第一章 1.4充分条件与必要条件 课件（共20张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共20张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
数学
第一章 集合与常用逻辑用语
（一）复习回顾 创设情境
初中学过的命题：
一般地，在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
其中判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
命题的形式:“若p,则q”或者“如果p,那么q”.
【答案】命题（1）、（4）为真命题，命题（2）、（3）为假命题
对于命题，除了真假命题的说法，还有其他的数学说法吗？
练习　判断下列命题是真命题还是假命题.
(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形.
(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等.
(3)若x24x+3=0,则x=1.
(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b.
【引入问题】
（二）研讨新知，典型示例
1.充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件.
命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系 p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
上面练习中的四个命题均为“若p,则q”的形式,命题(1),(4)为真命题,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
命题(2),(3)为假命题,所以p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.
例1　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;
(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;
(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
(4)若x2=1,则x=1;
(5)若a=b,则ac=bc;
(6)若x,y为无理数,则xy为无理数.
解 (1)这是一条平行四边形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件.
(2)这是一条相似三角形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件.
(3)这是一条菱形的性质定理,p q,所以p是q的充分条件.
(4)由于( 1)2=1,但 1≠1,pq,所以p不是q的充分条件.
(5)由等式的性质知,p q,所以p是q的充分条件.
(6) 为无理数,但 × =2为有理数,pq,所以p不是q的充分条件.
例2　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;
(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
(4)若x=1,则x2=1;
(5)若ac=bc,则a=b;
(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.
2.充要条件
思考　下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0;
(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集.
提示 上述思考中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题.
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q又有q p,就记作p q.
此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
例3　下列各题中,哪些p是q的充要条件
(1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分;
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例;
(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;
(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0).
1.已知以下“若p,则q”形式的命题:
①若p:|x|=|y|,则q:x=y;
②设a,b是实数,若p:a+b>0,则q:ab>0;
③若p:x∈A={x|0④若p:x∈A={x|x=6k,k∈Z},则q:x∈B={x|x=3k,k∈Z}.
其中p是q的充分条件的命题是　　　　　;p不是q的充分条件的命题是　　　　;
q是p的必要条件的命题是　　　　　;q不是p的必要条件的命题是　　　　　.(填序号)
①②
③④　
①②　
③④　
2.若a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
C
3.已知p:1 x<0,q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　　.
{a|a<1}
4.如果集合A={x},B={x|0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
5.若A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
1.充分条件、必要条件、充要条件
命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 “若p,则q”与逆命题“若q,则p”均为真命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 p是q的充要条件,q是p的充要条件
2.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件
集合 A={x|p(x)},B={x|q(x)} 关系 A B B A A=B A B且B A
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件
1.完成教材第22页练习.
2.完成教材第22~23页习题1.4.