(共33张PPT)
§2.3 函数的单调性和最值
第1课时—单调性
第二章
函 数
北师大版2019必修第一册·高一
01
理解函数单调性的概念,会用图象法、定义法证明函数的单调性
02
重点
培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的能力
对函数单调性概念中关键词的理解
难点
函数单调性、单调区间的判断、证明
学 习 目 标
01
复习回顾,引入新知
【回顾】函数是如何从集合的角度定义的？
给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
刻画
随着x的变化而变化
如何刻画
借助图象？定义？
变量的变化
趋势变化
函数性质
观察函数的图象,描述函数值y随自变量x的增大如何变化？
观察函数的图象,描述函数值y随自变量x的增大如何变化？
函数性质—单调性
探究
随着的增大而 .
随着的增大而 .
一次函数：
①在上,随着的增大而增大;
在上,随着的增大而减小
用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化
从左往右看
增大
减小
函数性质—单调性
探究
当时,随着的增大而 .
当时,随着的增大而 .
观察下列函数的图象,描述函数值y随自变量x的增大如何变化？
减小
增大
当时,随着的增大而 .
当时,随着的增大而 .
减小
减小
函数性质—单调性
探究
随着的增大而增大的区间有： .
随着的增大而增大的区间有： .
,,,
如图,是函数的图象,说出不同区间内,函数随的变化如何变化？
课本P61
, ,,
思考交流
借助图象描述了函数随的变化而变化
图2-9中,怎样用数学的符号语言表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢？
对任意的,当时,都有 .
形
数
02
抽象概括,得出新知
函数的单调性
设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,
当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时,区间叫作函数的单调递增区间．
当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减.这时,区间叫作函数的单调递减区间．
关键点
单调区间
和的关系
和的关系
1)区间可以是整个定义域,即.
2)区间也可以是定义域的真子集,即
3)区间一定是连续的.
区间
1)同区间性,即
2)任意性,即不可用区间上的两个特殊值代替；
3)有序性,即需要区分大小,通常规定.
02
抽象概括,得出新知
函数的单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.
单调递增 单调递减
条件 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间.如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时， 都有f(x1)＜f(x2)， 都有f(x1)＞f(x2)，
结论 单调性 那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减
单调 区间 区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间 区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间
归纳
增函数 减函数
定义
等价
图象特征
图示
02
抽象概括,得出新知
当时,都有那么就称函数是增函数.
增函数、减函数的定义
当时,都有那么就称函数是减函数.
从左往右,图象下降
如果对于定义域上任意的,
从左往右,图象上升
,
,
03
概念辨析,理解新知
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数单调性定义中的“任意两个自变量的值x1,x2”可以改为“存在两个自变量的值x1,x2”.( )
(2)若函数y=f(x)在I上满足f(2)
(3)设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.( )
×
×
×
03
概念辨析,理解新知
2.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(2)若函数y＝f(x)在区间[-1,3]上是减函数,则区间[-1,3]为函数y＝f(x)的单调递减区间．( )
(3)若函数f(x)在区间I上是增函数,且D I,则f(x)在D上也是增函数．( )
×
√
√
3.如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
的单调区间有
增函数的区间是
[－5,－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]
减函数的区间是
[－2,1)， [3,5]
[－5,－2)， [1,3)
利用已知图象求函数单调区间：从左往右
图象下降—单调递减；图象上升—单调递增
方法点拨
1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？
(1)对于任意的,都有恒成立；
(2)存在,使得成立；
(3)对于任意的,都有恒成立,
并且对于任意的,都有也恒成.
课本P64 练习第1题
1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？
(1)对于任意的,都有恒成立；
课本P64 练习第1题
能
解：依题意得，对于任意的,，
当时,,所以函数在区间上单调递增，
当时,,所以函数在区间上单调递增，
所以原说法能判断函数在区间上单调递增.
1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？
(2)存在,使得成立；
课本P64 练习第1题
解：由单调性定义可知，仅仅存在,，
使得成立，不能判断函数的单调性.
不能
1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？
(3)对于任意的,都有恒成立,
并且对于任意的,都有也恒成.
课本P64 练习第1题
解：依题意得，对于任意的，∵,
∴,所以,函数在区间上单调递增，
同理,对于任意的,函数在区间上单调
递增，但 的值可能不连续或出现下降的情况,,故不能判断函数在区间上单调递增.
不能
函数单调性的等价结论
归纳
(1)若或,则称函数在区间上是增函数或单调递增；
在函数定义域内的一个区间上,如果对于任意的且，
(2)若或,则称函数在区间上是减函数或单调递减.
同号
异号
例1.图象法判断函数的单调性（课本P62）
03
典例剖析,掌握概念
例 1 设 ，画出 的图象，并通过图象直观判断它的单调性．
解：依题意知，其图象可由的图象向左平移3个单位长度得到(如图)．
该函数在区间上单调递减．
图象平移
左加右减
已知反比例函数图象
从左往右看,上升增，下降减
直观判断
图象变换
归纳
平移
对称
翻折
左+右-，上+下-
(保留轴以上的,在把轴以下的对称翻上去)
(保留轴右侧，去掉轴左边部分，再把轴右侧的翻转到左边)
1.函数的单调递减区间是 ．
根据函数图象判断函数单调性
题型一
题型探究
解：函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，如图所示：
由图可知函数的单调递减区间是.
图象翻折
留上翻下
画一元二次函数
从左往右看,上升增，下降减
直观判断
课本P65 B组第2题
2.根据函数图象直观判断函数的单调性.
3．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
已知函数的图象，判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数．
方法点拨
B
根据函数图象判断函数单调性
题型一
题型探究
根据函数图象判断函数单调性
题型一
题型探究
4.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1),则函数g(x)的单调递减区间是( )
A.(－∞,0] B.[0,1) C.[1,＋∞) D.[－1,0]
解：g(x)＝ 如图所示，
其单调递减区间是[0,1)．
B
思考交流
函数在整个定义域上的单调性
思考交流
课本P62.能否说f(x)＝ 在定义域内单调递减？为什么？
由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但在整个定义域内不是单调递减的
例如但,这不符合减函数的定义；
函数f(x)＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
只能说“函数在区间（－∞，0）和区间（0，＋∞）上都是递减的”．
方法点拨
(1)单调递减区间,从左往右,图象下降
(2)当函数有多个单调区间时,区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接．
利用定义法证明函数的单调性
题型二
题型探究
例3 判断函数的单调性，并给出证明.
课本P63
数：定义法证明
或
形：图象直观判断
上升增，下降减
直观判断
解：画出函数的图象,如图
分析
函数在上是减函数
利用定义法证明函数的单调性
题型二
题型探究
例3 判断函数的单调性，并给出证明.
课本P63
解：画出函数的图象,如图
函数在上是减函数
证明如下：
任取，且，则
，
即
所以函数在上是减函数.
取值
作差
变形
定号
结论
用定义法证明函数单调性的步骤
归纳
若，则函数在定义域内是减函数或单调递减，
若，则函数在定义域内是增函数或单调递增.
1.取值
2.作差
3.变形
4.定号
5.结论
任取定义域，且；
将代入函数解析式,并计算化简；
判断的正负号；
将变形为直到出现因式或
用定义法证明函数单调性的步骤(五部曲)
利用定义法证明函数的单调性
题型二
题型探究
例4 判断函数的单调性，并给出证明.
证明如下：在定义域 上任取且，
则，∴，
∵，∴，即，
∴函数在定义域上是增函数.
解：画出函数的图象(如图).
由图象可以看出函数在定义域上可能是增函数.
方法点拨
取值
作差
变形
定号
结论
课本P63
利用定义法证明函数的单调性
题型二
题型探究
例5 试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减，在区间单调递增.
解：任取且，
∴，
∵，∴
，即，
∴函数在区间上单调递减.
同理可证，函数在区间上单调递增.
课本P64
方法点拨
取值
作差
变形
定号
结论
利用定义法证明函数的单调性
题型二
练一练
P64练习第3题：
3.证明：函数在定义域上是增函数.
解：任取,且，
则
∵，∴，
∴，即，
∴函数在定义域R上是增函数.
常用的变形技巧有：
①因式分解；②通分；③配方；④有理化
方法点拨
常见函数的单调性
归纳
函数 单调性
一次函数y＝kx+b(0)
反比例函数(k0)
二次函数 单调性 由开口方向及对称轴决定
k＞0时,在R上单调递增；
k＜0时,在R上单调递减；
k＞0时,单调递减区间是(－∞,0)和(0,+∞)；
k＜0时,单调递增区间是(－∞,0)和(0,+∞)
, 在上单调递增，在上单调递减
在上单调递减，在上单调递增
函数的单调性
单调函数的定义
题型
单调递增
单调递减
利用图象判断函数的单调性
利用定义证明函数的单调性
设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时,区间叫作函数的单调递增区间．
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.
设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减.这时,区间叫作函数的单调递减区间．
在函数定义域内的一个区间上,如果对于任意的且，(1)若或,则称函数在区间上是增函数或单调递增；(2)若或,则称函数在区间上是减函数或单调递减.
单调函数
(1)单调递减区间,从左往右,图象下降
(2)当函数有多个单调区间时,区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接
1.任取：任取定义域，且；
2.作差：将代入函数解析式,并计算化简；
3.定号.判断的正负号；
4.变形：将变形为直到出现因式或
5.结论：若，则函数在定义域内是减函数或单调递减，若，则函数在定义域内是增函数或单调递增.
课堂小结
等价定义
1.课本P62练习第3题
课后作业
2.课本P65A组第5题
3．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
5.证明：函数在区间上单调递增.
参考答案
1.课本P62练习第3题
（1）一次函数的图象是一条直线，在闭区间上单调递减，
最大值是，最小值是；
（2）在上是单调递增的,
当时,取得最小值,函数无最大值.
（3），
画出函数在内的图象，如图所示：
在、上单调递减，在、上单调递增，
所以的最小值为，最大值为.
2.课本P65A组第5题(共26张PPT)
§2.3 函数的单调性和最值
第2课时—最值
第二章
函 数
北师大版2019必修第一册·高一
01
理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义
02
重点
从对最值概念的理解,体会数学的符号语言和逻辑语言的清晰和严谨
能利用函数的最值解决有关的实际应用问题
难点
借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值或值域
学 习 目 标
函数性质—最值
探究
在单调 .
在单调 .
观察下列函数
的图象,函数值在何处达到最高点,在何处达到最低点？
递增
递减
当时,函数值达到最高点,此时函数值最大,最大值为4，无最低点.
函数的最大值
若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最大值.
当时, 4,.
函数的定义域和函数的连续性
关键点
函数性质—最值
探究
在单调 .
在单调 .
观察下列函数的图象,函数值在何处达到最高点,在何处达到最低点？
递减
递增
当时,函数值达到最低点,此时函数值最小,最大值为0,无最高点.
函数的最小值
若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最小值.
当时, 0,0.
函数的最大值和最小值统称为最值.
函数性质—最值
练一练
√
×
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
（1）任何函数都有最大值或最小值．( )
（2）函数的最小值一定比最大值小．( )
（3）若函数恒成立,则的最大值为1.( )
（4）若是函数的最大值,则是图象上的
最高点．( )
×
×
没有最大值和最小值
函数的最大值和最小值都是1
函数最值的概念
练一练
2.函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的值域是( )
A. B.
C. D.
B
方法点拨
函数的最值和值域的联系与区别
函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.
联系
区别
①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素.
函数最值的概念
练一练
3．函数的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )
A.f(2)，f(－2) B.f()，f(－1)
C.f(), f(－) D.f()，f(0)
C
方法点拨
图象法求最值的基本步骤：作图找点确定
1.作图
画出函数y=f(x) 的图象
2.找点
观察图象,找出图象的最高点和最低点
3. 确定
最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
例2.图象法求最值（课本P62）
03
典例剖析,掌握概念
例2 根据函数图象直观判断的单调性，并求出最小值．
解：函数可以表示为
画出函数的图象（如图）．
去绝对值符号,分段函数
画出函数图像
含绝对值函数
从左往右看,上升增，下降减
直观判断
由图象可知该函数
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时,取得最小值,最小值为0．
的图象向右平移1个单位到图象
方法2.图象平移法
分析
图象法求最值
练一练
课本P62 练习第3题
3.请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
解：（1）一次函数的图象是一条直线，在上单调递减，
最大值是，最小值是；
方法点拨
已知函数在定义域 上单调递减 ：
则 ，.
图象法求最值
练一练
课本P62 练习第3题
3．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
解：（2）在上是单调递增的,
当时,取得最小值,函数无最大值.
方法点拨
已知函数在定义域 上单调递增 ：
则 ，.
图象法求最值
练一练
课本P62 练习第3题
3．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
解：（3），
画出函数在内的图象，如图所示：
在、上单调递减，在、上单调递增，
所以的最小值为，最大值为.
方法点拨
作图
找点
确定
方法总结
求最值的方法
归纳
图象法
1.作图
画出函数y=f(x) 的图象
2.找点
观察图象,找出图象的最高点和最低点
3. 确定
最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
单调性法
作图找点确定
已知函数在定义域 上
单调递增 ：则 ，
单调递减 ：则 ，
函数的性质—最值
练一练
1.已知函数=
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
分析
观察
图像
找点
作图
确定
最值
(2)由图象可知f(x)的
最小值为f(1)=1,
无最大值.
解 (1)函数f(x)的图象如图所示.
函数的性质—最值
练一练
2.已知函数
（1）讨论函数在 上的单调性；
（2）求函数在 上的最大值和最小值．
分析
解： （1）设,,且 ，
则
.
因为,所以,,
即 ，又 ,
所以,即 ,
所以函数在 上单调递减．
闭区间上单调
利用单调性
定义法判断单调性
求最大、小值
（2）由(1)知,在 上单调递减,所以当时,取得最大值,最大值为；当时, 取得最小值,最小值为 ．
一元二次函数的最值问题
探究
1.求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
分析
开口方向和对称轴
讨论对称轴与给定区间位置
动轴定区间最值问题
对称轴在给定区间的左边、右边、里面
对称轴在区间左边
对称轴在区间里面
对称轴在区间右边
利用单调性求最值
利用单调性求最值
开口向上:对称轴位置取得最小值,最大值在离对称轴远的端点处取到.
一元二次函数的最值问题
探究
1.求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
解 y=(x-a)2-1-a2.
(1)当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
方法点拨
1.对称轴在给定区间的左边
利用单调性求最值
(2)当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当12.对称轴在给定区间的里面
(1)开口向上:对称轴位置取得最小值,最大值在离对称轴远的端点处取到.
(2)开口向下:对称轴位置取得最大值,最小值在离对称轴远的端点处取到.
一元二次函数的最值问题
探究
1.求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
方法点拨
1.对称轴在给定区间的左(右)边
利用单调性求最值
2.对称轴在给定区间的里面
(1)开口向上:对称轴位置取得最小值,最大值在离对称轴远的端点处取到.
(2)开口向下:对称轴位置取得最大值,最小值在离对称轴远的端点处取到.
(3)当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
练一练
2.函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
分析
开口方向、对称轴
讨论对称轴与给定区间位置
定轴动区间最值问题
轴在区间的左(右)边、里面
解 :由函数f(x)=x2-2x+2知其图象开口向上,对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论:
(1)当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,
∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.
(2)当 即0(3)当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上可知,
最值的实际应用
探究
1．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本元)与月处理量吨)之间的函数关系可近似表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
分析
建模：文字语言转化为数学语言
求解：一元二次函数最值问题、均值不等式
审题:理清数量关系
检验：结合实际问题答题
（1）根据题意得到二氧化碳每吨的平均处理成本表达式,结合基本不等式求解最小值即可
（2）根据题意得到该单位每月获利的表达式,结合二次函数性质求解最值即可
最值的实际应用
探究
1．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本元)与月处理量吨)之间的函数关系可近似表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
解：
（1）由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为
,
当且仅当,
即时等号成立,
故该单位每月处理量为600吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为400元
方法点拨
均值不等式求最值
最值的实际应用
探究
1．某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本元)与月处理量吨)之间的函数关系可近似表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
解：
（2）设该单位每月获利为元,
则
,
由题意得,,所以当时,
故该单位每月不获利．需要国家每月至少补贴140000元才能不亏损．
方法点拨
一元二次函数的最值问题
练一练
分析
(多选题)1.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元,且,利润率.现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是（ ）
A.此时获得最大利润率
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
当时,,
故当时,获得最大利润,为,故B正确,D错误；
,
当且仅当,即时取等号,此时研发利润率取得最大值2,故C正确,A错误.
BC
方法总结
最值的实际应用
归纳
实际应用
审题:理清数量关系
建模：文字语言转化为数学语言
求解：一元二次函数最值问题、均值不等式
求解检验
检验：结合实际问题答题
函数性质—最值
最值的定义
应用
最大值
最小值
求最值的方法
实际应用
若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最大值.
函数的最大值和最小值统称为最值.
若存在实数对所有的 ,都有,且存在,使得则称为函数的最小值.
最值
图象法：作图找点确定
1.作图画出函数y=f(x) 的图象；2.找点：观察图象,找出图象的最高点和最低点；3. 确定：最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值
单调性法：
已知函数在定义域 上
单调递增 ：则 ，
单调递减 ：则 ，
求解检验
审题:理清数量关系
建模：文字语言转化为数学语言
求解：一元二次函数最值问题、均值不等式
检验：结合实际问题答题
课堂小结
课本P65A组第2题
课后作业
2.求函数在下列各区间上的最值：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
参考答案
（1）在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为；
（2）由（1）可知，在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为；
（3）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又和时，，故最大值为5；
（4）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又时，，时，，故最大值为17；(共23张PPT)
§2.3 函数的单调性和最值
综合应用
第3课时—参数问题
第二章
函 数
北师大版2019必修第一册·高一
01
掌握利用函数单调性,求参数范围问题,学会将恒成立问题转化为最值问题.
02
重点
从对单调性和最值概念的应用,培养严谨的数学逻辑思维.
利用最值求参数的值（范围）
难点
利用函数单调性,求参数范围问题, 利用最值解决恒成立问题
学 习 目 标
01
复习回顾,引入新知
增函数
如果对于定义域上任意的,当时,都有那么就称函数是增函数.
减函数
如果对于定义域上任意的,当时,都有那么就称函数是增函数.
单调递增,
单调递减
在区间的单调性？
在区间(0,+∞)上
组合函数的单调性？
思考
01
复习回顾,引入新知
例：在上单调递增, 在区间上单调递减,
,
任取，且，则
无法判断符号
在区间上的单调性不确定
已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减, 在区间上是否一定单调递增？
思考
课本P65B组第4题
练一练
(1)的单调性不确定
方法点拨
课本P65B组第4题
4．已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减，下列函数在区间上是否一定单调递增？
(1)；(2)；
(3)； (4)
(2)的递增
(3)的单调性不确定
(4)的单调性不确定
一、组合函数单调性的判断方法：
①增+增=增、减+减=减
②增-减=增、减-增=减
二、恒成立问题
探究
1.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 .
分离参数,转化为最值问题
将
转化为
在给定区间恒成立问题
令，求出
分析
解：不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立,设函数,,都是减函数,所以在上是单调递减函数,所以，所以，即的取值范围为.
对于任意x∈D,
f(x)>a恒成立f(x)min>a
f(x)方法点拨
给定区间恒成立问题
已知函数在定义域 上
单调递增 ：则 ，
单调递减 ：则 ，
二、恒成立问题
2.已知函数,当时,不等式恒成立,求的取值范围
根据分离常数
用换元法,均值不等式求最值
在给定区间上的恒成立问题
确定参数的范围
分析
解：当时,不等式恒成立等价于在上恒成立．∵,∴,令,则,,当且仅当时等号成立,
故的取值范围为．
三、已知函数的单调性求参数的范围
探究
2.已知函数在区间上具有单调性,求实数的取值范围.
课本P64练习第2题
开口方向和对称轴
分类讨论：对称轴在区间的位置关系
一元二次函数的单调性
确定参数的范围
分析
解：函数的图象开口向上,对称轴为直线，由图象可知函数在和上都具有单调性，因此要使函数在区间[1，2]上具有单调性,只需或所以实数a的取值范围是.
方法点拨
已知一元二次函数的单调性求参数取值范围：
1.求:求对称轴、确定开口方向
2.画:画区间与对称轴位置示意图
3.列:根据题意(递增/递减/不单调)列不等式
练一练
1.如果函数在区间上是增函数,则的取值范围为 ；
2.函数在区间上不具有单调性,则的取值范围为 .
1.的对称轴为且开口朝上,因函数在区间上是增函数,则
故的取值范围为.
2.图象的对称轴为且开口向上,又函数在区间上不具有单调性,
所以即的取值范围为.
02
当堂训练,应用新知
3.已知函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围．
解：∵当时,在区间上单调递减,故,此时, 函数在上单调递减,则函数在上单调递减,而函数在区间上单调递增,必有,即,则实数a的取值范围为.
课本P72 A组第3题
对解析式分离常数
可看成由反比例函数 的图象变换得到
分式函数
利用反比例函数的单调性
分析
方法点拨
已知一次分式函数的单调性求参数范围：
列不等式 求参数范围
练一练
03
变式训练,迁移应用
练一练
3.已知函数在定义域R上是减函数,求实数a的取值范围．
解：要想满足在上是减函数,则二次函数的对称轴,且,解得,所以实数a的取值范围是.
课本P73 C组第3题
每段都单调，比较分段点的函数值
减：每段都减，分段点自变量大的函数值小
分段函数单调性
列不等式组，求参数范围
分析
方法点拨
已知分段函数的单调性求参数范围：
①增:每段都减,分段点自变量大的函数值大
②减:每段都减,分段点自变量大的函数值小
变式训练
1.已知函数是定义在上的增函数,且,则实数的取值范围是________．
解：函数是定义在上的增函数,且,
，解得a<
四、已知抽象函数单调性求参数范围
,
2.设函数f(x)是R上的减函数,若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________
,
解:因为f(x)是R上的减函数且f(m－1)>f(2m－1) ,所以m－1<2m－1.所以m>0
四、已知抽象函数单调性求参数范围
,
3.f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,则不等式f(x)>f(8(x－2))的解集是 .
解:由f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,所以得解得2方法点拨
已知抽象函数单调性求参数范围：
明确定义域和单调性（增或减）
利用单调性将函数不等式转化为自变量不等式
解不等式,并确保解在定义域内
综合所有限制条件,写出最终解集
方法总结
纳
求参数取值范围
1.审清题意
已知函数是否需要化简变形
2.确定类型
已知函数类型的单调性
3. 列不等式
根据单调性列不等关系(组)
已知一元二次函数的单调性求参数取值范围：
1.求:求对称轴、确定开口方向；
2.画:画区间与对称轴位置示意图；
3.列:根据题意(递增/递减/不单调)列不等式
已知一次分式函数的单调性求参数范围：分离常数→反比例函数单调性→列不等式 →求参数范围
已知分段函数的单调性求参数范围：
①增:每段都减,分段点自变量大的函数值小；②减:每段都减,分段点自变量大的函数值小
练一练
04
归纳方法,升华思维
五、已知最值求参数
探究
1.若函数在区间上的最大值为3,求实数的值.
分离变量
谈论单调性，求最值
分式函数闭区间最值问题
根据最值求参数的值
分析
解：函数,
当时,在上单调递减,最大值为；
当时,在上单调递增,最大值为,解得,不合题意,所以实数.
方法点拨
已知最值求参数：
列等式求参数.
五、已知最值求参数
2.已知函数 的最小值为,则 .
讨论对称轴与给定区间的位置关系
求最值
一元二次函数
列等式求参数
分析
解：(1)当时,在上单调递增,当时,,解得,因此；
(2)当时,,解得或,无解；
(3)当时,在上单调递减,当时,,解得,因此,
所以或.
或
课本P73 B组第3题
课本P73 B组第3题
3.已知函数
的最小值为3,求实数a的值
化简为分段函数
根据单调性求最值
讨论a的范围,去掉绝对值
列等式求参数
分析
解：(1)当时,,
由于且,
可知为连续函数,可以看出在上单调递减,在上单调递增,故在处取得最小值,故,解得,满足；
课本P73 B组第3题
3.已知函数
的最小值为3,求实数a的值
化简为分段函数
根据单调性求最值
讨论a的范围,去掉绝对值
列等式求参数
分析
(2)当时,,
通过验证可知为连续函数,可以看出在上单调递减,在上单调递增,故在处取得最小值,故,解得,满足；
综上：或.
练一练
05
当堂检测,应用达标
1.已知函数．若的最大值为4,则实数的值为（ ）
A． B．
C．或3 D．或
2.已知函数是定义在R上的增函数,且,则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
解：当时,在上单调递增,在处取得最大值,则,解得；当时,在上单调递减,在处取得最大值,则,解得．综上所述,或.
解：因为函数是定义在R上的增函数,且,所以,
故选：B
D
B
练一练
05
当堂检测,应用达标
3.若关于的不等式
在区间上恒成立,则的值可能是（ ）
A. B.1 C.2 D.4
4.已知函数满足对任意的实数,都有成立,则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解：由题意可得,在区间上恒成立,因,则,故ABC错误,D正确
解：由题意,,函数在上是增函数,,
解得.故选：A.
D
A
函数性质—综合应用
性质
应用
单调性
最值
组合函数单调性的判断方法
给定区间恒成立问题
①增+增=增、减+减=减；②增-减=增、减-增=减
对于任意x∈D,f(x)>a恒成立f(x)min>a、f(x)1.审清题意：已知函数是否需要化简变形；2.确定类型：已知函数类型的单调性；3. 列不等式根据单调性列不等关系(组)
课堂小结
单调性求参数的范围
已知一元二次函数的单调性求参数取值范围：1.求:求对称轴、确定开口方向；2.画:画区间与对称轴位置示意图；3.列:根据题意(递增/递减/不单调)列不等式
已知一次分式函数的单调性求参数范围：分离常数→反比例函数单调性→列不等式 →求参数范围
已知分段函数的单调性求参数范围：①增:每段都减,分段点自变量大的函数值小；②减:每段都减,分段点自变量大的函数值小
已知最值求参数
列等式求参数.
课后作业
1．已知函数.
(1)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围；
(2)若在区间上有最大值3,求实数的值.
参考答案
解：（1）的对称轴,要满足题意,只需,
故实数的取值范围为.
（2）当时,在单调递减,则在上的最大值为,令,解得；
当时,在单调递增,在单调递减,
则在上的最大值为,令,解得或,都不满足,故舍去；
当时,在单调递增,则在上的最大值为,
令,解得；
综上所述,或.