2025-2026学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷（第1-2章）（含解析）

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（第1-2章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在实数：，3.14159，，π，1.010010001…，中，无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．若，，是一组勾股数，则的数为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
3．下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
5．在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1012 B．2023 C．2024 D．2025
9．设，，则用含a，b的式子表示，可得（ ）
A． B． C． D．
10．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．是的算术平方根，是立方根，则 ．
12．在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是
13．比较大小： （填“>”，“<”或者“=”）．
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积为 ．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
16．第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1) ； (2)．
18．（6分）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
19．（8分）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，的三个顶点都在格点上，且．
(1)图中已画出，请画出，得到；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)边上高的长度是 ．
20．（8分）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)若a是的整数部分，b是的小数部分．求的算术平方根；
(2)若，其中x是整数，且，求的值．
21．（10分）我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足，，则a，b，c是一组勾股数．
(1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是__________，__________；
(2)请再举一例证明猜想成立．
22．（10分）如图，在五边形中，，，，，，，，连接、．

(1)求和的长；
(2)求五边形的面积．
23．（12分）观察下列等式：
；；；…
按照上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第6个等式：___________；
(2)请写出第n个等式：___________；
(3)求的值．
24．（12分）（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：，
无理数有，π，1.010010001…，
∴无理数有3个，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了勾股数的定义．
分“”为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可．
【详解】解：当为直角边时，，是正整数，符合题意，
当为斜边时，，不是正整数，不符合题意，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次根式的运算和分母有理化，根据分母有理化，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式性质化简计算即可判断，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，原选项计算正确，不符合题意；
、，原选项计算正确，不符合题意；
、，原选项计算正确，不符合题意；
、，原选项计算不正确，符合题意；
故选：．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解．
【详解】解：点是边的中点，
，
由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是准确掌握该定义．
根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，且分母中不含根号，逐一分析选项即可求解．
【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
B. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
C. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意，
D.该选项被开方数为质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
8．D
【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为，
，
正方形的边长为，
生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，
故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是，
故选D．
9．C
【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数．
【详解】解：∵点C是线段的中点，
∴，
∴点A表示的数是：，
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，求得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵是的算术平方根，是立方根，
∴
∴，
故答案为：．
12．54
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理可判断出为直角三角形，然后再求面积即可．
【详解】解：，
为直角三角形，
这个三角形的面积是，
故答案为：54
13．<
【分析】本题考查了实数的大小比较．估算的取值范围，然后比较与1的大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：＜．
14．
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是，，的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：，
的三边长分别是，，的面积为：．
15．73
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
16．34
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵为直角三角形，
∴，
∴大正方形的面积为34，
故答案为：34．
三．解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
∴，．
（2）解：当，时，，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
19．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴为直角三角形；
（3）解：设边上高的长度为，
则，
即，
∴，
故答案为：．
20．（1）解： ，
，
的整数部分为8，
即，
，
，
的小数部分为，
即，
，
算术平方根为；
（2）中，
为的小数部分，
，
，
的整数部分为3，小数部分为
，
，，
．
21．（1）解：当a为10，则，，
故答案为：24，26；
（2）解：若最小数，
则，，
∵
∴猜想成立．
22．（1）解：，，
，，
，，
，，，，
，，
，；
（2）解：，
，
，
五边形的面积为：
．
23．（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1；
因此第6个等式，，
得，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，
所以第n个等式为，
故答案为：；
（3）解：
．
24．（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．