1.1.2 集合的基本关系 课件（共42张PPT） 高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共42张PPT)
第一章
预备知识
§1 集合
1.2 集合的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.（数学抽象）
2.能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.（逻辑推理）
3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围.在具体情境中了解空集的含义.（数学运算）
4.掌握并能使用 图表达集合间的关系.（直观想象）
1.集合中元素的三个特性是什么？
[答案] 确定性、无序性、互异性.
2.常见的数集有哪些？
[答案] 正整数集、自然数集、整数集、有理数集、正实数集、实数集.
3.集合的表示方法有哪些？
[答案] 列举法、描述法．
4.表示使函数有意义的自变量的取值范围，且 的取值
范围是，因此 ，对吗？
[答案] 正确.
5.表示使函数有意义的函数值的取值范围，而 的取值
范围是，因此 ，对吗？
[答案] 正确.
6.集合中的元素是否都属于集合？集合 和集合
是什么关系？
[答案] 是，集合是集合 的子集．
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 空集没有子集.( )
×
（2） 任何集合至少有两个子集.( )
×
（3） 空集是任何一个集合的真子集.( )
×
（4） 若集合是集合的子集，集合是集合的子集，则集合是集合 的子集.( )
√
2.已知集合，，2，，能够准确表示集合与 之间关系的是( ) .
D
A. B. C. D.
[解析] 集合中的元素都在集合中，但是 ,
.故选D．
3.已知集合， ，则( ) .
A
A. B. C. D.
[解析] 结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示，由图可知， ．
4.（多选题）下列说法正确的是( ) .
BC
A.任何一个集合都是它自身的真子集
B.集合， 共有4个子集
C.集合，， }
D.集合，，
[解析] 对于A，任何一个集合都是它自身的子集，故A错误；
对于B，因为集合，中有2个元素，所以有 个子集，故B正确；
对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正
确；
对于D，因为，当时， ，所以
，，但， ，故两个集合不相等，
故D错误．
5.（原创）设，若集合，则 的取值范围是__________．
[解析] 因为 ，
所以 ，
所以 ．
探究1 集合与集合间关系的判定
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马
儿跑.如果草原上的枣红马组成集合 ，草原上
的所有马组成集合 ．
问题1: 集合中的元素与集合 中的元素的关
系是怎样的？
[答案] 集合中的元素都是集合 中的元素.
问题2: 集合与集合 又存在什么关系？
[答案] 集合是集合 的子集.
1.子集
一般地，对于两个集合，，如果集合中任何一个元素________集合，就称集合
为集合的______，记作（或），读作“包含于”（或“包含 ”）．
特别提醒：（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关
系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系）．
（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如，，，，因为 ，
但，所以不是的子集；同理，因为，但，所以也不是 的子集．
（3）任何一个集合都是它本身的子集，即 ．
（4）对于集合，，，如果，且，那么 ．
都属于
子集
2. 图
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为图.如
可用 图表示为
3.集合相等
对于两个集合与，如果集合是集合的子集，且集合也是集合 的子集，那么称
集合与集合相等，记作 ．
也就是说，若，且，则 ．
4.真子集
如果集合，且，就称集合是集合的真子集，记作（或 ）．
例1（1） 能正确表示集合和集合 关系
的 图是( ) .
B
A. B. C. D.
[解析] 由得或，故，，易得，其对应的 图
如选项B所示．
（2） 已知，，，则集合与 之
间的关系是_______．
[解析] ， ，
.
方法总结
在处理集合间的关系时,要注意以下三点：
且 隐含着和 两种关系.
（2）注意空集的特殊性.在解题时,若未指明集合非空,则要考虑集合为空集的可能性.
（3）要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用.
巩固训练1 在“ , , , , ”中，选择最合适的符号填空：
已知，，，， ，
则___，___，___ ．
[解析] 集合 ．
对于集合
当是偶数时，令，则 ；
当是奇数时，令 ，则
．
从而得 ．
对于集合
当时， ；
当时，， ．
从而得, ．
巩固训练2 已知，，则集合， 的关系是_____
__．
[解析] 集合表示直线 上所有的点组成的集合，
在集合中，，，所以集合表示直线 上除了原点之外的所有点组
成的集合，
所以有 ．
探究2 有限集合的子集、真子集的确定
我们将高一（1）班的甲、乙、丙三位同学组成的三人学习小组记为集合 {甲,乙,
丙},数学老师将从该小组内抽取位同学,进行面批作业.设抽取的同学组成的集合为 .
问题1: 列出集合中只有1位同学的集合.集合 中没有同学能否构成集合？
[答案] {甲},{乙},{丙}；能，构成空集.
问题2: 列出集合 中有2位同学的集合.
[答案] {甲,乙},{甲,丙},{乙,丙}.
问题3: 问题1和2中的集合与集合是什么关系？集合 的子集有多少个？
[答案] 问题1和2中的集合均为集合的子集,集合也是自身的子集,所以集合 的子集
有8个.
1.写集合子集的一般方法：先写空集,然后按照集合中元素个数从少到多的顺序写出来,
一直到集合本身.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集.
2.假设集合中含有个元素,则有：的子集的个数为； 的真子集的个数为
；的非空真子集的个数为 ．
例2（1） 已知集合,若集合有4个子集,则整数 ( ) .
B
A.1 B.2 C.3 D.4
先判断集合中元素的个数,进而确定 的值；
[解析] 根据题意,集合有4个子集,则中有2个元素,又由 ,其元
素为大于或等于1而小于或等于的全部整数,所以 .
（2） 满足的集合 有___个．
7
根据集合 中元素的个数分类讨论.
[解析] 由可以确定集合 中必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中
的至少一个,因此依据集合 中的元素个数分类如下.
含有三个元素：,, .
含有四个元素：,, .
含有五个元素： ．
故满足题意的集合 共有7个．
方法总结
写有限集合的所有子集时,要注意以下四点：
（1）掌握给定集合子集个数的规律.
（2）写子集时要按照一定的顺序,一般可按照集合中元素的个数来分类写出,以防
重复或遗漏.
（3）注意两个比较特殊的集合：空集和集合本身.
（4）若集合含个元素,则它子集的个数为；真子集的个数为 ；非空真
子集的个数为 .
巩固训练1 已知集合,且,则 可以是( ) .
A
A. B. C., D.
[解析] , ,
,即 .
巩固训练2 已知集合，则 的真子集的个数是( ) .
C
A.7 B.8 C.15 D.16
[解析] 集合，2，3，，集合 中有4个元素，
的真子集的个数是 ．
探究3 由集合间的关系求参数的取值范围
已知集合, .
问题1: 集合 中有几个元素？
[答案] 当时,中没有元素；当时, 中有1个元素.
问题2: 实数取哪些值时,可以使得 ？
[答案] 当或时, .
问题3: 当时,怎样求实数 的取值范围？
[答案] 当时, ,满足 ；
当时,,由,得,解得 .
综上所述,实数的取值范围为或 .
1.已知集合的包含关系求相关参数的取值范围时,常采用数形结合与分类讨论的思想,借
助数轴解答.
2.注意点:不能忽视集合为 的情形.当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
例3 （1）已知集合,,,集合,,,若,求实数与 的值.
（2）已知集合,,若,求实数 的
取值范围．
[解析] （1）由,得或
解得或
当,时, ,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当,时, ,符合题意.
故, .
（2）,当时,,解得 ;
当时,解得故 .
综上所述,实数的取值范围是 ．
方法总结
求解集合中参数问题时,应先分析,简化每个集合,然后利用数轴分析法,将各个集合
在数轴上表示出来.要特别注意端点值的检验及空集的特殊性,遇到“”时,若 为含
字母参数的集合,一定要分“ ”和“ ”两种情况讨论.
巩固训练 已知集合 ．
（1）若，，求实数 的取值范围；
（2）若，，求实数 的取值范围.
（1）分类讨论 和 两种情况，建立不等式（组）求解；（2）根
据子集的性质，推出与 的关系，然后建立不等式组求解．
[解析] （1）因为，， ，
所以当 时，，解得 ；
当 时，解得 .
综上所述,实数的取值范围是 ．
（2）因为 ，
所以 解得 ，
所以实数的取值范围是 .
1.已知集合,，那么集合 的所有子集为( ) .
D
A.， B.,
C.，，, D. ，，，,
[解析] 由题意得，集合,的子集有 ，，，, ．故选D.
2.给出下列四个结论：
；
②“ ”“ ”的意义是一样的；
③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；
④空集是任何一个集合的子集.
其中正确的有( ) .
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
[解析] 对于①,符号 表示没有元素的集合,而 表示含有一个元素的集合,故①不正确；
对于②,“ ”是判断元素与集合的关系时使用的符号,而“ ”是判断集合与集合的关系时
使用的符号,故②不正确；对于③,空集只有一个子集,即本身,故③不正确；④正确.故选B.
3.定义集合，，，若集合，5，， ，
2，，则集合 的所有真子集的个数为( ) .
B
A.32 B.31 C.16 D.15
[解析] 由题中所给定义，可知，2，3，4，， 的所有真子集的个
数为 .故选B．
4.已知集合，，，， ．
（1）若，求实数 的值；
（2）若，求实数 的取值范围．
[解析] （1）若，则，，所以 ．
若，即，则，，所以 ．
综上，实数 的值为1或3．
（2）因为，所以 解得
,所以实数的取值范围为 .