9.2.3 向量的数量积（含解析）

9．2.3　向量的数量积(1)
一、 单项选择题
1 在边长为2的正方形ABCD中，E为BC的中点，则·等于(　　)
A. 2 B. 4
C. 2 D. 5
2 已知向量a，b满足2≤a·b≤4，且|a|＝2，则|b|的取值范围是(　　)
A. (0，1) B. [1，＋∞)
C. [2，＋∞) D. [0，2]
3 设a，b是两个非零向量，则使a·b＝|a|·|b|成立的一个必要且不充分条件是(　　)
A. a＝b B. a∥b
C. a⊥b D. a＝λb(λ>0)
4 已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，设向量a与a＋b的夹角为θ，则cos θ等于(　　)
A. B. －
C. D. －
5 (2024吉林期末)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则·的值为(　　)
A. －18 B. －12
C. 12 D. 18
6 (2024淄博期中)已知点O是△ABC的外心，＋＝2，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A. B.
C. － D. －
二、 多项选择题
7 已知|a|＝1，|b|＝2，向量b在a上的投影向量为c，则下列结论中正确的是(　　)
A. a·c＝c·b
B. a·b＝a·c
C. |a·c|≤2
D. a·c＝|a|·|c|
8 P，Q为边长为1的正六边形ABCDEF的边界上的两个不同的动点，则· 的值可以为(　　)
A. －5 B. －1
C. D. 4
三、 填空题
9 已知△ABC是底边BC＝4的等腰三角形，M是边AB的中点，则·＝________．
10 已知||＝1，||＝4，且·＝2，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是________．
11 (2024江苏月考)如图，在梯形ABCD中，DA＝AB＝BC＝CD＝1，点P在阴影区域(含边界)中运动，则·的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2023福建期末)已知|a|＝2，|b|＝5.
(1) 若a∥b，求a·b的值；
(2) 若a⊥b，求a·b的值；
(3) 若a，b的夹角为60°，求a·b的值．
13 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，＝λ(<λ<1)，过点F作DF⊥BC交AC于点D，交BA的延长线于点E.
(1) 当λ＝时，设＝a，＝b，用向量a，b表示；
(2) 当λ为何值时，·取得最大值？并求出最大值．
9．2.3　向量的数量积(2)
一、 单项选择题
1 (2023烟台期中)已知向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|的值为(　　)
A. B. C. D.
2 (2023泰州中学期中)设非零向量m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m＋n|＝2，则m在n上的投影向量为(　　)
A. －m B. m
C. －n D. n
3 (2023苏州期中)在如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，C为半圆上一点且∠OCB＝15°，||＝2，则||等于(　　)
A. 4＋2 B. ＋1
C. －1 D. 4－2
4 (2024泉州期中)如图，点A，B，C均在边长为1的小正方形组成的网格上，则·(－2)的值为(　　)
A. －10 B. －
C. D. 10
5 (2024北辰期中)O为△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·＝(＋)·＝(＋)·，则点O是△ABC的(　　)
A. 内心 B. 外心
C. 重心 D. 垂心
6 (2024石家庄期中)已知向量a与b的夹角为锐角，且|a|＝|b|＝2，对任意λ∈R，|a－λb|的最小值为.若向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的取值范围为(　　)
A. [－1，1] B. [1，＋1]
C. [－1，＋1] D. [－1，＋1]
二、 多项选择题
7 (2024广州期中)已知向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a·b＋a2＝0，且|a|＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. |b|＝8 B. a＋b＝0
C. |a－2b|＝6 D. a·b＝4
8 (2024张家界桑植一中月考)已知平面向量m，n满足|m|＝|n|＝1，且对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，则下列结论中正确的是(　　)
A. m与n的夹角为60°
B. (m＋tn)2＋(m－tn)2为定值
C. |n－tm|的最小值为
D. m在m＋n上的投影向量为(m＋n)
三、 填空题
9 若a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝________．
10 (2023威海月考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a，b的夹角为150°，则2a＋b与a的夹角为________．
11 (2024沈阳期中)设a，b，c是单位向量，且|a＋b|＝|a－b|，则(a－c)·(b－c)的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024常德期中)已知|a|＝1，|b|＝3，(a＋b)·b＝8.
(1) 求|a＋b|的值；
(2) 当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？
13 (2024芜湖期中)如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，AD＝3，且＝k，·＝1.若P，Q为线段AD上的两个动点(点P在点Q的右边)，且PQ＝1.
(1) 当P为AD的中点时，求CP的长度；
(2) 求·的最小值．
9．2.3　向量的数量积(1)
1. B　·＝||||·cos ∠BAE＝||2＝4.
2. B　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|cos θ，所以1≤|b|cos θ≤2，可得03. B　设向量a，b的夹角为θ，若a·b＝|a|·|b|，则a·b＝|a|·|b|＝|a|·|b|·cos θ，所以cos θ＝1，所以θ＝0°，故向量a与b平行且同向，结合必要且不充分条件的性质易知“a∥b”是“a·b＝|a|·|b|”的必要且不充分条件．
4. C　如图，根据|a|＝|b|＝|a－b|可知以a，b，a－b为三边的三角形是等边三角形，根据平行四边形法则，作出a＋b，可知如图的四边形是菱形，则a与a＋b的夹角是30°，所以cos θ＝cos 30°＝.
5. A　如图，设OD交AB于点F，则F是AB的中点，且OD⊥AB，所以·＝－·＝－||||·cos ∠OAB＝－||||＝－||2＝－18.
6. C　由＋＝2，得O是BC的中点．又点O是△ABC的外心，所以AB⊥AC，则AO＝BC＝BO.又因为||＝||，所以△OAB是等边三角形，则∠B＝60°，所以与的夹角为120°，所以向量在向量上的投影向量为||×cos 120°×＝－.
7. BC　设向量b，a的夹角为θ.对于A，当θ为锐角时，a·c＝|a|·|c|＝|c|，c·b＝|c|·|b|cos θ＝|c|2，不一定相等，故A错误；对于B，当θ为锐角时，a·b＝|a|·|b|cos θ＝|b|cos θ＝|c|，a·c＝|a|·|c|＝|c|；当θ为钝角时，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝|b|cos θ＝－|c|，a·c＝－|a|·|c|＝－|c|；当θ为直角时，a·b＝a·c＝0，故B正确；对于C，|a·c|＝|a|·|c|＝|c|≤|b|＝2，故C正确；对于D，a·c＝±|c|，故D错误．故选BC.
8. BCD　·＝||||cos α＝2||cos α，其中α为向量与的夹角，即与的夹角，当点P为点A，点Q为点D时，·＝2||cos α＝2||＝2||，取最大值为4；当点P为点D，点Q为点A时，·＝2||cos α＝－2||＝－2||，取最小值为－4，所以·∈[－4，4].故选BCD.
9. －12　如图，过点M作MN⊥BC，垂足为N，过点A作AO⊥BC，垂足为O，则O为BC的中点. 由已知可得N是BO的中点，所以CN＝BC＝3，在方向上的投影向量为，所以·＝·＝－12.
10. 2　由·＝4cos ∠AOB＝2，得cos ∠AOB＝.又0≤∠AOB≤π，所以∠AOB＝，所以该平行四边形的面积S＝2S△OAB＝2××1×4×sin ＝2.
11. 　如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F，记BD的中点为E.由DA＝AB＝BC＝CD＝1可知，梯形ABCD为等腰梯形，DF＝，所以∠ADF＝60°，∠DAF＝30°，则∠DAB＝120°，所以∠ABD＝∠ADB＝30°，∠CBD＝90°，所以BD＝2cos 30°＝.由图可知，当点P在BC上时，在上的投影向量为，·取得最小值；当点P与点D重合时，在上的投影向量为，·取得最大值，所以·≤·≤·，即－≤·≤.
12. (1) 当a∥b时，若a，b同向，
则它们的夹角为0°，
所以a·b＝|a||b|cos 0°＝10；
若a，b反向，则它们的夹角为180°，
所以a·b＝|a||b|cos 180°＝－10.
综上，a·b的值为10或－10.
(2) 若a⊥b，则它们的夹角为90°，
所以a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3) 若a，b的夹角为60°，
则a·b＝|a||b|cos 60°＝5.
13. (1) 由题意可知＝b，
所以||＝3×＝2，
所以||＝2||＝4，
所以＝＝a，
所以＝－＝－a＋b.
(2) 由题意，得||＝3λ，||＝3－3λ，||＝6λ，
所以||＝6λ－3，
所以·＝(6λ－3)(3－3λ)cos 60°＝－9λ2＋λ－，
所以当λ＝－＝∈时，·有最大值.
9．2.3　向量的数量积(2)
1. B　因为向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝|a|·|b|cos 150°＝1××＝－，所以|a＋2b|＝＝＝.
2. C　因为|m|＝2，|n|＝3，|m＋n|＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝8，解得m·n＝－，所以 m在n上的投影向量为·＝－n.
3. C　因为∠OCB＝15°，OC＝OB，所以∠COA＝2∠OCB＝30°.因为||＝2，所以||＝||＝.又＝－，所以||＝|－|＝＝＝－1.
4. A　如图，连接BC.由题意，得||＝||＝＝，||＝＝2，则||2＋||2＝||2，可得∠ABC＝90°，所以·(－2)＝·(－－)＝·(－)＝·－||2＝－10.
5. B　由题意，得(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2，(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2，(＋)·＝(＋)·(－)＝||2－||2，所以||2－||2＝||2－||2＝||2－||2，可得||＝||＝||，所以点O是△ABC的外心．
6. D　因为|a|＝|b|＝2，且对任意λ∈R，|a－λb|的最小值为，所以|a－λb|2＝a2－2λa·b＋λ2b2＝4λ2－2λa·b＋4的最小值3.记f(λ)＝4λ2－2λa·b＋4，则f(λ)的最小值为3，即＝3，即(a·b)2＝4.设向量a与b的夹角为θ，因为向量a与b的夹角为锐角，所以a·b＝2，即2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝，可得θ＝，则|a＋b|＝＝2.又向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，所以c2－(a＋b)·c＋2＝0，即c2＋2＝(a＋b)·c.因为(a＋b)·c≤|a＋b||c|＝2|c|，所以|c|2－2|c|＋2≤0，解得－1≤|c|≤＋1.
7. BC　因为|a＋2b|＝|a|，所以|a＋2b|2＝|a|2，即a2＋4a·b＋4b2＝a2，整理可得a·b＋b2＝0.又a·b＋a2＝0，且|a|＝2，所以a2＝b2＝4，则|b|＝|a|＝2，a·b＝－4，故A，D错误；设向量a，b的夹角为θ，因为cosθ＝＝＝－1，所以θ＝π，即向量a，b的夹角为π，故向量a，b共线且方向相反．又|a|＝|b|，所以a＋b＝0，故B正确；|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝22－4×(－4)＋4×22＝4＋16＋16＝36，所以|a－2b|＝6，故C正确．故选BC.
8．AD　设向量m，n的夹角为θ，因为对任意的实数t，≤|m＋tn|恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又|m|＝|n|＝1，所以t2＋2t cos θ＋cos θ－≥0对任意的实数t恒成立，所以Δ＝4cos2θ－4cosθ＋1＝(2cos θ－1)2≤0，解得cos θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°，故A正确；对于B，(m＋tn)2＋(m－tn)2＝1＋2t cos 60°＋t2＋1＋t2－2t cos 60°＝2＋2t2随t的变化而变化，故B错误；对于C，因为|n－tm|＝＝＝，所以由二次函数的性质可知，当t＝时，|n－tm|取最小值，故C错误；对于D，设向量m，m＋n的夹角为α，因为m·(m＋n)＝m2＋m·n＝1＋1×1×cos 60°＝，|m＋n|＝＝＝，所以cos α＝＝＝，则m在m＋n上的投影向量为|m|cos α·＝1××＝(m＋n)，故D正确．故选AD.
9. 　因为|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×cos 60°＝7，所以|a＋b|＝.
10. 60°　设向量2a＋b，a的夹角为θ，因为|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为150°，所以a·b＝|a||b|cos 150°＝－，所以|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝1，即|2a＋b|＝1.因为a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝，所以cos θ＝＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°，即2a＋b与a的夹角为60°.
11. [1－，1＋]　由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0.又a，b是单位向量，所以|a＋b|＝.设向量a＋b，c的夹角为θ，θ∈[0，π]，则(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2＝1－1××cos θ，当c与a＋b同向时，(a－c)·(b－c)取得最小值1－；当c与a＋b反向时，(a－c)·(b－c)取得最大值1＋.故(a－c)·(b－c)的取值范围为[1－，1＋].
12. (1) 因为|a|＝1，|b|＝3，(a＋b)·b＝8，
所以(a＋b)·b＝a·b＋b2＝a·b＋32＝8，
则a·b＝－1，
所以|a＋b|＝＝＝＝2.
(2) 由ka－b与a＋2b垂直，
得(ka－b)·(a＋2b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝k×12＋(2k－1)×(－1)－2×32＝0，
解得k＝－17.
13. (1) 由＝k，得BC∥AD.
因为·＝1，∠B＝120°，AB＝2，
所以2BC·cos (180°－120°)＝1，解得BC＝1.
又　＝＋＋＝＋＋＝＋，
所以||＝
＝
＝＝.
(2) 设＝m，0≤m≤2，
则＝＋＋＝＋(m－1)，
＝＋＋＝＋m，
所以·＝[＋(m－1)]·[＋m]＝||2＋(2m－1)·＋(m2－m)||2＝m2－3m＋5＝＋，
故当m＝时，·取得最小值.