(共27张PPT)
1.2.1 必要条件与充分条件
（第二课时）
学习目标
1.掌握充要条件的概念，体现数学抽象能力（重点）
2.判断条件与结论之间的充要性，体现数学抽象能力（重点）
3.运用充要条件解决问题，体现数学运算能力（难点）
新课导入
在初中数学中，勾股定理及其逆定理是非常重要的数学定理.
勾股定理：如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角.
思考一下：这两个定理有什么关系呢？让我们这节课学习一下.
新课学习
分析下面的数学定理：
勾股定理：如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.
在勾股定理中p q（条件 结论），“三角形是直角三角形”是“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件；
我们设三角形为直角三角形为p，两直角边的平方和等于斜边的平方为q，
在勾股定理中p q（结论 条件），“两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形是直角三角形”的必要条件；
新课学习
勾股定理的逆定理:如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角.
我们设三角形的一边的平方等于其他两边的平方和为p，这条边所对的角是直角为q，
在勾股定理的逆定理中q p（结论 条件），“三角形是直角三角形”是“两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件;
在勾股定理的逆定理中q p（条件 结论），“两边的平方和等于第三边的平方”是“三角形是直角三角形”的充分条件.
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充要条件的概念
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p q.
举个例子
“三角形一边的平方等于其他两边的平方和”与“三角形一边上的中线等于该边长的一半”都可以用定义直角三角形.
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1.我们常用“当且仅当”来表达充要条件.p是q的充要条件也常常说成“①p成立当且仅当q成立”，或“②p与q等价”，也可以说③成p成立必须且只需q成立等.
拓展：充要条件的一些性质
2.当p是q充要条件时，q也是p的充要条件.
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各种关系判定的常用结论
p与q的关系 结论
p q，且q p p是q的充分不必要条件
q ，且pq p是q的必要不充分条件
q q，且q p，即pq p是q的充要条件/q是p的充要条件
pq，且qp p是q的即不充分也不必要条件
新课学习
例3:在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p:A B,q:A∩B=A；
因为命题“若A B，则A∩B=A”为真命题，并且，“若A∩B=A，则A B”也是真命题，
所以p是q的充要条件．
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例3:在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(2)p:a=b,q:|a|=|b|；
因为“a=b” “|a|=|b|”，但是“|a|=|b|”不能推出“a=b”，例如“|1|=|-1|”，而“1≠-1”，
所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
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例3:在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.
因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，
所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
新课学习
练一练：已知命题p:A={x|2a-1（1）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
集合A={x|2a-1因为p是q的充分条件，所以A B ，
所以集合A可以分为A= 或A≠ 两种情况来讨论：
当A= 时，满足题意，此时2a-1≥3a-1，解得：a≤-2 ；
当A≠ 时，要使A B成立，则2a-1≥-1，3a+1≤4，2a-1<3a+1
解得：0≤a≤1
综上所得，实数a的取值范围(-∞,-2] [0,1]
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（2）是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
假设存在实数a，使得p是q的充要条件，那么A=B，
则必有2a-1=-1,3a+1=4，所以a是无解的，
故不存在实数a，使得A=B，
即不存在实数a，使得A是B的充要条件.
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拓展：充要条件的证明思路
1.根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
(1)证充分性，把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
(2)证必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.
2.在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性( )，也可以直接证明充要性.
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A
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A
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A
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C
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D
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6≤a≤9
课堂总结
1.充要条件的概念
2.充要条件的性质
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1.2.1 必要条件与充分条件
（第一课时）
学习目标
1.理解必要条件、充分条件的概念，体现数学抽象能力（重点）
2.能够准确判断给定命题中条件与结论之间的关系，体现逻辑推理能力（重点）
3.运用充分条件、必要条件解决问题，体现数学计算能力（难点）
新课导入
我们知道烧柴”是“会产生CO2”.
思考一下：烧柴与产生CO2之间存在怎样的逻辑关系
条件和结果的关系
能否由“烧柴” 必然推出 “产生CO2”？
“烧柴”必然“产生CO2”，“烧柴推出产生CO2”
反过来，“产生CO2” 时一定是因为 “烧柴” 吗？
“产生CO2”未必因为“烧柴”
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分析一下下面的判定定理
定理1:菱形的对角线互相垂直.即如果四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
如果能确定四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直 ，
而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.即对角线互相垂直是菱形必有的性质.
新课学习
思考一下：试用分析定理1的方法分析定理2、定理3.
定理2:若两个角是对顶角，则这两个角相等.
如果能确定两个角是对顶角 ，那么 这两个角一定相等，
而一旦两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角.即两个角相等是两个角为对顶角必有的性质.
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思考一下：试用分析定理1的方法分析定理2、定理3.
定理3:若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形的对应角相等.
如果能确定两个三角形是全等的 ，那么它们的对应角相等，
而一旦两个三角形对应的角不完全相等，那么这两个三角形一定不全等.即对应角相等是两个三角形全等必有的性质.
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必要条件的概念
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.
举个例子
初中学过的菱形的性质定理：菱形的对角线互相垂直.即如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直.“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.
新课学习
拓展：必要条件的一些探讨
1.判断q是否为p的必要条件，只需判断命题“若p，则q”是否为真，当且仅当“若p，则q”是真命题时，q是p的必要条件.
2.如果判断“若p，则q”的真假有困难，那么我们也可以转化为判断其等价命题“若q不成立，则p也不成立”的真假.
3.必要条件不是唯一的.
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例1：将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和是360°；
“平面四边形的外角和是360”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件.
新课学习
例1：将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述：
(2)在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同.
“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件.
新课学习
分析一下下面的判定定理
定理4:若a>0，b>0，则ab>0．
如果满足了条件“a>0，b>0”，一定有结论“ab>0”.
但是，当ab>0时，a>0，b>0不一定成立，例如：由“a<0，b>0”，也可以判定ab>0.
实际上，定理4告诉我们：只要有“a>0，b>0”这个条件，就可以判定“ab>0”.
设a>0，b>0为p，ab>0为q，则有p q
新课学习
思考一下：试用分析定理4的方法分析定理5、定理6.
定理5：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”.
当四边形是平行四边形时，那么这个四边形的对角线互相平分也是成立的，
实际上，定理5告诉我们：只要有“对角线互相平分的四边形”这个条件，就可以判定“这个四边形是平行四边形”.
如果满足了条件“对角线互相平分的四边形”，一定有结论“这个四边形是平行四边形”.
设对角线互相平分的四边形为p，这个四边形是平行四边形为q，则有p q
新课学习
思考一下：试用分析定理4的方法分析定理5、定理6.
定理6:平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.
如果满足了条件“平行于三角形一边的直线去截其他两边，截得一个三角形”，一定有结论“截得的三角形与原三角形相似”.
当截得的三角形与原三角形相似时，那么截其他两边所得的三角形平行于三角形一边的直线也是成立的，
实际上，定理6告诉我们：只要有“平行于三角形一边的直线去截其他两边，截得一个三角形”这个条件，就可以判定“截得的三角形与原三角形相似”.
设平行于三角形一边的直线去截其他两边，截得一个三角形为p，截得的三角形与原三角形相似为q，则有p q
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充分条件的概念
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件.也就是说，一旦p成立，足以保证q一定成立，即p对于q的成立是充分的.
对于真命题“若p，则q”，即p q时，称p是q的必要条件，也p称q是的充分条件.
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拓展：充分条件的一些探讨
1.判断p是否为q的充分条件，只需判断命题“若p，则q”是否为真，当且仅当“若p，则q”是否为真，当且仅当“若p，则q”是真命题时，p是q的充分条件.
2.如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作“p q”.此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
3.充分条件是不唯一的.
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例2：用充分条件的语言表述下面的命题：
(1)若a=-b，则|a|=|b|；
“a=-b”是“|a|=|b|”的充分条件
(2)若点C是线段AB的中点，则AC=BC；
“点C是线段AB的中点”是“AC=BC”的充分条件；
(3)当ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
“ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的充分条件．
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B
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A
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A
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B
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A
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课堂总结
1.必要条件的概念
2.充分条件的概念
THANK YOU
