专题七 圆周运动的临界问题
例1 C [解析] P、Q未滑动前所受的摩擦力分别为FfP=mω2R、FfQ=2m·ω2·2R=4mω2R,所以P、Q未滑动前所受的摩擦力大小不相等,B错误;根据牛顿第二定律得μmg=mω2R,解得ω=,P、Q开始滑动时的角速度分别为ωP=、ωQ=,当ω增大到时,Q先开始滑动,C正确,A、D错误.
变式1 D [解析] 一开始角速度比较小时,两物块的静摩擦力提供所需的向心力,由于物块B的半径较大,所需向心力较大,则物块B的摩擦力先达到最大,之后物块B的摩擦力不变,绳子开始产生拉力,则乙图中图像b为物块B所受Ff与ω2的关系图像,对B由牛顿第二定律可得μmg=m·2L,解得绳子开始产生拉力时的角速度为ω1=,故A、B错误;乙图中图像a为物块A所受Ff与ω2的关系图像,当ω=ω2时,物块A的摩擦力达到最大,分别对A和B根据牛顿第二定律可得μmg-FT=mL、μmg+FT=m·2L,联立解得ω2=,FT=,则有∶=3∶4,故C错误,D正确.
变式2 B [解析] 在物块随转台由静止开始缓慢加速转动的过程中,刚开始时摩擦力既提供向心力,又提供沿圆弧切线方向做加速运动的力,所以摩擦力不指向转轴,故A正确;当物块恰好要离开转台时,支持力、摩擦力为零,物块受的重力和细绳拉力的合力充当向心力,有mgtan θ=m=mω2Lsin θ,解得v=,ω=,故B错误,C正确;由以上分析可知,当转台的角速度ω=时,物块即将离开转台,随着角速度的增加,物块向上运动,细绳与转轴的夹角增大,故D正确.
例2 AB [解析] 设静止时绳子拉力为F1,刚要离开锥面时绳子拉力为F2,对小球受力分析,静止时由平衡条件得F1=mgcos θ,小球刚要离开锥面时,竖直方向上由平衡条件得F2cos θ=mg,水平方向上,由牛顿第二定律得F2sin θ=mω2lsin θ,联立以上各式并代入图像对应点数据解得小球质量为m=0.5 kg,绳子长度为l=2 m,母线与轴线间夹角为θ=37°,故A、B正确,C错误.由图可知,当ω= rad/s时小球刚离开锥面,D错误.
例3 D [解析] 根据题图乙,可得小球运动到最高点时绳对小球的拉力与小球的速度平方关系为FT=v2-a,当小球经过最高点时,根据牛顿第二定律有FT+mg=m,整理得FT=v2-mg,结合小球所受拉力的函数可知=、mg=a,解得l=、g=,故A、B正确;把v2=c代入绳对小球拉力的函数可得FT=-a,故C正确;若小球在最低点时的速度的平方=b,根据牛顿第二定律,可知小球运动到最低点时FT1-mg=m,解得绳的拉力FT1=2mg=2a,故D错误.
变式3 AD [解析] 小球运动到最低点Q时,加速度向上,处于超重状态,故A正确;经过最高点P时满足F2+mg=,经过最低点Q时满足F1-mg=,从最低点到最高点过程,据动能定理可得-mg·2R=m-m,联立解得ΔF=F1-F2=6mg,故在P、Q两点小球对圆环内壁的压力差与v0无关,故B错误;小球恰好过最高点时满足mg=m,解得在最高点的速度为v=,当v0>时,代入B解析中的动能定理,可得小球经过最高点的速度v1>>v,故小球一定能通过最高点P,故D正确;当v0=时,代入B解析中的动能定理,可得小球经过最高点的速度为v1'==v,小球在P点受内壁压力为零,故C错误.
例4 C [解析] 球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力,即仅重力提供向心力,则有mg=m,解得vB=,故A错误;由于A、B两球的角速度相等,则球A的速度大小vA=,故B错误;球B在最高点时,对杆无弹力,此时球A受到的重力和杆的弹力的合力提供向心力,有F-mg=m,解得F=1.5mg,由牛顿第三定律可知杆受到球A的弹力大小为1.5mg,则水平转轴对杆的作用力大小为1.5mg,故C正确,D错误.
变式4 B [解析] 由题图乙可知,当v2=b时,FN=0,有mg=m,解得R=,故A错误;当v2=0时,FN=mg=a,有m=,故B正确;小球在水平线MN以下的管道中运动时,由于向心力的方向要指向圆心,则管壁必然要提供指向圆心的支持力,只有外壁才可以提供这个力,所以内侧管壁对小球没有作用力,故C错误;小球在水平线MN以上的管道中运动时,重力沿径向的分量必然参与提供向心力,故可能是外侧管壁受力,也可能是内侧管壁对小球有作用力,还可能均无作用力,故D错误.
例5 D [解析] 小球做圆周运动,在最高点,根据牛顿第二定律有mgsin θ+FN=m,当FN=0时,小球有最小速度,解得vmin== m/s,故A、B错误;小球以2 m/s的速度通过圆轨道最低点时,根据牛顿第二定律有FN'-mgsin θ=m,解得FN'=9 N,根据牛顿第三定律,球对轨道的压力大小为9 N,故C错误;结合上述,小球做圆周运动,在最高点有mgsin θ+FN=m,小球通过圆轨道最低点时有FN'-mgsin θ=m,从最高点到最低点,根据动能定理有mg·2Rsin θ=mv'2-mv2,解得FN'-FN=6 N,故D正确.专题七 圆周运动的临界问题
1.C [解析] 在虚线以下的半圆,小球的重力分解成沿切线方向的分力和沿半径背离圆心的分力,所以重力无法提供向心力,此时小球必受到外管对其指向圆心的弹力.在虚线上半圆,小球的重力分解成沿切线方向的分力和沿半径指向圆心的分力,重力沿半径指向圆心的分力可以提供向心力,根据速度的不同,既可以受到外管对其指向圆心的弹力也可以受到内管对其沿半径背离圆心的弹力,故A、B、D错误,C正确.
2.A [解析] 当绳断裂瞬间,拉力为mg,对任意一个小物块,根据力的合成结合牛顿第二定律有2mgcos 30°+μmg=m·ω2,解得ω=2,故选A.
3.D [解析] 对a、b研究,根据kmg=ma可知,最大向心加速度均为kg,对c研究,根据2k·2mg=2ma可知,最大向心加速度为2kg,由a=rω2可知,b先达到最大静摩擦力,故b先滑动,后a、c同时滑动,故A、B、C错误;根据以上分析可知,b滑动时的最大向心加速度a=rω2=kg,解得ω=,当0<ω≤时,三木块与圆盘保持相对静止,故D正确.
4.B [解析] 根据题意,当两绳恰好拉直,但FTb=0时,小球运动的线速度大小为v1,则有FTacos θ1=mg,FTasin θ1=m,r=Lasin θ1,联立解得v1= m/s,当两绳恰好拉直,但FTa=0时,小球运动的线速度大小为v2,则有FTbcos θ2=mg,FTbsin θ2=m,联立解得v2= m/s,可知要使两绳都拉紧,速度需满足 m/s≤v≤ m/s,故选B.
5.B [解析] 题图甲中,设汽车质量为m,汽车到达最高点时重力提供向心力,有mg=m,故重力加速度为g=,在题图乙中的另一辆汽车绕着地球做匀速圆周运动,设质量为m',驾驶员对座椅的压力也恰好为零,则重力提供向心力,有m'g=m',解得汽车的速度大小为v'=v,故选B.
6.AD [解析] 由an=R可知,B茶杯的向心加速度较大,对于B茶杯,根据摩擦力提供向心力有Ff=μmBg≥mB2r,可得动摩擦因数至少为,故A正确;杯子受到的摩擦力等于杯子做圆周运动所需的向心力,不清楚哪个杯子装满了水,无法比较两杯子的向心力大小,故B错误;杯子刚要滑动时,对茶杯A有μmAg=mAr,对茶杯B有μmBg=mB·2r,可得茶杯A、B发生滑动的最小角速度分别为ω1=,ω2=,若增大转动的角速度,茶杯B一定先滑动,故C错误,D正确.
7.A [解析] 两小朋友与平台相对静止,具有相同角速度,刚开始由摩擦力提供向心力,根据mrω2=kmg,分析可得,小朋友A先达到临界态,随着角速度的增大,轻绳上开始产生张力,A小朋友转动过程中需要的向心力为FnA=3mlω2,B小朋友转动过程中需要的向心力FnB=2mlω2,A需要的向心力由摩擦力和轻绳张力共同提供,设即将发生相对滑动对应的最大角速度为ωm,对A有kmg+FT=3ml;对B有FT-2kmg=2ml,联立解得ωm=,故选A.
8.D [解析] 对在N点的小球进行受力分析,有F向=mgcos θ=,代入数据可得v=1 m/s,故A正确;小球在MN段运动过程中,到达N点之前有mgcos θ'>mgcos θ=>,即重力沿半径方向的分力大于所需向心力,因此管道内侧对小球提供支持力,故B正确;同理可知小球在N点之下开始挤压管道外侧,小球到下半圆更会挤压管道外侧,故C正确;从M到P点,小球运动速度一直增大,向心加速度一直增大,故D错误.
9.A [解析] 由题图可知,当转台以恒定的角速度转动时,重力和静摩擦力的合力提供向心力,则物体乙的向心力大于物体甲的向心力,且在最低点时的静摩擦力大于最高点的静摩擦力,因此只需保证物体乙在最低点不发生滑动即可,此时有μmgcos α-mgsin α=m·x乙,解得ω0=5 rad/s,选项A正确;最低点时对物体甲有Ff甲1-mgsin α=mx甲,解得Ff甲1=6.25 N,物体乙所受的摩擦力为Ff乙1=μmgcos α=7.5 N,物体甲、乙在最低点时所受的摩擦力之比为Ff甲1∶Ff乙1=5∶6,在最高点时,对物体甲有mgsin α-Ff甲2=mx甲,解得Ff甲2=3.75 N,对物体乙有mgsin α-Ff乙2=m·x乙,解得Ff乙2=2.5 N,则在最高点时物体甲、乙所受的摩擦力之比为Ff甲2∶Ff乙2=3∶2,物体甲在最低点和最高点所受的摩擦力之比为Ff甲1∶Ff甲2=5∶3,选项B、C、D错误.
10.(1)0.2 N (2) rad/s
(3) rad/s
[解析] (1)当ω=1 rad/s时, C物体做圆周运动所需要的向心力为F向=m·2rω2=0.2 N
而C物体所受的最大静摩擦力为Ffmax=μmg=1 N
由此可得C物体在ω=1 rad/s的转速下所需要的向心力小于最大静摩擦力,故C物体由其所受到的静摩擦力来提供向心力,即Ff静=F向=0.2 N
(2)B、C间细线恰好出现张力,说明C此时达到了最大静摩擦力,由最大静摩擦力提供向心力有
μmg=m·2r
解得ω1= rad/s
(3)当ω继续增加至ω2时,A、B、C整体相对于圆盘有向BC侧滑动的趋势,故A、B、C受到的摩擦力在图中都向左,且恰好为最大静摩擦力,则有FfA=FfB=FfC=μmg
设AB间细线拉力大小为FT1,BC间细线拉力大小为FT2,对C受力分析有FT2+μmg=m·2r
对B受力分析有
FT1+μmg-FT2=mr
对A受力分析有FT1-μmg=mr
代入数据联立可得ω2= rad/s
11.ACD [解析] 甲、乙的角速度相等,根据v=ωr,可知甲、乙的线速度大小之比为===,即甲的线速度大小始终为乙的,故A正确;根据F=mω2r,其中ω1=ω2,可得甲、乙所受向心力大小之比为==,即甲所受向心力的大小始终为乙的,故B错误,C正确;假设当转台角速度为ω1时,陶罐对甲的摩擦力恰好为零,则此时有m1gtan α=m1Rsin α,解得ω1=,假设当转台角速度为ω2时,陶罐对乙的摩擦力恰好为零,则此时有m2gtan β=m2Rsin β,解得ω2=,因为α<β,所以<ω1<ω2,可知当转台角速度为时,甲、乙所受支持力和重力的合力均大于所需要的向心力,所以甲、乙均有沿陶罐切线方向向下运动的趋势,故D正确.专题七 圆周运动的临界问题
水平面内圆周运动的临界问题
1.过程分析
重视过程分析,在水平面内做圆周运动的物体,当转速变化时,物体的受力会发生变化,转速继续变化,会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等,从而出现临界问题.
2.方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有:绳恰好拉直意味着绳上无弹力;绳上拉力恰好为最大承受力等.
例1 [2024·福建福州一中模拟] 如图所示,两瓷罐P、Q(可视为质点)放在水平圆桌转盘上,质量分别为m、2m,离转轴OO'的距离分别为R、2R,与转盘间的动摩擦因数均为μ.若转盘从静止开始缓慢地加速转动,P、Q与转盘均保持相对静止,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,用ω表示转盘的角速度,则 ( )
A.当ω增大时,P比Q先开始滑动
B.P、Q未滑动前所受的摩擦力大小相等
C.P开始滑动时,临界角速度为ω=
D.Q开始滑动时,临界角速度为ω=
[反思感悟]
变式1 [2024·山西太原模拟] 如图甲所示,将质量均为m的物块A、B沿同一径向置于水平转盘上,两者用长为L的水平轻绳连接,轻绳恰好伸直但无拉力.已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块A与转轴的距离等于L,整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动.当转盘以不同角速度匀速转动时,两物块所受摩擦力大小Ff与角速度ω二次方的关系图像如图乙所示,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.乙图中图像a为物块B所受Ff与ω2的关系图像
B.当角速度ω增大到时,轻绳开始出现拉力
C.∶=2∶3
D.当ω=ω2时,轻绳的拉力大小为
变式2 [2024·吉林长春一中模拟] 如图所示,水平转台上有一个质量为m的物块,用长为L的细绳将物块连接在转轴上,细绳与竖直转轴的夹角为θ,此时绳中张力为零.物块与转台间的动摩擦因数为μ(μA.物块离开转台之前所受摩擦力不指向转轴
B.当转台角速度ω=时,物块恰好要离开转台
C.当物块的速度v=时,物块对转台的压力恰好为零
D.当转台的角速度ω>时,随着角速度的增加,细绳与转轴的夹角增大
例2 (多选)[2024·云南昆明模拟] 如图甲所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线竖直,母线与轴线之间夹角为θ,一条长度为l的轻绳,一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小球(可看作质点),小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动,细线拉力F随ω2变化关系如图乙所示.重力加速度g取10 m/s2,由图乙可知 ( )
A.绳长为l= 2 m
B.小球质量为0.5 kg
C.母线与轴线之间夹角θ= 30°
D.小球的角速度为2 rad/s时,小球已离开锥面
[反思感悟]
竖直面内圆周运动的临界问题
绳—球模型与杆—球模型对比
绳—球模型 杆—球模型
常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高 点的临 界条件 由mg=m得v临= v临=0
讨论 分析 (1)过最高点时,v≥,FN+mg=m,绳、圆轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点时,v<,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 小球在最高点时: (1)当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心 (2)当0时,FN+mg=m,FN指向圆心并随v的增大而增大
考向一 “绳—球”模型
例3 [2024·北京八中模拟] 如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球,在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力),小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT,小球在最高点的速度大小为v,其FT v2图像如图乙所示,则下列说法不正确的是 ( )
A.轻质绳长为
B.当地的重力加速度为
C.当v2=c时,轻质绳最高点拉力大小为-a
D.若小球在最低点时的速度平方=b,小球运动到最低点时绳的拉力为a
[反思感悟]
变式3 (多选)[2024·广东深圳模拟] 如图所示,有一竖直放置、内壁光滑的圆环,可视为质点的小球在竖直平面内做圆周运动,已知圆环的半径为R,重力加速度为g,小球在最低点Q的速度为v0,不计空气阻力,则 ( )
A.小球运动到最低点Q时,处于超重状态
B.小球的速度v0越大,则在P、Q两点小球对圆环内壁的压力差越大
C.当v0=时,小球在P点受内壁压力为mg
D.当v0>时,小球一定能通过最高点P
考向二 “杆—球”模型
例4 如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和B(均可视为质点),光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力,重力加速度为g,则球B在最高点时 ( )
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力大小为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力大小为2.5mg
变式4 [2024·河北邯郸模拟] 如图甲所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动.当小球运动到圆形管道的最高点时,管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向).MN为通过圆心的一条水平线.不计小球半径、管道的粗细,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.管道的半径为bg
B.小球质量为
C.小球在MN以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力
D.小球在MN以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
【技法点拨】
求解竖直平面内圆周运动问题的思路(1)定模型:首先判断是绳—球模型还是杆—球模型.(2)确定临界点:v临=,对绳—球模型来说是能否通过最高点的临界,而对杆—球模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界.(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
【技法点拨】
(4)受力分析:对球在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程,F合=F向.(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时,设斜面的倾角为θ,重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等,解决此类问题时,可以按以下操作,把问题简化.
例5 [2024·广东深圳模拟] 如图所示,在与水平地面夹角为θ=30°的光滑斜面上,有一半径为R=0.1 m的光滑圆轨道,一质量为m=0.2 kg的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动,g取10 m/s2,下列说法中正确的是 ( )
A.小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0
B.小球能通过圆轨道最高点的最小速度为1 m/s
C.小球以2 m/s的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力大小为8 N
D.小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压力之差为6 N
[反思感悟] 专题七 圆周运动的临界问题 (限时40分钟)
1.[2024·江苏南京一中模拟] 如图所示,在竖直平面内固定着光滑圆管道.一小球从管道内的最低点以不同的初速度v0向右运动,球的直径略小于管的内径,不计空气阻力.用阴影表示小球在运动过程中对内侧管壁有作用力的区域,虚线为过O点的水平线,下列图示可能正确的是 ( )
A
B
C
D
2.[2024·四川德阳模拟] 三个质量均为m的小物块,用三根长度为L、最大张力为mg(g为重力加速度大小)的轻绳连接,置于动摩擦因数为μ=的粗糙水平圆盘上面,初始时刻轻绳恰好绷直,构成正三角形,正三角形的中心与圆盘的圆心重合.让圆盘绕过O点垂直于圆盘的轴缓慢转动起来,随着角速度的缓慢增加,在轻绳断裂的瞬间,圆盘的角速度大小为 ( )
A.2 B.
C. D.
3.[2024·山西太原模拟] 如图所示,三个小木块a、b、c(均可视为质点)放在水平圆盘上,a、b质量均为m,c质量为2m.a与转轴OO'的距离为L,b、c与转轴OO'的距离均为2L.木块a、b与圆盘的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍,木块c与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的2k倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示转盘转动的角速度,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是 ( )
A.木块a、b和c同时相对圆盘发生滑动
B.木块c最先相对圆盘发生滑动
C.相对圆盘发生滑动的顺序依次是b、c、a
D.当0<ω≤时,三个木块与圆盘保持相对静止
4.[2024·福建厦门一中模拟] 如图所示,小球(可视作质点)和a、b两根细绳相连,两绳分别固定在细杆上两点,其中a绳长La= m,小球随杆一起在水平面内匀速转动.当两绳都拉直时,a、b两绳和细杆的夹角θ1=45°、θ2=60°,g取10 m/s2.若a、b两绳始终张紧,则小球运动的线速度大小可能是 ( )
A.3 m/s B.4 m/s
C.5 m/s D.6 m/s
5.[2024·山东青岛模拟] 如图甲所示,汽车通过半径为r的拱形桥,在最高点处速度达到v时,驾驶员对座椅的压力恰好为零;若把地球看成一个巨大的“拱形桥”,当另一辆汽车速度达到某一值时,驾驶员对座椅的压力也恰好为零,如图乙所示.已知地球半径为R,则图乙中的汽车速度大小为 ( )
A.v B.v
C.v D.v
6.(多选)[2024·广东广州模拟] 如图所示,A、B两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上,一个杯中装满水,另一个是空杯.餐桌对A、B的动摩擦因数相同,A离转轴的距离为r,B离转轴的距离为2r,转盘在电动机的带动下以周期T匀速转动,A、B两茶杯与转盘保持相对静止,均可看作质点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
A.动摩擦因数至少为
B.装满水的杯子受到的摩擦力一定较大
C.若增大转动的角速度,空杯一定先滑动
D.若增大转动的角速度,茶杯B一定先滑动
7.[2024·安徽亳州模拟] 如图所示,平台固定在转轴的顶端,可随转轴一起转动,A、B两个小朋友坐在平台两侧,A的质量为m,B的质量为2m.A到转轴的距离是3l,B到转轴的距离是l.两小朋友腰间系一轻绳,轻绳通过转轴中心,处于刚好伸直且无张力的状态,小朋友与平台接触面间的最大静摩擦力均为其重力的k倍,重力加速度大小为g.若使小朋友与平台保持相对静止,则平台转动的角速度不能超过 ( )
A.
B.
C.
D.
8.[2024·浙江杭州模拟] 如图所示,竖直平面内固定一半径为R=0.15 m的光滑圆形管道,管道内径远远小于管的半径R.现将一小球(直径略小于管道内径)从管道内最高点M由静止释放,运动到N点时,恰好与管道无挤压.已知OM与ON的夹角为θ,P为管道最低点,且cos θ=,重力加速度g取10 m/s2,下列说法错误的是( )
A.小球运动到N点时的速度大小为1 m/s
B.小球在MN段运动过程中,对管道外侧无作用力
C.小球在NP段运动过程中,只对管道外侧有作用力
D.小球从M运动到P点的过程中向心加速度先减小后增大
9.如图所示,倾角为α=30°的转台上有两完全相同的均可视为质点的物体甲和乙,其质量均为m=1 kg,两物体与转台间的动摩擦因数均为μ=,现让转台绕中心轴O1O2转动,当转台以恒定的角速度ω0转动时,恰好没有物体与转台发生相对滑动,物体甲到转轴的距离为x甲=0.05 m,物体乙到转轴的距离为x乙=0.1 m,重力加速度g取10 m/s2,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则下列说法正确的是 ( )
A.ω0=5 rad/s
B.物体甲、乙在最高点时所受的摩擦力之比为1∶2
C.物体甲、乙在最低点时所受的摩擦力之比为1∶2
D.物体甲在最低点和最高点所受的摩擦力大小相等
10.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示,水平圆盘上放有可视为质点的A、B、C三个物体,质量均为m=1 kg,圆盘可绕过圆盘中心的竖直轴OO'转动.已知A、B、C三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ=0.1,最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力.A、O、B、C四点共线,OA=OB=BC=r=0.1 m,现将三个物体用轻质细线相连,细线伸直且恰无张力.若圆盘从静止开始转动,其角速度ω极其缓慢地增大,重力加速度g取10 m/s2.
(1)当ω=1 rad/s时,求C所受摩擦力的大小;
(2)当ω增加至ω1时,B、C间细线恰好出现张力,求ω1的大小;
(3)当ω继续增加至ω2时,A、B、C整体恰好要与圆盘发生相对滑动,求ω2的大小.
11.(多选)[2024·北京四中模拟] 如图所示,半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合.甲、乙两个小物块(均可视为质点)分别置于陶罐内的A、B两处,OA、OB与OO'间的夹角分别为α=30°、β=60°.转台静止时,甲、乙均不会下滑.已知甲的质量是乙的两倍,重力加速度大小为g.当转台从静止开始缓慢加速转动,直到其中一物块刚要滑动之前的过程中,下列说法正确的是( )
A.甲的线速度大小始终为乙的
B.甲所受向心力的大小始终为乙的2倍
C.甲所受向心力的大小始终为乙的
D.当转台角速度为时,甲、乙在陶罐切线方向上均有向下运动的趋势(共82张PPT)
专题七 圆周运动的临界问题
题型一 水平面内圆周运动的临界问题
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
题型三 斜面上圆周运动的临界问题
◆
作业手册
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备用习题
题型一 水平面内圆周运动的临界问题
1.过程分析
重视过程分析,在水平面内做圆周运动的物体,当转速变化时,物体的受力会发
生变化,转速继续变化,会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增
大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等,从而出现临界问题.
2.方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好
达到最大静摩擦力.
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有:绳恰好拉直意味着绳上无弹力;绳上拉
力恰好为最大承受力等.
例1 [2024·福建福州一中模拟] 如图所示，两瓷罐、 (可视为质点)放在
水平圆桌转盘上，质量分别为、，离转轴的距离分别为、 ，
与转盘间的动摩擦因数均为 .若转盘从静止开始缓慢地加速转动，、
与转盘均保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，用 表示转
盘的角速度，则( )
A.当 增大时，比 先开始滑动
B.、 未滑动前所受的摩擦力大小相等
C.开始滑动时，临界角速度为
D.开始滑动时，临界角速度为
√
[解析] 、 未滑动前所受的摩擦力分别为
、,
所以、 未滑动前所受的摩擦力大小不相等，
B错误；根据牛顿第二定律得 ，解得，、 开始滑
动时的角速度分别为、，当 增大到时， 先开始
滑动，C正确，A、D错误.
变式1 [2024·山西太原模拟] 如图甲所示，将质量均为的物块、 沿同
一径向置于水平转盘上，两者用长为 的水平轻绳连接，轻绳恰好伸直但
无拉力.已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为 ，最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，物块与转轴的距离等于 ，整个装置能绕通过转盘中心的
竖直轴转动.当转盘以不同角速度匀速转动时，两物块所受摩擦力大小 与
角速度 二次方的关系图像
如图乙所示，重力加速度为 .
下列说法正确的是( )
A.乙图中图像为物块所受与 的关系图像
B.当角速度 增大到 时，轻绳开始出现拉力
C.
D.当时，轻绳的拉力大小为
√
[解析] 一开始角速度比较小时，两物块的静摩擦力提供所需的向心力，
由于物块的半径较大，所需向心力较大，则物块 的摩擦力先达到最大，
之后物块的摩擦力不变，绳子开始产生拉力，则乙图中图像为物块 所
受与的关系图像，对由牛顿第二定律可得 ，解得绳
子开始产生拉力时的角速度为
，故A、B错误；
乙图中图像 为物块所受与的关系图像，当时，物块 的摩
擦力达到最大，分别对和根据牛顿第二定律可得 、
，联立解得
， ，则有
，故C错误，D正确.
变式2 [2024·吉林长春一中模拟] 如图所示，水平转台上有一个质量为 的物块，
用长为的细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角为 ，此时绳中张力
为零.物块与转台间的动摩擦因数为 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
重力加速度大小为 .当物块随转台由静止开始加速转动时，则下列说法不正确的是
( )
A.物块离开转台之前所受摩擦力不指向转轴
B.当转台角速度 时，物块恰好要离开转台
C.当物块的速度 时，物块对转台的压力恰好为零
D.当转台的角速度 时，随着角速度的增加，细绳
与转轴的夹角增大
√
[解析] 在物块随转台由静止开始缓慢加速转动的过程中，
刚开始时摩擦力既提供向心力，又提供沿圆弧切线方向做
加速运动的力，所以摩擦力不指向转轴，故A正确；当物块
恰好要离开转台时，支持力、摩擦力为零，物块受的重力
和细绳拉力的合力充当向心力，有 ，解得
， ，故B错误，C正确；由以上分析可知，当
转台的角速度 时，物块即将离开转台，随着角速度的增加，物
块向上运动，细绳与转轴的夹角增大，故D正确.
例2 (多选)[2024·云南昆明模拟] 如图甲所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为 ，一条长度为 的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为的小球 (可看作质点)，小球以角速度 绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力随 变化关系如图乙所示. 重力加速度取 ，由图乙可知 ( )
A.绳长为
B.小球质量为
C.母线与轴线之间夹角
D.小球的角速度为 时，小球已离开锥面
√
√
[解析] 设静止时绳子拉力为，刚要离开锥面时绳子拉力为 ,对小球受
力分析，静止时由平衡条件得 ,小球刚要离开锥面时，竖直
方向上由平衡条件得 ，水平方向上，由牛顿第二定律得
，联立以上各式并代入图像对应点数据解得小球质
量为，绳子长度为,母线与轴线间夹角为 ,故A、
B正确,C错误.由图可知，当
时小球刚离开
锥面，D错误.
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
绳—球模型与杆—球模型对比
绳—球模型 杆—球模型
常见类型 _________________________________________________________ 均是没有支撑的小球 ________________________________________________________________
均是有支撑的小球
过最高点的 临界条件 由得
绳—球模型 杆—球模型
讨论分析 (1)过最高点时, , ,绳、圆轨 道对球产生弹力 小球在最高点时：
(1)当时,, 为支
持力,沿半径背离圆心
(2)当 时,
, 背离圆心,
随 的增大而减小
续表
绳—球模型 杆—球模型
讨论分析 (2)不能过最高点时, ,在到达最高点前 小球已经脱离了圆轨道 (3)当时,
(4)当 时,
, 指向圆心并
随 的增大而增大
续表
A.轻质绳长为
B.当地的重力加速度为
C.当时，轻质绳最高点拉力大小为
D.若小球在最低点时的速度平方 ，小球运动到最低点时绳的拉力为
考向一 “绳—球”模型
例3 [2024·北京八中模拟] 如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 的小球，在
竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力
为，小球在最高点的速度大小为，其 图像如图乙所示，则下列说法不
正确的是( )
√
[解析] 根据题图乙，可得小球运动到最高点时绳对小球的拉力与小球的
速度平方关系为 ，当小球经过最高点时，根据牛顿第二定律
有，整理得 ，结合小球所受拉力的函数可
知、，解得、，故A、B正确；把 代入绳
对小球拉力的函数可得 ，故C正确；若小球在最低点时的速度
的平方 ，根据牛顿第二定律，可知小
球运动到最低点时，解得绳的
拉力 ，故D错误.
变式3 (多选)[2024·广东深圳模拟] 如图所示，有一竖直放置、内壁光滑的圆环，可视为质点的小球在竖直平面内做圆周运动，
已知圆环的半径为 ，重力加速度为，小球在最低点
的速度为 ，不计空气阻力，则( )
A.小球运动到最低点 时，处于超重状态
B.小球的速度越大，则在、 两点小球对圆环内壁的压力差越大
C.当时，小球在点受内壁压力为
D.当时，小球一定能通过最高点
√
√
[解析] 小球运动到最低点 时，加速度向上，处于超重状
态，故A正确；经过最高点时满足，经过
最低点 时满足 ，从最低点到最高点过程，
据动能定理可得 ，联立解得
，故在、 两点小球对圆环内壁的压力差与 无关，
故B错误；
小球恰好过最高点时满足 ，解得在最高点
的速度为，当 时，代入B解析中的动
能定理，可得小球经过最高点的速度 ，故
小球一定能通过最高点，故D正确；当 时，
代入B解析中的动能定理，可得小球经过最高点的速度为
，小球在 点受内壁压力为零，故C错误.
考向二 “杆—球”模型
例4 如图所示，轻杆长，在杆两端分别固定质量均为的球和
(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球为处的 点，外界给系统
一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球运动到最高点时，杆对球
恰好无作用力.忽略空气阻力，重力加速度为，则球 在最高点时( )
A.球 的速度为零
B.球的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力大小为
D.水平转轴对杆的作用力大小为
√
[解析] 球运动到最高点时，杆对球 恰好无作用力，即仅重力提供向心
力，则有，解得，故A错误；由于、 两球的角速
度相等，则球的速度大小，故B错误；球 在最高点时，对
杆无弹力，此时球 受到的重力和杆的弹力的合力提供向心力，有
，解得 ，由牛顿第三定律可知杆受到球
的弹力大小为，则水平转轴对杆的作用力大小为
，故C正确，D错误.
变式4 [2024·河北邯郸模拟] 如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动.当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向) 为通过圆心的一条水平线.不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为 .下列说法正确的是 ( )
A.管道的半径为
B.小球质量为
C.小球在 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D.小球在 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
√
[解析] 由题图乙可知，当时，，有，解得 ，
故A错误；当时，，有 ，故B正确；小球在水平
线 以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然
要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对
小球没有作用力，故C错误；小球在水平线 以上的管道中运动时，重
力沿径向的分量必然参与提供向心力，
故可能是外侧管壁受力，也可能是
内侧管壁对小球有作用力，还可能
均无作用力，故D错误.
技法点拨
求解竖直平面内圆周运动问题的思路
(1)定模型:首先判断是绳—球模型还是杆—球模型.
(2)确定临界点: ,对绳—球模型来说是能否通过最高点的临界,而
对杆—球模型来说是 表现为支持力还是拉力的临界.
(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的
运动情况.
(4)受力分析:对球在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列
出方程, .
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来
列方程.
题型三 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为 ，重力垂直斜面的分力与物
体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化.
例5 [2024·广东深圳模拟] 如图所示，在与水平地面夹角为 的光
滑斜面上，有一半径为的光滑圆轨道，一质量为 的小
球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，取 ，下列说法中正确的是
( )
A.小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0
B.小球能通过圆轨道最高点的最小速度为
C.小球以 的速度通过圆轨道最低点时对轨道
的压力大小为
D.小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压
力之差为
√
[解析] 小球做圆周运动，在最高点，根据牛顿第二定律有
，当 时，小球有最小速度，
解得 ，故A、B错误；小球以
的速度通过圆轨道最低点时，根据牛顿第二定律有，解得 ，根据牛顿第三定律，球对轨道的压力大小为 ， 故C错误；结合上述，小球做圆周运动，在最高点有 ，小球通过圆轨道最低点时有 ，从最高点到最低点，根据动能定理有 ，解得 ，故D正确.
水平面内圆周运动的临界问题
1.(多选)如图所示，两个质量均为的小木块和 (可视为质点)放在水平圆
盘上，与转轴的距离为,与转轴的距离为 .木块与圆盘间的最大静摩
擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为 .若圆盘从静止开始绕转轴
缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度.下列说法正确的是 ( )
A.一定比 先开始滑动
B.、 所受的摩擦力始终相等
C.是 开始滑动的角速度
D.当时，所受摩擦力的大小为
√
√
[解析] 与所受的最大静摩擦力相等，而 需要的
向心力较大，所以先滑动，A正确；在 滑动之
前，、各自受到的摩擦力等于其向心力，因此
受到的摩擦力大于受到的摩擦力，B错误； 处于临界状态时，有
，解得 ，C正确；小于的临界角
速度， 所受摩擦力没有达到最大值，D错误.
2.(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相
连的物体和，和质量都为 .它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别
为，，、与盘间的动摩擦因数均为 ，重力加速度为 .
若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生
滑动时，下列说法正确的是( )
A.绳子张力为
B.圆盘的角速度为
C. 所受摩擦力方向沿绳指向圆外
D.烧断绳子，物体、 仍将随盘一块转动
√
√
√
[解析] 物体和 随着圆盘转动时，所受合力
提供向心力，有， 的运转半径比
的运转半径大，所以 所需向心力大，绳子
拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时， 所受的
最大静摩擦力方向沿绳指向圆心， 所受的最大静摩擦力方向沿绳指向圆
外，以为研究对象，有，以 为研究对象，有
，联立解得 ，，故A、B、C正确；
烧断绳子，对 分析有，对分析有
，所以、 将做离心运动，D错误.
3.如图所示，质量为的小球由轻绳和分别系于一轻质细杆的点和 点，
绳与水平方向成 角，绳在水平方向且长为，当轻杆绕轴 以角速度
匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
( )
A. 绳的张力不可能为0
B. 绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度时， 绳将出现弹力
D.若绳突然被剪断，则 绳的弹力一定发生变化
√
[解析] 由于小球在水平面内做匀速圆周运动，合力沿水平方向指向圆心，而绳沿水平方向，故小球重力只能由 绳的拉力在竖直方向上的分力来平衡，A正确；当小球角速度较小时，绳处于松弛状态，分析小球受力，设 绳与竖直方向的夹角为 ，由力的平衡及牛顿第二
定律得，，解得
，，因此绳与竖直方向间的
夹角 随角速度的增 大而增大，
当时， 绳上将出现张力，之后，角速度再增大时，绳与竖直
方向间夹角不再改变，则 上的张力也不再改变，B、C错误；
绳伸直但无张力时有，即时，剪断 绳对小球运动
状态无影响， 绳弹力不变，D错误.
竖直面内圆周运动的临界问题
4.如图甲所示，轻绳一端固定在 点，另一端系住一小球在竖直面内做圆
周运动，小球经过最高点时的速度大小为，此时轻绳的拉力大小为 .拉
力与速度的平方的关系如图乙所示，图像中的数据和 以及重力加
速度 都为已知量.下列说法正确的是( )
A.数据 与小球的质量有关
B.数据 与圆周轨道半径有关
C.比值 只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据、和 能够求出小球的质量和圆周轨道半径
√
[解析] 在最高点时对小球受力分析，由牛顿第二定律有 ，
可得，对照题图乙则有，得 ，则
；图线过点，则，得，则 ，A、
B、C错误；由得，
由得 ，D正确.
5.如图所示，长为的轻杆一端固定一质量为 的小球，另一端
固定在转轴上，杆可在竖直平面内绕轴 无摩擦转动.已知小
球通过最低点时的速度大小为为重力加速度 ，则
小球的运动情况为( )
A.小球不可能到达圆轨道的最高点
B.小球能到达圆轨道的最高点，但在 点不受轻杆对它的作用力
C.小球能到达圆轨道的最高点，且在 点受到轻杆对它向上的弹力
D.小球能到达圆轨道的最高点，且在 点受到轻杆对它向下的弹力
√
[解析] 由机械能守恒定律得 ，则 ，因为
，所以小球能到达圆轨道的最高点，且在 点受到轻杆对
它向上的弹力，C正确.
6.如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径
为，小球半径为，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时的最小速度
B.小球通过最高点时的最小速度
C.小球在水平线 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球
一定无作用力
D.小球在水平线 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球
一定有作用力
√
[解析] 小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，
故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时，
由外侧管壁对小球的作用力与小球重力在背离圆
心方向的分力 的合力提供向心力，即
，因此外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧
管壁对小球一定无作用力，C正确; 小球在水平线 以上的管道中运动时，
小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误.
斜面上圆周运动的临界问题
7.如图所示,倾斜放置的圆盘绕着中心轴 匀速转动,圆盘的
倾角为 ,在距转动中心 处放一小木块,小木块
跟随圆盘一起转动,小木块与圆盘间的动摩擦因数 ,
小木块与圆盘间的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦
A. B. C. D.
力相同.已知,,取 .若要保持小物块不相
对圆盘滑动,圆盘转动的角速度最大值应为( )
√
[解析] 若要保持小木块不相对圆盘滑动,只要确保木块在最低点不发生相
对滑动即可,需满足 ,代入数据解得圆盘
转动的角速度最大值为 ,D正确.
8.(多选)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角
速度 转动,盘面上离转轴 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止,物
体与盘面间的动摩擦因数为 ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水
平面的夹角为 ,取 ,则以下说法中正确的是( )
A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时,一定始终受到
三个力的作用
B.小物体随圆盘以不同的角速度 做匀速圆周运动
时, 越大时,小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D. 的最大值是
√
√
√
[解析] 的最大值取决于小物体在最低点处的受力临界
条件，当小物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时,圆盘的
角速度最大,此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面
向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力,由沿斜面的合力提供向心力,支
持力 ,摩擦力 , 又
,解得 ,故D正确；
当小物体在最高点时,若只受到重力与支持力两个力的作用,合力提供向心
力,解得角速度 ，大于最大值 ，故物体做圆周运
动时,一定始终受到重力、支持力与摩擦力这三个力的作用，故A正确；
摩擦力的方向沿斜面向上时, 越大时,物体在最高点处受到的摩擦力越
小,故B错误; 当物体在最高点时,摩擦力的方向沿斜面向上,即背离圆心,
故C正确.
作业手册
1.[2024·江苏南京一中模拟] 如图所示，在竖直平面内固定着光滑圆管道.
一小球从管道内的最低点以不同的初速度 向右运动，球的直径略小于管
的内径，不计空气阻力.用阴影表示小球在运动过程中对内侧管壁有作用
力的区域，虚线为过 点的水平线，下列图示可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在虚线以下的半圆，小球的重力分解成沿切线方向的分力和沿半
径背离圆心的分力，所以重力无法提供向心力，此时小球必受到外管对其
指向圆心的弹力.在虚线上半圆，小球的重力分解成沿切线方向的分力和
沿半径指向圆心的分力，重力沿半径指向圆心的分力可以提供向心力，根
据速度的不同，既可以受到外管对其指向圆心的弹力也可以受到内管对其
沿半径背离圆心的弹力，故A、B、D错误，C正确.
2.[2024·四川德阳模拟] 三个质量均为 的小物块，用
三根长度为、最大张力为( 为重力加速度大小)的
轻绳连接，置于动摩擦因数为 的粗糙水平圆盘
上面，初始时刻轻绳恰好绷直，构成正三角形，正三
A. B. C. D.
角形的中心与圆盘的圆心重合.让圆盘绕过 点垂直于圆盘的轴缓慢转动起
来，随着角速度的缓慢增加，在轻绳断裂的瞬间，圆盘的角速度大小为
( )
√
[解析] 当绳断裂瞬间，拉力为 ，对任意一个小物
块，根据力的合成结合牛顿第二定律有
，解得 ，
故选A.
3.[2024·山西太原模拟] 如图所示，三个小木块、、 (均可视为质点)放在
水平圆盘上，、质量均为，质量为与转轴的距离为，、
与转轴的距离均为.木块、 与圆盘的最大静摩擦力均为木块所受重
力的倍，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 倍，重力加速
度大小为，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示转盘转
动的角速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是 ( )
A.木块、和 同时相对圆盘发生滑动
B.木块 最先相对圆盘发生滑动
C.相对圆盘发生滑动的顺序依次是、、
D.当 时，三个木块与圆盘保持相对静止
√
[解析] 对、研究，根据 可知，最大向心加
速度均为，对研究，根据 可知，最
大向心加速度为，由可知， 先达到最大静
摩擦力，故先滑动，后、 同时滑动，故A、B、C错误；
根据以上分析可知， 滑动时的最大向心加速度 ，解得
，当 时，三木块与圆盘保持相对静止，故D正确.
4.[2024·福建厦门一中模拟] 如图所示，小球(可视作质点)
和、 两根细绳相连，两绳分别固定在细杆上两点，其中
绳长 ，小球随杆一起在水平面内匀速转动.当
两绳都拉直时，、两绳和细杆的夹角 、
，取.若、 两绳始终张紧，则小球运
动的线速度大小可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，当两绳恰好拉直，但 时，小球
运动的线速度大小为，则有，
， ，联立解得，当两绳
恰好拉直，但 时，小球运动的线速度大小为，
则有， ，联立解得 ，
可知要使两绳都拉紧，速度需满足 ，故选B.
5.[2024·山东青岛模拟] 如图甲所示，汽车通过半径为 的拱形桥，在最高
点处速度达到 时，驾驶员对座椅的压力恰好为零；若把地球看成一个巨
大的“拱形桥”，当另一辆汽车速度达到某一值时，驾驶员对座椅的压力也
恰好为零，如图乙所示.已知地球半径为 ，则图乙中的汽车速度大小为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 题图甲中，设汽车质量为 ，汽车到达最高点时重力提供向心力，
有，故重力加速度为 ，在题图乙中的另一辆汽车绕着地
球做匀速圆周运动，设质量为 ，驾驶员对座椅的压力也恰好为零，则重
力提供向心力，有，解得汽车的速度大小为 ，故选B.
6.(多选)[2024·广东广州模拟] 如图所示，、 两个相同的茶杯放在餐桌
上的自动转盘上，一个杯中装满水，另一个是空杯.餐桌对、 的动摩擦
因数相同，离转轴的距离为，离转轴的距离为 ，转盘在电动机的带
动下以周期匀速转动，、 两茶杯与转盘保持相对静止，均可看作质点，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 ，下列说法正确的是( )
A.动摩擦因数至少为
B.装满水的杯子受到的摩擦力一定较大
C.若增大转动的角速度，空杯一定先滑动
D.若增大转动的角速度，茶杯 一定先滑动
√
√
[解析] 由可知， 茶杯的向心加
速度较大，对于 茶杯，根据摩擦力提供向
心力有 ，可得动摩擦因数至少为 ，故A正确；
杯子受到的摩擦力等于杯子做圆周运动所需的向心力，不清楚哪个杯子装
满了水，无法比较两杯子的向心力大小，故B错误；
杯子刚要滑动时，对茶杯 有，对茶杯 有
，可得茶杯、 发生滑动的最小角速度分别为
， ，若增大转动的角速度，茶杯 一定先滑动，故C错误，D正确.
7.[2024·安徽亳州模拟] 如图所示，平台固定在转轴的
顶端，可随转轴一起转动，、 两个小朋友坐在平台
两侧，的质量为，的质量为 到转轴的距离是
，到转轴的距离是 .两小朋友腰间系一轻绳，轻绳
A. B. C. D.
通过转轴中心，处于刚好伸直且无张力的状态，小朋友与平台接触面间的
最大静摩擦力均为其重力的倍，重力加速度大小为 .若使小朋友与平台
保持相对静止，则平台转动的角速度不能超过( )
√
[解析] 两小朋友与平台相对静止，具有相同角速度，
刚开始由摩擦力提供向心力，根据 ，分析
可得，小朋友 先达到临界态，随着角速度的增大，轻
绳上开始产生张力, 小朋友转动过程中需要的向心力为
， 小朋友转动过程中需要的向心力
， 需要的向心力由摩擦力和轻绳张力共同提供，设即将发生
相对滑动对应的最大角速度为 ，对有；
对 有 ，联立解得 ，故选A.
8.[2024·浙江杭州模拟] 如图所示，竖直平面内固定一半径为 的
光滑圆形管道，管道内径远远小于管的半径 .现将一小球(直径略小于管
道内径)从管道内最高点由静止释放，运动到 点时，恰好与管道无挤压.
已知与的夹角为 ，为管道最低点，且，重力加速度
取 ，下列说法错误的是( )
A.小球运动到点时的速度大小为
B.小球在 段运动过程中，对管道外侧无作用力
C.小球在 段运动过程中，只对管道外侧有作用力
D.小球从运动到 点的过程中向心加速度先减小后增大
√
[解析] 对在 点的小球进行受力分析，有
，代入数据可得，
故A正确；小球在 段运动过程中，到达 点之前有
，即重力沿半径方向的分力大于所需向
心力，因此管道内侧对小球提供支持力，故B正确；同理可知小球在 点之
下开始挤压管道外侧，小球到下半圆更会挤压管道外侧，故C正确；从到
点，小球运动速度一直增大，向心加速度一直增大，故D错误.
9.如图所示，倾角为 的转台上有两完全相同的均可视为质点的物
体甲和乙，其质量均为 ，两物体与转台间的动摩擦因数均为
，现让转台绕中心轴转动，当转台以恒定的角速度 转动时，
恰好没有物体与转台发生相对滑动，物体甲到转轴的距离为 ，
物体乙到转轴的距离为，重力加速度取 ,假设最大静
摩擦力等于滑动摩擦力.则下列说法正确的是( )
A.
B.物体甲、乙在最高点时所受的摩擦力之比为
C.物体甲、乙在最低点时所受的摩擦力之比为
D.物体甲在最低点和最高点所受的摩擦力大小相等
√
[解析] 由题图可知，当转台以恒定的角速度转动时，重
力和静摩擦力的合力提供向心力，则物体乙的向心力大
于物体甲的向心力，且在最低点时的静摩擦力大于最高
点的静摩擦力，因此只需保证物体乙在最低点不发生滑
动即可，此时有 ，解得
，选项A正确；最低点时对物体甲有
，解得 ，物体乙所受
的摩擦力为 ，物体甲、乙在最
低点时所受的摩擦力之比为 ，在最高点
时，对物体甲有，解得
，对物体乙有 ，解
得 ，则在最高点时物体甲、乙所受的摩擦力
之比为 ，物体甲在最低点和最高点所受
的摩擦力之比为 ，选项B、C、D错误.
10.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，水平圆
盘上放有可视为质点的、、 三个物体，
质量均为 ，圆盘可绕过圆盘中心的
竖直轴转动.已知、、 三个物体与圆
(1) 当时，求 所受摩擦力的大小；
[答案]
盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力. 、
、、四点共线， ，现将三个物体用轻质细
线相连，细线伸直且恰无张力. 若圆盘从静止开始转动，其角速度 极其
缓慢地增大，重力加速度取 .
[解析] 当时, 物体做圆周运动所
需要的向心力为
而 物体所受的最大静摩擦力为
由此可得物体在 的转速下所需要的向心力小于最大静摩擦力，
故 物体由其所受到的静摩擦力来提供向心力，即 静
10.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，水平圆
盘上放有可视为质点的、、 三个物体，
质量均为 ，圆盘可绕过圆盘中心的
竖直轴转动.已知、、 三个物体与圆
(2) 当 增加至时，、间细线恰好出现张力，求 的大小；
[答案]
盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力视为等于滑动摩擦力. 、
、、四点共线， ，现将三个物体用轻质细
线相连，细线伸直且恰无张力. 若圆盘从静止开始转动，其角速度 极其
缓慢地增大，重力加速度取 .
[解析] 、间细线恰好出现张力，说明 此
时达到了最大静摩擦力，由最大静摩擦力提供
向心力有
解得
10.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，水平圆盘上放有
可视为质点的、、三个物体，质量均为 ，
圆盘可绕过圆盘中心的竖直轴转动.已知、、
(3) 当 继续增加至时，、、 整体恰好要与圆盘发生相对滑动，求
的大小.
[答案]
三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为 ，最大静摩擦力视为等于滑
动摩擦力.、、、四点共线， ，现将三个
物体用轻质细线相连，细线伸直且恰无张力.若圆盘从静止开始转动，其
角速度 极其缓慢地增大，重力加速度取 .
[解析] 当 继续增加至时，、、 整体相对于圆盘有向侧滑动的
趋势，故、、 受到的摩擦力在图中都向左，且恰好为最大静摩擦力，
则有 设间细线拉力大小为， 间细线拉力大
小为，对受力分析有
对 受力分析有
对受力分析有
代入数据联立可得
11.(多选)[2024·北京四中模拟] 如图所示，半径为 的半球形陶罐固定在
可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴
重合.甲、乙两个小物块(均可视为质点)分别置于陶罐内的、 两处，、与间的夹角分别为 、 .
转台静止时，甲、乙均不会下滑. 已知甲的质量是
乙的两倍，重力加速度大小为 .当转台从静止开始
缓慢加速转动，直到其中一物块刚要滑动之前的
过程中，下列说法正确的是( )
A.甲的线速度大小始终为乙的
B.甲所受向心力的大小始终为乙的2倍
C.甲所受向心力的大小始终为乙的
D.当转台角速度为 时，甲、乙在陶罐切线方
向上均有向下运动的趋势
√
√
√
[解析] 甲、乙的角速度相等，根据 ，
可知甲、乙的线速度大小之比为
，即甲的线速度大小始终为乙的 ，
故A正确；根据，其中 ，可得甲、乙所受向心力大小之
比为 ，即甲所受向心力的大小始终为乙的 ，故B错误，
C正确；
假设当转台角速度为 时，陶罐对甲的摩擦力
恰好为零，则此时有 ，
解得 ，假设当转台角速度为 时，
陶罐对乙的摩擦力恰好为零，则此时有 ，解得
，因为 ，所以，可知当转台角速度为
时，甲、乙所受支持力和重力的合力均大于所需要的向心力，所以甲、乙
均有沿陶罐切线方向向下运动的趋势，故D正确.
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10.（1） （2） （3）
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