高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第三章 圆锥曲线的方程检测试卷
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一项符合题目要求)
1.(2024新课标I卷·5)已知曲线,从上任意一点向轴作垂线段,为垂足,则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
2.(2023全国甲理·12)设为坐标原点,为椭圆的两个焦点,点在上,,则( )
A. B. C. D.
3.(2024全国甲卷理·5)已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4 B.3 C.2 D.
4.(2022全国乙卷理·5)设为抛物线的焦点,点在上,点,若,则( )
A.2 B. C.3 D.
5.(2023全国甲理·8)已知双曲线的离心率为,的一条渐近线与圆交于两点,则( )
A. B. C. D.
6.(2025湖北孝感期中)若用平面截圆柱得到一个离心率为的椭圆,则平面与该圆柱底面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.(2025江西南昌三中期中)以抛物线的焦点为端点的射线与抛物线交于点,与准线交于点,若,,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2025浙江宁波段考)已知双曲线的左、右焦点分别为,具有公共焦点的椭圆与其在第一象限内的交点为,双曲线和椭圆的离心率分别为,的内切圆的圆心为,过作直线的垂线,垂足为,则( )
A.到轴的距离为
B.点的轨迹是双曲线
C.若,则
D.若,则
(出自文档1(3.综1.pdf)题4)
二、多选题(大题共3小题,每小题6分,共18分,每小题有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分)
9.(2023新课标I,10)设为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与交于两点,为的准线,则( )
A.
B.
C.以为直径的圆与相切
D.为等腰三角形
10.(2025山西太原五中月考)已知分别是等轴双曲线的左、右焦点,以坐标原点为圆心,的焦距为直径的圆与交于四点,则( )
A.的渐近线方程为
B.
C.
D.四边形的面积为
11.(2024新课标II,10)抛物线的准线为,为上动点。过作的一条切线,为切点;过作的垂线,垂足为。则( )
A.与相切
B.当三点共线时,
C.当时,
D.满足的点有且仅有2个
三、填空题(共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025安徽黄山期中)若曲线,且点分别在曲线和圆上,则两点间的最大距离为______。
13.(2025福建泉州模拟)已知圆的圆心与抛物线的焦点重合,两曲线在第一象限内的交点为,则原点到直线的距离为______。
14.(2025上海高桥中学期中)曲线与曲线恰有两个不同交点,则实数的取值范围为______。
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2024新课标I卷·16)已知和为椭圆上两点。
(1)求的离心率;
(2)若过的直线交于另一点,且的面积为9,求的方程。
16.(15分)(2025河南南阳一中月考)已知两个定点,,动点满足直线和直线的斜率之积是。
(1)求动点的轨迹方程,并说明该轨迹是什么曲线;
(2)记(1)中点的轨迹为曲线,若不经过点的直线与曲线相交于两点,且直线与直线的斜率之积是,求证:直线恒过定点。
17.(15分)(2023全国甲卷理·20)已知直线与抛物线交于两点,。
(1)求;
(2)设为的焦点,为上两点,且,求面积的最小值。
18.(17分)(2025广东广州模拟)已知抛物线,圆,圆上的点到抛物线上的点的距离的最小值为。
(1)求圆的方程;
(2)设为上一点,的纵坐标不等于,过点作圆的两条切线,分别交抛物线于两个不同的点和点,求证:为定值。
19.(17分)(2025湖北武汉外国语学校期末)已知点在抛物线的准线上,过点作直线与抛物线交于两点,斜率为2的直线与抛物线交于两点。
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求证:直线过定点;
(3)若的面积为,且满足,求直线斜率的取值范围。
一、单选题
1.答案:A
解析:用代入法求轨迹。设中点,因轴且是中点,故(坐标为)。
又在曲线上,代入得,化简为,符合选项A。
2.答案:B
解析:利用椭圆焦点三角形性质与中线公式。
椭圆中,,,由椭圆定义得;
对用余弦定理:,代入、,得;
联立(平方得),解得,;
由中线公式(椭圆焦点三角形中,为中线):,代入得,故。
3.答案:C
解析:先确定双曲线类型,再算离心率。
双曲线焦点为,故焦点在轴,标准方程为,;
点在双曲线上,代入得,即;
结合(),解得();
离心率。
4.答案:B
解析:利用抛物线定义与两点间距离公式。
抛物线的焦点,准线;
计算,由,结合抛物线定义(),得,故;
计算(或)。
5.答案:D
解析:结合双曲线离心率与弦长公式。
双曲线离心率,故,由得,渐近线方程为(取);
圆的圆心,半径,圆心到渐近线的距离;
弦长。
6.答案:B
解析:利用圆柱截椭圆的离心率公式。
圆柱底面半径为,平面与底面夹角为,则椭圆的:
长半轴,短半轴,焦距;
离心率(推导:)。
已知,故。
7.答案:C
解析:用抛物线定义与相似/坐标法。
抛物线的焦点,准线,由定义得();
设射线交准线于,因在上,故与共线。,,,由比例关系(横坐标差之比);
代入、,得,解得。
8.答案:D
解析:利用共焦点曲线性质与等式推导。
双曲线与椭圆共焦点,故相同,设,,由定义得:(双曲线),(椭圆),解得,;
由,对用两点间距离:;
又在双曲线上:(),在椭圆上:();
联立化简得,即(,)。
二、多选题
9.答案:AC
解析:逐一分析选项:
A选项:抛物线焦点在直线上,代入得,故,正确;
B选项:联立与,得,韦达定理,弦长,错误;
C选项:抛物线焦点弦性质:以焦点弦为直径的圆与准线相切(中点到准线距离,等于),正确;
D选项:计算,,,无等腰关系,错误。
10.答案:AB
解析:等轴双曲线()性质分析:
A选项:等轴双曲线渐近线方程为,正确;
B选项:焦距,圆方程,联立双曲线,得,。由双曲线定义,平方得;又,解得,正确;
C选项:,错误;
D选项:四边形面积(非定值),错误。
11.答案:ABD
解析:抛物线与圆的位置关系分析:
A选项:准线到圆的距离(等于半径),故相切,正确;
B选项:(到的垂足),共线则斜率相等:,得()或()。当时,,正确;
C选项:则(定义),,。,,点积(不垂直),错误;
D选项:即,联立,得(判别式),有2个解,正确。
三、填空题
12.答案:
解析:先确定曲线为椭圆,再求最大距离。
曲线(修正输入),是椭圆:(),,,方程;
圆,半径;
椭圆上点到的最大距离:设,(),当时,;
故(椭圆上点到的最大距离 + 圆半径)。
13.答案:
解析:先求抛物线参数,再算直线距离。
圆的圆心,即抛物线焦点,故(),抛物线;
联立圆与抛物线:,解得(第一象限),;
直线:过与,方程,原点到直线的距离。
14.答案:
解析:曲线()与曲线(椭圆/双曲线)交点分析:
当时:为双曲线,联立,得或(需),故;
当时:为椭圆,时(焦点在轴),联立得仅()两个交点;时(焦点在轴),得4个交点,故;
综上,。
四、解答题
15.解:
(1) 椭圆过与:
代入得,故;
代入得,化简,解得;
离心率,,故。
(2) 设直线,联立椭圆,消得:
由韦达定理,,已知,得。
的面积(),代入,化简得,解得或。
故直线的方程为或。
16.解:
(1) 设,由:
轨迹为椭圆(除去两点)。
(2) 证明:设直线,联立椭圆,得。
设、,韦达定理:,。
由,代入、,化简得,解得或。
当时,(过,舍去);
当时,,恒过定点。
17.解:
(1) 联立与,得。
韦达定理:,,弦长。
代入,得,解得(舍去)。
(2) 焦点,设、,由,得:
面积。
当时,。
18.解:
(1) 抛物线上点到的距离(),故。
圆上点到抛物线的最小距离,解得,圆方程为。
(2) 设,切线方程,由圆心到切线距离,得,韦达定理。
联立切线与抛物线,得,故。
计算,代入、,化简得定值。
19.解:
(1) 准线,在准线上,故(),抛物线方程为。
(2) 证明:
设,联立抛物线得,韦达定理,。
直线,联立抛物线得,解得()。
直线的方程化简得,恒过定点。
(3) 面积,,,化简。
由,解得。