实验九 用单摆测量重力加速度
例1 (1)图丙 (2)2.240 (3)1.41 (4)9.86
[解析] (1)图乙中单摆摆动时摆长会发生变化,则图丙悬挂方式较好.
(2)20分度游标卡尺的精确值为0.05 mm,由图可知小球直径为2.2 cm+0.05 mm×8=2.240 cm.
(3)单摆的周期T== s≈1.41 s.
(4)根据T=2π,可得T2=L,由图像可知= s2·m-1,解得g=9.86 m/s2.
变式 (1)0.006(0.007也可) 20.035(20.034~20.036均可) 20.029(20.028~20.030均可)
(2)大于 (3)82.5 1.82 9.83
[解析] (1)图甲读数为0 mm+0.6×0.01 mm=0.006 mm(0.007 mm也可);图乙读数为20 mm+3.5×0.01 mm=20.035 mm(20.034~20.036 mm均可);则摆球的直径为20.035 mm-0.006 mm=20.029 mm(20.028~20.030 mm均可).
(2)若角度盘上移则形成如图所示图样,则实际摆角大于5°.
(3)摆长=摆线长度+小球半径,代入数据计算可得摆长为82.5 cm;小球从第1次到第61次经过最低点经过了30个周期,则T= s=1.82 s;根据单摆周期公式T=2π可得g==9.83 m/s2.
例2 (1)0.245 (2) (3)< (4)>
[解析] (1)根据几何关系可得该双线摆的摆长为l=+5 mm=0.245 m.
(2)自小球第1次经过光电门至第2n+1次经过光电门,小球完成了n次全振动,故T=.
(3)由g=l,忘了加上小球半径,所以摆长测量值偏小,所以g测(4)如图所示,由向心力公式有mgtan θ=mlsin θ,得g=,故用g=l可得出的测量值大于真实值.
例3 (1) (2)l0+ (3)9.59(9.56~9.62均可) (4)AC
[解析] (1)30次全振动所用时间为t,则振动周期T=.
(2)弹簧振子的振动周期T=2π,可得振子的质量M=,振子平衡时,根据平衡条件有Mg=kΔl,可得Δl=,则l与g、l0、T的关系式为l=l0+Δl=l0+.
(3)根据l=l0+,整理可得l=l0+·T2,则l T2图像的斜率k'=,由图像可知k= m/s2,解得g≈9.59 m/s2.
(4)实验时光电门应对齐弹簧振子振动过程中的平衡位置,这样托盘通过平衡位置时遮光条挡光时间才最短,计时才最准确,若光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置,则计时准确度变低,造成测量弹簧振子振动周期出现偶然误差,C正确;光电门是固定的,它对齐的是弹簧振子未振动时振子所在的平衡位置,若存在空气阻力,则会导致弹簧振子向上振动和向下振动过程中平衡位置发生变化,所以光电门记录的不再是平衡位置,造成测量弹簧振子振动周期出现系统误差,A正确;根据第(2)问解析中的公式可知,质量M是联系弹簧振子的振动周期T和系统静止时弹簧伸长量Δl的中间量,建立起T和Δl的关系后就与M无关了,所以弹簧质量不为零导致M变化时,T和Δl两者都会相应变化,但两者之间满足的关系式不变,不会对实验造成误差,B错误.
例4 (1)B (2)2.00 (3)2.2
(4)4π2 (5)相等
[解析] (1)为了尽可能减小空气阻力对实验的影响,摆球尽量选择质量较大、体积较小的,故A错误;摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影响)、伸缩性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、且尽可能长一些的(减小摆长测量时的相对误差),故B正确;安装单摆时,不可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上,否则摆球运动过程中摆长会发生变化,故C错误;只有摆线相对平衡位置的偏角很小的情况下,单摆才做简谐运动,进而才能根据周期公式测量重力加速度,故D错误.
(2)游标卡尺的精确度为0.1 mm,则小球直径为D=20 mm+0×0.1 mm=20.0 mm=2.00 cm.
(3)摆球一个周期两次经过最低点,根据丙图可知单摆周期为T=2.2 s.
(4)根据单摆周期公式T=2π,变形可得L=T2,可知L T2图像斜率为=,计算得g=4π2.
(5)假设小球与小磁铁整体重心的位置在小球的球心下方r处,根据单摆周期公式可得T=2π,整理得L=T2-r,根据表达式可知不影响所作图线的斜率,所以由斜率计算出的重力加速度值相比实际值将相等.实验九 用单摆测量重力加速度
1.(1)20.034(20.033~20.035均可) (2)AC (3)
[解析] (1)小球的直径d=20 mm+3.4×0.01 mm=20.034 mm,周期T=,又T=2π,L=lsin 53°+,联立得g=.
(2)将悬线长加球直径当成摆长,导致单摆的实际摆长偏大,则重力加速度的测量值偏大,故A正确;球摆低会导致L增大,但仍按照之前的摆长进行测量,从而导致g测量值偏小,故B错误;误将n次经过最低点的时间当成了n次全振动的时间,导致周期偏小,最后得到的g偏大,故C正确;质量不影响g的大小,故D错误.
(3)根据T=2π、L=lsin 53°+,联立得T2=l+,即k=,则g=.
2.(1)75.2 (2)B A
(3)4π2
[解析] (1)秒表的小盘读数为60 s,大盘读数为15.2 s,则最终读数为75.2 s.
(2)分别求出6个l值的平均值和6个T值的平均值,表达式就不成立了,错误的是B;从测定的6组对应值中任意选取1组,偶然误差较大,故选A.
(3)根据T=2π,得L=T2,则图线的斜率k==,得g=4π2.
3.(1)B (2)2.03 (3)①a ②9.86 (4)偏大
[解析] (1)为了减小实验中空气阻力的影响,应该选密度大、体积小的实心小铁球做实验;在单摆摆动过程中,为防止摆线的长度发生变化,单摆的悬点需用铁夹固定,摆线应选择细丝线,故选B.
(2)一个周期内,小球摆线与竖线重合2次,该单摆的周期为T== s≈2.03 s.
(3)①根据单摆周期公式有T=2π,整理得T2=+,可知T2-l图像纵截距大于零,实验得到的T2-l图像是a;
②T2-l图像的斜率为k== s2·m-1=4 s2·m-1,实验测得当地重力加速度g=π2 m/s2≈9.86 m/s2.
(4)设摆线与竖直方向的夹角为θ,根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mlsin θ,实际的重力加速度为g=,则利用该单摆测量的重力加速度偏大.
4.(1)C (2)5.315
(3)2 (4)k2π2 b2
[解析] (1)小球摆动时与圆心O'对应的摆角很小即可满足单摆的条件,O'点需要离O点较近,不能是O点与最低点连线上的任一位置,否则可能不会做单摆运动,故C正确.
(2)螺旋测微器的精确度为0.01 mm,读数为5 mm+31.5×0.01 mm=5.315 mm.
(3)根据题意可知t=T+T',根据单摆的周期公式可知T=2π,T'=2π,解得g=2.
(4)根据单摆的周期公式可知T=π+π,化简可得=-,可知k=,b=,即g=k2π2,l=b2.
5.(1)8.10 (2) (3)
[解析] (1)由图示游标卡尺可知,其精确度为0.05 mm,所以小球直径为d=8 mm+0.05×2 mm=8.10 mm.
(2)小球从释放位置运动至最低点时的速度为v=.
(3)由动能定理有mgl=mv2,可得=-cos θ,图丙中图线斜率的绝对值为k,则可得k=,可得g=.实验九 用单摆测量重力加速度
一、实验目的
1.练习使用停表和刻度尺.
2.探究影响单摆运动周期的因素.
3.会用单摆测定重力加速度.
二、实验原理
当摆角较小时,单摆做简谐运动,其运动周期为T= ,由此得到g=,因此,只要测出 和 ,就可以求出当地的重力加速度g的值.
三、实验器材
铁架台、铁夹、带孔的小钢球、摆线(长约1 m)、游标卡尺、刻度尺、停表.
四、实验步骤
1.让摆线的一端穿过小钢球的小孔,然后打一个比小孔大一些的线结,做成单摆.
2.把摆线的上端用铁夹固定在铁架台上,把铁架台放在实验桌桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡位置处作上标记,如图所示.
3.摆长的测定:用刻度尺测量摆线长l0,用游标卡尺测出小钢球直径D,则单摆的摆长l=l0+.
4.周期的测定:将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于或等于5°),由静止释放小钢球,记下单摆完成N(一般为30~50)次全振动的总时间t,算出平均完成一次全振动所需的时间,即单摆的周期Tn=.反复测三次,再算出周期的平均值T=.
5.根据单摆的周期公式T=2π,计算当地的重力加速度g=.
6.改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度值,求出它们的平均值,该平均值即为当地的重力加速度值.
五、数据处理
1.公式法:利用T=求出周期,算出三次测得的周期的平均值,然后利用公式g=求重力加速度.
2.图像法:根据测出的一系列摆长l对应的周期T,作l T2的图像,由单摆周期公式得l=T2,图像应是一条过原点的直线,如图所示,求出图线的斜率k,即可利用g= 求重力加速度.
六、误差分析
1.系统误差的主要来源:悬点不固定,摆球不可视为质点,球、线不符合要求,振幅不是足够小,振动形成了圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.
2.偶然误差主要来自时间的测量,因此,要从摆球通过平衡位置时开始计时,不能多计或漏计全振动次数.为了减小偶然误差,应多次测量后取平均值.
3.利用图像法处理数据具有形象、直观的特点,同时也能减小实验误差,利用图像解题时要特别注意图像的斜率及截距的应用.
七、注意事项
1.悬线顶端不能晃动,需用夹子夹住,保证悬点固定.
2.单摆必须在同一平面内振动,且摆角小于5°.
3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时,并数准全振动的次数.
4.应在小钢球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
5.一般选用一米左右的细线.
例1 [2024·宁夏银川模拟] 实验课中,同学们用单摆测量当地的重力加速度,实验装置如图甲所示.
(1)实验过程中两组同学分别用了图乙、图丙两种不同方式悬挂小钢球,你认为 (选填“图乙”或“图丙”)悬挂方式较好.
(2)实验中,某同学用20分度的游标卡尺测量金属球的直径,结果如图丁所示,读出小球直径为 cm.
(3)用秒表测量单摆的周期.当单摆振动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0,单摆每经过最低点记一次数,当数到n=50时秒表的示数为35.3 s,该单摆的周期T= s(结果保留三位有效数字).
(4)某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况,并将记录的结果描绘在如图戊所示的坐标系得到T2 L图线.由图像可知重力加速度g= m/s2.(结果保留三位有效数字,π取3.14)
[反思感悟]
变式 [2023·新课标卷] 一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验.
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径.首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图甲所示,该示数为 mm;螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示,该示数为 mm,则摆球的直径为 mm.
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小.若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角 (填“大于”或“小于”)5°.
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为 cm.实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为 s,该小组测得的重力加速度大小为 m/s2.(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)
创新角度 实验装置图 创新解读
实验器材 的创新 1.利用双线摆,避免摆球摆动过程中做圆锥摆运动 2.利用光电门测时间,提高测量精度
测量原理 的创新 1.用数字计时器记录时间 2.用弹簧振子的振动周期T=2π计算弹簧的长度 3.用实验数据作出的l T2图线求重力加速度
实验过程 的创新 1.实验过程中,分析实时测量到的磁感应强度来确定小球的位置,提高测量摆球周期的准确度 2.作出L T2图像,用斜率求重力加速度
考向一 实验器材的创新
例2 [2024·安徽六安模拟] 某同学在研究“使用单摆测重力加速度”实验时,为避免摆球摆动过程中做圆锥摆运动,制作了如图所示的双线摆:A、B两悬点距离为50 cm,O为两绳结点,A、O距离为40 cm,B、O距离为30 cm,紧靠O点下方悬挂一金属小球,小球半径为5 mm.甲、乙两图分别是侧视、正视示意图.
(1)该双线摆的摆长l= m.
(2)将双线摆简化为一个单摆如图丙所示,将小球向右拉至一定角度后由静止释放,从小球第1次经过光电门至小球第2n+1次经过光电门总计用时为t,则单摆周期T= (用题中字母表示).
(3)若该同学计算摆长时误将O点当作单摆最低点,忘了加上小球半径,该同学测量了一组数据后计算得到重力加速度g,则测量值 (选填“>”或“<”)真实值.
(4)某同学采用一根细线悬挂小球做此实验时,若小球做圆锥摆运动,测出周期T和摆长l,用g=·l来计算重力加速度,则测量值 (选填“>”或“<”)真实值.
[反思感悟]
考向二 测量原理的创新
例3 [2024·湖北卷] 某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案,所用器材有:2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等.
具体步骤如下:
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上,弹簧下面挂上装有遮光片的托盘,在托盘内放入一个砝码,如图甲所示.
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l,并安装光电门.
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放,使其在竖直方向振动.
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t.
⑤逐次增加托盘内砝码的数量,重复②③④的操作.
该同学将振动系统理想化为弹簧振子.已知弹簧振子的振动周期T=2π,其中k为弹簧的劲度系数,M为振子的质量.
(1)由步骤④,可知振动周期T= .
(2)设弹簧的原长为l0,则l与g、l0、T的关系式为l= .
(3)由实验数据作出的l T2图线如图乙所示,可得g= m/s2(保留三位有效数字,π2取9.87).
(4)本实验的误差来源包括 .
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
考向三 实验过程的创新
例4 [2024·湖南岳阳模拟] 某学习小组利用单摆测量当地的重力加速度.实验装置如图甲所示,将小磁铁吸附在钢质小球的正下方,当小球静止时,将传感器固定于小球正下方的水平桌面上;传感器与电脑连接,可以将实时测量到的磁感应强度数据传输进电脑进行分析.
(1)下列说法正确的是 ;
A.小球应选择体积大的
B.摆线应选择弹性小、细些的
C.安装单摆时,可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上
D.摆动过程中的最大摆角越大越好
(2)学习小组利用刻度尺测量了悬挂点与小球上端的距离l=118.00 cm;用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示,小球直径D= cm;不吸附小磁铁时,摆长L=l+D.
(3)小球摆动稳定后,使传感器开始工作,利用电脑得出磁感应强度大小B随时间t变化的图像如图丙.此单摆的周期T= s.
(4)实验时改变摆长,测出几组摆长L和对应的周期T的数据,作出L T2图像如图丁所示.利用A、B两点的坐标可求得重力加速度g= ;
(5)小组中有同学提出,小球与小磁铁整体重心的位置不在小球的球心,这可能会影响到对重力加速度的测量.若仅考虑这一因素,第(4)问得到的g值与实际值相比将 (选填“偏大”“偏小”或“相等”).
二、2π 摆长l 振动周期T
五、2.4π2k实验九 用单摆测量重力加速度 (限时40分钟)
1.[2024·吉林长春一中模拟] (1)用单摆测重力加速度,为避免摆球晃动,采用图甲所示装置.两悬绳长都是l,与水平固定横杆夹角均为53°;用螺旋测微器测小球的直径如图乙所示,其值d= mm,使小球做简谐运动,用秒表记录了单摆n次全振动所用的时间t,则当地重力加速度的表达式g= (用题中字母及π来表示).
(2)若测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是 .
A.将悬线长加球直径当成摆长
B.由于两边悬线没夹紧,球越摆越低
C.测量周期时,误将n次经过最低点的时间当成了n次全振动的时间
D.摆球的质量过大
(3)若保持悬线与水平横杆夹角53°不变,通过改变悬线长,使小球做简谐运动,测得了多组悬线长l和对应的周期T,用图像法处理数据,并用这些数据作出T2 l图像为一直线,其斜率为k,由此可以得出当地的重力加速度g= (用含斜率k的代数式表示).
2.[2024·安徽马鞍山模拟] 做“用单摆测定重力加速度”的实验.
(1)为测量单摆的摆动周期,测量时刻应从摆球经过平衡位置时开始计时;某次测定了40次全振动的时间如图甲中秒表所示,那么秒表读数是 s.
(2)改变摆长l,共测定了6组摆长l和对应的周期T,为了求出当地的重力加速度 g,3位同学提出了3种不同的处理方法:
A.从测定的6组对应值中任意选取1组,用公式g=求出g作为测量值
B.先分别求出6个l值的平均值和6个T值的平均值,再用公式g=求出g作为测量值
C.先用6组l和T的值,用公式g=求出6个对应的g值,再求这6个值的平均值作为测量值
以上3种方法中,错误的是 ,其余正确方法中,偶然误差较大的是 (填入相应的字母).
(3)某同学测量了悬点到球间摆线的长度L,测得多组L和对应的周期T,画出如图乙所示的L T2图线,并在图线上选取了A、B两个点,其坐标如图乙所示.据此可得计算重力加速度的表达式为 g= .
3.[2024·江苏苏州中学模拟] 小明同学在学完单摆知识后,在家中利用手机等现有器材自主开展探究本地重力加速度的实验:
(1)小明实验时拟定了多个装配方案,你认为最合适的是 .
A
B
C
D
(2)如图甲,手机2用于计时(计时格式为:分、秒、毫秒),手机1用于录像.经过正确的实验操作,完成录像,然后从视频中截取小球摆线第1次与竖线重合和第21次与竖线重合时的图片乙 ,则该单摆的周期为T= s(计算结果取3位有效数字).
甲
乙
(3)因为家中无游标卡尺,无法测量小球的直径d,实验中将摆线长作为摆长l,测得多组周期T和l的数据,作出T2 l图像.如图所示:
①实验得到的T2 l图像是 (选填“a”“b”或“c”);
②实验测得当地重力加速度g= m/s2(计算结果取3位有效数字,π取3.14).
丙
(4)实验中由于操作不当,俯看小球在做近似圆周运动,小明并不知情,利用该单摆测量的重力加速度 (选填“偏大”“偏小”或“无影响”).
4.[2024·安徽滁州模拟] 某同学学习了单摆知识后设计了如图甲所示的装置来测量当地的重力加速度g.将一小钢球通过没有弹性的细绳悬挂于O点,在O'点钉一个钉子,小球从左向右经过最低点时细绳会被钉子挡住,测量O'点到小球球心的距离为x.
(1)本实验中关于O'点的位置及小球摆动时与圆心O、O'对应的摆角,下列说法符合要求的是 (填选项前序号);
A.O'点可以是O点与最低点连线上的任一位置
B.小球摆动时与圆心O对应的摆角很小即可
C.小球摆动时与圆心O'对应的摆角很小即可
(2)实验中该同学测量小钢球的直径d如图乙所示,其读数为d= mm;
(3)若某次实验中已测得与圆心O对应的摆长l及圆心O'对应的摆长x的大小,计时时将小钢球第一次到达最低点记作次数1,测得第35次经过最低点的时间为t,则当地重力加速度的测量值g= (用l、t、x表示);
(4)若该同学采用改变钉子O'的位置来做实验(均满足实验要求),得到x与周期T的关系并绘制了 T图像如图丙所示,图线斜率为k,纵截距为-b,则重力加速度的测量值g= ,摆长l= (均用k或b表示).
5.[2024·浙江杭州模拟] 某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度.轻绳一端系住直径为 d的小球,另一端固定在铁架台上O点,已知O点到小球球心的距离为l,在O点正下方固定一个光电门,小球运动至最低点时光电门能够记录下小球的遮光时间.实验时,将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为θ,由静止释放小球,小球摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心,小球的遮光宽度可近似为d,光电门记录小球的遮光时间为Δt,试回答以下问题:
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示,则小球的直径d= mm;
(2)小球从释放位置运动至最低点时的速度为v= ;(用题中相关物理量的字母表示)
(3)多次改变θ的数值,重复以上实验过程并测量对应的Δt,得到随cos θ变化的关系如图丙所示,该图线斜率的绝对值为k,可计算得重力加速度g= .(用k、l和d表示) (共80张PPT)
实验九 用单摆测量重力加速度
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拓展创新实验
◆
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备用习题
一、实验目的
1.练习使用停表和刻度尺.
2.探究影响单摆运动周期的因素.
3.会用单摆测定重力加速度.
二、实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 _ _____，由此得到
，因此，只要测出______和___________，就可以求出当地的重力
加速度 的值.
摆长
振动周期
三、实验器材
铁架台、铁夹、带孔的小钢球、摆线(长约 )、游标卡尺、刻度尺、停表.
四、实验步骤
1.让摆线的一端穿过小钢球的小孔,然后打一个比小孔大一些的线结,做成单摆.
2.把摆线的上端用铁夹固定在铁架台上,把铁架台放在实验
桌桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自然下垂,在单摆平衡
位置处作上标记,如图所示.
3.摆长的测定:用刻度尺测量摆线长,用游标卡尺测出小钢球直径 ,则单摆
的摆长 .
4.周期的测定:将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于或等于 ),由静止释放
小钢球,记下单摆完成(一般为)次全振动的总时间 ,算出平均完成
一次全振动所需的时间,即单摆的周期 .反复测三次,再算出周期的平
均值 .
5.根据单摆的周期公式,计算当地的重力加速度 .
6.改变摆长,重做几次实验,计算出每次实验的重力加速度值,求出它们的平
均值,该平均值即为当地的重力加速度值.
五、数据处理
1.公式法：利用 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利
用公式 求重力加速度.
2.图像法：根据测出的一系列摆长对应的周期 ，作
的图像，由单摆周期公式得 ，图像应
是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率 ，
即可利用 ______求重力加速度.
六、误差分析
1.系统误差的主要来源:悬点不固定,摆球不可视为质点,球、线不符合要求,
振幅不是足够小,振动形成了圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等.
2.偶然误差主要来自时间的测量,因此,要从摆球通过平衡位置时开始计时,
不能多计或漏计全振动次数.为了减小偶然误差,应多次测量后取平均值.
3.利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差，
利用图像解题时要特别注意图像的斜率及截距的应用.
七、注意事项
1.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定.
2.单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于 .
3.选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数.
4.应在小钢球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长.
5.一般选用一米左右的细线.
例1 [2024·宁夏银川模拟] 实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速
度，实验装置如图甲所示.
(1) 实验过程中两组同学分别用了图乙、图丙两种不同方式悬挂小钢球，
你认为______(选填“图乙”或“图丙”)悬挂方式较好.
图丙
[解析] 图乙中单摆摆动时摆长会发生变化，则图丙悬挂方式较好.
(2) 实验中，某同学用20分度的游标卡尺测量金属球的直径，结果如图丁
所示，读出小球直径为______ .
2.240
[解析] 20分度游标卡尺的精确值为 ，由图可知小球直径为
.
(3) 用秒表测量单摆的周期.当单摆振动稳定且到达最低点时开始计时并记
为，单摆每经过最低点记一次数，当数到 时秒表的示数为
，该单摆的周期_____ (结果保留三位有效数字).
1.41
[解析] 单摆的周期 .
(4) 某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录的结果描绘在如图戊所示的坐标系得到 图线.由图像可知重力加速度_____.(结果保留三位有效数字， 取 )
9.86
[解析] 根据，可得，由图像可知 ，
解得 .
变式 新课标卷］ 一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”
实验.
(1) 用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径.首先，调节螺旋测微器，拧
动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上
的零刻度线未对齐，如图甲所示，该示数为________________ ；螺旋
测微器在夹有摆球时示数如图乙所示，该示数为______________________
____，则摆球的直径为__________________________ .
0.006(0.007也可)
20.035(20.034~ 20.036均可)
20.029(20.028~ 20.030均可)
[解析] 图甲读数为( 也可)；
图乙读数为
( 均可)；
则摆球的直径为
( 均可).
(2) 单摆实验的装置示意图如图丙所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小.若将角度盘固定在 点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为 时，实际摆角______(填“大于”或“小于”) .
大于
[解析] 若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于 .
(3) 某次实验所用单摆的摆线长度为，则摆长为_____ .实验中
观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为 ，
则此单摆周期为_____，该小组测得的重力加速度大小为_____ .
(结果均保留3位有效数字，取 )
82.5
1.82
9.83
[解析] 摆长摆线长度小球半径，代入数据计算可得摆长为 ；小
球从第1次到第61次经过最低点经过了30个周期，则 ；
根据单摆周期公式可得 .
创新角度 实验装置图 创新解读
实验器材 的创新 __________________ _____________________________________________ 1.利用双线摆，避免摆球摆动过程中
做圆锥摆运动
2.利用光电门测时间，提高测量精度
创新角度 实验装置图 创新解读
测量原理 的创新 _____________________________________
续表
创新角度 实验装置图 创新解读
实验过程 的创新 _____________________________________________________________
续表
考向一 实验器材的创新
例2 [2024·安徽六安模拟] 某同学在研究“使用单摆测重力加速度”实验时，
为避免摆球摆动过程中做圆锥摆运动，制作了如图所示的双线摆：、
两悬点距离为，为两绳结点，、距离为，、 距离为
，紧靠点下方悬挂一金属小球，小球半径为
.甲、乙两图分别是侧视、正视示意图.
(1) 该双线摆的摆长______ .
0.245
[解析] 根据几何关系可得该双线摆的摆长为
.
(2) 将双线摆简化为一个单摆如图丙所示，将小球向右拉至一
定角度后由静止释放，从小球第1次经过光电门至小球第
次经过光电门总计用时为，则单摆周期 __(用题中字母表
示).
[解析] 自小球第1次经过光电门至第 次经过光电门，小球
完成了次全振动，故 .
(3) 若该同学计算摆长时误将 点当作单摆最低点，忘了加上小球半径，
该同学测量了一组数据后计算得到重力加速度 ，则测量值___(选填“ ”
或“ ”)真实值.
[解析] 由 ，忘了加上小球半径，所以摆长测量值偏小，所以
.
(4) 某同学采用一根细线悬挂小球做此实验时，若小球做圆锥摆运动，测
出周期和摆长，用 来计算重力加速度，则测量值___(选填“ ”
或“ ”)真实值.
[解析] 如图所示，由向心力公式有
，得
，故用 可得出的测量值大于真实值.
考向二 测量原理的创新
例3 [2024·湖北卷] 某同学设计了一个测量重力加速度大小 的实验方案，
所用器材有： 砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1
个、数字计时器1台等.
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的
托盘，在托盘内放入一个砝码，如图甲所示.
②用米尺测量平衡时弹簧的长度 ，并安装光电门.
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向
振动.
④用数字计时器记录30次全振动所用时间 .
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作.
该同学将振动系统理想化为弹簧振子.已知弹簧振子的振动周期，
其中为弹簧的劲度系数， 为振子的质量.
(1) 由步骤④，可知振动周期 _ __.
[解析] 30次全振动所用时间为，则振动周期 .
(2) 设弹簧的原长为，则与、、的关系式为
_ _______.
[解析] 弹簧振子的振动周期 ，可得振子的质量
，振子平衡时，根据平衡条件有 ，可得
，则与、、 的关系式为
.
(3) 由实验数据作出的 图线如图乙所示，可得
___________________ (保留三位有效数字，
取 ).
9.59(9.56~9.62均可)
[解析] 根据，整理可得 ，
则图像的斜率 ，由图像可知
，解得 .
(4) 本实验的误差来源包括_____.
A.空气阻力
B.弹簧质量不为零
C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
√
√
[解析] 实验时光电门应对齐弹簧振子振动过程中的平衡位置，
这样托盘通过平衡位置时遮光条挡光时间才最短，计时才最准
确，若光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置，则计时准确度
变低，造成测量弹簧振子振动周期出现偶然误差，C正确；光
电门是固定的，它对齐的是弹簧振子未振动时振子所在的平衡
位置，若存在空气阻力，则会导致弹簧振子向上振动和向下振动过程中平
衡位置发生变化，所以光电门记录的不再是平衡位置，造成测量弹簧振子
振动周期出现系统误差，A正确；
根据第(2)问解析中的公式可知，质量 是联系弹簧振子的振动
周期和系统静止时弹簧伸长量 的中间量，建立起和的关
系后就与无关了，所以弹簧质量不为零导致 变化时，和
两者都会相应变化，但两者之间满足的关系式不变，不会
对实验造成误差，B错误.
考向三 实验过程的创新
例4 [2024·湖南岳阳模拟] 某学习小组利用单摆测量当地的重力加速度.实
验装置如图甲所示，将小磁铁吸附在钢质小球的正下方，当小球静止时，
将传感器固定于小球正下方的水平桌面上；传感器与电脑连接，可以将实
时测量到的磁感应强度数据传输进电脑进行分析.
(1) 下列说法正确的是 ___；
A.小球应选择体积大的
B.摆线应选择弹性小、细些的
C.安装单摆时，可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上
D.摆动过程中的最大摆角越大越好
√
[解析] 为了尽可能减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量较大、
体积较小的，故A错误；摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影
响)、伸缩性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、且尽可能长一些的
(减小摆长测量时的相对误差)，故B正确；安装单摆时，不可将摆线一端
直接缠绕在铁架台横杆上，否则摆球运动过程中摆长
会发生变化，故C错误；只有摆线相对平衡位置的
偏角很小的情况下，单摆才做简谐运动，进
而才能根据周期公式测量重力加速度，故D错误.
(2) 学习小组利用刻度尺测量了悬挂点与小球上端的距离 ；
用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，小球直径_____ ；不吸附
小磁铁时，摆长 .
2.00
[解析] 游标卡尺的精确度为 ，则小球直径为
.
(3) 小球摆动稳定后，使传感器开始工作，利用电脑得出磁感应强度大小
随时间变化的图像如图丙.此单摆的周期____ .
2.2
[解析] 摆球一个周期两次经过最低点，根据丙图可知单摆周期为 .
(4) 实验时改变摆长，测出几组摆长和对应的周期的数据，作出
图像如图丁所示.利用、两点的坐标可求得重力加速度 _ _________；
[解析] 根据单摆周期公式，变形可得，可知 图
像斜率为，计算得 .
(5) 小组中有同学提出，小球与小磁铁整体重心的位置不在小球的球心，
这可能会影响到对重力加速度的测量.若仅考虑这一因素，第(4)问得到的
值与实际值相比将 ______(选填“偏大”“偏小”或“相等”).
相等
[解析] 假设小球与小磁铁整体重心的位置在小球的球心下方 处，根据单
摆周期公式可得，整理得 ，根据表达式可知不
影响所作图线的斜率，所以由斜率计算出的重力加速度值相比实际值将
相等.
1.实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验.
(1) 下列装置最合理的是___.
[解析] 根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密
度较大，体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形
变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故选D.
√
(2) 为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的是____.
A.测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B.在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动
C.在摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D.测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
√
√
[解析] 根据周期公式，可得重力加速度为 ，测量摆长时，
应该测量竖直拉直后的摆线长加摆球半径，故A错误；在摆球运动过程中，
必须保证悬点固定不动，故B正确；摆球运动过程中，摆线与竖直方向的
夹角不能太大，如摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公式失效，
故C正确；测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低
点位置摆球速度最大，相同的视觉距离误差引起的时间误差较小，则周期
测量比较准确，故D错误.
(3) 某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验.由于没有合适
的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进
行实验.
如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系
好，结点为 ，将细线的上端固定于 点.
然后利用刻度尺测出、间细线的长度 作为
摆长，利用手机的停表功能测出石块做简谐运动的周期.在测出几组不同
摆长对应的周期 的数值后，他作出的 图像如图乙所示.
① 该图像的斜率为___.
A. B. C. D.
[解析] 由图可知，设点到重心的距离为，根据周期公式 ，
可得，故该图像的斜率为 ，故选C.
√
② 由此得出重力加速度的测量值为_____ 取 ，计算结果保留
三位有效数字
9.86
[解析] 由于 ，由此得出重力加速度的测量
值为 .
2.如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验.
(1) 若用秒表测出单摆完成 次全振动所用的时间.请写出周期的表达式 ____.
[解析] 单摆完成次全振动所用的时间为，则周期的表达式 .
(2) 若利用拉力传感器记录拉力随时
间变化的关系，由图乙可知，该单摆
的周期____ .
2.0
[解析] 单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点
时拉力最小，拉力变化的周期为，故单摆的周期为 .
(3) 在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系 图线，并根据图线拟合得到方程，由此可知当地的重力加速度 _ ___，摆球半径__ (均用、、 表示).
[解析] 根据得 ，知图线的斜率，因此 ；而，则 ，图线拟合得到方程 ，因此摆球半径 .
3.一端固定在房顶的一根细线垂到三楼窗沿下，某同学为了
测量窗的上沿到房顶的高度，在线的下端系了一小球，发现
当小球静止时，细线保持竖直且恰好与窗上沿接触.打开窗，
让小球在垂直于窗口的竖直平面内摆动，如图所示.
(1) 为了测小球摆动的周期，他打开手机里的计时器，在某次
小球从窗外向内运动到达最低点时数1，同时开始计时，随后
每次小球从外向内运动到最低点依次数2、3、 ，数到 时，
手机上显示的时间为，则小球摆动的周期 为_ ___.
[解析] 从小球第1次从外向内通过最低点开始计时，第 次从外向内通过
最低点用时，故周期为 .
(2) 该同学用钢卷尺测量出摆动中小球球心到窗上沿的距离，记作.则用小球摆动的周期、和当地的重力加速度 ，可将窗的上沿到房顶的高度表示为_ __________.
[解析] 小摆的周期为，大摆周期为 ，其中有
，联立解得 .
作业手册
1.[2024·吉林长春一中模拟]
(1) 用单摆测重力加速度，为避免摆球晃动，采用图甲所示装置.两悬绳长
都是，与水平固定横杆夹角均为 ；用螺旋测微器测小球的直径如图
乙所示，其值___________________________ ，使小球做简谐运动，
用秒表记录了单摆次全振动所用的时间 ，则当地重力加速度的表达式
_ ___________(用题中字母及 来表示).
20.034(均可)
[解析] 小球的直径，周期 ，
又，，联立得 .
(2) 若测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一
情况的原因可能是_____.
A.将悬线长加球直径当成摆长
B.由于两边悬线没夹紧，球越摆越低
C.测量周期时，误将次经过最低点的时间当成了 次全振动的时间
D.摆球的质量过大
√
√
[解析] 将悬线长加球直径当成摆长，导致单摆的实际摆长偏大，则重力
加速度的测量值偏大，故A正确；球摆低会导致 增大，但仍按照之前的
摆长进行测量，从而导致测量值偏小，故B错误；误将 次经过最低点的
时间当成了次全振动的时间，导致周期偏小，最后得到的 偏大，故C正
确；质量不影响 的大小，故D错误.
(3) 若保持悬线与水平横杆夹角 不变，通过改变悬线长，使小球做简
谐运动，测得了多组悬线长和对应的周期 ，用图像法处理数据，并用这
些数据作出图像为一直线，其斜率为 ，由此可以得出当地的重力
加速度_ ____(用含斜率 的代数式表示).
[解析] 根据、，联立得 ，即
，则 .
2.[2024·安徽马鞍山模拟] 做“用单摆测定重力加速
度”的实验.
(1) 为测量单摆的摆动周期，测量时刻应从摆球经
过平衡位置时开始计时；某次测定了40次全振动
75.2
[解析] 秒表的小盘读数为，大盘读数为15.，则最终读数为75. .
的时间如图甲中秒表所示，那么秒表读数是_____ .
(2) 改变摆长，共测定了6组摆长和对应的周期 ，为了求出当地的重力加速度 ，3位同学提出了3种不同的处理方法：
A.从测定的6组对应值中任意选取1组，用公式求出 作为测量值
B.先分别求出6个值的平均值和6个值的平均值 ，再用公式求出 作为测量值
C.先用6组和的值，用公式求出6个对应的 值，再求这6个值的平均值作为测量值
以上3种方法中，错误的是___，其余正确方法中，偶然误差较大的是___
(填入相应的字母).
A
[解析] 分别求出6个值的平均值和6个 值的平均值，表达式就不成立了，
错误的是B;从测定的6组对应值中任意选取1组，偶然误差较大,故选A.
(3) 某同学测量了悬点到球间摆线的长度 ，测得
多组和对应的周期，画出如图乙所示的
图线，并在图线上选取了、 两个点，其坐标如
图乙所示.据此可得计算重力加速度的表达式为
_ _________.
[解析] 根据，得 ，则图线的
斜率，得 .
3.[2024·江苏苏州中学模拟] 小明同学在学完单摆知识后，在家中利用手
机等现有器材自主开展探究本地重力加速度的实验：
(1) 小明实验时拟定了多个装配方案，你认为最合适的是___.
A. B. C. D.
[解析] 为了减小实验中空气阻力的影响，应该选密度大、体积小的实心
小铁球做实验；在单摆摆动过程中，为防止摆线的长度发生变化，单摆的
悬点需用铁夹固定，摆线应选择细丝线，故选B.
√
(2) 如图甲，手机2用于计时(计时格式为：分、秒、毫秒)，手机1用于录
像.经过正确的实验操作，完成录像，然后从视频中截取小球摆线第1次与
竖线重合和第21次与竖线重合时的图片乙，则该单摆的周期为_____
(计算结果取3位有效数字).
2.03
[解析] 一个周期内，小球摆线与竖线重合2次，该单摆的周期为
.
(3) 因为家中无游标卡尺，无法测量小球的直径 ，实验中将摆线长作为
摆长，测得多组周期和的数据，作出 图像.如图所示：
① 实验得到的图像是___(选填“”“”或“ ”)；
a
[解析] 根据单摆周期公式有，整理得
，可知图像纵截距大于零，
实验得到的图像是 ;
② 实验测得当地重力加速度_____(计算结果取3位有效数字, 取
3. ).
[解析] 图像的斜率为 ，实验测得
当地重力加速度 .
(4) 实验中由于操作不当，俯看小球在做近似圆周运动，小明并不知情，
利用该单摆测量的重力加速度______(选填“偏大”“偏小”或“无影响”).
偏大
[解析] 设摆线与竖直方向的夹角为 ，根据牛顿第二定律可得
，实际的重力加速度为 ，则利用该单摆
测量的重力加速度偏大.
4.[2024·安徽滁州模拟] 某同学学习了单摆知识后设计了如图甲所示的装置来测量当地的重力加速度.将一小钢球通过没有弹性的细绳悬挂于 点，在 点钉一个钉子，小球从左向右经过最低点时细绳会被钉子挡住，测量点到小球球心的距离为 .
(1) 本实验中关于点的位置及小球摆动时与圆心、 对应
的摆角，下列说法符合要求的是___(填选项前序号)；
A.点可以是 点与最低点连线上的任一位置
B.小球摆动时与圆心 对应的摆角很小即可
C.小球摆动时与圆心 对应的摆角很小即可
[解析] 小球摆动时与圆心对应的摆角很小即可满足单摆的条件， 点需
要离点较近，不能是 点与最低点连线上的任一位置，否则可能不会做
单摆运动，故C正确.
√
(2) 实验中该同学测量小钢球的直径如图乙所示，其读数为 ______
；
5.315
[解析] 螺旋测微器的精确度为0. ，读数为
.
(3) 若某次实验中已测得与圆心对应的摆长及圆心对应的摆长 的大小，
计时时将小钢球第一次到达最低点记作次数1，测得第35次经过最低点的时
间为，则当地重力加速度的测量值_ ___________(用、、 表示)；
[解析] 根据题意可知 ，根据单摆的周期公式可知
，，解得 .
(4) 若该同学采用改变钉子的位置来做实验(均满足实验要求)，得到 与
周期的关系并绘制了图像如图丙所示，图线斜率为 ，纵截距为
，则重力加速度的测量值______，摆长____(均用或 表示).
[解析] 根据单摆的周期公式可知 ，化简可得，可知，，即， .
5.[2024·浙江杭州模拟] 某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速
度.轻绳一端系住直径为的小球，另一端固定在铁架台上点，已知 点
到小球球心的距离为，在 点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点
时光电门能够记录下小球的遮光时间.实验时，将小球拉起至轻绳和竖直
方向夹角为 ，由静止释放小球，小球摆至最低点
时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度
可近似为，光电门记录小球的遮光时间为 ，
试回答以下问题：
(1) 用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径_____ ；
8.10
[解析] 由图示游标卡尺可知，其精确度为0. ，所以小球直径为
.
(2) 小球从释放位置运动至最低点时的速度为 _ __；(用题中相关物理量
的字母表示)
[解析] 小球从释放位置运动至最低点时的速度为 .
(3) 多次改变 的数值，重复以上实验过程并测量对应的，得到 随 变化的关系如图丙所示，该图线斜率的绝对值为 ，可计算得重力加速度_ ___.(用、和 表示)
[解析] 由动能定理有，可得 ，
图丙中图线斜率的绝对值为，则可得，可得 .
教材原型实验 二、,摆长,振动周期 五、 k 例1.（1）图丙
（2）2.240 （3）1.41 （4）9.86 变式.（1）0.006（0.007也可）,20.035（20.034~ 20.036均可）,20.029（20.028~ 20.030均可） （2）大于
（3）82.5,1.82,9.83
拓展创新实验 考向一 例2.（1）0.245 （2） （3） （4）
考向二 例3.（1） （2） （3）9.59（9.56~9.62均可）（4）AC
考向三 例4.（1）B （2）2.00 （3）2.2 （4） （5）相等
1.（1）20.034（均可）, （2）AC
（3）
2.（1）75.2 （2）,A （3）
3.（1）B （2）2.03 （3）①a ② （4）偏大
4.（1）C （2）5.315 （3） （4）,
5.（1）8.10 （2） （3）
