第四章 图形的相似 章末达标检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
班级: 姓名: 成绩:
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.已知4x=3y(y≠0),则下面结论成立的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
2.如图所示,两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组,每组中的一个图形在另一个图形的内部,对应边平行,那么两个图形不一定相似的一组是 ( )
A B C D
3.如果两个相似三角形的周长比为2∶3,那么这两个相似三角形的面积比为 ( )
A.4∶9 B.2∶3 C.3∶2 D.∶
4.如图所示,直线l1∥l2∥l3,AB=4,BC=6,DE=3,则EF的长为 ( )
A.4.5 B.5.5 C.6 D.7.5
(第4题) (第6题) (第7题)
5.一个钢筋三角架三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有 ( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
6.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF,以下说法中错误的是 ( )
A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE
C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC
7.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长MN=2 m,窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高AB为 ( )
A. m B.3 m C.2 m D.1.5 m
8.如图,A,B,C,D,E,G,H,M,N都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点),要使△DEF与△ABC相似,则点F应是G,H,M,N四点中的 ( )
A.H或N B.G或H C.M或N D.G或M
(第8题) (第9题) (第10题)
9.如图,已知在边长为4的菱形ABCD中,∠C=60°,E是BC边上一动点(与点B,C不重合).连接DE,作∠DEF=60°,交AB于点F,设CE=x,△FBE的面积为y.下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是 ( )
A B C D
10.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=,点E为AB边上一点,将△BCE沿CE翻折,点B的对应点为点F,过点F作FG∥CE交DC于点G.若DG∶GC=1∶4,则FG的长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题6个小题,每小题5分,共30分)
11.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,BC=15,A'C'=8,则当B'C'= 时,△ABC∽△A'B'C'.
12.唢呐是山西八大套的乐器之一.如图,一个中号唢呐AB的长约为40 cm.若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P(AP>BP)处进行装饰,则该装饰与吹口的距离AP为 cm.
(第12题)
(第13题)
13.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m 有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆.小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 m.
14.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.在如图所示的方格中,作格点△ABC,使△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是 .
(第14题) (第15题) (第16题)
15.如图,在△ABC中,延长AB到点D,使得BD=2AB,过点D作DE∥BC,连接AE交BC于点F.若∠BFA=∠BAC,AB=DE=3BF,且BF=1,则FC的长度为 .
16.如图,边长为4的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接CE交BD于点F,连接AF,过点A作AM⊥AF交CE的延长线于点M,则DM的长为 .
三、解答题:(本大题8个小题,每小题10分,共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线)
17.已知=(a≠0,b≠0),求下列式子的值:
18.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6).
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1;
(2)△ABC的面积是 (直接填结果);
(3)在网格内以原点O为位似中心,画出将△AB1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.
(第18题)
19.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:△ABO∽△BEO;
(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.
(第19题)
20.如图,AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=5,BC=10,AE=9,AB=12,求EG,FG的长.
(第20题)
21.如图1是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图.AC,BC表示铁夹的两个面,O点是轴,OD⊥AC于D.已知AD=15 mm,DC=24 mm,OD=10 mm.且文件夹是轴对称图形,试利用图2,求图1中A,B两点的距离.
(第21题)
22.如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)求证:EG2=GF·AF.
(第22题)
23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,BC=8 cm.点M从点C出发,以2 cm/s的速度沿CA向点A匀速运动,点N从点B出发,以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当一个点到达终点时,另一点也随即停止运动.
(1)经过几秒后,△MCN的面积等于△ABC面积的
(2)经过几秒,△MCN与△ABC相似
(第23题)
24.如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F,我们可以证明+=成立.若将图中的垂线改为斜交,如图2,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥AB交BD于点F,则:
(1)+=还成立吗 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(2)请找出,和间的关系式,并给出证明.第四章 图形的相似 章末达标检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
班级: 姓名: 成绩:
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.已知4x=3y(y≠0),则下面结论成立的是 ( B )
A.= B.= C.= D.=
2.如图所示,两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组,每组中的一个图形在另一个图形的内部,对应边平行,那么两个图形不一定相似的一组是 ( B )
A B C D
3.如果两个相似三角形的周长比为2∶3,那么这两个相似三角形的面积比为 ( A )
A.4∶9 B.2∶3 C.3∶2 D.∶
4.如图所示,直线l1∥l2∥l3,AB=4,BC=6,DE=3,则EF的长为 ( A )
A.4.5 B.5.5 C.6 D.7.5
(第4题) (第6题) (第7题)
5.一个钢筋三角架三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有 ( B )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
6.如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△DEF,以下说法中错误的是 ( D )
A.△ABC∽△DEF B.AB∥DE
C.OA∶OD=1∶2 D.EF=4BC
7.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC=30°,窗户的高在教室地面上的影长MN=2 m,窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m(点M,N,C在同一直线上),则窗户的高AB为 ( C )
A. m B.3 m C.2 m D.1.5 m
8.如图,A,B,C,D,E,G,H,M,N都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点),要使△DEF与△ABC相似,则点F应是G,H,M,N四点中的 ( C )
A.H或N B.G或H C.M或N D.G或M
(第8题) (第9题) (第10题)
9.如图,已知在边长为4的菱形ABCD中,∠C=60°,E是BC边上一动点(与点B,C不重合).连接DE,作∠DEF=60°,交AB于点F,设CE=x,△FBE的面积为y.下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是 ( B )
A B C D
10.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=,点E为AB边上一点,将△BCE沿CE翻折,点B的对应点为点F,过点F作FG∥CE交DC于点G.若DG∶GC=1∶4,则FG的长为 ( B )
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题6个小题,每小题5分,共30分)
11.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,BC=15,A'C'=8,则当B'C'= 10 时,△ABC∽△A'B'C'.
12.唢呐是山西八大套的乐器之一.如图,一个中号唢呐AB的长约为40 cm.若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P(AP>BP)处进行装饰,则该装饰与吹口的距离AP为 (20-20) cm.
(第12题)
(第13题)
13.如图所示,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5 m 有一棵树,在北岸边每隔50 m有一根电线杆.小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为 22.5 m.
14.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.在如图所示的方格中,作格点△ABC,使△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是 (4,0)或(3,2) .
(第14题) (第15题) (第16题)
15.如图,在△ABC中,延长AB到点D,使得BD=2AB,过点D作DE∥BC,连接AE交BC于点F.若∠BFA=∠BAC,AB=DE=3BF,且BF=1,则FC的长度为 8 .
16.如图,边长为4的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接CE交BD于点F,连接AF,过点A作AM⊥AF交CE的延长线于点M,则DM的长为 .
三、解答题:(本大题8个小题,每小题10分,共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线)
17.已知=(a≠0,b≠0),求下列式子的值:
(1);(2)(a+2b≠0).
解:设==k,则a=3k,b=2k.
(1)==.
(2)===.
18.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6).
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1;
(2)△ABC的面积是 3 (直接填结果);
(3)在网格内以原点O为位似中心,画出将△AB1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.
(第18题)
(答案图)
解:(1)如答案图所示,△AB1C1即为所求作.
(3)如答案图所示,△A2B2C2即为所求作.
19.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:△ABO∽△BEO;
(2)若AB=10,AC=16,求OE的长.
(第19题)
(1)证明:∵∠CAB=∠ACB,
∴AB=CB,∴ ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠AOB=∠BOE=90°.
∵BE⊥AB,∴∠EBA=90°,
∴∠BEO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BEO=∠ABO,∴△ABO∽△BEO.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=16,
∴OA=OC=AC=8,
∴OB===6.
∵△ABO∽△BOE,∴=,即=,解得OE=.
20.如图,AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=5,BC=10,AE=9,AB=12,求EG,FG的长.
(第20题)
解:∵在△ABC中,EG∥BC,∴=.
∵BC=10,AE=9,AB=12,∴=.
∴EG=.
∵在△BAD中,EF∥AD,∴=.
∵AD=5,AE=9,AB=12,∴=.
∴EF=.∴FG=EG-EF=-=.
21.如图1是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图.AC,BC表示铁夹的两个面,O点是轴,OD⊥AC于D.已知AD=15 mm,DC=24 mm,OD=10 mm.且文件夹是轴对称图形,试利用图2,求图1中A,B两点的距离.
(第21题)
(答案图)
解:如答案图,连接AB与CO的延长线交于点E.
由题意,得夹子是轴对称图形,对称轴是CE,A,B为一组对称点,
∴CE⊥AB,AE=EB.
在Rt△AEC与Rt△ODC中,
∵∠ACE=∠OCD,∠AEC=∠ODC,
∴Rt△AEC∽Rt△ODC.∴=.
又∵OC===26,
∴AE===15(mm).∴AB=2AE=30 mm.
22.如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)求证:EG2=GF·AF.
(第22题)
(答案图)
证明:(1)∵GE∥DF,∴∠EGF=∠DFG.
由翻折的性质,得GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG,∴GD=DF,
∴DG=GE=DF=EF,∴四边形EFDG为菱形.
(2)如答案图,连接DE,交AF于点O.
∵四边形EFDG为菱形,∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,∴△DOF∽△ADF,
∴=,即DF2=OF·AF.
又∵EG=DF,∴EG2=GF·AF.
23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,BC=8 cm.点M从点C出发,以2 cm/s的速度沿CA向点A匀速运动,点N从点B出发,以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动,当一个点到达终点时,另一点也随即停止运动.
(1)经过几秒后,△MCN的面积等于△ABC面积的
(2)经过几秒,△MCN与△ABC相似
(第23题)
解:(1)设经过x s,△MCN的面积等于△ABC面积的.
根据题意,得×2x(8-x)=×8×10×.
解得x1=x2=4.
答:经过4 s后,△MCN的面积等于△ABC面积的.
(2)设经过t s,△MCN与△ABC相似.
∵∠C=∠C,
∴可分为两种情况:
①当△MCN∽△BCA时,则=,即=,解得t=;
②当△MCN∽△ACB时,则=,即=.解得t=.
答:经过 s或 s,△MCN与△ABC相似.
24.如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F,我们可以证明+=成立.若将图中的垂线改为斜交,如图2,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥AB交BD于点F,则:
(1)+=还成立吗 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(2)请找出,和间的关系式,并给出证明.
(第24题)
解:(1)成立.证明如下:
∵AB∥EF,∴=.
∵CD∥EF,∴=.
∴+=+==1.∴+=.
(2)关系式为:+=.证明如下:
分别过点A作AM⊥BD于点M,过点E作EN⊥BD于点N,过点C作CK⊥BD交BD的延长线于点K,如答案图.
(答案图)
由题意可得+=,
∴+=.
即+=.
又∵BD·AM=,BD·CK=,BD·EN=,
∴+=.
