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2025-2026学年沪科版九年级数学上学期第一次月考
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：二次函数
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可．
【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
故选C．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴
【答案】D
解：抛物线的对称轴是y轴，
故选：D．
4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确，C选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，故A、D选项均错误．
故选：B．
5．二次函数有最小值，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
解：∵二次函数有最小值，
∴，
解得．
经检验是原方程的解，
故选：A．
6．学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
解：由函数图象得随的增大而减小，且满足反比例函数关系，
A、当时，，不符合图象，错误；
B、当时，，不符合图象，错误；
C、，则当时，，错误；,
D、，当时，，正确；
故选：D．
7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：∵，
∴反比例函数得图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随着x增大而增大，
∵点，，在反比例函数的图象上，
∴点A、B在第二象限，点C在第四象限，
∴，即．
故选A．
8．当时，和大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：A、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴应为，该选项图像错误，不符合题意；
B、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴，该选项图像错误，不符合题意；
C、由一次函数的图像可知，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意；
D、由一次函数的图像可知，而二次函数的图像开口向上，即，故图像错误，不符合题意．
故选：C．
9．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴二次函数与轴的另一个交点的横坐标为，
∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为，
∵二次函数的图象开口向下，
∴不等式的解集为，
故选：C．
10．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由题意，设抛物线的解析式为，点的坐标为，
将代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
将代入得：，即，
则，
故选：D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
12．函数的最小值是 ．
【答案】-2
解分析：由二次项系数的正负，根据二次函数的性质即可得出其最值情况．
详解：在函数y=中，∵a=＞0，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2．
故答案为﹣2．
点睛：本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
13．二次函数表达式向右平移2个单位，所得函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据“上加下减、左加右减”的平移规律，即可得出平移后的二次函数的解析式．
解二次函数表达式向右平移2个单位，
得到新的二次函数解析式为：；
故答案为：．
14．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ．
【答案】
解：在原抛物线中，
令，则，
∴点A的坐标为．
∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为，
∴平移后抛物线的解析式为．
令，则，
∴点的坐标为．
∵A、均在y轴上，横坐标均为0，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知是二次函数，求a．
【答案】
解：∵是二次函数，
∴，且，
解得．
16．已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)．
(2)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)或
解（1）解：根据该二次函数的图象关于y轴对称，当时，，当时，，
故这个函数图象的另一部分如图所示：
（2）解：当时，由得，
∴时对应的函数图象上的点的坐标为：或．
17．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.
(1)求点A、B的坐标.
(2)求三角形的面积.
【答案】(1)点，点．
(2)27
解（1）
轴，，
点的横坐标为，
，
点的坐标为，
点、关于轴对称，
点．
（2）
点，点．
，
18．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
解（1）解：∵点B的坐标为在反比例函数图象上，
∴，解得：．
∴反比例函数的解析式为．
（2）∵点E在反比例函数图象上，
∴设，
∴，
∴，即，解得：或2，，
∵，
∴．
∴．
19．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足函数关系，其图象如图所示．
(1) 求a，b的值；
(2) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润是25元
解（1）解：从图中可以看出，二次函数的图象经过点和，
将两点坐标代入函数解析式，得，
解得，
因此，二次函数的解析式为；
（2）解：，
所以当时，取最大值，此时．
故销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
20．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
解（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）设平移后的一次函数的解析式为：，
∵轴，且，
∴，
把点代入中，得：，
∴，
∴平移后的一次函数的解析式为：．
21．国庆期间公司经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x（元） 85 95 105 115
日销售量y（个） 175 125 75 m
日销售利润w（元） 875 1875 1875 875
（注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
(2)根据以上信息，求出该产品的成本是多少；现规定销售单价不低于成本，且获利不得高于，问销售单价为多少时销售利润w最大，最大值是多少．
【答案】(1)；
(2)80；当时，w取的最大值，（元）
解（1）解：日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的一次函数关系为：，
把和代入，
则，
解得：，
∴y关于x的一次函数解析式为：．
当时，则，
即．
（2）解：根据题意可知：该产品的成本是（元）
根据题意有：
，
则抛物线开口向下，当时，w取最大值．
∵现规定销售单价不低于成本，且获利不得高于，
∴售价，
则当时，w取的最大值，（元）
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点M是该二次函数图象上一点，且是以为直角边的直角三角形，求点M的坐标；
【答案】(1)
(2)或
解（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得，
则抛物线的表达式为：；
（2）设直线的表达式为，
将代入得：
解得，
直线的表达式为，
设点,
则，
，
，
如图，当为直角时，，
，
即,
整理得：，
解得，或3（舍去），
即点；
如图，当为直角时，，
，
，
整理得：，
解得或0（舍去）
即点；
综上，点M的坐标为或；
23．二次函数（）的图象交轴于原点及点．
(1)求点的坐标．
(2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）．
②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值．
③若点，在上，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)；或；③ 或
解（1）解：令，
得，
．
（2）二次函数（）的图象经过，
，解得，
该二次函数的解析式为．
（3）① （或）
由（2）知，的函数解析式为，
的顶点坐标为．
∴由绕点旋转得到，
∵与的顶点关于点对称，且与的开口大小相同、方向相反，
∴的顶点坐标为，
∴的函数解析式为．
② 直线与有三个交点，
由图象可知．
当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为与均大于，
不妨记这三个点从左至右依次为
，
．
由图象可知点，在上，点在上，
由抛物线的对称性可知，
，
．
当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为，
与均大于，不妨记这三个点从左至右依次为
．
，
由图象可知点在上，点在上，
由抛物线的对称性可知，
，
．
当时，易知，
，不符合题意，舍去．
综上所述，或．
③ 或
方法一：结合图象可知，
当点均在上时，
，的对称轴为直线，的开口向上，
点到直线的距离大于点到直线的距离，
且点在直线的左侧．
当点在直线的左侧时，
由二次函数的性质可得，符合题意，此时，即．
当点在直线的右侧时，，即．
故当点均在上时，．
当点均在上时，
，的对称轴为直线，的开口向下，
点到直线的距离小于点到直线的距离，
且点在直线的右侧，
当点在直线的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时．
当点在直线的左侧时，，即．
故当点均在上时，．
当点在上，点在上时，易知，不符合题意．
综上，的取值范围为或．
方法二：结合图象可知，当点均在上时，
，的对称轴为直线，
点连线的中点在直线的左侧，
，即．
当点均在上时，
，的对称轴为直线，
点连线的中点在直线的右侧，
，即．
当点在上，点在上时，易知，不符合题意．
综上，的取值范围为或．
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2025-2026学年沪科版九年级数学上学期第一次月考
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：二次函数
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．x轴 D．y轴
4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数有最小值，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．
6．学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．当时，和大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
10．山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．函数的最小值是 ．
13．二次函数表达式向右平移2个单位，所得函数表达式为 ．
14．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知是二次函数，求a．
16．已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分(直接在网格中作图即可)．
(2)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
17．如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.
(1)求点A、B的坐标.
(2)求三角形的面积.
18．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)求点的坐标．
19．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足函数关系，其图象如图所示．
(1) 求a，b的值；
(2) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
20．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式．
21．国庆期间公司经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：
销售单价x（元） 85 95 105 115
日销售量y（个） 175 125 75 m
日销售利润w（元） 875 1875 1875 875
（注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；
(2)根据以上信息，求出该产品的成本是多少；现规定销售单价不低于成本，且获利不得高于，问销售单价为多少时销售利润w最大，最大值是多少．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点M是该二次函数图象上一点，且是以为直角边的直角三角形，求点M的坐标；
23．二次函数（）的图象交轴于原点及点．
(1)求点的坐标．
(2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）．
②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值．
③若点，在上，且，请直接写出的取值范围．
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