第一章 本章小结 课件（共26张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共26张PPT)
第一章集合与常用逻辑用语
本章小结
数学
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
2.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用；
(一)展示目标,创设情境
3.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；
4.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定；能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。
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(二)点评自测,挖掘拓展
对本章基础知识中的重点部分进行强调,易混易错处以辨析题组的形式进行考查,必要处挖掘拓展,主要是以下几点:
1.(多选题)下列结论错误的是(　　)
A.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}
B.若{x2,1}={0,1},则x=0或x=1
C.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B) (A∪B)恒成立
D.含有n个元素的集合有2n个真子集
BD
2.(多选题)下列结论错误的是(　　)
A.若已知p:x>1和q:x 1,则p是q的充分不必要条件
B.“长方形的对角线相等”是存在量词命题
C.当q是p的必要条件时,p是q的充分条件
D.p: x∈R,x2 1;p: x∈R,x2 1
3.若集合A={x| 34.若命题p: a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点,则
p:　　　　　　　　　　　 　　　 　,是　　　　命题(填“真”或“假”).
{x| 2 x<1}　
a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点
{x| 3假
【例题1】 已知集合A＝{x|0A．{a|0C．{a|a 4} D．{a|a>4}
【考点一】 集合间的基本关系
【解析】 在数轴上标出A，B两集合如图所示，
结合数轴知，若A B，则a 4.
C
【归纳总结】集合间的基本关系的关键点
(1) ：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为集合间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题，解答时要注意端点值的取舍．
【考点二】 集合的基本运算
【例题2】 设U＝R，A＝{x|1 x 3}，B＝{x|2(1)分别求A∩B，A∪( UB)；
(2)若B∩C＝C，求a的取值范围．
【解】 (1)因为A＝{x|1 x 3}，B＝{x|2所以 UB＝{x|x 2或x 4}，所以A∩B＝{x|2A∪( UB)＝{x|x 3或x 4}．
(2)因为B∩C＝C，所以C B，因为B＝{x|2若C＝ ，则a＋1故a的取值范围为{a|2【归纳总结】集合基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
【考点三】 集合语言与运算的应用
例3 (1)(多选题)对任意A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}，并称A B为集合A，B的对称差．例如，A＝{1，2，3，}，B＝{2，3，4}，则A B＝{1，4}．下列命题中，为真命题的是(　　)
A．若A，B R，且A B＝B，则A＝
B．若A，B R，且A B＝ ，则A＝B
C．若A，B R，且A B A，则A B
D．存在A，B R，使得A B＝
ABD
解析 由题意可得，若A，B R，且A B＝B，则A∩B＝，A B，所以A＝ ，故A正确；若A，B R，且A B＝ ，则A∪B＝A∩B，则A＝B，故B正确；若A，B R，且A B A，则B A，故C错误；存在A，B R，使得A B＝ ＝ ，如A＝B，故D正确．
【考点三】 集合语言与运算的应用
(2) 学校举办秋季运动会时，高一(2)班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田赛和径赛的有_________人．
4
解析 由题意，画出Venn图如图所示：
根据题意可知
解方程组得
所以同时参加田赛与径赛的有4人．
x+y+3=9
12+x+y+z=24
x+z+3=13
y=2
x=4
z=6
【归纳总结】(1)运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
(2)集合是数学中一个非常重要的概念，是研究群体及群体中元素的，在日常生活中我们会遇到许多群体性的实际问题，常从集合的角度利用Venn图解决．
【考点四】 全称量词命题与存在量词命题
【例题4】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:
(1)p:对任意的x∈R, +x+1≠0都成立;
(2)q: x∈R,使+3x+5 0.
【解析】 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”,所以该命题是全称量词命题,所以其否定为“ x∈R,使+x+1 =0”.
因为Δ= 3<0,所以方程+x+1无实数解,
此命题为假命题.
(2)由于命题中含有存在量词“ ”, 所以该命题是存在量词命题,所以其否定为“ x∈R,有+3x+5 >0”.
因为Δ= 11<0,所以 x∈R, +3x+5 >0成立,此命题是真命题.
【归纳总结】对全称量词命题和存在量词命题否定的步骤和方法
(1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题；
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
【考点五】 充分条件与必要条件的判断
【例题5】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)．
(1)在△ABC中，p： ∠A+∠C=2∠B ，q： ∠B=60° ；
(2)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB；
解 (1)在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∵∠A+∠C=2∠B,∴∠B=60°.
当∠B=60°时,∠A+∠C=180° ∠B=120°=2∠B,
即p是q的充要条件.
(2)取A=120° , B=30° ,p
故p是的既不充分也不必要条件.
【归纳总结】充分条件与必要条件的常用判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q” ，“若q则p” 的真假．
(2)等价法：利用p q与 q p ， q p与 p q ， p q与 q p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若条件p 与条件q 对应的集合分别是A、B， A、B是非空集合，若A B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．　　
【考点六】 充分条件与必要条件的应用
【例题6】 已知集合P={x|1 x 4},S={x|1 m x 1+m},且S≠ .是否存在实数m,使得x∈P是x∈S的_________ .若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上:①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件.
解 若选择①,即x∈P是x∈S的充分不必要条件,
则1 m 1+m且 (两个等号不同时成立),
解得m 3,
故实数m的取值范围是{m|m 3}.
若选择②,即x∈P是x∈S的必要不充分条件.
则1 m 1+m且 (两个等号不同时成立),
解得m=0.
综上,实数m=0.
若选择③,即x∈P是x∈S的充要条件,
则P=S, 即 无解,
则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
归纳总结
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.
2.要注意区间端点值的检验.尤其时利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
完成教材第34~35页复习参考题1.