9.3.1 平面向量基本定理（含解析）

9.3.1　平面向量基本定理
一、 单项选择题
1 (2024秦皇岛期末)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1＋3e2，b＝－2e1＋ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为(　　)
A. －6 B. 6 C. D. －
2 如图，在△ABC中，P是线段BC上的一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)
A. B. C. D.
(第2题) 　(第3题)
3 (2024芜湖期中)如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则等于(　　)
A. －＋ B. －＋2
C. －2＋ D. －2
4 (2024广东期末)如图，点O是△ABC的重心，D是边BC上的一点，且＝4，＝m＋n，则的值为(　　)
A. B. － C. － D.
5 (2024宿州期中)在△ABC中，点D满足＝，点E在射线AD(不含点A)上移动．若　＝λ＋μ，则(μ＋2)2＋λ2的取值范围是(　　)
A. [4，＋∞) B. (4，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)
6 如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若　＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、 多项选择题
7 (2023福州日升中学期中)下列说法中，正确的有(　　)
A. 已知a，b是平面内的两个非零向量，对于实数m，n，ma＋nb一定在该平面内
B. 已知e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
C. 已知a，b是平面内的两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则m＝p，n＝q
D. 已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对
8 (2024扬州期中)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E是CD的中点，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝＋
B. ||＝12
C. ·＝－6
D. 在上的投影向量为
三、 填空题
9 已知AM是△ABC的边BC的中线，若＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)
10 (2024潮州期中)在△ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若＝λ，＝＋μ，则λ＋μ＝________．
11 (2024浙江期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O.设＝m＋n，则m＋n＝________；若·＝6·，则 ＝________．
四、 解答题
12 如图，在△ABC中，E是AB的中点，＝2，BC＝3，AB＝4，∠ABC＝60°.
(1) 求||的值；
(2) 若＝λ，＝μ，求λ和μ的值．
13 (2024丽水期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝2AD＝4，E，F分别为AB和BC上的动点(包含端点)，且＝λ，＝μ.
(1) 若λ＝μ＝.
①请用，表示；
②设AF与DE相交于点G，求的值；
(2) 若λ＋μ＝1，求·的取值范围．
9.3.1　平面向量基本定理
1. A　设a＝λb，λ∈R，由a＝e1＋3e2，b＝－2e1＋ke2，得e1＋3e2＝λ(－2e1＋ke2)，即解得k＝－6.
2. C　因为B，P，C三点共线，所以设＝n(n≥0)，即－＝n(－)，整理，得＝＋.因为＝t＋，所以解得t＝.
3. C　由题意，得　＝＋＝＋＝＋－，易知△OEF∽△OBC，所以＝＝＝，所以＝，＝.在△OED中，＝＋，所以＝×＋＝＋，即(＋－)＝＋，整理，得＝－2＋.
4. C　如图，延长AO交BC于点E.因为点O是△ABC的重心，所以E为BC的中点，且＝2，则＝(＋).因为＝4，所以D是BC上靠近点C的四等分点，则＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－＋.因为＝m＋n，所以m＝－，n＝，所以 ＝－.
5. B　由点E在射线AD(不含点A)上，设＝k，k>0，又＝，则＝k(＋)＝k[＋(－)]＝＋，所以则t＝(μ＋2)2＋λ2＝＋k2＝k2＋3k＋4>4，所以(μ＋2)2＋λ2的取值范围是(4，＋∞).
6. D　如图，过点C分别作CC1∥OB交OA的延长线于点C1，作CC2∥OA交OB的延长线于点C2，则四边形OC1CC2为平行四边形. 由∠BOA＝120°，∠COA＝30°，得∠COB＝90°.在Rt△OCC2中，||＝2，∠OCC2＝30°，所以||＝2，||＝4.所以||＝||＝4，所以＝4＋2，所以λ＋μ＝6.
7. ABD　对于A，a，b是平面内的两个非零向量，对于实数m，n，由向量的运算法则，得ma＋nb一定在该平面内，故A正确；对于B，e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则由基底的定义，得m＝n＝0，故B正确；对于C，a，b是平面内的两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，当a，b共线时，则由向量相等的定义，得m＝p，n＝q不一定成立，故C错误；对于D，已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，由平面向量的基本定理，得使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对，故D正确．故选ABD.
8. AC　如图，设＝a，＝b，则|a|＝4，|b|＝2，a·b＝4×2×cos 60°＝4.对于A，＝＋＝＋＝＋，故A正确；对于B，由A可得　＝a＋b，两边平方，得||2＝＝a2＋a·b＋b2＝×16＋4＋4＝12，则||＝2，故B错误；对于C，因为＝a＋b，＝－a＋b，所以·＝·(－a＋b)＝－a2－a·b＋b2＝－×16－×4＋4＝－6，故C正确；对于D，　在　上的投影向量为＝＝，故D错误．故选AC.
9. (a＋b)　由AM是边BC的中线，可得＝.又＝＋＝＋，所以＝(＋)＝(a＋b).
10. －　因为＝λ，所以＝＋μ＝(－)＋μ＝＋＝(＋)＋＝(＋λ)＋＝＋.因为E是AD的中点，所以＝＋，所以＝，－－μ＝，解得λ＝，μ＝－，所以λ＋μ＝－.
11. 　　由D是BC的中点，得＝＋.又点O在AD上，设＝t(t≠0)，则t＝＋.又因为BE＝2EA，所以＝＋.因为E，O，C三点共线，所以＋＝1，解得t＝2，则＝＋.又＝m＋n，，不共线，所以m＝n＝，m＋n＝.因为＝＋＝－＋，所以6·＝6×(＋)·(－＋)＝－||2＋·＋||2＝·，可得－||2＋||2＝0，即||＝||，所以＝，即＝.
12. (1) 因为＝2，BC＝3，
所以||＝1，||＝2.
因为＝－，
所以||2＝||2－2·＋||2＝1－2×1×4×cos 60°＋16＝13，
故||＝.
(2) 因为＝μ＝μ＝－μ，
且＝＋＝(－)＋λ＝(－)＋λ(－)＝(1－λ)＋，
所以解得
13. (1) ①因为λ＝μ＝，
所以＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋－，
所以＝＋，即＝＋.
②设＝t，
则＝t＝t(＋)＝2t＋t.
因为D，G，E三点共线，
所以2t＋t＝1，解得t＝，
即的值为.
(2) 因为λ＋μ＝1，·＝4×2×cos 30°＝4，
所以·＝(＋μ)·(λ－)
＝λ||2＋(λμ－1)·－μ||2
＝16λ＋4λμ－4μ－4
＝16λ＋4λ(1－λ)－4(1－λ)－4
＝－4λ2＋(20＋4)λ－4－4.
因为0≤λ≤1，
所以－4－4≤·≤16－4，
即·的取值范围是[－4－4，16－4].