22章《二次函数》单元测试（含解析）九年级数学上册人教版

22章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
3．若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（　　）
A．1 B．1 C． D．4
6．函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（　　）
A． B．
C． D．
7．二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的直立的雷达，它的横剖面如图2所示，，，雷达的反射面和抛物线类似，在不考虑厚度的情况下，反射面口径m，最大深度m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当时，且，此时水平面宽度为（ ）
A． B． C．9 D．10
9．如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④．其中，正确结论的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．或
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为 ．
12．将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ．
13．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ．
14．如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ．
15．已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ．
16．将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ．
17．在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最小值等于 ．
18．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设，对应的点F有且只有两个，则m的取值范围是 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．已知二次函数．
(1)当时，求函数的值；
(2)当函数值为2时，求自变量x的值．
20．已知二次函数．
(1)直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向；
(2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象．
21．如图， 抛物线与x轴负半轴交于点B，正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点C，求 ABC的面积．
22．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价为每件x元，每星期的售出数量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？
23．已知抛物线（a，b为常数，且）．
(1)当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______．
(2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时：
①求a与b满足的关系式；
②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围．
24．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．
(1)求点的坐标．
(2)已知，为抛物线与轴的交点．
①若点在抛物线上，且，求点的坐标．
②设点是线段上的一动点，作轴交抛物线于点，试问是否存在最大值，若不存在，说明理由；若存在，求出此时点的坐标和面积的最大值．
25．已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得的周长最小，如果存在，求出点E；
(3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
26．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点．
(1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意；
B．当时，不是二次函数，不符合题意；
C．不是整式，不符合题意；
D．满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：A．∵抛物线的二次项系数，
∴该抛物线的图象开口向下，故此选项不符合题意；
B．该抛物线图象的对称轴是直线，故此选项不符合题意；
C．该抛物线图象的顶点坐标为，故此选项符合题意；
D．∵该抛物线图象的对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可．
【详解】解：∵点 ，，在抛物线上，
∴
∴
故选C
4．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点A到x轴的距离是，
∴令，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴点到轴的距离为，
∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴将抛物线向下平移4个单位长度，或者向左平移个单位长度，或者向右平移个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点，
∴的最小值为，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键．
【详解】解：，
当时，，
∴与y轴的交点在y轴负半轴，
当时，，
令，则，
解得：或，
∴当时，与x轴正半轴有两个交点，
只有选项D符合题意，
故选：D
7．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由对称轴可得，得到二次函数，顶点坐标为，可得当时，；当时，，进而由方程（为实数）在的范围内有实数解，可得的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即可求解，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴二次函数，顶点坐标为，
当时，；当时，，
∵关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，
∴的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即，
故选：．
8．A
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，
则点的坐标为，则抛物线的表达式为，
∵，，
∴，
将代入抛物线解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵雷达的底座绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当时，
∴旋转前与水平方向夹角为，
设直线的解析式为，
将代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∴，
故答案为：A．
9．C
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数图像与系数的关系以及二次函数与方程的关系，
熟练掌握二次函数的图像与性质并灵活运用是解题的关键；
根据抛物线的对称轴是直线可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；
根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与轴的交点及当时的函数值可判断结论④．
【详解】二次函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，
，，
，
，故结论①正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在2，3之间，
该抛物线与轴的另一个交点在，0之间，故结论②错误；
根据函数图像可得，二次函数的最大值一定大于2，
抛物线与直线一定有两个交点，
方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
抛物线与轴的另一个交点在，0之间，
当时，，
，
．故结论④正确．
正确的有①③④，共3个．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查二次函数的性质，涉及用参数表示函数表达式、根据函数与线段的位置关系列不等式求解参数范围．解题关键在于根据抛物线开口方向分情况讨论，通过将线段端点横坐标代入抛物线表达式，结合函数与线段有交点的条件列出不等式求解．本题可先根据已知条件，用表示出和，从而得到抛物线的表达式．然后将线段两端点的横坐标代入抛物线表达式，结合抛物线与线段有交点这一条件，分和两种情况讨论，列出不等式求解的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为，
当时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴
当时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得，
∴，
∴，即，
∴ 把代入得，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
综上，的取值范围是或
故选：D
二、填空题
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数各系数的意义，熟练掌握二次函数各项系数的意义是解题的关键，根据题意抛物线经过原点，可得中，从而得到答案．
【详解】解：∵抛物线经过原点，
∴中，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
水管的高度为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，
∴由图象可得：关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意得，二次函数的对称轴是直线，根据对称性可得，再结合求出的值即可．
【详解】解：已知二次函数的顶点坐标，
∴对称轴是直线，
由题意得，点与点关于直线对称，
∴，即，
解得．
故答案为：．
16．或
【分析】根据抛物线的顶点的 坐标，画出函数图象，并将轴上方的部分进行翻折，得到图象，结合图象即可得出的取值范围．
【详解】解：把二次函数整理成顶点坐标式，
可得：，
抛物线的顶点坐标是，
翻折后可得图象，如下图所示，
由图象可知，当时，图象与有两个交点，
当时，图象与有两个交点．
综上所述，的取值范围为 或．
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
首先确定二次函数可能经过、、或者、、或者、、，画出图象后，只有经过、、三点的二次函数，当时，的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当时的函数值即可．
【详解】解：、、的纵坐标相同，
二次函数不会同时经过、、三点，
分三种情况讨论：经过、、；经过、、；经过、、；
经过、、三点的二次函数，当时，的值最小，
把代入，得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
当时，，
故的最小值等于，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对的位置进行分类讨论，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键．
【详解】解：由知点，点，
将，代入，
可得，
解得，
，
由题意得，当点在直线的下方的抛物线上时，一定有两个对应的点满足，所以当点在直线的上方的抛物线上时，此时无点满足才符合题意，故只需讨论当点在直线的上方的情况，
如图，过点作轴的垂线交于点，如图所示，
设点，
则点，
当时，的最大值为，
当取大于时，在上方无法找到点，
综上所述：当时，对应的点有且只有两个．
故答案为：
三、解答题
19．（1）解：当时，，
∴当时，函数的值为2；
（2）解：当时，即，
解得，或，
∴当函数值为2时，自变量x的值为或．
20．（1）解：，
顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上；
（2）解：列表如下：
0 2 4 6
0 0
图象如下：
21．解：∵，
∴，，
∵抛物线与x轴负半轴交于点B，正半轴交于点A，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴点C的坐标为，
∵，，，
∴，，
∴．
22．（1），
即；
（2）设利润为元，
则，
对于二次函数，其中，
对称轴为，
将代入，
得．
∴每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元．
23．（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为．
（2）①，顶点纵坐标为，
若，则，
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
，，
a与b满足的关系式为；
②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下：
由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于．
当时，必有．
24．（1）解：∵对称轴为直线的抛物线与轴相交于A、两点，
、两点关于直线对称.
点A的坐标为，
点的坐标为；
（2）解：时，抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
将代入 ，
得，
解得：，
则二次函数的解析式为 ，
抛物线与轴的交点的坐标为，
，
设点坐标为 .
∵，
，
，
．
当时，；
当时，，
点的坐标为或；
设直线的解析式为，
将，代入解析式，
得 ,
解得：，
即直线的解析式为．
设点坐标为，则点坐标为，
，
当时，有最大值，
当时，三角形的面积有最大值，此时点的坐标为；
，
点的坐标 ；的面积的最大值是 ．
25．（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴C点的坐标为．
将点B、C的坐标分别代入，得
，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点E，此时的周长最小．

∵，点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
∵的对称轴是直线，
∴当时，，
∴点E的坐标是；
（3）解：∵点D在抛物线上，其横坐标为m，则纵坐标为．
∵，，
∴，
即．m的取值范围是．
将化成顶点式为．
∴当时，S有最大值，．
26．（1）解：将点，点，分别代入，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
当时，，
解得或，
∴，
∴，
当为斜边时，，
此时t无解；
当为斜边时，，
解得，
∴；
当为斜边时，，
解得，
∴；
综上所述：Q点坐标为或；
（3）解：设与y轴的交点为G，
∵，
∴点D是的中点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
则，
解得，
则
∴，
∴，
∴，
解得（舍）或，
∴P点横坐标为；
当点D在点P的右侧时，
设与y轴的交点为G，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
则，
解得，
则
∴，
∴，
∴，
解得（舍）或，
∴P点横坐标为；
综上所述，点P的横坐标为或．