2025年秋季高三十月月考模拟测试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合M={1，2，4}，N={2，7，9}，则M∩N=（ ）
A.{1，2，4，7，9} B.{2} C. D.{1，4，7，9}
2.已知函数 ( ) = 3 6（x≠0），则 f(x)>0的解集为（ ）
A.（ 3 2，0） B.（3 2，+∞）
C.（ ， ）∪（ ， +∞） D.（ 3 2，3 2）
3.若事件 A=ln（ 2 2 35），事件 B= 3 ( + 2) 2 + (2 35) + 35 > 0,则事件 A是事件 B
的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 a= 3，b = 3ln3，c=2 ，下列选项正确的是（ ）
A.a>c>b B.c>a>b
C,b>a>c D.a>b>c
5.下列有关 y = 的函数图像（部分函数图像），正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.2025年 9月，某高校为了新生能够合理地选择社团活动，特地开创一个名为“彩虹选科”的微信小
程序，并且在晚上 8点准时开放该小程序供所有人进行社团选择。已知该小程序选择机制为以寝室为
单位，寝室里有 n名同学，为每名同学提供 m种社团选择；若某寝室有 4名同学，并且该校为每名
同学提供 5种社团选择，试请问该寝室共能有（ ）选择方式。
A.1 B.45 C. D.20
7.已知 f(x)= 3 + 2 ( + ) + 6，f(x)的导函数在定义域上不单调，则 a的取值为（ ）
A.{1，2，3} B.{2，3} C.{2} D.R
8.如图，在六面体 PABCDE中，四边形 ABCD是正方形，平面 PAD //平面 BCE,CE ⊥平面 ABCD,CD = PD = 2CE，
则平面 和平面 夹角的正弦值为（ ）
A. 3 B. C.2 3 D. 2
3 3 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
+ 1, 为奇数
9. 已知 是数列 的前 n项和， 1 = 1， +1 = ，则（ ）．
+ 2, 为偶数
A． 是递增数列 B． =
C． 10 = 13 D． =
x210. y
2
2
已知双曲线 E : 2 1 a 0 的渐近线与圆 ：（ 2） +（y 1)2 = 1：相切，F1，F2为 E的左、右焦点，a 3
动点 P在 E的左支上，则（ ）
A． = B．△CF1F2为直角三角形
C． CF2P周长的最小值为 8 D． CP 的最小值为 2
11. A LP A = （ ）在概率学中，事件 的“指对概率”定义为 （ ） 2（ ），其中 P（A）是事件 A发生的概率，1 （ ）
且 0
A. LP(A)的值随 P(A)的增大而增大
B. 若 P(A)=0.5，则 LP(A)=0
C. 若事件 A和 B相互独立，则 LP(A∩B)=LP(A)+LP(B)
D. 若事件 A和 B互斥，则 LP(A∪B)=LP(A)+LP(B)
第二部分（非选择题 共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分，其中 14题第一空 2分，第二空 3分．
12.已知 , ∈ N+， > ， ∈ N，0 ≤ ≤ 1，则 C =_____ + 1 C +1 + C ______。
13.已知数列 , 1 = 16, = 4 +1 1 + 3 4 ， ≥ 2 ，则数列 的前 项和 =____ 4 _______。
2 2
14.已知椭圆 : 2 + 2 = 1 > > 0 过点 2, 2 ，短轴长为 4.椭圆 与 轴的交点为 、 （点 位于点 的上方），
直线 : = + 4 与椭圆 交于不同的两点 、 .设直线 与直线 相交于点 ，则 + 的最小值=__ 6___。
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知 , , 分别为△ 内角 , , 的对边.
（1）若△ 为锐角三角形，证明：不等式 sin > cos 恒成立.
（2）若∠ = 120°，∠ 的平分线交 于点 ， = 1，求 4 + 的最小值.
π π π
（1）证明：若△ 为锐角三角形，所以 + > ，所以 > > > 0，
2 2 2
由正弦函数 = sin 在 0, π π单调递增，则 sin > sin = cos .
2 2
（2）由题意知，∠ 的平分线交 于点 ， = 1，
由 △ = △ + △ ，由角平分线性质和三角形面积公式，
1
得 sin120 = 1 sin60 + 1 sin60 ，即 = + 1 1，得 + = 1，
2 2 2
4 + = (4 + )( 1 + 1 ) = + 4 得 + 5 ≥ 2 4 + 5 = 4 + 5 = 9，
= 4 当且仅当 ，即 = 2 = 3时，取等号.
16.（15分）
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，取 1的中点 ，连接 .
（1）证明：CH⊥平面 ABC1D1
（2）求二面角 1 的平面角的余弦值.
（1）因 1 1 1 1为正方体，则 ⊥ 1，
因 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，则 ⊥ ，
又 ∩ 1 = ， , 1 平面 1 1，则 ⊥平面 1 1.
（2）连接 ，因 = 1，点 为 1的中点，则 ⊥ 1，
又 ⊥ 1，所以∠ 为二面角 1 的平面角，
2 △ = 3 × 2 = 6在边长为 的等边三角形 1中， ，2 2
又 = 1 = 2， ，
2
2+ 2 2 3
在△ 中，由余弦定理，cos∠ = = ．
2 3
17.（15分）
为测试甲、乙两个 AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了 5道数学题让甲、乙同时进行解答，
1 2
每道题甲答对的概率均为 2 ，乙答对的概率均为 ，且每次解答是否正确相互独立.3
(1)若已知前两题中甲至少答对了 1题，求前两题甲都答对的概率；
(2)设甲、乙均答对的题数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.
【详解】（1）设事件“前两题中甲至少答对了 1题”为A，事件“前两题甲都答对”为 B，
依题意， P(A) 1 (1
1
)2 3 ， P(AB) P(B)
1 1 1
，
2 4 2 2 4
P(B A) P(AB) 1所以 P(A) 3 .
1
则在前两题中甲至少答对了 1题的条件下，前两题甲都答对的概率为 .
3
1 2 1
（2）依题意，每道题甲、乙均答对的概率为 ， X 的所有可能值为0,1,2,3,4,5，
2 3 3
X ~ B 5, 1 ，即 P(X k) C
k
5 (
1)k (2)5 k， k 0，1，2，3，4，5，
3 3 3
P(X 0) C0 (1)0 (2)5 32 P(X 1) C1 (1)1(2)4 80 5 ， ，3 3 243 5 3 3 243
P(X 2) C2 1 2 2 3 80 3 1 3 2 2 40 5 ( ) ( ) ， P(X 3) C ( ) ( ) ，3 3 243 5 3 3 243
P(X 4) C4 1 4 25 ( ) ( )
1 10 P(X 5) C5 (1)5 (2)0 1， 5 ，3 3 243 3 3 243
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
32 80 80 40 10
P
243 243 243 243 243
数学期望 E X 5 1 5 .
3 3
18.（17分）
设 为实数，已知 = 2 + 2．
(1)若关于 的不等式 2 + 2 < 4 的解集为 ∞, 1 ∪ 2, + ∞ ，求 ；
(2)若对任意 ∈ R, < 0 恒成立，求 的取值范围；
(3)若对任意 1 ∈ 1, 2 ，总存在 2 ∈ 1, 2 ，使得 21 + 1 2 < 3 2 + 2 成立，求 的取值范围．
【详解】（1）由 2 + 2 < 4 ，得 2 + + 4 2 < 0，
由题知 = 1 和 = 2 是方程 2 + + 4 2 = 0 的解，且 < 0，
2 + 2 = 0
所以 6 + 6 = 0，解得 = 1.
（2）当 = 0 时， = 2 < 0，成立，
当 ≠ 0 < 0时，有 Δ = 2 + 8 < 0，解得 8 < < 0.
故 的取值范围为 8,0 ．
（3）当 = 0 时，不等式为 2 < 0，成立；
当 ≠ 0时，函数 = 2 + 2的对称轴为 = 1，
2
当 > 0 时，函数 = 2 + 2在 1,2 上单调递增， = 3 + 2 在 1, 2 上单调递增，
由题有 6 2 < 8 ，解得 > 1，则 > 0；
当 < 0 时，函数 = 2 + 2在 1,2 上单调递减， = 3 + 2 在 1,2 上单调递减，
由题有 2 2 < 5 > 2，解得 ，则 2 < < 0；
3 3
2
综上所述，实数 的取值范围为 , + ∞ .
3
19.（17分）
已知定义在 R上的函数 的导函数为 ′ , 0 = 1, = ′ + 2 是偶函数， = ′ 3 2 1是奇函
数.
（1）证明： = + 2 + 1 是奇函数
（2）求 ′ 0 .
（3）求不等式 ≥ 0的解集.
【详解】
（1）令 = + 2 + 1，可得 ′ = ′ + 2 ，
因为 = ′ + 2 是偶函数，所以 ′ 为偶函数，即 ′ = ′ ，
则 = + ，而 0 = 0 + 1 = 0，故 0 = 0 + 即 = 0,
故 = 即 为奇函数；
（2）由 = ′ 3 2 1为奇函数，
可得 ′ 3( )2 1 = ′ + 3 2 + 1，即 ′ + ′ = 6 2 + 2，
令 = 0，可得 ′ 0 + ′ 0 = 2，所以 ′ 0 = 1；
（3）因为 ′ = ′ + 2 是偶函数，可得 ′ 2 = ′ + 2 ，
′ ′
′ ′ = 4
即 = 4 ，联立方程组 ，可得 ′ = 3 2 2 + 1，
′ + ′ = 6 2 + 2
又因为 0 = 1，可得 = 3 2 + 1 = ( 2 + 1)( 1)，
令 ≥ 0，即( 2 + 1)( 1) ≥ 0，解得 ≥ 1，即不等式 ≥ 0的解集为[1, + ∞).2025年秋季高三十月月考模拟测试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合M={1，2，4}，N={2，7，9}，则M∩N=（ ）
A.{1，2，4，7，9} B.{2} C. D.{1，4，7，9}
2.已知函数 ( ) = 3 6（x≠0），则 f(x)>0的解集为（ ）
A.（ 3 2，0） B.（3 2，+∞）
C.（ 3 2，0）∪（3 2， +∞） D.（ 3 2，3 2）
3.若事件 A=ln（ 2 2 35），事件 B= 3 ( + 2) 2 + (2 35) + 35 > 0,则事件 A是事件 B
的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 a= 3，b = 3ln3，c=2 ，下列选项正确的是（ ）
A.a>c>b B.c>a>b
C,b>a>c D.a>b>c
5.下列有关 y = 的函数图像（部分函数图像），正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.2025年 9月，某高校为了新生能够合理地选择社团活动，特地开创一个名为“彩虹选科”的微信小
程序，并且在晚上 8点准时开放该小程序供所有人进行社团选择。已知该小程序选择机制为以寝室为
单位，寝室里有 n名同学，为每名同学提供 m种社团选择；若某寝室有 4名同学，并且该校为每名
同学提供 5种社团选择，试请问该寝室共能有（ ）选择方式。
A.1 B.45 C.54 D.20
7.已知 f(x)= 3 + 2 ( + ) + 6，f(x)的导函数在定义域上不单调，则 a的取值为（ ）
A.{1，2，3} B.{2，3} C.{2} D.R
8.如图，在六面体 PABCDE中，四边形 ABCD是正方形，平面 PAD //平面 BCE,CE ⊥平面 ABCD,CD = PD = 2CE，
则平面 和平面 夹角的正弦值为（ ）
A. 3 B. 3 C.2 3 D. 2
3 2 3 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
+ 1, 为奇数
9. 已知 是数列 的前 n项和， 1 = 1， +1 = ，则（ ）．
+ 2, 为偶数
A． 是递增数列 B． 5 = 7
C． 10 = 13 D． 20 = 300
x210. y
2
2
已知双曲线 E : 2 1 a 0 的渐近线与圆 ：（ 2） +（y 1)2 = 1：相切，F1，F2为 E的左、右焦点，a 3
动点 P在 E的左支上，则（ ）
A．a = 3 3 B．△CF1F2为直角三角形4
C． CF2P周长的最小值为 8 D． CP 的最小值为 2
11. A LP A = （ ）在概率学中，事件 的“指对概率”定义为 （ ） 2（ ），其中 P（A）是事件 A发生的概率，1 （ ）
且 0A. LP(A)的值随 P(A)的增大而增大
B. 若 P(A)=0.5，则 LP(A)=0
C. 若事件 A和 B相互独立，则 LP(A∩B)=LP(A)+LP(B)
D. 若事件 A和 B互斥，则 LP(A∪B)=LP(A)+LP(B)
第二部分（非选择题 共 92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分，其中 14题第一空 2分，第二空 3分．
12.已知 , ∈ N+， > ， ∈ N，0 ≤ ≤ 1，则 C =__________。
13.已知数列 , 1 = 16, = 4 1 + 3 4 ， ≥ 2 ，则数列 的前 项和 =________。
2 2
14. 已知椭圆 : 2 + 2 = 1 > > 0 过点 2, 2 ，短轴长为 4.椭圆 与 轴的交点为 、 （点 位于点 的上方），
直线 : = + 4 与椭圆 交于不同的两点 、 .设直线 与直线 相交于点 ，则 + 的最小值=_____。
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知 , , 分别为△ 内角 , , 的对边.
（1）若△ 为锐角三角形，证明：不等式 sin > cos 恒成立.
（2）若∠ = 120°，∠ 的平分线交 于点 ， = 1，求 4 + 的最小值.
16.（15分）
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，取 1的中点 ，连接 .
（1）证明：CH⊥平面 ABC1D1
（2）求二面角 1 的平面角的余弦值.
17.（15分）
为测试甲、乙两个 AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了 5道数学题让甲、乙同时进行解答，
1 2
每道题甲答对的概率均为 2 ，乙答对的概率均为 ，且每次解答是否正确相互独立.3
(1)若已知前两题中甲至少答对了 1题，求前两题甲都答对的概率；
(2)设甲、乙均答对的题数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.
18.（17分）
设 为实数，已知 = 2 + 2．
(1)若关于 的不等式 2 + 2 < 4 的解集为 ∞, 1 ∪ 2, + ∞ ，求 ；
(2)若对任意 ∈ R, < 0 恒成立，求 的取值范围；
(3)若对任意 1 ∈ 1, 2 ，总存在 22 ∈ 1, 2 ，使得 1 + 1 2 < 3 2 + 2 成立，求 的取值范围．
19.（17分）
已知定义在 R上的函数 的导函数为 ′ , 0 = 1, = ′ + 2 是偶函数， = ′ 3 2 1是奇函
数.
（1）证明： = + 2 + 1 是奇函数
（2）求 ′ 0 .
（3）求不等式 ≥ 0的解集.