第一章 1.1集合的概念 课件（共27张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共27张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
数学
一、情景引入，温故知新
情景1：方程在有理数范围内无解，但在实数范围内有解(=±).在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆;但在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是球面.
问题:
(1)为什么研究数学问题中的同一研究对象在不同的研究范围会有不同的结论
(2)在研究数学问题时，你认为是研究数学对象重要还是研究范围重要
探究一 集合的含义
1.考察下列问题：
（1）1～20以内的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;
（5）方程 所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
课堂探究
思考:
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
课堂探究
（1）集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.
（2）集合与元素的表示
通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
课堂探究
探究二 集合中元素的性质
所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
不能. 其中的元素不确定，集合中的元素是确定的.
2. 由1,3,0,5,| 3 |这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .
集合中的元素是互异的
课堂探究
3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？
集合没有变化,集合中的元素是没有顺序的.
归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？
确定性、互异性、无序性.
4.若两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.
课堂探究
练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流.
【解析】（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合.
（2）由集合元素的确定性知其不能组成集合.
课堂探究
探究三： 元素和集合之间的关系
1.已知下面的两个实例：
（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.
（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.
思考：a，b与集合A分别有什么关系
【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.
课堂探究
2.元素与集合的属于关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
课堂探究
练习2. 用符号“∈”或“ ”填空.
N; (2) Q;
(3)0 {0} ; (4)a {a,b,c}.
【答案】(1) ∈ (2) （3）∈ （4）∈
课堂探究
探究四 集合的表示方法
1.列举法
思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？
【提示】可以这样表示为 {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.
课堂探究
思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？
【提示】 {1, 2}
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；
⑵ 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等.
课堂探究
思考3：a与{a}有什么区别？
【答案】a 是一个元素，{a}是集合.
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合;
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
2.描述法
思考1：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？
该集合中的元素有什么性质？
【解析】不能．但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：
（1） 集合中的元素都小于10.（2） 集合中的元素都是实数．
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:
思考2：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？
有理数集怎么表示呢？
或
所有奇数的集合可以表示成
.
所有偶数的集合可以表示成
.
有理数的集合可以表示成
.
.
问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
如：
或
或
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x2 2=0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解：(1)设方程x2 2=0的实数根为x,并且满足条件x2 2=0，因此，用描述法表示为A=x|
方程两个实数根为，.因此，用列举法可以
表示为{，}.
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且101.下列对象不能构成集合的是(　　)
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．　 　　　　　
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
D 【解析】　研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.
2．下列三个关系式：①∈R；② Q；③0∈Z.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】　①正确；②因为∈Q，错误；③正确．故选B.
B
3.如果a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【解析】　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等,因此以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是梯形.
D
4.设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.
【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
{－1,4}
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)所有的平行四边形；
(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
【解】　(1)解方程组得
故该方程组的解集用列举法表示为 {(4，－2)}．
(2)集合用描述法表示为{x|x是平行四边形}，简写为{平行四边形}．
(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
1.集合的概念
2.集合元素的三个特征
3.常见数集的专用符号
4.集合的表示方法
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
教材第5页练习与第5~6页习题1.1.
布置作业
谢谢大家