2.4.1 函数的奇偶性 课件（共29张PPT） 高一上学期数学 北师大版2019 必修第一册

(共29张PPT)
2.4.1 函数的奇偶性
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念，体现数学抽象的能力（重点）
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法，体现逻辑推理的能力（重点）
3.会用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题，体现数学计算能力（难点）
新课导入
我们前面学习了函数的单调性和最值，那么函数除了单调性和最值还有其他的性质吗？
下面我们研究两个函数：f(x)=x3和g(x)=x2的图象有什么特点，进而研究函数的其他性质.
我们知道一元二次函数的图象是轴对称图形，反比例函数的图象是中心对称图形.
y
x
O
y
x
O
y＝x2
新课学习
例1：画出函数f(x)=x3的图象，并观察它的对称性.
列表
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
f(x)=x3 ··· -27 -8 -1 0 1 8 27 ···
新课学习
描点，连线
思考一下：根据函数图象，你可以观察到图象有什么性质？
因为对任意的x，都有
(-x)3=-x3
即
f(-x)=-f(x)
结论：所以f(x)=x3关于原点对称
x
f(x)
-x
f(-x)
新课学习
画出函数g(x)=x2的图象，并观察它的对称性.
列表
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
f(x)=x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
新课学习
描点，连线
思考一下：根据函数图象，你可以观察到图象有什么性质？
因为对任意的x，都有
(-x)2=x2
所以，对函数g(x)=x2来说，总有
g(-x)=g(x)
结论：所以g(x)=x2关于y轴对称
x
g(x)
-x
g(x)
新课学习
奇函数的概念
设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有-x∈D，且f(-x)＝-f(x)，那么称函数f(x)为奇函数.
奇函数的图象关于原点对称，反之亦然.
等价形式：
1.f(x)+f(-x)=0
2.
新课学习
思考一下：从奇函数的定义出发，如何证明函数y＝f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称？
充分性：设P(x,y)是函数f(x)图象上任意一点，则y=f(x)．
因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以点P关于原点的对称点为Q(-x,-y)也在函数f(x)图象上，即-y＝f(-x)．
所以对任意的x，都有f(-x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数．
必要性：设P(x,y)是函数f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)．
记点P关于原点的对称点为Q，则Q(-x,-y)．
因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)＝-f(x)，即-y＝f(x)．
所以点Q在函数f(x)图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
新课学习
偶函数的概念
设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有-x∈D，且f(-x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数.
偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然.
等价形式：
1.f(x)-f(-x)=0
2.
新课学习
奇偶性的概念
当函数f(x)是奇函数或者偶函数时，称f(x)具有奇偶性，奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称，如(-a,a),[-a,a](a>0)等.
方法：研究函数的奇偶性时，可以先讨论它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可知它在非正区间上的性质.
新课学习
例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝-2x5 ；
函数f(x)=-2x5 的定义域为R，对任意x∈R，有
f(-x)=-2(-x)5=2x5，-f(x)=-(-2x5)=2x5．
即
f(-x)=-f(x)
所以函数f(x)=-2x5为奇函数．
新课学习
例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性：
(2)g(x)=x4＋2;
函数g(x)=x4＋2的定义域为R，对任意x∈R，有
g(-x)=(-x)4+2＝x4＋2，
即
g(-x)＝g(x)
所以函数g(x)＝x4＋2为偶函数．
新课学习
例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性：
(3)
函数 的定义域为{x|x≠0}，对任意x∈{x|x≠0}，有
即
h(-x)＝h(x)
所以函数 为偶函数．
新课学习
例2:根据定义，判断下列函数的奇偶性：
(4)
定义域不关于原点对称，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
新课学习
拓展：判断函数奇偶性的方法
1.看函数的定义域.奇、偶函数的定义域关于原点对称.当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，即函数既不是奇函数也不是偶函数.
2.看等式.当函数的定义域关于原点对称时，要看f(-x)与f(x)的关系：
(1)f(x)=f(-x) f(x)为偶函数；
(2)f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数；
(3)f(-x)=-f(x)且f(x)=f(-x) f(x)既为奇函数也是偶函数；
(4)f(-x)≠-f(x)且f(x)≠f(-x) f(x)既不为奇函数也是偶函数.
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B
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A
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A
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A
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A
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课堂总结
1.奇函数的概念
2.偶函数的概念
3.奇偶性的概念
THANK YOU