专题八 人造卫星变轨问题 双星模型
例1 A [解析] 空间站在P点变轨前、后所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知F万=ma加,则空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;空间站的圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动,因为变轨后其轨道半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知=k,则空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点获得方向沿径向指向地球的反冲速度,与原来做圆周运动的速度合成,合速度大于原来的速度,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大,但变轨后在P点的速度比同一轨道上在近地点的速度小,所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误.
例2 C [解析] 飞船由轨道①变轨至轨道②要点火减速,外力做负功,则飞船在轨道①上的机械能大于在轨道②上的机械能,故A、D错误;月球的第一宇宙速度是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度,所以飞船在轨道②上的环绕速度小于月球的第一宇宙速度,故B错误;根据牛顿第二定律可得=ma,解得a=,则飞船在轨道①上经过P点时的加速度与在轨道②上经过P点时的加速度相同,故C正确.
例3 D [解析] 神舟十七号由低轨道与高轨道的空间站对接,对接开始时需要点火加速,脱离原有轨道,此后做离心运动与空间站实现对接,而在神舟十七号做离心运动与空间站实现对接的过程中,两者绕行方向必定一致,且根据万有引力提供向心力有G=m,可得v=,可知在变轨前神舟十七号的线速度大于空间站线速度,而变轨过程中随着轨道的升高,神舟十七号的线速度逐渐减小,从后方追上空间站,在空间站所在轨道实现对接,可知从图示位置变轨实现对接,空间站一定沿逆时针方向运行,故A、B错误;根据牛顿第二定律有G=ma,可得a=,则对接后,组合体的加速度与对接前空间站的加速度大小相等,故C错误;由于神舟十七号变轨时需要点火加速,其机械能增大,可知神舟十七号在变轨后的机械能大于变轨前的机械能,而空间站始终在其原有轨道上运行,其机械能不变,可知在变轨前神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运行时总的机械能,故D正确.
例4 BC [解析] 由题意,火星探测器在圆轨道1上运行时,每经3T0的时间刚好7次经过火星赤道上某点的正上方,则-=7,解得T=T0,A错误,B正确;由开普勒第三定律可知=,由以上各式整理得t=,C正确,D错误.
例5 C [解析] 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,则两恒星的运动周期为T'=2T,故A错误;根据万有引力提供向心力有G=mArA=mBrB,由题图知rAmB,故B错误;由B选项得,两恒星总质量为M=mA+mB=,故C正确;根据v=ωr,两恒星角速度相等,则vA例6 BD [解析] 它们的向心力由万有引力提供,大小相等、方向相反,故A错误;根据万有引力提供向心力可知G=mR,解得T=4π,故B正确;图乙中每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力提供,如图所示,故G×2×cos 30°=Fn、L=2Rcos 30°,解得Fn=,故C错误;图甲中根据G=m,解得v1=,图乙中根据G×2×cos 30°=m,解得v2=,则==,故D正确.专题八 人造卫星变轨问题 双星模型
1.A [解析] 要想使天舟五号与空间站在同一轨道上对接,则需要使天舟五号加速,与此同时要想不脱离原轨道,根据F=m,则必须要增加向心力,即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量,另一方面还要有指向地心的分量,因喷气产生的推力方向与喷气方向相反,故图A是正确的.
2.B [解析] 静止卫星的轨道在赤道面上,所以不可以静止在成都上空,故A错误;根据开普勒第二定律可知卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的速率最小,故B正确;卫星在轨道Ⅱ上经过B点时点火加速做离心运动可以变轨进入轨道Ⅲ,所以卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的速率小于其在轨道Ⅲ上经过B点时的速率,故C错误;根据=ma,解得a=,可知卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度等于其在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度,故D错误.
3.B [解析] 根据开普勒第二定律可知,从远地点到近地点卫星做加速运动,而从近地点到远地点,卫星做减速运动,所以近地点的速度大于远地点,即v1>v2,卫星绕地心做轨道半径为r的圆周运动时,线速度大小为,将卫星从半径为r的圆轨道变轨到图示的椭圆轨道,必须在近地点加速,所以有v1>,故选B.
4.B [解析] 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球,根据开普勒第三定律得=,整理得T2=T1≈288 h,A错误;根据开普勒第二定律得,鹊桥二号在捕获轨道运行时在近月点的速度大于在远月点的速度,B正确;在近月点从捕获轨道到冻结轨道变轨时,鹊桥二号需要减速进行近月制动,故鹊桥二号在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度,C错误;在两轨道的近月点所受的万有引力相同,根据牛顿第二定律可知,在捕获轨道运行时近月点的加速度大小等于在冻结轨道运行时近月点的加速度,D错误.
5.BD [解析] 双星系统中,由于两星在相同时间内转过的角度相等,则双星系统的角速度相等,即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度,A错误;根据G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,解得=,即星体质量越大,轨道半径越小,根据题意中子星质量大,可知中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径,B正确;双星系统中,由星体之间的万有引力提供向心力,可知中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小,C错误;根据v=ωr,双星系统角速度相等,中子星的轨道半径小一些,则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度,D正确.
6.AB [解析] 鹊桥二号离开火箭时速度要大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,才能进入环月轨道,A正确;由开普勒第三定律=k,鹊桥二号在捕获轨道上运行的周期大于在环月轨道上运行的周期,B正确;在P点要由捕获轨道变轨到环月轨道,做近心运动,必须降低速度,经过P点时,需要点火减速,C错误;根据万有引力提供向心力知G=ma,解得a=,则经过A点的加速度比经过B点时小,D错误.
7.AB [解析] 第一宇宙速度是飞船的最小发射速度,小于第一宇宙速度飞船将落回地面,所以神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度,A正确;根据开普勒第三定律,半长轴越大,周期越大,所以神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长,B正确;“M卫星”若要与空间站对接,可以在低于轨道Ⅲ的轨道上点火加速做离心运动追上空间站,C错误;由万有引力提供向心力有G=ma,解得a=G,到地心的距离相同,神舟十七号在轨道Ⅲ上经过c点的加速度等于其在轨道Ⅱ上经过c点的加速度,D错误.
8.BD [解析] “鹊桥二号”围绕月球沿椭圆轨道运动,根据开普勒第二定律可知,在近地点A处的速度最大,在远地点B处的速度最小,则从C→B→D的平均速率小于从D→A→C的平均速率,所以从C→B→D的运动时间大于半个周期,即大于12 h,A错误;在A点,根据牛顿第二定律有G=maA,在B点,根据牛顿第二定律有G=maB,联立解得“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为aA∶aB=81∶1,B正确;物体做曲线运动时速度方向沿该点的切线方向,所以“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向不垂直于其与月心的连线,C错误;“鹊桥二号”发射后围绕月球沿椭圆轨道运动,并未脱离地球引力束缚,所以“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s,D正确.
9.BD [解析] 鹊桥二号24小时环月轨道上的周期等于半径为a1的圆轨道绕月球的运行周期,则有=m1a1,地球同步卫星的周期为24 h,可得=mr,又M月=M地,联立可得∶r3=1∶81,故A错误;由开普勒第三定律,可得=,解得∶=4∶1,故B正确;鹊桥二号由轨道Ⅰ调整到轨道Ⅱ,需在P点减速,做近心运动,故C错误;由图可知,探测器要与鹊桥二号保持较长时间不间断通讯,需着陆在月球表面A点附近,因为在月球表面A点附近与鹊桥二号通讯不受到月球遮挡的时间更长,故D正确.
10.BD [解析] 由双星间的万有引力提供向心力,双星的角速度相同,则有G=m1ω2r1=m2ω2r2,解得==,又有r1+r2=l,解得r1=l、r2=l,A错误;由万有引力提供向心力,可得G=m1ω2r1=m2ω2r2,则有Gm2=ω2r1l2、Gm1=ω2r2l2,解得ω=,B正确;由线速度与角速度的关系公式v=ωr可得,“角宿一B”的公转线速度大小为vB=ωr2==,C错误;同理可得vA=,角宿一A和角宿一B的公转线速度大小之和为v=vA+vB=+=,D正确.
11.BD [解析] 太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中一点O(图中未标出)转动的双星系统,则有G=Mω2r1,G=mω2r2,r1+r2=R,联立解得ω=,故A错误,B正确;在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用,始终与太阳、地球保持相对静止,则有G+G=m'ω2(r+r2),根据选项A、B分析可知Mr1 = mr2,r1+r2=R,ω=,利用近似关系式≈,代入可得+=,解得r=R,故C错误,D正确.
12.BD [解析] 四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动,其圆心在边长为l的正方形的几何中心,由几何关系可得轨道半径均为r=,由线速度与角速度关系公式v=ωr,可得四颗天体线速度大小均为v=ωr=r=,A错误,B正确;以其中一颗天体为研究对象,其所需向心力由其他三颗天体的万有引力的合力提供,则有F合=+=,由牛顿第二定律可得=mr,解得四颗天体的质量均为m=,C错误,D正确.专题八 人造卫星变轨问题 双星模型
卫星变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射近地卫星到圆轨道Ⅰ上,如图所示.
(2)在A点(近地点)点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程各物理量的变化
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度:设卫星在Ⅰ、Ⅱ轨道上的A点加速度分别为 a1、aA,因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,设卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过B点的加速度分别为aB、a3,则aB、a3也相同.故有a1=aA> aB=a3.
(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1(4)机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ,从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ,都需要点火加速,则E1考向一 卫星变轨问题
例1 [2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示.为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径.则 ( )
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
[反思感悟]
例2 [2024·河北石家庄模拟] 2024年2月中国新一代载人月球探测飞船命名为“梦舟”、月面着陆器命名为“揽月”.如图所示为载人探测飞船登月的简化示意图,首先从地球表面发射飞船至地月转移轨道,飞船在P点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动,然后在P点变轨后沿圆形轨道②运动,下列说法正确的是 ( )
A.飞船在轨道①上经过P点时应该加速才能进入轨道②
B.飞船在轨道②上的环绕速度大于月球的第一宇宙速度
C.飞船在轨道①上经过P点时的加速度与在轨道②上经过P点时的加速度相同
D.飞船在轨道①上的机械能小于轨道②上的机械能
[反思感悟]
考向二 卫星对接问题
例3 [2024·河南南阳模拟] 2023年10月26日,搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空,成功将神舟十七号乘组成员顺利送入太空.对接前,空间站与神舟十七号的轨道如图所示.对接后组合体在空间站之前的轨道上运行,已知空间站距地球表面约400 km.则下列判断正确的是 ( )
A.若神舟十七号从图示位置变轨实现对接,空间站一定沿顺时针方向运行
B.若神舟十七号从图示位置变轨,变轨后神舟十七号速度一直增大才能实现对接
C.对接后,组合体的加速度比对接前空间站的加速度大
D.图中神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运行时总的机械能
[反思感悟]
考向三 椭圆轨道问题
例4 (多选)[2024·河南安阳模拟] 如图所示为火星探测器着陆火星表面前的变轨轨道示意图,图中M、N两点分别为椭圆轨道3与圆轨道1、2的切点,且圆轨道1、2的公转半径分别为r1、r2,轨道1、2、3的轨道平面与火星赤道平面重合.已知火星的自转周期为T0,火星探测器在圆轨道1上运行时,每经3T0的时间刚好7次经过火星赤道上某点的正上方,且火星探测器环绕方向与火星自转方向相同.假设火星探测器在圆轨道1的环绕周期为T(T未知),探测器在椭圆轨道3上由M到N的时间为t(t未知),则 ( )
A.T=T0
B.T=T0
C.t=
D.t=
[反思感悟]
【技法点拨】
1.在椭圆轨道上从远点向近点运动时,万有引力做正功,速度变大,加速度变大;从近点向远点运动时,万有引力做负功,速度变小,加速度变小.2.椭圆轨道上运动的周期比近点圆轨道周期大,比远点圆轨道周期小,其周期的计算要根据开普勒第三定律,如图所示,r为近点圆轨道半径,R为远点圆轨道半径,椭圆轨道的半长轴为,则=.
双星及多星问题
1.双星特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2.
(2)两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2.
(3)两颗星的轨迹半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L.
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=.
2.多星模型
研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同.常见的多星及规律:
常见的 三星 模型 ①+=man
②×cos 30°×2=man
常见的 四星 模型 ①×cos 45°×2+=man
②×cos 30°×2+=man
例5 [2024·山东济宁模拟] 如图所示,“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B,只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动,彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星.观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”,视线与双星轨道共面.观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,已知引力常量为G,地球距A、B很远,可认为地球保持静止,则 ( )
A.恒星A、B运动的周期为T
B.恒星A的质量小于B的质量
C.恒星A、B的总质量为
D.恒星A的线速度大于B的线速度
[反思感悟]
【技法点拨】
1.受力特点:两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力2.运动特点:转动方向、周期、角速度相同,运动半径一般不等3.万有引力F= 中的L为天体间距离,向心力公式 Fn=m1r中的r为天体的绕转半径,两者切勿混淆,且m1r1=m2r2,r1+r2=L
例6 (多选)[2024·湖南娄底模拟] 天空中星体壮丽璀璨,在万有引力作用下,做着不同的运动.如图甲、乙所示分别为双星、三星模型,星体都绕它们之间的某一点做匀速圆周运动,轨迹圆半径都为R,五个环绕天体的质量均为m,引力常量为G,忽略其他天体对系统的作用,则 ( )
A.图甲中两环绕天体向心力相同
B.图甲中天体运动的周期为4π
C.图乙中天体运动的向心力大小为
D.图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为∶2
[反思感悟]
专题八 人造卫星变轨问题 双星模型 (限时40分钟)
1.天舟五号与空间站天和核心舱成功对接,此次发射任务从点火发射到完成交会对接,全程仅用2个小时,创世界最快交会对接纪录,标志着我国航天交会对接技术取得了新突破.在交会对接的最后阶段,天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动,两者的运行轨道均视为圆周.要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接,天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是 ( )
A
B
C
D
2.[2024·湖北武汉模拟] 如图所示,要使静止卫星进入预定轨道Ⅲ,需先将卫星发射到近地轨道Ⅰ,卫星在轨道Ⅰ的A点变轨进入转移轨道Ⅱ,在轨道Ⅱ的远地点B再次变轨进入轨道Ⅲ.下列说法正确的是 ( )
A.静止卫星可以静止在成都上空
B.卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的速率最小
C.卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的速率大于其在轨道Ⅲ上经过B点时的速率
D.卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大于其在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度
3.[2024·河南郑州一中模拟] 1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动,如图所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2,近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G,则 ( )
A.v1>v2,v1=
B.v1>v2,v1>
C.v1D.v1
4.[2024·安徽卷] 2024年3月20日,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空.当抵达距离月球表面某高度时,鹊桥二号开始进行近月制动,并顺利进入捕获轨道运行,如图所示,轨道的半长轴约为51 900 km.后经多次轨道调整,进入冻结轨道运行,轨道的半长轴约为9900 km,周期约为24 h.则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
5.(多选)[2024·福建厦门一中模拟] 厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱,发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统,质量比约为2∶1,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动,研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上.则此中子星绕O点运动的 ( )
A.角速度大于红矮星的角速度
B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2倍
D.线速度小于红矮星的线速度
6.(多选)[2024·辽宁大连模拟] 2024年3月20日,长征八号遥三运载火箭成功发射,将鹊桥二号中继星直接送入预定地月转移轨道.如图所示,鹊桥二号进入近月点为P、远月点为A的月球捕获椭圆轨道后,开始绕月球飞行.经过多次轨道控制,鹊桥二号最终进入近月点为P、远月点为B、周期为24小时的环月椭圆轨道.关于鹊桥二号的说法正确的是 ( )
A.离开火箭时的速度大于地球的第一宇宙速度,小于第二宇宙速度
B.在捕获轨道运行的周期大于24小时
C.在捕获轨道上经过P点时,需要点火加速,才可能进入环月轨道
D.经过A点的加速度比经过B点时大
7.(多选)[2024·天津河东区模拟] 2023年10月26日17时46分,我国发射的神舟十七号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接,它们在地球上空的运动轨迹如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度
B.神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长
C.“M卫星”若要与空间站对接,可以在轨道Ⅲ上点火加速追上空间站
D.神舟十七号在轨道Ⅲ上经过c点的加速度大于其在轨道Ⅱ上经过c点的加速度
8.(多选)[2024·河北卷] 2024年3月20日,“鹊桥二号”中继星成功发射升空,为“嫦娥六号”在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯.“鹊桥二号”采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图所示),近月点A距月心约为2.0×103 km,远月点B距月心约为1.8×104 km,CD为椭圆轨道的短轴,下列说法正确的是 ( )
A.“鹊桥二号”从C经B到D的运动时间为12 h
B.“鹊桥二号”在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C.“鹊桥二号”在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
9.(多选)[2024·陕西西安一中模拟] 2024年3月20日,探月工程四期鹊桥二号中继星在我国文昌航天发射场发射升空,于4月2日进入周期为24小时环月大椭圆“使命”轨道Ⅰ,为嫦娥六号在月球背面进行月球样品采集任务提供通讯支持.如图所示,此次任务完成后,鹊桥二号择机在P点调整至12小时环月椭圆轨道Ⅱ,为后续月球探测任务提供服务.已知月球自转轴经过其表面的A点,月球质量为地球质量的,地球同步卫星轨道半径为r,鹊桥二号24小时环月轨道半长轴为a1,12小时环月轨道半长轴为a2,下列说法正确的是 ( )
A.∶r3=1∶9
B.∶=4∶1
C.鹊桥二号由轨道Ⅰ调整到轨道Ⅱ,需在P点加速
D.探测器要与鹊桥二号保持较长时间不间断通讯,需着陆在月球表面A点附近
10.(多选)[2024·山东菏泽模拟] 农历二月二,由“角宿一”和“角宿二”组成的“龙角星”从东方地平线上缓缓升起,仿佛“龙抬头”一样,故此有“二月二、龙抬头”的说法.实际上,“角宿一”是由距离很近、互相围绕公转的“角宿一A”和“角宿一B”组成的双星系统.系统内两颗恒星之间的距离为l,“角宿一A”的质量为m1、“角宿一B”的质量为m2,且7m1=10m2,引力常量为G.根据提供的信息,下列说法正确的是 ( )
A.“角宿一A”的公转半径为l
B.角宿一A和角宿一B的公转的角速度为
C.“角宿一B”的公转线速度大小为
D.角宿一A和角宿一B的公转线速度大小之和为
11.(多选)[2023·福建卷] 人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近,L2点的位置如图所示.在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用,始终与太阳、地球保持相对静止.考虑到太阳系内其他天体的影响很小,太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统.若太阳和地球的质量分别为M和m,航天器的质量远小于太阳、地球的质量,日心与地心的距离为R,引力常量为G,L2点到地心的距离记为r(r R),在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω.下列关系式正确的是可能用到的近似:≈ ( )
A.ω= B.ω=
C.r=R D.r=R
12.(多选)[2024·江西九江模拟] 如图所示,天文观测中观测到有质量相等的四颗天体位于边长为l的正方形四个顶点a、b、c、d上,四颗天体均做周期为T的匀速圆周运动,已知引力常量为G,不计其他天体对它们的影响,关于这个四星系统,下列说法中正确的是 ( )
A.四颗天体线速度大小均为
B.四颗天体线速度大小均为
C.四颗天体的质量均为
D.四颗天体的质量均为(共74张PPT)
专题八 人造卫星变轨问题 双星模型
题型一 卫星变轨和对接问题
题型二 双星及多星问题
◆
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备用习题
题型一 卫星变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射近
地卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示.
(2)在 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力
不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星
做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程各物理量的变化
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为、 ，在轨道Ⅱ
上过点和点时速率分别为、.在点加速，则，在 点加速，
则，又因，故有 .
(2)加速度：设卫星在Ⅰ、Ⅱ轨道上的点加速度分别为、，因为在 点，
卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过 点，卫星的
加速度都相同，同理，设卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过 点的加速度分别为
、，则、也相同.故有 .
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为、、 ，轨道半
径分别为、(半长轴)、，由开普勒第三定律可知 .
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨
道的机械能分别为、、 ，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都
需要点火加速，则 .
考向一 卫星变轨问题
例1 [2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿
逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示.为了避开碎片，空间站在
点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲
速度，从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨
道半径.则( )
A.空间站变轨前、后在 点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
[解析] 空间站在 点变轨前、后所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定
律可知，则空间站变轨前、后在 点的加速度相同，故A正确；
空间站的圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动，因为变轨后其轨道半
长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知 ，则空间站变轨后
的运动周期比变轨前的大，故B错误；
变轨后在 点获得方向沿径向指向地球的反冲速度，与原来做圆周运动的速度合成，合速度大于原来的速度，故C错误；由于空间站变轨后在点的速度比变轨前的大，但变轨后在 点的速度比同一轨道上在近地点的速度小，所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误.
例2 [2024·河北石家庄模拟] 2024年2月中国新一代
载人月球探测飞船命名为“梦舟”、月面着陆器命名
为“揽月”.如图所示为载人探测飞船登月的简化示意
图，首先从地球表面发射飞船至地月转移轨道，飞
A.飞船在轨道①上经过 点时应该加速才能进入轨道②
B.飞船在轨道②上的环绕速度大于月球的第一宇宙速度
C.飞船在轨道①上经过点时的加速度与在轨道②上经过 点时的加速度
相同
D.飞船在轨道①上的机械能小于轨道②上的机械能
船在点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动，然后在 点变轨后沿圆
形轨道②运动，下列说法正确的是( )
√
[解析] 飞船由轨道①变轨至轨道②要点火减速，外
力做负功，则飞船在轨道①上的机械能大于在轨道
②上的机械能，故A、D错误；月球的第一宇宙速度
是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度，所以飞
船在轨道②上的环绕速度小于月球的第一宇宙速度，
故B错误；根据牛顿第二定律可得 ，解得
，则飞船在轨道①上经过 点时的加速度与在
轨道②上经过 点时的加速度相同，故C正确.
考向二 卫星对接问题
例3 [2024·河南南阳模拟] 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将神舟十七号乘组成员顺利送入太空.对接前，空间站与神舟十七号的轨道如图所示.对接后组合体在空间站之前的轨道上运行，已知空间站距地球表面约 .则下列判断正确的是 ( )
A.若神舟十七号从图示位置变轨实现对接，
空间站一定沿顺时针方向运行
B.若神舟十七号从图示位置变轨，变轨后
神舟十七号速度一直增大才能实现对接
C.对接后，组合体的加速度比对接前空间站的加速度大
D.图中神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运
行时总的机械能
√
[解析] 神舟十七号由低轨道与高轨道的空间站对接，对
接开始时需要点火加速，脱离原有轨道，此后做离心运动
与空间站实现对接，而在神舟十七号做离心运动与空间站
实现对接的过程中，两者绕行方向必定一致，且
根据万有引力提供向心力有，可得 ，
可知在变轨前神舟十七号的线速度大于空间站线速度，而变轨过程中随着
轨道的升高，神舟十七号的线速度逐渐减小，从后方追上 空间站，在空间
站所在轨道实现对接，可知从图示位置变轨实现对接，空间站一定沿逆时
针方向运行，故A、B错误；
根据牛顿第二定律有，可得 ，则对
接后，组合体的加速度与对接前空间站的加速度大小相等，
故C错误；由于神舟十七号变轨时需要点火加速，其机械
能增大，可知神舟十七号在变轨后的机械能大于变轨前的
机械能，而空间站始终在其原有轨道上运行，其机械能不变，可知在变轨
前神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运行时总的机械能，故
D正确.
例4 (多选)[2024·河南安阳模拟] 如图所示为火星探测器
着陆火星表面前的变轨轨道示意图，图中、 两点分别
为椭圆轨道3与圆轨道1、2的切点，且圆轨道1、2的公转半径分别为
考向三 椭圆轨道问题
、 ，轨道1、2、3的轨道平面与火星赤道平面重合.已知火星的自转周
期为，火星探测器在圆轨道1上运行时，每经 的时间刚好7次经过火
星赤道上某点的正上方，且火星探测器环绕方向与火星自转方向相同.假
设火星探测器在圆轨道1的环绕周期为 未知 ，探测器在椭圆轨道3上
由到的时间为 未知 ，则 ( )
[解析] 由题意，火星探测器在圆轨道1上运行时，每经 的时间刚好7次经过火星赤道上某点的正上方，则 ，解得 ，A错误，B正确；由开普勒第三定律可知
，由以上各式整理
得 ，C正确，D错误.
A.
B.
C.
D.
√
√
技法点拨
1.在椭圆轨道上从远点向近点运动时,万有引力做正功,速度变大,加速度变
大;从近点向远点运动时,万有引力做负功,速度变小,加速度变小.
2.椭圆轨道上运动的周期比近点圆轨道周期大,比远
点圆轨道周期小,其周期的计算要根据开普勒第三定
律,如图所示,为近点圆轨道半径, 为远点圆轨道半
径,椭圆轨道的半长轴为,则 .
题型二 双星及多星问题
1.双星特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即，
.
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即，.
(3)两颗星的轨迹半径与它们之间的距离关系为.
(4)两颗星到圆心的距离、与星体质量成反比，即.
2.多星模型
研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，
各星体的角速度或周期相同.常见的多星及规律：
常见的三 星模型 ________________________________________
__________________________________________
常见的四 星模型 _____________________________________________
___________________________________________________
续表
例5 [2024·山东济宁模拟] 如图所示，“食双星”是两颗
相距为的恒星、，只在相互引力作用下绕连线上
点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成
亮度发生周期性变化的两颗恒星.观察者在地球上通过
A.恒星、运动的周期为 B.恒星的质量小于 的质量
C.恒星、的总质量为 D.恒星的线速度大于 的线速度
望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面.观测发现每隔时间 两颗恒星
与望远镜共线一次，已知引力常量为，地球距、 很远，可认为地球保
持静止，则 ( )
√
[解析] 每隔时间 两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒
星的运动周期为 ，故A错误；根据万有引力提供
向心力有，由题图知
，则 ，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为
，故C正确；根据，两恒星角速度相等，
则 ，故D错误.
技法点拨
1.受力特点：两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力
2.运动特点：转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
3.万有引力 中的为天体间距离，向心力公式中的
为天体的绕转半径,两者切勿混淆，且，
例6 (多选)[2024·湖南娄底模拟] 天空中星体壮丽璀璨，在万有引力作用
下，做着不同的运动.如图甲、乙所示分别为双星、三星模型，星体都绕
它们之间的某一点做匀速圆周运动，轨迹圆半径都为 ，五个环绕天体的
质量均为，引力常量为 ，忽略其他天体对系统的作用，则( )
A.图甲中两环绕天体向心力相同
B.图甲中天体运动的周期为
C.图乙中天体运动的向心力大小为
D.图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为
√
√
[解析] 它们的向心力由万有引力提供，大小相等、
方向相反，故A错误；根据万有引力提供向心力
可知，解得 ，故B正
确；图乙中每颗行星运行所需向心力都由其余两
颗行星对其万有引力的合力提供，如图所示,故
、 ， ，故C错误；
图甲中根据 ，解得 ，图乙中根据，解得 ，则 ，故D正确.
卫星变轨和对接问题
1.(多选)如图所示是我国发射的“天问一号”火星探测器的运动轨迹示意图.
首先在地面上由长征五号遥四运载火箭将探测器发射升空，然后经过漫长
的七个月地火转移飞行，到达近火点时精准“刹车”被火星捕获，成为环绕
火星飞行的一颗卫星.以下说法中正确的是( )
A.长征五号遥四运载火箭需要把“天问一号”加速到第二宇宙速度
B.近火点的“刹车”是为了减小火星对“天问一号”的引力
C.从火星停泊轨道向遥感轨道变轨过程，“天问一号”还需要在近火点制动
减速
D.“天问一号”沿遥感轨道运行
时在近火点处的动能最小
√
√
[解析] “天问一号”要脱离地球的吸引，需要加速到第二宇宙速度，A正确；
近火点的“刹车”是为了减小 “天问一号”所需的向心力，B错误；从火星停
泊轨道向遥感轨道变轨过程，“天问一号”所需的向心力进一步减小，需要
在近火点制动减速，C正确；“天问一号”沿遥感轨道运行时在近火点处的
动能最大，D错误.
2.[2022·浙江1月选考] “天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的点沿地火转移轨道到 点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号 ( )
A.发射速度介于与 之间
B.从点转移到 点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期
比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
√
[解析] 天问一号发射后需要摆脱地球引力的束
缚，说明发射速度肯定要超过 ，选项
A错误；根据开普勒第三定律可知 ，由
图可知地火转移轨道的半长轴大于地球轨道的半径，故其在地火转移轨道
上的运行周期大于12个月，因此从点转移到 点的时间大于6个月，选项
B错误；同理，根据开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道运行的
周期比在调相轨道上小，选项C正确；
天问一号在地球轨道上 处点火加速，沿地火转
移轨道做离心运动，即在地火转移轨道上 点时
的速度比地球环绕太阳的速度大，但在到达 处
之后，要加速进入火星轨道，则其在地火转移轨
道上 点时的速度小于火星绕太阳的速度，由 可知，火星绕太阳
的速度小于地球绕太阳的速度，所以天问一号在地火转移轨道上 点时的
速度小于地球绕太阳的速度，选项D错误.
3.北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号
遥七运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功.北
京时间5月11日5时16分，天舟六号货运飞船与空间站组合体完成交会对接.
下列说法正确的是( )
A.天舟六号从低轨向高轨完成对接，需要加速
B.天舟六号的发射速度必须大于第二宇宙速度
C.天舟六号在不同的绕地轨道运行时，其与地心的连线在相同时间内扫过
的面积相等
D.天舟六号与空间站组合体对接后(空间站组合体所在轨道不变)，空间站
组合体的向心加速度变大
√
[解析] 天舟六号从低轨向高轨完成对接，需要点火加速，故A正确；根据
地球宇宙速度的定义，可知天舟六号的发射速度必须大于第一宇宙速度，
小于第二宇宙速度，故B错误；由开普勒第二定律可知，当天舟六号在同
一绕地轨道运行时，其与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等，故C
错误；根据，可得 ，由于空间站组合体的轨道半径
不变，所以向心加速度不变，故D错误.
双星及多星问题
4.宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之
间的万有引力互相绕转，称之为双星系统，在浩
A.星球的质量一定大于 的质量
B.星球的角速度一定大于 的角速度
C.双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统，设某双星系统、 绕其连线上
的点做匀速圆周运动，如图所示.若 ，则( )
√
[解析] 双星系统中两颗恒星间距不变，角速度
相等，B错误；双星靠相互间的万有引力提供向
心力，所以向心力大小相等，故，因为 ，所以
，即星的质量一定大于 星的质量，故A错误；根据牛顿第二定
律，有， ，其中，联
立解得 ，故双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动
周期越小；双星的质量一定时，双星之间的距离 越大，其转动周期越大，
故C错误，D正确.
5.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统
如图所示.三颗质量均为 的星体位于等边三角形的三个顶点上，三角形边
长为 .忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心
做匀速圆周运动，引力常量为 ，则( )
A.每颗星体做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星体做圆周运动的角速度为
C.每颗星体做圆周运动的周期为
D.每颗星体做圆周运动的加速度与三星体的质量无关
√
√
√
[解析] 每颗星体受到的合力为 ，轨道半径为 ，由向心力公式得 ，解得，，， ，
显然加速度与 有关，故A、B、C正确，D错误.
作业手册
1.天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完
成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国
航天交会对接技术取得了新突破.在交会对接的最后阶段，天舟五号与空
间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周.要使天舟五
号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确
的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 要想使天舟五号与空间站在同一轨道上对接，则需要使天舟五号
加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据 ，则必须要增加向心力，
即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地
心的分量，因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，故图A是正确的.
2.[2024·湖北武汉模拟] 如图所示，要使静止卫星进入预定轨道Ⅲ，需先
将卫星发射到近地轨道Ⅰ，卫星在轨道Ⅰ的 点变轨进入转移轨道Ⅱ，在轨道
Ⅱ的远地点 再次变轨进入轨道Ⅲ.下列说法正确的是( )
A.静止卫星可以静止在成都上空
B.卫星在轨道Ⅱ上经过 点时的速率最小
C.卫星在轨道Ⅱ上经过 点时的速率大于其在轨道
Ⅲ上经过 点时的速率
D.卫星在轨道Ⅱ上经过 点时的加速度大于其在轨
道Ⅰ上经过 点时的加速度
√
[解析] 静止卫星的轨道在赤道面上，所以不可以
静止在成都上空，故A错误；根据开普勒第二定
律可知卫星在轨道Ⅱ上经过 点时的速率最小，故
B正确；卫星在轨道Ⅱ上经过 点时点火加速做离
心运动可以变轨进入轨道Ⅲ，所以卫星在轨道Ⅱ上
经过点时的速率小于其在轨道Ⅲ上经过 点时的
速率，故C错误；根据，解得 ，
可知卫星在轨道Ⅱ上经过 点时的加速度等于其在
轨道Ⅰ上经过 点时的加速度，故D错误.
3.[2024·河南郑州一中模拟] 1970年成功
发射的“东方红一号”是我国第一颗人造
地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕
地球运动，如图所示，设卫星在近地点、
A.， B.，
C.， D.，
远地点的速度分别为、，近地点到地心的距离为，地球质量为 ，
引力常量为 ，则( )
√
[解析] 根据开普勒第二定律可知，从远
地点到近地点卫星做加速运动，而从近
地点到远地点，卫星做减速运动，所以
近地点的速度大于远地点，即，卫星绕地心做轨道半径为 的圆周
运动时，线速度大小为 ，将卫星从半径为 的圆轨道变轨到图示的椭
圆轨道，必须在近地点加速，所以有 ，故选B.
4.[2024·安徽卷] 2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功
发射升空.当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，
并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为 .后经
多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为 ，周期约
为 .则鹊桥二号在捕获轨道运行时( )
A.周期约为
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
√
[解析] 冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律
得，整理得 ，A错误；
根据开普勒第二定律得，鹊桥二号在捕获轨道运行时在近月点的速度大于在远月点的速度，B正确；
在近月点从捕获轨道到冻结轨道变轨时，鹊桥二号需要减速进行近月制动，
故鹊桥二号在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，
C错误；在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，
在捕获轨道运行时近月点的加速度大小等于在冻结轨道运行时近月点的加
速度，D错误.
5.(多选)[2024·福建厦门一中模拟] 厦门大学天文学系顾为民教授团队利
用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱,发现了一个处于宁静态的中子
星与红矮星组成的双星系统,质量比约为,同时绕它们连线上某点 做匀
速圆周运动,研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上.则此
中子星绕 点运动的( )
A.角速度大于红矮星的角速度 B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2倍 D.线速度小于红矮星的线速度
√
√
[解析] 双星系统中,由于两星在相同时间内转过的角度相等,则双星系统的
角速度相等,即中子星绕 点运动的角速度等于红矮星的角速度,A错误;根
据,,解得 ,即星体质量越大,轨道
半径越小,根据题意中子星质量大,可知中子星绕 点运动的轨道半径小于
红矮星的轨道半径,B正确;双星系统中,由星体之间的万有引力提供向心力,
可知中子星绕 点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小,C错误;根据
,双星系统角速度相等,中子星的轨道半径小一些,则中子星绕 点运
动的线速度小于红矮星的线速度,D正确.
6.(多选)[2024·辽宁大连模拟] 2024年3月20日，长征八号遥三运载火箭成功发射，
将鹊桥二号中继星直接送入预定地月转移轨道.如图所示，鹊桥二号进入近月点为
、远月点为 的月球捕获椭圆轨道后，开始绕月球飞行.经过多次轨道控制，鹊
桥二号最终进入近月点为、远月点为 、周期为24小时的环月椭圆轨道. 关于鹊
桥二号的说法正确的是( )
A.离开火箭时的速度大于地球的第一宇宙速度，小于第二
宇宙速度
B.在捕获轨道运行的周期大于24小时
C.在捕获轨道上经过 点时，需要点火加速，才可能进入
环月轨道
D.经过点的加速度比经过 点时大
√
√
[解析] 鹊桥二号离开火箭时速度要大于第一宇宙速度，
小于第二宇宙速度，才能进入环月轨道，A正确；由
开普勒第三定律 ，鹊桥二号在捕获轨道上运行
的周期大于在环月轨道上运行的周期，B正确；在
点要由捕获轨道变轨到环月轨道，做近心运动，必须降低速度，经过 点
时，需要点火减速，C错误；根据万有引力提供向心力知 ，
解得，则经过点的加速度比经过 点时小，D错误.
7.(多选)[2024·天津河东区模拟] 2023年10月26日17时46分，我国发射的
神舟十七号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交会对接，它
们在地球上空的运动轨迹如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.神舟十七号的发射速度应大于第一宇宙速度
B.神舟十七号从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长
C.“ 卫星”若要与空间站对接，可以在轨道Ⅲ上点火
加速追上空间站
D.神舟十七号在轨道Ⅲ上经过 点的加速度大于其在轨
道Ⅱ上经过 点的加速度
√
√
[解析] 第一宇宙速度是飞船的最小发射速度，小于第
一宇宙速度飞船将落回地面，所以神舟十七号的发射
速度应大于第一宇宙速度，A正确；根据开普勒第三
定律，半长轴越大，周期越大，所以神舟十七号从轨
道Ⅰ进入轨道Ⅱ后周期变长，B正确；“ 卫星”若要与空间站对接，可以在低
于轨道Ⅲ的轨道上点火加速做离心运动追上空间站，C错误；由万有引力
提供向心力有，解得 ，到地心的距离相同，神舟十七号
在轨道Ⅲ上经过 点的加速度等于其在轨道Ⅱ上经过 点的加速度，D错误.
8.(多选)[2024·河北卷] 2024年3月20日，“鹊桥二号”中继
星成功发射升空，为“嫦娥六号”在月球背面的探月任务提
供地月间中继通讯.“鹊桥二号”采用周期为 的环月椭圆
冻结轨道(如图所示)，近月点距月心约为2. ，
远月点距月心约为1.， 为椭圆轨道的短轴，
下列说法正确的是( )
A.“鹊桥二号”从经到的运动时间为
B.“鹊桥二号”在、两点的加速度大小之比约为
C.“鹊桥二号”在、 两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于7.且小于11.
√
√
[解析] “鹊桥二号”围绕月球沿椭圆轨道运动，根据开普勒
第二定律可知，在近地点处的速度最大，在远地点 处的
速度最小，则从的平均速率小于从
的平均速率，所以从 的运动时间大于半个周期，
即大于，A错误；在 点，根据牛顿第二定律有
，在 点，根据牛顿第二定律有 ，联立解得
“鹊桥二号”在、 两点的加速度大小之比约为 ,B正确；
物体做曲线运动时速度方向沿该点的切线方向，所以“鹊桥二号”在、 两
点的速度方向不垂直于其与月心的连线，C错误；“鹊桥二号”发射后围绕
月球沿椭圆轨道运动，并未脱离地球引力束缚，所以“鹊桥二号”在地球表
面附近的发射速度大于7.且小于11. ，D正确.
9.(多选)[2024·陕西西安一中模拟] 2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二
号中继星在我国文昌航天发射场发射升空，于4月2日进入周期为24小时环
月大椭圆“使命”轨道Ⅰ，为嫦娥六号在月球背面进行月球样品采集任务提
供通讯支持.如图所示，此次任务完成后，鹊桥二号择机在 点调整至12小
时环月椭圆轨道Ⅱ，为后续月球探测任务提供服务.已知月球自转轴经过其
表面的点，月球质量为地球质量的，地球同步卫星轨道
半径为 ，鹊桥二号24小时环月轨道半长轴为，12小时环
月轨道半长轴为 ，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.鹊桥二号由轨道Ⅰ调整到轨道Ⅱ，需在 点加速
D.探测器要与鹊桥二号保持较长时间不间断通讯，需着
陆在月球表面 点附近
√
√
[解析] 鹊桥二号24小时环月轨道上的周期等于半径为
的圆轨道绕月球的运行周期，则有 ，
地球同步卫星的周期为 ，可得，
又 ，联立可得 ，故A错误；
由开普勒第三定律，可得，解得 ，故B正确；
鹊桥二号由轨道Ⅰ调整到轨道Ⅱ，需在 点减速，做近心运动，故C错误；由图可知，探测器要与鹊桥二号保持较长时间不间断通讯，需着陆在月球表面点附近，因为在月球表面 点附近与鹊桥二号通讯不受到月球遮挡的时间更长，故D正确.
10.(多选)[2024·山东菏泽模拟] 农历二月二，由“角宿一”和“角宿二”组成的 “龙角星”
从东方地平线上缓缓升起，仿佛“龙抬头”一样，故此有“二月二、龙抬头” 的说法.实
际上，“角宿一”是由距离很近、互相围绕公转的“角宿一”和 “角宿一 ” 组成的双星
系统.系统内两颗恒星之间的距离为，“角宿一” 的质量为、 “角宿一 ” 的质量为
，且，引力常量为 .根据提供的信息，下列说法正确的是 ( )
A.“角宿一”的公转半径为
B.角宿一和角宿一的公转的角速度为
C.“角宿一”的公转线速度大小为
D.角宿一和角宿一的公转线速度大小之和为
√
√
[解析] 由双星间的万有引力提供向心力，双星的角速度相同，则有
，解得，又有 ，解得
、 ，A错误；
由万有引力提供向心力，可得，则有
、 ，解得，B正确；
由线速度与角速度的关系公式 可得，“角宿一”的公转线速度大小为 ，C错误；
同理可得，角宿一和角宿一 的公转线速度大小之和为 ，D正确.
11.(多选)[2023·福建卷] 人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行
在日地延长线上的拉格朗日点附近，点的位置如图所示.在 点的航
天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止.考虑
到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日
心和地心连线中的一点 (图中未标出)转动的双星系统.
A. B.
C. D.
√
√
若太阳和地球的质量分别为和 ，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为，引力常量为，点到地心的距离记为，在 点的航天器绕点转动的角速度大小记为 .下列关系式正确
的是 可能用到的近似： ( )
[解析] 太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中一点
(图中未标出)转动的双星系统，则有， ，
，联立解得，故A错误，B正确；
在 点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有，根据选项A、B分析可知 ，，，利用近似关系式 ，代入可得，解得 ，故C错误，D正确.
12.(多选)[2024·江西九江模拟] 如图所示，天文观测中观测到有质量相等
的四颗天体位于边长为的正方形四个顶点、、、 上，四颗天体均做
周期为的匀速圆周运动，已知引力常量为 ，不计其他天体对它们的影
响，关于这个四星系统，下列说法中正确的是( )
A.四颗天体线速度大小均为
B.四颗天体线速度大小均为
C.四颗天体的质量均为
D.四颗天体的质量均为
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√
[解析] 四颗天体均做周期为 的匀速圆周运动，其圆心在边长为 的正方形的几何中心，由几何关系可得轨道半径均为 ，由线速度与角速度关系公式 ，可得四颗天体线速度大小均为 ，A错误，B正确；
以其中一颗天体为研究对象，其所需向心力由其他三颗天体的万有引力的合力提供，则有 ，由牛顿第二定律可得
，解得四颗天体的质量均为 ，C错误，D正确.
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