2025-2026学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷（1-2章） （含解析）

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（1-2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．化简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
根据以上规律，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如果，那么下面各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　）
A．5 B．4 C． D．8
8．如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
10．如图所示，铁路和公路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（ ）秒．
A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ．
12．已知、、在数轴上的位置如图，化简： ．
13．若，则正整数的值是 ．
14．如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积 ．
15．观察下列分母有理化．
；
；
；
…
从计算结果中找出规律：
．
16．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的x为时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是，求x的负整数值．
18．（6分）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．

(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)求证：．
19．（8分）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数．
(3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”．
20．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
21．（10分）【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
22．（10分）如图，已知点在线段上，分别以，为边长在上方作正方形，，点为中点，连接，，．设，．

(1)若，判断的形状为______；
(2)请用含，的式子表示的面积；
(3)若的面积为，，求的长．
23．（12分）阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
如：，
请你解决如下问题：
(1)的有理化因式是___________，___________．
(2)化简．
(3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为，所以．
所以，所以，所以，
所以，所以
利用上述方法：若，求的值．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案）
　【变式探究】
（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、图形类规律探索，由题意可得，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理可得，即可得出，同理可得，从而得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∵，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键．
如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可．
【详解】解：如图：连接，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴，
∵10+10=20，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了二次根式的性质和乘除运算，熟练掌握运算法则是关键．
由条件且可知，a和b均为负数．根据平方根的性质，需确保被开方数为非负数，且运算结果符号正确。．逐一分析选项即可．
【详解】解：∵说明a和b同号．进一步说明a和b均为负数．
A、 中，和无意义（实数范围内），故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、 ，故选项正确；
D、 ，故选项错误；
故选：C
6．B
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意知与是同类二次根式，
，
解得，
，
故选B．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点,
∵等腰，斜边，
∴，
∵以等腰的边为直径画半圆，
∴ ，， ，
∴，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
∵的面积，
∴所得两个月形图案和的面积之和为，
故选：．
9．A
【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可．
【详解】解：设该正方体铁块的棱长为，
由题意得：，
解得，
，
，
即该正方体铁块的棱长介于和之间，
故选A．
10．B
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且，
由题意可知：，，
∴，
∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，
∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响，
∴，
同理可得：，
∴，
∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，，
∴点处受噪音影响的时间为．
故选：B．
二．填空题
11．4.5
【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，求出，设，则，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质．
【详解】解：在矩形中，，，
，，
由勾股定理得：，
将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中：由勾股定理得，
∴，
解得：，
的长为，
故答案为：．
12．
【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
，，，
，
，
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
∴正整数的值4．
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接，在直角中，根据勾股定理可以求得，在中，可得，根据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
【详解】解：连接，
在直角中，，，
∴，
又∵，∴为直角三角形，
∴的面积为，的面积为，
∴四边形的面积为和面积之和，即．
故答案为：．
15．2024
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，先分母有理化，然后合并同类二次根式后利用平方差公式计算．
【详解】解：
，
故答案为：2024．
16．3或2或．
【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD -DF=3，
由勾股定理得，

当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
故答案为：3或2或．
三．解答题
17．（1）解：当时，，，，是无理数，
∴ 当输入的为时，输出的值是；
故答案为：；
（2）∵ 0和1的算术平方根是它本身，
∴，
解得，
，
解得或，
∴ 所有满足要求的的值为1，2，3；
故答案为：1，2，3；
（3）若第1次运算是，
∴，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为；
若第2次运算是，
∴，，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为，
∴，
∴的负整数值均为或．
18．（1）解： 是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：，是的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）得，，
；
（3）证明：由（2）得：，
，
，，，
，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
．
19．（1）解：在类勾股中，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：，，
，，
是类勾股三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵， ，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
整理得，
是“类勾股三角形”．
20．（1） ，
，
故答案为 ， ，
（2）原式=
（3），
∴
21．解：（小试牛刀）；
；
，
满足的关系式为：．
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：，
，则的最小值，即为的最小值，
由三角形三边关系可得：，当三点共线时，
∴的最小值为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴米，
故答案为：；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
22．（1）解：为等腰三角形，
理由如下：四边形，是正方形，
，，，
，
，
，
点为中点，
，
，，
在中，
，
在中，
，
在中，
，
即，
为等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2），点为中点，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）由（2）得，，
的面积为，，
，，
解得．
．
23．（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
24．解：（1）由题意得：，，
，
故答案为：；
（2）将圆柱体侧面展开，如下图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
，
底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米．