第二章 2.2基本不等式 课件（共19张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共19张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
数学
公元前5世纪,著名历史学家修昔底德通过绕岛航行一周所需时间来估算西西里岛的大小.古希腊有人通过周长来推断城市的大小,人们在分配土地时,将周长大但实际上面积更小的土地分配给他人,而将周长小但面积更大的土地分给自己.以上问题就是历史上的等周问题,从中看到有的古希腊人认为周长越长,面积就越大,大家觉得这个想法合理吗
问题：同学们有什么发现 长方形面积比正方形面积小.可以用简单的式子表达吗
当a>0,b>0时,有.
基本不等式： a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
课堂探究　我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用,不等式a2+b2≥2ab同样在不等式问题中有着重要作用,你能由这个不等式得到点什么吗
探究展示　1.不等式恒等变形:(1) a,b∈R,有2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立;(2) a,b∈R,有(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时等号成立.
2.不等式特殊变形:如果a>0,b>0,我们用分别代替上式中的a,b,可得,当且仅当a=b时,等号成立.
1.算术平均数与几何平均数
对于正数a,b,常把叫做a,b的算术平均数,叫做a,b的几何平均数.
2.基本不等式
当a>0,b>0时,有,(1)
当且仅当a=b时,等号成立.
通常称不等式(1)为基本不等式.
基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
思考1　基本不等式中的a,b只能是具体的数吗
提示　a,b既可以是具体的数,也可以是代数式,只要满足a>0,b>0就可以.
思考2　基本不等式的叙述中,“正数”二字能省略吗
提示　不能.如a=-3,b=-4时,基本不等式不成立.
思考3　“当且仅当a=b时,等号成立”的含义是什么
提示　当a>0,b>0时,a=b ,a≠b .
思考4　你能证明基本不等式成立吗 请同学们小组之间合作交流方法,然后展示证明方法.
提示　(比较法)因为a,b都是正数,
所以≥0,
即,当且仅当()2=0,即a=b时,等号成立.
(分析法)
要证,
只要证2≤a+b,
要证上式,只要证2-a-b≤0,
要证上式,只要证-()2≤0,
要证上式,只要证()2≥0,
显然,()2≥0成立,当且仅当a=b时,等号成立.
(综合法)因为()2≥0,
所以a+b-2≥0,
所以a+b≥2,即,当且仅当()2=0,即a=b时,等号成立.
思考5　基本不等式是一种重要且基本的不等式类型,是中学数学知识体系中一个非常重要的、基础的内容,根据不等式的性质,基本不等式可以怎样变形
提示　①根据不等式的性质可以变形如下:若a>0,b>0,则a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立.
②根据不等式的可乘方性可以变形如下:若a>0,b>0,则ab≤（）2,当且仅当a=b时,等号成立.
合作探究　
在图中,AB是圆的直径,C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
如图,可证△ACD∽△DCB,因而CD=.由于CD小于或等于圆的半径,用不等式表示为.
显然,当且仅当点C与圆心重合,即当a=b时,上述不等式的等号成立.
即基本不等式的几何意义是在同一个圆中,半径不小于半弦.
3.学以致用
(1)比较大小
例1　若0A.a>>b
B.b>>a
C.b>>a
D.b>a>
C
解析 (方法1　直接法)∵0a+b,∴b>.
∵b>a>0,
∴ab>a2,∴>a.
故b>>a.故选C.
(方法2　特值法)∵0∴取a=1,b=2,则,排除A,B,D.
故选C.
(2)证明不等式
例2　已知ab>0,求证:≥2.
证明 因为ab>0,
所以>0,>0,
所以≥2=2,
当且仅当,即b=3a时,等号成立.
(3)求最值
例3　已知x>0,求x+的最小值.
解 因为x>0,
所以x+≥2=2,
当且仅当x=,即x2=1,x=1时,等号成立,因此所求的最小值为2.
例4　(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短 最短篱笆的长度是多少
(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大 最大面积是多少
解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,y m,篱笆的长度为2(x+y)m.
(1)由已知得xy=100.
由,可得x+y≥2=20,
所以2(x+y)≥40,
当且仅当x=y=10时,等号成立.
因此,当这个菜园是边长为10 m的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为40 m.
(2)由已知得2(x+y)=36,矩形菜园的面积为xy m2.
由=9,
可得xy≤81,
当且仅当x=y=9时, 等号成立.
因此,当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是81 m2.
C
2.(1)若0(2)若a>0,b>0,且2a+3b=4,则ab的最大值为　　　　　.
3.已知a>0,b>0,c>0,求证:a+b+c≥.
证明 ∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立,b+c≥2,当且仅当b=c时,等号成立,a+c≥2,当且仅当a=c时,等号成立.
∴2a+2b+2c≥2+2+2,即a+b+c≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
4.某养殖公司欲将一批冷鲜肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1 000元,冷鲜肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度值(单位:km/h)的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
(1)写出运输的总费用y(单位:元)与汽车速度x(单位:km/h)的函数关系式,并求汽车速度为50 km/h时运输的总费用.
(2)求汽车行驶速度为何值时,运输的总费用最小,最小值为多少
解 (1)y=×60+1 000+2x=2x++1 000(x>0),
当汽车速度为50 km/h时,运输总费用为×60+1 000+2×50=1 244(元).
(2)由(1)得2x++1 000≥2+1 000=1 240,当2x=,即x=60时,等号成立.
故汽车行驶速度为60 km/h时,运输的总费用最小,最小值为1 240元.
总结归纳
1.基础知识归纳
(1)基本不等式及其证明、几何解释;
(2)基本不等式的应用,尤其是利用基本不等式求最值.
2.思想方法总结:转化与化归思想
3.误区警示:忽视基本不等式使用前提以及等号成立的条件;利用基本不等式求最值时忽略“一正,二定,三相等”.
认真整理本节知识脉络,完成学案.