1.生活中的变量关系 课件（共27张PPT）- 高一上学期数学 北师大版2019 必修第一册

(共27张PPT)
§1 生活中的变量关系
第二章
函 数
北师大版2019必修第一册·高一
01
通过实例,理解变量依赖关系,函数关系的含义
02
重点
培养学生类比分析问题的能力,提升观察、分析归纳和逻辑推理能力,渗透数学建模核心素养
理解分段函数
难点
能辨析依赖关系和函数关系
学 习 目 标
01
创设情况,引入新知
时间
电量
时间
电量
什么关系
配送费
配送距离
配送费
配送距离
什么关系
速度
温度
速度
温度
什么关系
都是两个变量的依赖关系
01
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化．
依
赖
关
系
关
键
点
根据初中学过的函数概念,怎么判断两个变量具有函数关系？
思考
1.一个变过程
2.两个变量
3.一个量的变化,另一个量也跟着变
设两个变量为和,
每个的值
唯一值
对应
创设情况,引入新知
例1.高速公路的加油站 （课本P50）
经过高速公路段加油站时,你是否想过,汽油是存在哪里？怎样储存？
02
实例分析,形成概念
【问题1】油面高度与储油量存在怎么都关系？
【问题2】油面宽度与储油量存在怎么都关系？
依赖关系
依赖关系
如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度、截面半径、是常量，油面高度、油面宽度、储油量是变量.
例1.高速公路的加油站 （课本P50）
经过高速公路段加油站时,你是否想过,汽油是存在哪里？怎样储存？
02
实例分析,形成概念
如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度、截面半径、是常量，油面高度、油面宽度、储油量是变量.
对应关系
与 具有依赖关系
与 是函数关系
对于 的每一个值
都有唯一 值与之对应
与 具有依赖关系
与 不是函数关系
对于 的每一个值
有两个 值与之对应
例2.年份与高铁列车运营量的关系 （课本P50）
02
实例分析,形成概念
【问题】年份与里程这两个变量存在什么关系？？
依赖关系
自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km。图中表示的是中国高铁年运营里程的变化。
对应关系
年份与里程
具有依赖关系
年份与里程是函数关系
对于年份的每一个值
都有唯一里程值与之对应
03
抽象概括,得出定义
依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化
函数关系
如果在一个变化过程中，有两个变量、，对于变量的每一个值，都有唯一确定的值与他对应，那么是的函数，这时变量与变量具有函数关系.
初中函数的概念
有两个变量和,对于变量的每一个值,变量都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数,其中是自变量，是因变量.表示两个变量关系的函数的代数式,叫函数解析式.
依赖关系与函数关系怎么区分
依赖关系
函数关系
能分清自变量与因变量
例1
与 具有依赖关系
与 是函数关系
对于 的每一个值
都有唯一 值与之对应
与 具有依赖关系
与 不是函数关系
对于 的每一个值
有两个 值与之对应
例2
年份与里程
具有依赖关系
年份与里程是函数关系
对于年份的每一个值
都有唯一里程值与之对应
探究
【思考】依赖关系和函数关系怎么区分呢？
1.函数关系是特殊的依赖关系
2.依赖关系
函数关系
04
应用概念,强化理解
方法技巧
判断两个变量之间是否具有依赖关系
分析当其中一个变量发生变化时,另一个变量是否也发生变化即可.
分两个步骤：
①确定因变量和自变量；
②判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否都有唯一确定的值与之对应.若满足,则是函数关系,否则不是函数关系．
下列的变化过程中,变量之间存在着怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？
（1）圆的面积与它的半径长；
（3）商品的价格与销售量；
（2）一个人的身高与体重；
（4）某同学的学习时间与其学习成绩．
函数关系
依赖关系
依赖关系
依赖关系
判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时:
发生变化
依赖关系
不发生变化
不具有依赖关系
1. 下列变量之间的关系是函数关系的是( ) .
A. 光照时间和果树的亩产量
B. 某一天24小时内的时间与气温
C.降雨量和交通事故发生率
D.一个人的年龄与体重
[解析] 易知每一时刻都有唯一的气温与之相对应.故选B．
B
每一个自变量的值
因变量唯一的值与值对应
函数关系
例3.物理模型：弹簧伸长量与弹力的关系（课本P51）
例3 弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数。
对应关系
伸长量 的每一个值
唯一确定的弹力 值与之对应
对应
解析法
是的函数
函数关系的表示形式
探究
例4.物理现象：气压和沸点（课本P51）
例4 表2-1记录了几个不同气压下水的沸点:
对应关系
变量“气压” 的每一个值
变量“沸点”都有唯一确定的值
对应
列表法
沸点与气压具有函数关系
函数关系的表示形式
探究
例5.生活现象：时间和气温（课本P51）
例5：绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙,图2-3,是这两个观测点某一天的气温曲线图.为了方便比较,将两条曲线画在了同一平面直角坐标系中,如图2-3所示,
思考：气温与时间具有函数关系吗？
对应关系
“时间”的每一个值
都有唯一确定的“气温”值
对应
图像法
气温与时间具有函数关系
函数关系的表示形式
探究
函数关系
例3
解析法
例5
图像法
例4
列表法
每个变量按照某种对应关系
都有另一个变量唯一的值与之对应
函数关系的表示形式
探究
同学们,你们家上个月的电费是多少？有没有注意到电费账单上的计价方式？
思考1
“如果用电量越多,单价越高,这种计价方式在数学上如何描述？”
思考2
阶梯用电与分段函数
探究
例6. 阶梯电价与分段函数（课本P52）
例6：某地电力公司为鼓励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法,居民每月应缴电费(单位:元)与用电量(单位:)的关系是
【问题1】观察例题中的分段函数,它分成了几段？每段对应的用电量范围是什么？
分段函数
【问题2】“为什么电力公司要采用这种计价方式？从实际生活角度谈谈你的看法。”
分3段:第一段：0≤x≤2400≤x≤240,单价0.4883元/kw·h；
第二段：240第三段：x>400x>400,单价0.7883元/kw·h。
通过价格杠杆鼓励节约用电，减少资源浪费，同时保障基础用电需求。
对于变量“用电量()”的每一个值，变量“应缴电费()”都有唯一确定的值与之对应，所以应缴电费是用电量的函数，即应缴电费与用电量具有函数关系.
例6. 阶梯电价与分段函数（课本P52）
例6：某地电力公司为鼓励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法,居民每月应缴电费(单位:元)与用电量(单位:)的关系是
分段函数
【问题3】 “你能画出这个分段函数的图像吗？小组合作尝试,并讨论图像的特点
图像由三条线段组成,在和处有转折点,整体连续但倾斜不同（需验证衔接点函数值是否相等）
分段函数：在指定范围内,对于x的不同取值范围,对应关系不同,这样的函数通常称为分段函数.
分段函数每一段都有一个解析式，这些式子组成的整体才是分段函数的解析式
03
抽象概括,得出定义
分段函数概念
在其指定范围内,对于x的不同取值范围,对应关系不同,这样的函数通常称为分段函数.
分段函数每一段都有一个解析式，这些式子组成的整体才是分段函数的解析式
生活中的分段函数描述实际问题的例子：出租车计费、个人所得税
1.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费。通话收费S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象表示为下图中的（ ）。
B
解题意，明确分段条件
2.写出分段函数的数学表达式
3.分析函数图像特征
4.匹配选项中的图像
5.验证关键点
解题思路
核心要点：分段函数题需结合代数表达式和图像特征，尤其注意分段点、取整规则及连续性。
判断依赖关系和函数关系
题型一
题型探究
方法技巧
1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画√,错误的画×．
(1)正方形的面积与边长的关系是函数关系．(　　)
(2)某十字路口，通过行人的数量与时间的关系是依赖关系．(　　)
(3)乘出租车时，车费与行驶里程的关系是函数关系．(　　)
判断两个变量之间是否具有依赖关系
分析当其中一个变量发生变化时,另一个变量是否也发生变化即可.
分两个步骤：
①确定因变量和自变量；
②判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否都有唯一确定的值与之对应.若满足,则是函数关系,否则不是函数关系．
判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时:
发生变化
依赖关系
不发生变化
不具有依赖关系
判断依赖关系和函数关系
题型一
题型探究
2.明明从广州给远在上海的爷爷打电话.电话费随着时间的变化而变化,在这个过程中,因变量是(　　)
A.明明　B.爷爷 C.时间 D.电话费
1.【解析】电话费随着时间的变化而变化,故电话费是因变量
D
3.下列两个变量之间的关系不是函数关系的为(　　)
A.大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份)
B.月份与年
C.正n边形的内角和与边数
D.圆的周长与半径
B
2.【解析】因为月份对应的年份不确定,不符合函数的关系，故月份与年两个变量之间的关系不是函数关系
依据表格判断两个变量的关系
题型二
题型探究
4.从市场中了解到，饰用 金的含金量如下表：
数 含金量/%
99以上
91.7
87.5
75
58.5
50
37.5
33.34
25
饰用金的数与含金量之间是______关系，
数越大含金量______．
函数
越高
1.定变量：区分自变量(输入)和因变量(输出)
2.查对应：检查每个自变量是否对应唯一因变量
3.绘图辅(可选)：数据绘图更直观
方法技巧
依据表格判断两个变量的关系
依据图像判断两个变量的关系
题型三
题型探究
5.如图，这是某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题．
（1）全天的最高气温是多少？在什么时刻达到？
（2）在什么时刻，气温为 ？
（3）在哪段时间内，气温在 以上？
（4）变量是变量 的函数吗？
[解析]（1）全天最高气温是 ,在14时达到.
（2）在0时、8时和22时，气温为 ．
（4）由题图可知,对于时间的每个取值,都有唯一的气温与之对应,所以气温 是时间 的函数.
1.看坐标：横轴(自变量)、纵轴(因变量),注意单位
2.抓关键点：交点(横/纵轴)、最高/低点
3.判趋势：上升（正相关）、下降(负相关)
4.验函数：每个自变量对应唯一因变量(垂直线检)
（3）在8时到22时之间，气温在 以上．
方法技巧
依据图象判断两个变量的关系
生活中的变量关系
两个变量的关系
题型
依赖关系
函数关系
判断依赖关系和函数关系
依据表格判断两个变量的关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化
有两个变量和,对于变量的每一个值,变量都有唯一确定的值和它对应,那么就是的函数,其中是自变量是因变量.表示两个变量关系的函数的代数式,叫函数解析式.
如果在一个变化过程中，有两个变量、,对于变量的每一个值,都有唯一确定的值与他对应,那么是的函数,这时变量与变量具有函数关系
函数的概念
依赖关系：分析当其中一个变量发生变化时,另一个变量是否也发生变化即可.发生变化，是依赖关系，不发生变化，不具有依赖关系
函数关系：①确定因变量和自变量；②判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否都有唯一确定的值与之对应.若满足,则是函数关系,否则不是函数关系．
1.定变量：区分自变量(输入)和因变量(输出)
2.查对应：检查每个自变量是否对应唯一因变量
3.绘图辅(可选)：数据绘图更直观
课堂小结
依据图像判断两个变量的关系
1.看坐标：横轴(自变量)、纵轴(因变量),注意单位
2.抓关键点：交点(横/纵轴)、最高/低点
3.判趋势：上升（正相关）、下降(负相关)
4.验函数：每个自变量对应唯一因变量(垂直线检)
课本P53练习第1、2、3题
课后作业
某电器商店以 2 000 元/台的价格购进了一批电视机，然后以 2 100 元/台的价格售出。随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？
坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？
在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？
参考答案