第二章 对称图形—圆 章节检测卷（含解析）苏科版九年级数学上册

第二章《对称图形—圆 》章节检测卷
一、选择题（8小题，每小题3分，共30分）
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长；
C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
2．若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．不能确定
3．如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， ABC是等边三角形，为 ABC的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
9．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ．
10．如图， ABC内接于，若，，则的半径是 ．
11．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ．
12．如图， ABC内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是
13．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是
14．已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ．
15．在中直径，，点D是弦上动点，连接，则最小值 ．
16．如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是 ．
三、解答题（11小题，共82分）
17．如图， ABC中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线．
18．如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数．
19．如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、．
(1) ABC的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______；
(2) ABC的外接圆的半径______， ABC的内切圆的半径______．
20．如图，已知 ABC．
(1)利用直尺和圆规作出 ABC的内切圆；
(2)若 ABC的周长为，面积为，求它的内切圆的半径．
21．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
22．如图，是的直径，C为上一点（C不与点A，B重合）连接，，过点C作，垂足为点．将沿翻折，点D落在点E处得，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分面积．
23．如图，点是 ABC的内心，点是 ABC的外心．
(1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得．
(2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）
24．数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想；
(2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
(3)如图3，四边形是的内接四边形，∠B=90°，，，，求的长度．
25．【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度；
【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】如图3，是 ABC的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ．
26．材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气 液界线的切线与固 液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与 ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
27．我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
（1）如图，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则_________，________．
（2）如图，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，求弦所对的圆周角的度数________．（用含的代数式表示）
【操作实践】
（3）如图，在四边形中，若点是边上任意一点，且满足．
用直尺和圆规在边上作出满足条件的所有点，保留作图痕迹，不写作法；
若，，且，，求的长度．
【灵活应用】
（4）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且，连接，则的最小值为_______．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误．
B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中；
D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．
先求出的半径，再根据点与圆的位置关系求解即可．
【详解】解：的直径为，
的半径为，
点到圆心的距离为，
点在上．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查的是圆周角定理，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解题的关键．连接，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
，
，，
，
，即原图中的度数是．
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
由圆周角定理得出、，再根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵
∴，
∴．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式．
【详解】解：根据题意可得：
∵，，，
∴，，
∴，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论．
【详解】解：连接，如下图，
∵+=，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键．
如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可．
【详解】解：如图：连接，
∵在中，，
∴，
如图：过Q作，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴当最大时，取最大值；
如图：设与的两边都相切于G、H，连接，
∵与的两边都相切且半径为1，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的最大值为．
∴取最大值为．
故选D．
8．B
【分析】根据 ABC是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答；
【详解】∵ ABC是等边三角形，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴，
，
过点作，
则，
，
，
连接，过点作，
则，
，
，
解得：．
故选：B．
二、填空题
9．相交
【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案．
【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B，
∵点，
∴，，
∵的半径为4，
∴与y轴相交，
故答案为：相交．
10．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解： 过点作，连接
∵，，
∴所在的直线是的垂直平分线，
∴三点共线，
∴，
在中，，
设的半径是，
则，
在中，，
∴，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得．
【详解】解：如图，连接，
∵过点的切线交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．或
【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．
【详解】解：作于，如图所示：
∵，，
∴，
∵ ABC的面积，
∴，
即圆心到的距离，
∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；
∵，
∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或．
故答案为：或．
14．或
【分析】本题考查垂径定理的推论，三角形形的外角，等边三角形的判定和性质，分为弧是劣弧或弧是优弧，作射线交于点F，即可得到，进而求出的度数，利用三角形的外角解答即可．
【详解】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F，
∵弧弧，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点，
∵∵弧弧，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：或．
15．3
【分析】作，于点M，于点N，连接，则，，由垂线段最短知，，求出的长度即可．
【详解】解：如图，作，于点M，于点N，连接，
，，
，
又，
，
，
由垂线段最短知，，
，
直径，
．
，
，
，
又，
，
，
，
最小值为3，
故答案为：3．
16．（
【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设与两边的切点分别为、，连接、，延长交于点，
由切线的性质可得，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，，
如图，延长交于点，
同理可得，是等腰直角三角形，
，
，
，
当与相切时，有最值，连接，
、都是切点，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
的最大值为；
如图，
同理可证，，四边形是正方形，
的最值为；
综上，的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题
17．证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线．
18．解：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：画出 ABC的外接圆，如图所示：
ABC的外接圆圆心点的坐标为；点与的位置关系是点在上；
故答案为：，在圆上；
（2）解：如图所示：
；
ABC的外接圆的半径为，
设 ABC的内切圆的半径为，圆心为，
则根据内切圆定义，由等面积法可得，
，
解得；
故答案为：，．
20．（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
（2）解：设 ABC的内切圆分别与，相切于点，，连接，，，
的周长为，
．
的面积为，，
，
，
它的内切圆的半径为．
21．（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
22．（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，过点O作于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
23．（1）解：如图所示，点D为所求：
∵点是 ABC的外心，
∴是 ABC的外接圆，
∵点是 ABC的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点是图中的外心，理由如下：
如图，连接，
由（1）知，
∴，即，
∴，
∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心．
24．（1）解：连接，
∵四边形为圆O的内接四边形，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：（1）的结论不成立，，理由：
延长交圆O于点E，连接，
则，
在中，，
∴，
即；
（3）解：延长交于E，
∵，
∴，
∵∠B=90°，
∴，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴．
25．解：初步感知：∵，
∴，
故答案为：45；
深入探究：证明：如图，延长至点E，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
启发应用：如图，延长至点G，使，连接．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接；
②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心；
③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求；
（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；
故答案为：变强；
（3），理由如下：
连接，则：，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
27．解：（）如图，，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）如图，
由圆周角定理可得：，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角的度数或，
故答案为：或；
（）如图，
∴点和即为所求；
如图，连接并延长交于点，
∵三点都在以点为圆心，为半径的圆上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵点在以点为圆心，为半径作圆上，连接，
∴，
在中，，，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴当点在点左侧时，，当点在点右侧时，；
（）如图，由，则作使，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，
过作于点，延长交于点，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
如图，当三点共线时，有最小值，为．
．