第二章 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 课件(共17张PPT) 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共17张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
数学
学习目标
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
②借助二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性.
②能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题.
甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100(5x2-12x-3)元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的最小值是多少
要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则2×100(5x2-12x-3)≥3 000,
整理,得5x2-12x-18≥0,即(x-3)(5x+3)≥0,即所以x≥3,或x≤-.又1≤x≤10,所以3≤x≤10,故x的最小值是3.
(1)与一元一次不等式类比,不等式5x2-12x-18≥0有什么特点
概念:一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
使一元二次不等式成立的未知数x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.
(2)求不等式5x2-12x-18≥0的解集应用了什么解法 能否推广到一般结论
方法:求不等式5x2-12x-18≥0的解集应用了代数方法,通过因式分解,借助符号法则求得解集.
在初中,我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地,能否从二次函数的观点看一元二次不等式,进而得到一元二次不等式的求解方法呢
试以函数y=5x2-12x-18,方程5x2-12x-18=0,不等式5x2-12x-18>0为例合作交流.
在平面直角坐标系中画出函数y=5x2-12x-18的图象,可以发现该图象与x轴交点的横坐标(也叫二次函数的零点)正是方程5x2-12x-18=0的解;也可以发现二次函数图象在x轴上方的部分对应的x的取值集合正是5x2-12x-18>0的解集.
例1　求不等式x2-5x+6>0的解集.
解 对于方程x2-5x+6=0,因为Δ>0,所以它有两个实数根.解得x1=2,x2=3.
如图,画出二次函数y=x2-5x+6的图象,结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2,或x>3}.
例2　求不等式9x2-6x+1>0的解集.
解 对于方程9x2-6x+1=0,因为Δ=0,所以它有两个相等的实数根,解得x1=x2=.
如图,画出二次函数y=9x2-6x+1的图象,结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为.
例3　求不等式-x2+2x-3>0的解集.
解 不等式可化为x2-2x+3<0.
因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.
如图,画出二次函数y=x2-2x+3的图象,
结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为 .
因此,原不等式的解集为 .
例4　一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:
y=-20x2+2 200x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
解 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000,
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.
如图,画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|501.解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0; (2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0; (4)-3x2+5x-2>0.
解 (1)∵Δ>0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=-,x2=2,∴不等式2x2-3x-2>0的解集为.
(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,
∴不等式x2-4x+4>0的解集为{x|x≠2}.
(3)原不等式可化为x2-2x+3>0.
∵Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,
∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2-5x+2<0.
∵Δ>0,方程3x2-5x+2=0的两根为x1=,x2=1,
∴不等式-3x2+5x-2>0的解集为.
2.某公司为了竞标某活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,每年销售8万件.据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
解 设该商品每件定价为t元,依题意得(8-×0.2)t≥25×8,整理,得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40,
所以要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为40元.
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1.基础知识归纳
(1)一元二次不等式的定义及现实意义;
(2)一元二次不等式与相应函数、方程的联系;
(3)借助二次函数求解一元二次不等式,并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题.
2.思想方法总结:数形结合思想、类比思想、分类讨论思想、数学建模思想、函数方法.
3.误区警示:(1)解一元二次不等式时,常使不等式右侧为0,二次项系数为正数;
(2)含参数的不等式在求解时,对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.