24.2解一元二次方程培优提升训练（含答案）冀教版2025—2026学年九年级数学上册

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24.2解一元二次方程培优提升训练冀教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．不确定
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为
B．化为
C．化为
D．化为
3．关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（ ）
A．11 B．14 C．10 D．11或14
5．已知，则的值是（ ）
A． B．4 C．或4 D．3或
6．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知关于的一元二次方程的一个实数根为，则另一个实数根是（ ）
A． B． C． D．
8．若一元二次方程的两根为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．设a，b是一个直角三角形的两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ．
10．已知关于的方程的一个根是1，则 ．
11．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．
12．已知是关于x的方程的根，则常数k的值为 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
14．已知关于x的方程．
(1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为3，求的值．
15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“3倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”．
(2)若关于的方程是“3倍根方程”，求代数式的值．
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求c的取值范围；
(2)选择一个你喜欢的c值代入，并求此时方程的解．
17．方程有实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若k是该方程的一个根，求的值．
18．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是
(1)写出一元二次方程的“友好方程”：________；
(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论；
(3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．B
4．B
5．C
6．C
7．B
8．A
二、填空题
9．2
10．或
11．
12．0或1
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
14．【解】（1）解：，
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：方程有一个根为3，
，
整理，得：，
．
15．【解】（1）解：∵，
∴解得．
∵，
∴是“3倍根方程”．
（2）解：，
解得．
∵是“3倍根方程”，
分情况讨论：
①，则：；
②，则：．
16．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：当时，原方程为，
即，
解得：．
17．【解】（1）解：方程有实数根，
，
解得；
（2）解：k是该方程的一个根，
，即，
．
18．【解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
解得；
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
证明：解方程，
当时，．
解方程，
得，
∴
．
故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数；
（3）解：关于的方程的两根为．
∵方程的两根是，
∴其“友好方程”的两根为2025．
，即，
将看作整体，则或，
∴．
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