第二十二章 二次函数 单元测试卷 （含解析）人教版九年级数学上册

二十二章 《二次函数》单元测试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：
判断方程的一个解的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
7．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
8．已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ）
A． B． C．2 D．5
9．已知关于x的方程有两个实数根、，且，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．已知是二次函数，则实数 ．
12．若点是二次函数 图象上的两点，那么与的大小关系是 ．(填、或)
13．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 米．
14．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
15．函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ．
16．直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为，，二次函数（a，b是常数）的图像的顶点在线段上，则的最小值为 ．
18．在“探索二次函数的系数与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最小值等于 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式．
20．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个图象的顶点坐标和对称轴．
21．A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润．
22．春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）．
(1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式．
(2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离．
23．请仔细阅读并完成相应的任务.
用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x…0123…y…___3____30…
步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）. 步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或
任务：
(1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______；
(2)将材料中的表格补充完整，并画出图像；
(3)请直接写出一元二次不等式的解集是______．
(4)参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟．
24．如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
25．已知二次函数经过点（m是常数，且）．
(1)用m的代数式表示字母b，则______；
(2)当m=3时，求函数的顶点坐标；
(3)当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围；
(4)如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______．
26．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．据此对各选项的函数化简后进行判断即可．
【详解】解：A、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数；
B、函数化简为，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数；
C、函数化简为，是二次函数；
D、函数不符合二次函数的形式，故不是二次函数．
故选：C
2．A
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据，其对称轴为解题即可．
【详解】解：
那么其对称轴为，
故选：A．
3．B
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，利用左加右减，上加下减的口诀即可解答，解决本题的关键是熟知抛物线平移的口诀．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系．
仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解．
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，
即这个数是的一个根，
的一个解的取值范围为．
故选：．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得．
【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为，
将代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
将代入得：，即，
则，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图象即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴直线与抛物线交于点，两点，
图象如图所示，
当时，，
∴的解集是，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3，
∴抛物线对称轴为：，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴，
∴，故①错误；
由图可知，当时，，
∴，故③正确；
∵，且，这两个点都在对称轴左侧，
∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确．
所以②③④都正确．
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，此时对称轴为直线，由对称性可知此时点D的坐标为，当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，所以点D也向右平移3个单位长度，即可求出点D的横坐标最大值．
【详解】解：如图，
当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，
此时对称轴为直线，
由对称性可知此时点D的坐标为，
当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，
所以点D也向右平移3个单位长度，
此时点D坐标为，横坐标最大，
故选：D.
9．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点坐标，设，根据二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，，分两种情况：当，即时，当，即时，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】解：设，
∴抛物线的对称轴为：，
由题意得，二次函数的图像与x轴的交点分别在直线的两侧时，关于x的方程有两个实数根、，且，，
当时，则，
当，即时，二次函数的图像，如图所示：
∴，
解得：，
∴当时，关于x的方程有两个实数根、，且，；
当，即时，二次函数的图像，如图所示：
∴，
解得：，
∴此时没有符合题意的m值存在；
综上分析可知：当时，关于x的方程有两个实数根、，且，．
故选：C．
10．C
【分析】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可．
【详解】解：①根据题意得，，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
根据题意得，抛物线经过点
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为
∴函数与x轴的另一个交点为，
∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确；
根据题意得，抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，
∴由图象可得，与直线有三个交点，
∴关于x的方程有三个实数根，
∴关于x的方程有三个实数根，故④正确．
综上所述，其中正确结论的个数为3．
故选：C．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．
【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义可得且，即可求解．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将图象上的点的坐标代入函数关系计算是解决本题的关键．
分别将、代入计算即可判断大小关系．
【详解】解：将代入，得：
，
将代入，得：
，
∵，
∴，
故答案为：．
13．9
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：当时，
，
∴，（不合题意，舍去），
∴小明将铅球推出的距离为9米．
故答案为：9．
14．2或6
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．
根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解．
【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6.
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值．
【详解】解：∵二次函数，且，
∴该函数的对称轴是直线，
该函数图象大致如下：
∴该二次函数在时，y随x的增大而减小，
又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，
∴可知当时，函数值的最大值为，
∴，解得，
则的值为．
故答案为： ．
16．或
【分析】主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组得到，看成是两个函数联立而成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．
【详解】联立，
得：，
即，，
可以看成是两个函数联立而成的，
，
当时，此函数必过定点，
即过，的直线与过，的直线间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，
将代入得，
解得，，
将代入得，，
解得，，
当时，直线与抛物线在内有两个交点，
，
，
当时，直线为，抛物线为，此时，在范围内有唯一公共点，
故答案为：或．
17．
【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，
∴，
即，
∴当时，b取最小值．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
首先确定二次函数可能经过、、或者、、或者、、，画出图象后，只有经过、、三点的二次函数，当时，的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当时的函数值即可．
【详解】解：、、的纵坐标相同，
二次函数不会同时经过、、三点，
分三种情况讨论：经过、、；经过、、；经过、、；
经过、、三点的二次函数，当时，的值最小，
把代入，得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
当时，，
故的最小值等于，
故答案为：．
三、解答题
19．解：∵抛物线过点，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线与直线的交点的纵坐标为5，
∴，
解得，
∴抛物线与直线的交点坐标为，
将代入抛物线解析式可得，
∴，
∴抛物线的解析式为，即．
20．（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
21．（1）解：设与的函数表达式为，将点和代入得：
，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）由题意得：，
，
当时，周销售利润最大，最大利润为元．
22．（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米，
∴，
设此时抛物线的表达式为，
将代入得，解得：，
∴此时抛物线的表达式为．
（2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），
∴，
设此时抛物线的表达式为，
将代入得，解得：，
∴此时抛物线的表达式为．
令，则，
∴O与C的距离是．
23．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：对于，
当时，；
当时，；
∴表格补全为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
图象如下：
；
（3）解：，
则函数图像取在x轴上方的部分，对应x的范围是，
故答案为：；
（4）解：可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）．
24．（1）解：，桥拱顶点B到水面的距离是，
顶点B的坐标为，
设，
将代入，得：，
解得，
，
桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下：
打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间，
工人距O点的距离为：，
将代入，得：，
，
工人的头顶不会触碰到桥拱．
25．（1）解：将点代入二次函数，得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴，
∴函数的顶点坐标为；
（3）解：∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
①时，，
解得：，
∴；
②当时，
由，得，
∴，
解得：，
∴；
由，得，
∴，
解得：，
∴；
∴当时，都成立；
③当时，当时函数取得最大值，
∴，
解得：，
∴都成立；
综上，m的取值范围为；
（4）解：∵，
∴，
如图，设抛物线交y轴于M，交于N，
则，，
∵点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，
∴或，
解得：或；
故答案为：或．
26．（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，代入和可得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴与交于点，
∴把代入可得：，
∴，
∴，
过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示：
设点G的坐标为，则，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）解：由（2）知，，又，
∴，
设点关于直线的对称点为，如图所示，
则，，
∵，
∴，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
由抛物线的对称性可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线，
∴，
设，
∵，，，
∴，
∴或，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上所述：点坐标为或．