第1章一元二次方程复习讲义（含解析）-数学九年级上册苏科版

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第1章一元二次方程复习讲义-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．2 B．3 C．3或5 D．3或2
2．若关于x的一元二次方程的两根为、，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
6．根据表格对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
2.29 3.76
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判断
7．把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
二、填空题
9．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
10．已知、是方程的两个根，则 ．
11．阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，；创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 ．
12．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在器材投资商的平均增长率是多少？ 若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，根据题意可列出的方程
13．若，是方程的两根，则的值为 ．
14．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，若三角形为等边三角形，则点的坐标是 ．
15．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4．
16．新概念运算：运算符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请根据上述规定判断关于x的二阶行列式：的根的情况 ．
三、解答题
17．用恰当的方法解下列一元二次方程：
(1)
(2)
(3)
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
19．某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
20．已知关于x 的方程有两个实数根，．
(1)若，是矩形的两条对角线的长，求a 的值；
(2)当时，，是菱形的两条对角线的长，求菱形的周长．
21．我校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长42米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计）
(1)设边的长为x米，则边的长为________米，展览区（矩形）的面积为________；（用含x的代数式表示）
(2)当时，所围成的展览区总面积为144平方米，求的长；
(3)能否围成总面积为的展览区？请说明理由．
22．在2024年巴黎奥运会上，中国射击队员谢瑜以240.9环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．奥运冠军谢瑜的家乡在贵州省毕节市纳雍县，该县盛产辣椒，当地政府采用“公司合作社农户”利益链接模式，让群众增收，为乡村振兴注入新动能．某村民2022年种植辣椒100亩，该村民逐年扩大规模，到2024年种植面积达到169亩．
(1)求该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率．
(2)某村民经营辣椒销售店，经市场调查发现，当辣椒售价为10元/千克时，每天能售出200千克，售价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知辣椒的平均成本价为4元/千克，若使销售辣椒每天获利800元，则售价应降低多少元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C A B B D
1．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或，
解得，，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两根时，，，即，，据此求出和的值，即可求解．
【详解】解：若关于x的一元二次方程的两根为、，
则关于x的一元二次方程的两根之为：，两根之积为：，
即方程的中，，
故两根为、的一元二次方程为．
故选： B．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况求参数．根据该方程有两个不相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴当时，则是一次方程，只有一个解，不符合题意，故舍去；
∴当时，则是一元二次方程，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴k的取值范围是且．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据新运算得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【详解】解：根据题意得，
∵
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，，由此确定方程的解．
【详解】解：由表格可知：
当时，；
当时，
∴方程的一个解x的范围为：．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：
故选B．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向，
∴
设甲、乙的时间都是x，则，，
又∵．
∴
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴（舍去），
∴甲走的路程为（步），
故选：D．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．6
【分析】此题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．因为，是方程的两根，利用根与系数的关系求出，再将代入方程得，两个式子相加就能得到结果．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，
将代入方程得，
∴，
∴，
故答案为：6．
11．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据题意，是两个不相等的实数，且满足，，则可将看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入的值计算即可求解，将看作是一元二次方程的两个实数根是解题的关键．
【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，，
∴可将看作是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴原式
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则今年的投资额为万元，明年的投资额为万元，根据“预计今、明两年的投资总额为12万元”即可列出方程．
【详解】解：设设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是x，根据题意，得
．
故答案为：
13．
【分析】利用一元二次方程根的定义即可解决问题．
本题主要考查了一元二次方程根的定义，求代数式的值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：是方程的两个根，
则，
∴
∴
，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查坐标与图形，设，根据等边三角形的三边相等，结合两点间的距离公式，列式求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，，，
∵为等边三角形，
∴，解得：或，
∴点坐标为或；
故答案为：或．
15．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设t秒后的面积等于4，
由题意得：，则，
∵，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点从点C到点A的时间为，
∴，不合题意，舍去，
∴1秒后，的面积等于4．
故答案为：1．
16．没有实数根
【分析】此题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新概念，把关于x的二阶行列式化成一元二次方程，利用根的判别式判定方程根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴
，，
∴
∴方程没有实数根，
故答案为：没有实数根．
17．(1)，
(2)，
(3)，
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择恰当的方法是解题的关键．
（1）运用直接开方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可；
（3）运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
两边开方，得，
解得，；
（2）解：
因式分解，得，
∴或，
解得，；
（3）解：
移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，．
（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式，得出，根据，得出关于m的方程，解方程即可计．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
∴，
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）解：∵，，，
∵；，
∴
，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴符合题意．
19．(1)42；
(2)每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．
（1）先求出多售出的件数，再加上30件可得销售量；
（2）设商品降价x元，再根据销售量乘以单间利润等于2100列出方程，求出解即可．
【详解】（1）解：（件）．
故答案为：42；
（2）解：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为2100，根据题意，得
，
解得，，
∵，，
∴，
即当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元．
20．(1)
(2)20
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质、根据矩形的对角线相等得到（1）中是解答的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数关系得到，，根据矩形的两条对角线相等得到，进而列方程求解即可；
（2）先解出方程的解，进而利用菱形的性质和勾股定理求解即可
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，，
∴，，
∵，是矩形的两条对角线的长，
∴，则，
解得；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
∵，是菱形的两条对角线的长，
∴菱形的边长，
∴菱形的周长为．
21．(1),
(2)
(3)不能围成总面积为的展览区
【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用、列代数式等知识点，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
（1）根据图形可表示出的长，再根据矩形面积公式表示出矩形面积即可；
（2）由围成总面积为144平方米以及代入（1）所得的展览区面积求出x的值，再检验，进而求得的长即可；
（3）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：,即，
∴矩形的面积为．
故答案为：,．
（2）解：若，能围成展览区总面积144平方米,李依如下：
根据题意得：，解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
∴的长为．
（3）解：不能围成总面积为的展览区，理由如下：
根据题意得：，整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴不能围成总面积为的展览区．
22．(1)该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为
(2)售价应降低4元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可；
（2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（舍去），
答：该村民这两年种植辣椒亩数的平均增长率为；
（2）设售价应降低元，由题意，得：
，
解得：（舍去），
答：售价应降低4元．
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