第一章 特殊平行四边形 章末达标检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
班级: 姓名: 成绩:
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.一个正方形的边长为2,它的对角线长为 ( B )
A.2 B.2 C.4 D.8
2.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长是 ( C )
A.6 B.12 C.24 D.48
(第2题)
(第3题)
3.如图,顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是 ( C )
A.AB∥DC B.AB=DC
C.AC⊥BD D.AC=BD
4.用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形.一定可以拼成的是 ( D )
A.①④⑤ B.②③④ C.①②③ D.①②⑤
5.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交所成的较大角是 ( A )
A.100° B.80° C.40° D.20°
6.下列判断正确的是 ( C )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
7.如图,在矩形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,AE⊥BD于点E,若OE∶OD=1∶2,OC=2 cm,则AE的长为 ( C )
A.1 cm B. cm C. cm D.2 cm
(第7题)
(第8题)
8.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,AM平分∠BAC.若AM=2,则菱形ABCD的面积为 ( C )
A.6 B.8 C.6 D.8
9.如图,在正方形ABCD中,M是正方形内一点,连接BM,使BM=BC,连接CM,DM,过点D作DN⊥DM,且DN=DM,连接AN.若∠CBM=α,则∠DAN的度数是 ( D )
A.90°-2α B.α C.45°+ D.
(第9题)
(第10题)
10.如图,P为正方形ABCD内一点,过点P作直线PD交BC于点E,过点P作直线GH分别交AB,DC于点G,H,且GH=DE,连接PA,PB.若∠APD=∠DEC,∠EDC=15°.以下结论:①∠DAP=30°;②S△ABP∶S正方形ABCD=∶4;③GH⊥DE;④PB=PE+PG.其中正确的有 ( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:(本大题6个小题,每小题5分,共30分)
11.在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= 57 °.
12.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,AB=12,则CD= 6 .
(第12题)
(第13题)
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 2 .
14.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,E为BC上一点,ED平分∠AEC,ED=2,则AD的长为 5 .
(第14题)
(第15题)
(第16题)
15.如图,Rt△AOD位于平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,-),∠AOD=30°,若点C是平面内任一点,在x轴正半轴上存在点B,使A,C,B,O为顶点的四边形是菱形,则满足条件的点C的坐标为 (1,)或(3,- )或(-1,-) .
16.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=6,点E为DC边上的一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'刚好落在矩形ABCD的对称轴上时,则DE的长为 或 .
三、解答题:(本大题8个小题,每小题10分,共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线)
17.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BD=10 cm.
(1)求AD的长度;
(2)求点A到BD的距离AG的长.
(第17题)
解:(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以∠BAD=90°.
又因为AB=6 cm,BD=10 cm,
所以由勾股定理可求得AD=8 cm.
(2)根据三角形面积公式,有
AB·AD=BD·AG,
即6×8=10×AG,所以AG=4.8 cm.
18.如图,四边形ABCD为矩形,AC为矩形的一条对角线.
(1)用尺规完成以下基本作图:在AB的左侧作∠EAB=∠ACD,射线AE与CB的延长线交于点E,连接DE与AB交于点F;(保留作图痕迹,不写作法,不下结论)
(2)小亮判断点F为线段DE的中点.他的证明思路是:利用矩形的性质,先证明△AEC为等腰三角形,从而得到点B为EC的中点,再利用三角形全等,得到点F为DE的中点.请根据小亮的思路完成下面的填空:
(第18题)
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°,
AB∥DC,
∴① ∠BAC=∠ACD .
又∵∠EAB=∠ACD,∴∠EAB=∠BAC.
∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,∠EAB+∠AEB=90°,
∴② ∠ACB=∠AEB ,∴AC=AE.
∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∴③ BE=BC .
∵AD=BC,∴AD=BE.
又∵∠BAD=∠ABE=90°,∠AFD=∠BFE,
∴④ △ADF≌△BEF (AAS),
∴DF=EF,∴点F为DE的中点.
解:(1)作图略.
19.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
(第19题)
(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE.
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.
∴△AFE≌△DBE.∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,
∴DB=DC.∴AF=DC.
(2)解:四边形ADCF是菱形.
证明如下:由(1)知,AF=DC,
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形.
∵AD是BC边上的中线,∴AD=BC=DC.
∴平行四边形ADCF是菱形.
20.已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过点P分别作直线AC,BD的垂线PE,PF,垂足为E,F.
(1)如图1,当点P在线段AB上时,求PE+PF的值;
(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.
(第20题)
解:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD,∠ABD=45°.
∵PF⊥BD,∴PF∥AC.
同理PE∥BD,
∴四边形PFOE为矩形,
∴PE=OF.
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=a.
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,∴PF∥AC.
同理PE∥BD,∴四边形PFOE为矩形,∴PE=OF.
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.∴PE-PF=OF-BF=OB=a.
21.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线交于点E,连接AE.
(第21题)
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若菱形ABCD的对角线AC的长为4,∠BCD=60°,求AE的长.
(1)证明:由题意,得CE∥DO,DE∥CO,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°,∴四边形OCED为矩形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=4,
∴OA=OC=AC=2,OB=OD=BD,AC⊥BD.
∵∠BCD=60°,∴∠BCO=∠DCO=30°.
设OB=x,则BC=2x,
在Rt△BCO中,由勾股定理,得OC2+OB2=BC2,
即(2)2+x2=(2x)2,解得x=2,
∴OD=OB=2.
由(1),知四边形OCED是矩形,∴CE=OD=2,∠OCE=90°,
∴AE===2.
22.如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=4 cm,动点P在对角线BD上运动(点P不与B,D两点重合),设BP的长度为x cm,△ABP的面积为y1 cm2,△CDP的面积为y2 cm2,请解答下列问题:
(1)请直接写出y1,y2与x的函数关系式及x的取值范围;
(2)在平面直角坐标系中画出y1,y2的函数图象,并结合函数图象,写出函数y1的一条性质;
(3)根据图象直接写出当y1≥y2时,x的取值范围.
(第22题)
解:(1)y1=x(0(2)作图略.
性质:当0(3)2.5≤x<5.
23.如图,已知四边形ABCD和CEFG均是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH.
(1)求证:AK=AH;
(2)求证:四边形AKFH是正方形;
(3)若四边形AKFH的面积为10,CE=1,求点A,E之间的距离.
(第23题)
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABK=∠ADC=∠ADH=90°.
又∵DH=BK,∴△ADH≌△ABK(SAS),
∴AK=AH.
(2)证明:∵△ADH≌△ABK,
∴∠DAH=∠BAK,∴∠HAK=∠BAD=90°.
易证△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH,
∴AH=AK=HF=FK,∴四边形AKFH是菱形.
∵∠HAK=90°,∴四边形AKFH是正方形.
(3)解:∵四边形AKFH的面积为10,∴KF=.
∵EF=CE=1,∴KE===3,∴AB=KE=3.
∵BK=EF=1,∴BE=BK+KE=4,
∴AE===5,故点A,E之间的距离为5.
24.如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=45°,点E是AB边上一点,连接DE,CE.
(1)如图1,若菱形的边长为4,当DE⊥AB时,求线段CE的长;
(2)如图2,将线段DE绕点D逆时针旋转45°得到线段DF,连接AF,点G是AF的中点,连接DG.求证:CE=2DG;
(3)如图3,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,点E在射线AB上运动的过程中,当CF取最小值时,直接写出的值.
(第24题)
(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴CD=AD=4,AB∥CD.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠ADE=90°-∠A=45°,∴DE=AD=2.
∵AB∥CD,∴∠CDE=∠AED=90°,
∴CE===2.
(2)证明:如答案图1,延长DG至点H,使GH=DG,连接AH.
∵点G是AF的中点,∴AG=FG,
又∵∠AGH=∠FGD,∴△AGH≌△FGD(SAS),∴AH=DF,∠H=∠FDG,
∴AH∥DF,∴∠DAH+∠ADF=180°.
∵线段DE绕点D逆时针旋转45°得到线段DF,∴DE=DF,∠EDF=45°,
∴∠DAH=180°-∠ADF=180°-∠ADE-∠EDF=135°-∠ADE,AH=DE.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,AB∥CD,
∴∠ADC=180°-∠DAB=135°,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=135°-∠ADE,
∴∠CDE=∠DAH,∴△ADH≌△DCE(SAS),∴CE=DH=2DG.
(答案图1)
(答案图2)
(答案图3)
(3)解:如答案图2,过点D作DW⊥AD,交AB的延长线于点W,连接FW.
∵∠A=45°,∴∠AWD=90°-∠A=45°,∴∠A=∠AWD,∴AD=WD.
∵线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,∴DF=DE,∠EDF=90°,
∴∠ADW=∠EDF,∴∠ADE=∠WDF,∴△ADE≌△WDF(SAS),
∴∠DWF=∠A=45°,∠AED=∠WFD,
∴∠AWF=∠AWD+∠DWF=90°,∴FW⊥AW,
∴点F在与AW垂直的直线上运动,
∴当CF⊥FW时,CF最小,此时点F在CD上,如答案图3,∴∠DFW=90°.易知AE=AD=AB,∴EB=AB-AE=AB-AB=AB,
∴===-1.第一章 特殊平行四边形 章末达标检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
班级: 姓名: 成绩:
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)
1.一个正方形的边长为2,它的对角线长为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.8
2.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长是 ( )
A.6 B.12 C.24 D.48
(第2题)
(第3题)
3.如图,顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是 ( )
A.AB∥DC B.AB=DC
C.AC⊥BD D.AC=BD
4.用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形.一定可以拼成的是 ( )
A.①④⑤ B.②③④ C.①②③ D.①②⑤
5.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交所成的较大角是 ( )
A.100° B.80° C.40° D.20°
6.下列判断正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
7.如图,在矩形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,AE⊥BD于点E,若OE∶OD=1∶2,OC=2 cm,则AE的长为 ( )
A.1 cm B. cm C. cm D.2 cm
(第7题)
(第8题)
8.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,AM平分∠BAC.若AM=2,则菱形ABCD的面积为 ( )
A.6 B.8 C.6 D.8
9.如图,在正方形ABCD中,M是正方形内一点,连接BM,使BM=BC,连接CM,DM,过点D作DN⊥DM,且DN=DM,连接AN.若∠CBM=α,则∠DAN的度数是 ( )
A.90°-2α B.α C.45°+ D.
(第9题)
(第10题)
10.如图,P为正方形ABCD内一点,过点P作直线PD交BC于点E,过点P作直线GH分别交AB,DC于点G,H,且GH=DE,连接PA,PB.若∠APD=∠DEC,∠EDC=15°.以下结论:①∠DAP=30°;②S△ABP∶S正方形ABCD=∶4;③GH⊥DE;④PB=PE+PG.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:(本大题6个小题,每小题5分,共30分)
11.在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= °.
12.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,AB=12,则CD= .
(第12题)
(第13题)
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 .
14.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,E为BC上一点,ED平分∠AEC,ED=2,则AD的长为 .
(第14题)
(第15题)
(第16题)
15.如图,Rt△AOD位于平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,-),∠AOD=30°,若点C是平面内任一点,在x轴正半轴上存在点B,使A,C,B,O为顶点的四边形是菱形,则满足条件的点C的坐标为 .
16.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=6,点E为DC边上的一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'刚好落在矩形ABCD的对称轴上时,则DE的长为 .
三、解答题:(本大题8个小题,每小题10分,共80分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线)
17.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BD=10 cm.
(1)求AD的长度;
(2)求点A到BD的距离AG的长.
(第17题)
18.如图,四边形ABCD为矩形,AC为矩形的一条对角线.
(1)用尺规完成以下基本作图:在AB的左侧作∠EAB=∠ACD,射线AE与CB的延长线交于点E,连接DE与AB交于点F;(保留作图痕迹,不写作法,不下结论)
(2)小亮判断点F为线段DE的中点.他的证明思路是:利用矩形的性质,先证明△AEC为等腰三角形,从而得到点B为EC的中点,再利用三角形全等,得到点F为DE的中点.请根据小亮的思路完成下面的填空:
(第18题)
19.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
(第19题)
20.已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC,BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过点P分别作直线AC,BD的垂线PE,PF,垂足为E,F.
(1)如图1,当点P在线段AB上时,求PE+PF的值;
(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.
(第20题)
21.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线交于点E,连接AE.
(第21题)
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若菱形ABCD的对角线AC的长为4,∠BCD=60°,求AE的长.
22.如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,AD=4 cm,动点P在对角线BD上运动(点P不与B,D两点重合),设BP的长度为x cm,△ABP的面积为y1 cm2,△CDP的面积为y2 cm2,请解答下列问题:
(1)请直接写出y1,y2与x的函数关系式及x的取值范围;
(2)在平面直角坐标系中画出y1,y2的函数图象,并结合函数图象,写出函数y1的一条性质;
(3)根据图象直接写出当y1≥y2时,x的取值范围.
(第22题)
23.如图,已知四边形ABCD和CEFG均是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH.
(1)求证:AK=AH;
(2)求证:四边形AKFH是正方形;
(3)若四边形AKFH的面积为10,CE=1,求点A,E之间的距离.
(第23题)
24.如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=45°,点E是AB边上一点,连接DE,CE.
(1)如图1,若菱形的边长为4,当DE⊥AB时,求线段CE的长;
(2)如图2,将线段DE绕点D逆时针旋转45°得到线段DF,连接AF,点G是AF的中点,连接DG.求证:CE=2DG;
(3)如图3,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,点E在射线AB上运动的过程中,当CF取最小值时,直接写出的值.
(第24题)
