第1章特殊平行四边形例题精讲与跟踪训练（含解析）-数学九年级上册北师大版

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第1章特殊平行四边形例题精讲与跟踪训练-数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （ ）

A． B．2 C． D．3
3．下列选项中，矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角互补
4．如图，O为菱形的对角线的交点，点M，N分别为边的中点，连接，若，，则菱形的周长为（ ）
A．8 B．12 C． D．16
5．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形．若，则的长为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．18
8．在矩形中，，，点M是对角线上一点，连接，当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．或 C．1或 D．1或
二、填空题
9．矩形的两条对角线将矩形分成4个三角形，它们的面积 ．（填“相等”或“不相等”）
10．如图，菱形中，，对角线，相交于点，为的中点．若菱形的周长为32，则的周长为 ．
11．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形， 连接，分别交于点． 已 知， 正方形 的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为
12．如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，若，，则等于 ．
13．如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ．
14．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小： ；
（2）若，则的值为 ．
15．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离 ．
16．如图所示，在菱形中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点Q．若，则 ．
三、解答题
17．如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且
(1)求证：；
(2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明
18．如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则四边形ADCE的面积＝_____．
19．实验与探究：
如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．同理，我们还可以得到_____________．由旋转可得，则我们可推理论证得到、的位置关系是_____________；
(2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论；
(3)已知，若恰好是的角平分线，求与之间的距离．
20．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
(1)求证：；
(2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
21．综合与实践
问题情境
如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点．
猜想证明
（1）在三角尺绕着点旋转的过程中．
①请判断与的数量关系，并加以证明．
②四边形的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由．
问题解决
（2）如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D B B C B
1．C
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意；
D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键．
2．D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，为的中点，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】此题考查了矩形的性质．根据矩形的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意；
B、矩形的对边相等，故选项不符合题意；
C、矩形的对角线相等，故选项不符合题意；
D、矩形的对角互补，故选项不符合题意；
故选：A
4．D
【分析】本题主要考查了中位线的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据中位线的性质可得，再结合菱形的性质可得，，，然后在中由勾股定理计算出的值，即可获得答案．
【详解】解：∵点，是，的中点，即是的中位线，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴在中，，
∴菱形的周长为：．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且，
∴，，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、由作图知，是的平分线，且，
∴，，不能说明与相等，
∴与不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，，
∴四边形是菱形，
∴，故本选项不符合题意；
D、由作图知，，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了正方形的翻折．熟练掌握正方形的性质，翻折的性质，建立角之间的数量关系，是解题的关键．
根据翻折的性质可知，，由此可得：，得出，再通过角的和差关系即可求出的值．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
由翻折的性质可知：，；
∴，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点D是斜边的中点，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的定义等知识点，分类讨论当时，
当时，两种情况即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
当时，如图所示：
则为对角线的交点，
∴；
当时，如图所示：
∴；
当，此种情况不成立；
故选：B
9．相等
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积问题等知识点，掌握矩形的对角线互相平分与等底同高的三角形面积相等成为解题的关键．
如图：由四边形是矩形，根据矩形的对角线互相平分，即可得，则易证，即可得，又由与等底同高，可得，进而完成解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与等底同高，
∴，
同理：，
∴．
∴矩形的两条对角线将矩形分成4个三角形的面积相等．
故答案为：相等．
10．12
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．根据菱形对角线互相垂直的性质可知，在中，利用斜边的中线等于斜边的一半解得，证明是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：菱形的周长为32，
，
在菱形中，
，，
又为的中点，
在中，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴的周长为，
故答案为：12．
11．
【分析】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：∵正方形的面积为24，
∴，，，
设，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵四个三角形为全等的直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积之和，
故阴影部分的面积之和就是梯形的面积，
∴
，
故答案为：4.8 ．
12．
【分析】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理．根据矩形及折叠的性质可知，，，则，设，则，，利用勾股定理可得：，即，求出即可求得的长度．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，
∵将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线恰好经过点，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
∴．
故答案为：．
13．/
【分析】设交于点K，通过四边形是矩形以及，得到是等边三角形，根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，，的值，进而得到的值，再利用直角三角形的性质及勾股定理得到，即可．
【详解】解：如图，设交于点K，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用直角三角形的性质．
14．
【分析】此题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．
（1）证明即可；
（2）作交的延长线于点Q，设， ，则，，根据一线三垂直模型证明，可得， ，由可得，，即，再代入计算即可．
【详解】解：（1）∵为正方形，
∴，，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）作交的延长线于点Q，则，
设， ，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查菱形的性质，作角平分线，由作图步骤可得平分，由菱形的性质求出的度数，最后根据三角形的外角求即可．
【详解】∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由作图步骤可得平分，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)当时或当时，四边形BEDF为矩形
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，利用可以证明和全等，从而可以得到；
（2）根据（1）可知：，从而可以得到，，故四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定，即可写出添加的条件．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：当时，四边形为矩形，
理由：由（）知：，则，，
故四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形；
当时，四边形为矩形，
理由：由（）知：，则，，
故四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形．
由上可得，当时或当时，四边形为矩形．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形，得出，且，进而证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得结论；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，根据菱形的性质得出的长，利用菱形面积公式即可得答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，且．
∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，是斜边的中点，
，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形，
∴，，
∴菱形的面积，
故答案为：
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
19．(1)，
(2)证明见解析；
(3)与之间的距离为．
【分析】（1）由旋转的性质可知，，由矩形的性质，得到，进而得到，推出，即可求解；
（2）由（1）可知，，，，再结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，得到，即可证明结论；
（3）过点作于点，根据矩形和角平分线的定义，证明是等腰直角三角形，进而得出，即可求解．
【详解】（1）解：线段由旋转得到，
，
矩形框，
，
，
，
（2）解：由（1）可知，，，，
矩形框，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
矩形框，
，，
，
恰好是的角平分线，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
即与之间的距离为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
20．(1)见详解
(2)四边形是菱形
(3)当时，四边形是正方形
【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键．
（1）先利用平行四边形的判定证得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论．
（2）求出四边形为平行四边形，再根据对角线即可求解．
（3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
21．（1）①；证明见解析；②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由见解析；（2）2
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识：
（1）①由四边形为正方形可以得到，又，而由此可以推出，，进一步得到，由证明，即可得出结论；②由，得出，那么它们都加上四边形的面积，即可四边形的面积=正方形的面积，从而求出其面积；
（2）延长至G，使，连接，作于M，由证明，得出，，证出，由证明，得出全等三角形对应边上的高相等即可．
【详解】解：（1）①；理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下：
∵正方形的边长为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
即四边形的面积的值始终保持不变，值为4；
（2）延长至G，使，连接，作于M，如图2所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应边上的高相等），
即点A到线段的距离为2．
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