第二章 一元二次方程 章末达标检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
班级: 姓名: 成绩:
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.若方程(a-4)x2-x-1=0是一元二次方程,则a的取值范围是 ( C )
A.a≠0 B.a=4 C.a≠4 D.a≠3
2.方程x2-2x-3=0的解是 ( B )
A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3
C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3
3.用配方法解方程x2-6x+3=0,下列配方正确的是 ( A )
A.(x-3)2=6 B.(x+3)2=6
C.(x-3)2=-6 D.(x+3)2=2
4.一元二次方程3x2-x+2=0的根的情况是 ( C )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
5.已知x=-1是方程x2+ax-2=0的一个根,则a和方程的另一个根分别为 ( B )
A.-1,-2 B.-1,2 C.1,-3 D.1,3
6.若a是一元二次方程2x2=6x-4的根,则代数式a2-3a+2 025的值为 ( B )
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
7.有一个人患了流感,经过两轮传染后,共有36人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则下列结论错误的是 ( D )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感
B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可以列方程(x+1)2=36
D.按照这样的传播速度,三轮后一共会有180人感染
8.已知一元二次方程5x2-3x-1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为 ( C )
A. B.- C. D.-
9.已知三角形的两边长分别为4和5,第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根,则这个三角形的周长是 ( C )
A.11 B.12 C.11或12 D.15
10.对于实数a,b,定义新运算a*b=则下列结论正确的有 ( D )
①3*4=25;
②a*(2a-1)=
③若x1,x2是一元二次方程x2+(2-m)x-m+1=0的两个根,且x1*x2=5,则m的值为3或-1.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题:(本大题6个小题,每小题5分,共30分)
11.将一元二次方程(x+2)(x-2)=4化为一般形式为 x2-8=0 .
12.某社区为丰富居民闲暇时间,特新建一个图书馆,据统计,进馆人数逐渐增多,第一个月进馆500人次,第三个月进馆845人次.若该图书馆的进馆人次月平均增长率为x,则根据题意列出方程为 500(1+x)2=845 .
13.现有长40 m、宽30 m的矩形场地,欲在中央建一游泳池,周围是等宽的便道及休闲区,且周围部分的面积恰好等于游泳池的面积.则便道及休闲区的宽度为 5 m.
14.若关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于y的一元二次方程(m-6)y2+2y-1=0有两个不相等的实数根,则符合条件的所有整数m的和为 15 .
15.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,若x1,x2是原方程的两根,且=2,则m的值为 3或-5 .
16.对任意一个三位数k,如果满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数,那么称这个数为“快乐数”.例如:k=123,因为2=,所以123是“快乐数”.则最大的“快乐数”为 999 ;已知一个“快乐数”k=100a+10b+c(1≤a,b,c≤9,a,b,c为自然数),且使关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根.若7≤a+b+c≤10,则k的值为 333 .
三、解答题:(本大题8个小题,每小题10分,共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线)
17.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)x2-5x=0;
解:x(x-5)=0,x=0或x-5=0,
∴x1=0,x2=5.
(2)x2-4x+1=0.
解:∵a=1,b=-4,c=1,b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0,
∴x==2±.
∴x1=2+,x2=2-.
18.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)·的值.
解:∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根,
∴m2-m-2=0,
∴m2-m=2,m2=m+2.
∴原式=2=2=2=2×2=4.
19.已知关于x的方程x2-(k+3)x+3k=0.
(1)求证:不论k取何实数,该方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个根都是正根,求k的取值范围.
(1)证明:∵a=1,b=-(k+3),c=3k,
∴Δ=(k+3)2-4×1×3k=(k-3)2≥0.
∴不论k取何实数,该方程总有两个实数根.
(2)解:方程可变形为(x-3)(x-k)=0,∴x1=3,x2=k.
∵方程的两个根都是正根,∴k>0.
20.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2023年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米,预计到2025年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求每年市政府投资的增长率;
(2)若这两年内的建设成本不变,求到2025年底共建设了多少万平方米廉租房.
解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,则2024年投资2(1+x)亿元,2025年投资2(1+x)2亿元,根据三年累计投资9.5亿元,可列方程2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,
整理,得x2+3x-1.75=0,
解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(舍去).
答:每年市政府投资的增长率为50%.
(2)到2025年底共建廉租房面积:9.5÷=38(万平方米).
21.对于实数a,b,定义一种新运算“a☆b”,规定如下:a☆b=ab2-b,例如:3☆2=3×22-2=10.
(1)若1☆x=6,则满足条件的x的值为 3或-2 ;
(2)对于(a-1)☆x=2,存在两个不同的数值x满足等式,求a的取值范围;
(3)若2☆x>x☆2,求x的取值范围.
解:(2)∵(a-1)☆x=2,
∴(a-1)x2-x=2,即(a-1)x2-x-2=0.
∵存在两个不同的数值x满足等式,
∴Δ=(-1)2-4(a-1)×(-2)>0,且a≠1,
解得a>且a≠1.
(3)∵2☆x>x☆2,∴2x2-x>4x-2,即(2x-1)(x-2)>0,
则或
解得x<或x>2.
22.如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m),围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.
(1)当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为300 m2;
(2)能否围成面积为480 m2的矩形花园,为什么
(第22题)
解:(1)设BC=x m,则AB= m,
根据题意,得x·=300,
整理,得x2-62x+600=0,解得x1=12,x2=50.
又∵墙EF最长可利用28 m,∴x=12.
答:当矩形的长BC为12 m时,矩形花园的面积为300 m2.
(2)不能围成面积为480 m2的矩形花园,理由如下:
设BC=y m,则AB= m,
根据题意,得y·=480,
整理,得y2-62y+960=0,解得y1=30,y2=32.
又∵墙EF最长可利用28 m,
∴y1=30,y2=32均不符合题意,舍去,
∴不能围成面积为480 m2的矩形花园.
23.草莓是深受人们喜爱的明星水果,世界范围内共有2 000多个不同品种的草莓,某水果超市近期有“春旭”和“星都2号”两种品种的草莓正在销售.已知这两种草莓每千克的进价之和为150元,“春旭”草莓每千克的利润率为50%,“星都2号”草莓每千克的售价比进价的2倍少50元.某顾客购买了2千克“春旭”草莓和3千克“星都2号”草莓,共支付了570元.
(1)求该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为多少元;
(2)若按照原售价销售,该水果超市平均每天可售出“春旭”草莓50千克和“星都2号”草莓30千克.经调查发现,“春旭”草莓售价每降低1元,每天可多销售10千克,“星都2号”草莓售价每降低2元,每天可多销售10千克.该水果超市某天计划将两种草莓都降低相同价格出售,为尽最大可能让消费者获得实惠,且当天销售这两种草莓的利润之和为5 580元,则这两种草莓每千克都降低了多少元
解:(1)设“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为x元和y元,则“春旭”草莓每千克的售价为(1+50%)x元, “星都2号”草莓每千克的售价为(2y-50)元.
由题意,得
解得
答:该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为60元和90元.
(2)“春旭”草莓的售价为(1+50%)×60=90(元),
“星都2号”草莓的售价为2×90-50=130(元).
设这两种草莓每千克都降低了m元,
由题意,得(90-60-m)(50+10m)+(130-90-m)=5 580,
整理,得m2-28m+192=0,
解得m1=12,m2=16.
∵为尽最大可能让消费者获得实惠,∴m=16.
答:这两种草莓每千克都降低了16元.
24.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,当其中一点到达终点运动立即停止.设运动时间为t s.
(1)在运动过程中,PQ的长度能否为3 cm 若能,求出t的值;若不能,请说明理由;
(2)在运动过程中,△PDQ的面积能否为8 cm2 若能,求出t的值;若不能,请说明理由;
(3)取PQ的中点M,在运动过程中,当∠AMD=90°时,求t的值.
(第24题)
(答案图)
解:(1)PQ的长度能为3 cm.理由如下:
根据题意可知,AP=t cm,BP=AB-AP=(6-t)cm,BQ=2t cm.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°.
在Rt△BPQ中,由勾股定理,得BP2+BQ2=PQ2,
∴(6-t)2+(2t)2=(3)2,解得t=-(舍去)或t=3.
(2)不能.理由如下:
S△PDQ=S梯形ABQD-S△ADP-S△PBQ=(12+2t)×6-×12t-(6-t)×2t
=t2-6t+36.
∵S△PDQ=8 cm2,
∴t2-6t+36=8,即t2-6t+28=0,
∴Δ=62-4×28=-76<0,
∴此方程无实数根,
∴△PDQ的面积不能为8 cm2.
(3)如答案图,以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A(0,6),D(12,6),P(0,6-t),Q(2t,0),∴M.
如答案图,取AD的中点N(6,6),连接MN.
∵AD=12,∠AMD=90°,∴MN=AD=6,
即(t-6)2+=62,解得t1=6,t2=.第二章 一元二次方程 章末达标检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
班级: 姓名: 成绩:
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.若方程(a-4)x2-x-1=0是一元二次方程,则a的取值范围是 ( )
A.a≠0 B.a=4 C.a≠4 D.a≠3
2.方程x2-2x-3=0的解是 ( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3
C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3
3.用配方法解方程x2-6x+3=0,下列配方正确的是 ( )
A.(x-3)2=6 B.(x+3)2=6
C.(x-3)2=-6 D.(x+3)2=2
4.一元二次方程3x2-x+2=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
5.已知x=-1是方程x2+ax-2=0的一个根,则a和方程的另一个根分别为 ( )
A.-1,-2 B.-1,2 C.1,-3 D.1,3
6.若a是一元二次方程2x2=6x-4的根,则代数式a2-3a+2 025的值为 ( )
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
7.有一个人患了流感,经过两轮传染后,共有36人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则下列结论错误的是 ( )
A.1轮后有(x+1)个人患了流感
B.第2轮又增加x(x+1)个人患流感
C.依题意可以列方程(x+1)2=36
D.按照这样的传播速度,三轮后一共会有180人感染
8.已知一元二次方程5x2-3x-1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为 ( )
A. B.- C. D.-
9.已知三角形的两边长分别为4和5,第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根,则这个三角形的周长是 ( )
A.11 B.12 C.11或12 D.15
10.对于实数a,b,定义新运算a*b=则下列结论正确的有 ( )
①3*4=25;
②a*(2a-1)=
③若x1,x2是一元二次方程x2+(2-m)x-m+1=0的两个根,且x1*x2=5,则m的值为3或-1.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题:(本大题6个小题,每小题5分,共30分)
11.将一元二次方程(x+2)(x-2)=4化为一般形式为 .
12.某社区为丰富居民闲暇时间,特新建一个图书馆,据统计,进馆人数逐渐增多,第一个月进馆500人次,第三个月进馆845人次.若该图书馆的进馆人次月平均增长率为x,则根据题意列出方程为 .
13.现有长40 m、宽30 m的矩形场地,欲在中央建一游泳池,周围是等宽的便道及休闲区,且周围部分的面积恰好等于游泳池的面积.则便道及休闲区的宽度为 m.
14.若关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于y的一元二次方程(m-6)y2+2y-1=0有两个不相等的实数根,则符合条件的所有整数m的和为 .
15.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,若x1,x2是原方程的两根,且=2,则m的值为 .
16.对任意一个三位数k,如果满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数,那么称这个数为“快乐数”.例如:k=123,因为2=,所以123是“快乐数”.则最大的“快乐数”为 ;已知一个“快乐数”k=100a+10b+c(1≤a,b,c≤9,a,b,c为自然数),且使关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根.若7≤a+b+c≤10,则k的值为 .
三、解答题:(本大题8个小题,每小题10分,共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线)
17.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)x2-5x=0;
18.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根,求代数式(m2-m)·的值.
19.已知关于x的方程x2-(k+3)x+3k=0.
(1)求证:不论k取何实数,该方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个根都是正根,求k的取值范围.
20.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2023年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米,预计到2025年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.
(1)求每年市政府投资的增长率;
(2)若这两年内的建设成本不变,求到2025年底共建设了多少万平方米廉租房.
21.对于实数a,b,定义一种新运算“a☆b”,规定如下:a☆b=ab2-b,例如:3☆2=3×22-2=10.
(1)若1☆x=6,则满足条件的x的值为 ;
(2)对于(a-1)☆x=2,存在两个不同的数值x满足等式,求a的取值范围;
(3)若2☆x>x☆2,求x的取值范围.
22.如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m),围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60 m长的墙的材料.
(1)当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为300 m2;
(2)能否围成面积为480 m2的矩形花园,为什么
(第22题)
23.草莓是深受人们喜爱的明星水果,世界范围内共有2 000多个不同品种的草莓,某水果超市近期有“春旭”和“星都2号”两种品种的草莓正在销售.已知这两种草莓每千克的进价之和为150元,“春旭”草莓每千克的利润率为50%,“星都2号”草莓每千克的售价比进价的2倍少50元.某顾客购买了2千克“春旭”草莓和3千克“星都2号”草莓,共支付了570元.
(1)求该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓每千克的进价分别为多少元;
(2)若按照原售价销售,该水果超市平均每天可售出“春旭”草莓50千克和“星都2号”草莓30千克.经调查发现,“春旭”草莓售价每降低1元,每天可多销售10千克,“星都2号”草莓售价每降低2元,每天可多销售10千克.该水果超市某天计划将两种草莓都降低相同价格出售,为尽最大可能让消费者获得实惠,且当天销售这两种草莓的利润之和为5 580元,则这两种草莓每千克都降低了多少元
24.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,当其中一点到达终点运动立即停止.设运动时间为t s.
(1)在运动过程中,PQ的长度能否为3 cm 若能,求出t的值;若不能,请说明理由;
(2)在运动过程中,△PDQ的面积能否为8 cm2 若能,求出t的值;若不能,请说明理由;
(3)取PQ的中点M,在运动过程中,当∠AMD=90°时,求t的值.
(第24题)
