唐山模拟] 班级活动中，物理老师提出一个方案，每位同学
从一副扑克牌中随机抽取三张牌，牌上的数字代表力的大小，若三个力的
合力可以为0，则该同学表演节目.有四位同学抽取的牌上的数字分别如下，
请判断需要表演节目的同学是( )
A.2，5，8 B.3，3，9 C.6，6，6 D.4，5，10
[解析] 因和的合力范围在，而 不在合力范围之内，则合
力不可能为零；因和的合力范围在，而 不在合力范围之
内，则合力不可能为零；因和的合力范围在，而 在合
力范围之内，则合力可能为零；因和的合力范围在 ，而
不在合力范围之内，则合力不可能为零，故选C.
√
4.[2021·广东卷] 唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是
起土省力.设牛用大小相等的拉力通过耕索分别拉两种犁， 与竖直方向
的夹角分别为 和 ， ，如图所示.忽略耕索质量，耕地过程中，
下列说法正确的是( )
A.耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B.耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C.曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D.直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
√
[解析] 对曲辕犁，力 在水平方向及竖直方向的分力分别为
、 ，对直辕犁，力 在水平方向及竖直方向的
分力分别为 、 ，因 ，故 ，
，故A错误，B正确；耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对
作用力和反作用力的关系，它们大小相等，故C、D错误.
5.[2024·重庆沙坪坝区模拟] “八字刹车”是滑雪的减速技术，其滑行时的滑
行姿态，如图甲所示，左边雪板的受力情况可简化为图乙.雪板与水平雪
面成 角，雪面对雪板的总作用力大小为 ，方向可认为垂直于雪板所在
平面 .则其水平方向上的分力大小为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 将分解在水平方向和竖直方向，
则与竖直方向的夹角为 ，则水平方
向上的分力大小为 ，故选A.
6.[2024·江苏苏州一中模拟] 佑护航天员平安返回的“生命
之伞”，为我国载人航天任务作出了突出贡献.在某次神舟
飞船竖直匀速返回地面过程中，假设返回舱重力为
(不计它受到的空气阻力)，降落伞重力为 ，有96根相同
的拉线与返回舱相连，另一端均匀分布在伞的边缘，每根
A. B. C. D.
拉线和竖直方向都成 角，则每根拉线上的张力大小为 ( )
√
[解析] 对每一根拉线的拉力正交分解，竖直方向的分力
，对返回舱，竖直方向列平衡方程有
，解得
，故选B.
7.[2024·福建宁德一中模拟] 某物体同时受到同一平面内的三个共点力作
用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格边长表示 的力)，该物体所
受的合外力大小正确的是( )
A.甲图中物体所受的合外力大小等于
B.乙图中物体所受的合外力大小等于
C.丙图中物体所受的合外力大小等于
D.丁图中物体所受的合外力大小等于
√
[解析] 甲图中，水平方向合力大小为 ，所
以合外力大小为 ，故A正确；乙图中，
水平方向合力大小为 ，竖直方向合力大小
为 ，所以合外力大小为
，故B错误；丙图中，与的合力等于 ，所以三个力的
合力大小为 ，故C错误；丁图中，三个力的图示首尾相接构
成一个矢量三角形，所以合外力为零，故D错误.
8.[2024·山东青岛模拟] 重力为 的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如
图所示的比赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，
夹角为 ，则( )
A.当 时，运动员的右侧手臂对身体的支持力大小为
B.当 时，运动员的右侧手臂对身体的支持力大小为
C.当 时，运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为
D.当 时，运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为
√
[解析] 对运动员受力分析，根据力的分解可知当 时，有
，解得运动员的右侧手臂对身体的支持力大小为
；当 时，有 ，解得运动员的左侧
手臂对身体的支持力大小为；当 时，有
，解得运动员的左侧手臂对身体的支持力大小为
，故选D.
9.[2024·云南昆明模拟] 已知和 两个力的图示如图所示，下列说法错
误的是( )
A.若是 的一个分力，则另一个分力只存在一种情况
B.若是 的一个分力，则另一个分力的方向应该由指向
C.若将、 进行合成，则合成之后的合力大小与、 的大小无关
D.若将、 进行合成，有且仅有一种情况出现
√
[解析] 已知为合力， 为其中一个分力，则另
外一个分力的大小、方向有且仅有一种情况，A正
确；若是 的一个分力，由三角形法则可知两
分力要顺连，则另一个分力应该由指向 ，B
正确；已知、为分力，将它们合成，则合力
的大小与、 满足以下规律
( 为与 所形成的夹角)，合力的
大小与、 的大小有关，C错误；若将、 进
行合成，其合力的大小、方向固定，D正确.
10.[2024·山东日照模拟] 如图所示，一个物体
在平面内受到、两个力的作用， 的
大小为，方向与 轴正方向的夹角为
，的方向沿着 轴负方向(图中未画出).
已知，.若、 的合
A. B. C. D.
力与轴正方向的夹角为 ，则 的大小可能为( )
√
[解析] 根据题意、的合力与 轴正方向的夹
角为 ，有两种情况，第一种情况夹角在 轴
正方向右边，则 ，代入得
，由几何关系知
，第二种情况
夹角在轴正方向左边，则 ，代入得 ，由
几何关系知 ，代入得 ，
由此可知可能为或 ，故选B.
11.[2024·湖南岳阳模拟] 汽车内常备的“菱形千斤顶”如图所
示，现逆时针摇动手柄，使螺旋杆转动(螺旋杆始终保持水
平)，、 间距离变小，重物就被缓慢顶升起来，反之则可
使重物下降.若重物重力为，与之间的夹角为 ，不
计千斤顶杆件自重，则以下判断正确的是( )
A.杆的弹力大小为 B.螺旋杆的拉力大小为
C.杆的弹力大小为 D.螺旋杆的拉力大小为
√
[解析] 根据题意，“菱形千斤顶”点受到的压力 沿两臂分解，如图甲所
示，根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等，根据几何关系可得
，杆的弹力大小为 ，故A、C错误；对“菱形千斤
顶”点受力分析如图乙，由平衡条件得 ，故B正确，
D错误.
12.[2024·浙江杭州模拟] 一重力为的圆柱体工件放在 形槽中，如图甲所
示，槽顶角 ，槽的两侧面与水平方向的夹角相等，槽与工件接触
处的动摩擦因数处处相同，大小为 ，则：
(1) 要沿圆柱体的轴线方向(如图乙所示)水平地把工件从槽中拉出来，人
至少要施加多大的拉力？
[答案]
[解析] 分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到的拉力 等于两个侧
面对圆柱体工件的滑动摩擦力之和，将工件的重力进行分解，如图所示，
由平衡条件可得则
12.[2024·浙江杭州模拟] 一重力为的圆柱体工件放在 形槽中，如图甲所
示，槽顶角 ，槽的两侧面与水平方向的夹角相等，槽与工件接触
处的动摩擦因数处处相同，大小为 ，则：
(2) 现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成 角，如图丙所
示，且保证工件对 形槽两侧面的压力大小相等，发现工件能自动沿槽下
滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小.
[答案]
[解析] 把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力
此时工件所受槽的摩擦力大小
13.有三个力、、作用于同一点，并在同一平面内互成 角.求：
(要求写出求解过程，通过画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
(1) 若三个力大小都为 ，如图甲所示，求它们的合力；
[答案] 0
[解析] 先合成、 ，根据力的平行四边形定则与几何关系可得
如图甲所示，方向竖直向上，又、的合力与 等
大反向，所以、、 的合力等于0
13.有三个力、、作用于同一点，并在同一平面内互成 角.求：
(要求写出求解过程，通过画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
(2) 第(1)问中，将顺时针旋转 ，求它们的合力的大小和方向；
[答案] 水平向右
[解析] 将顺时针旋转 ，以水平方向为 轴，竖
直方向为 轴建立直角坐标系，如图乙所示
轴有
轴有
、、的合力 ，水平向右
13.有三个力、、作用于同一点，并在同一平面内互成 角.求：
(要求写出求解过程，通过画图加表达式或写出足够清楚的文字说明)
(3) 若三个力大小分别为、、 ，如图乙所示，求它们的合力
的大小和方向.
[答案] 与水平方向成 角斜向右下方
[解析] 以水平方向为轴，竖直方向为 轴建立直角坐
标系，如图丙所示
轴有
轴有
、、的合力 ，
，与水平方向成 角斜向右下
方
必备知识自查
一、2.（1）合力 分力 （2）等效替代
二、2.（1）邻边 对角线
三、1.分力 2.平行四边形 三角形
四、1.方向 平行四边形
【辨别明理】
1.√ 2.× 3.√ 4.√
例1.B 例2.B 例3.B 变式1.B 例4.C 例5.B 例6.C 变式2.C
基础巩固练
1.C 2.C 3.C 4.B 5.A
综合提升练
6.B 7.A 8.D 9.C 10.B 11.B 12.（1） （2）
拓展挑战练
13.（1）0 （2） 水平向右 （3） 与水平方向成角
斜向右下方
