第二章 本章小结 课件（共15张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共15张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章小结
数学
学习目标
①会用比较法比较两实数（式）的大小．
②会用不等式的基本性质解决有关问题．
③会用不等式的证明方法证明不等式．
④会用基本不等式比较大小、证明不等式、解决最值问题．
④借助三个“二次”的关系，会求解不含参或含参的一元二次不等式以及分式不等式，并会利用一元二次不等式解决一些实际应用问题、不等式恒成立问题以及由不等式的解集求参数．
知识网络结构图
(1)若<0，则下列不等式不正确的是(　　)
A.a+bB.>0
C.abD.a2>b2
D
(2)如果不等式x2-2x-3<0的解集为A，不等式x2+x-6<0的解集为B，不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，那么a+b等于(　　)
A.-3 B.1 C.-1 D.3
A
课前自测订正
(3)若不等式4x2+(m-1)x+1>0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m>5或m<-3}
B.{m|m≥5或m≤-3}
C.{m|-3≤m≤5}
D.{m|-3D
(4)(多选题)若a>0，b>0，a+b=2，则(　　)
A.取得最值时a= B.最大值是5
C.取得最值时b= D.最小值是
AD
例1　对于任意实数a，b，c，d，下列命题是假命题的是 (　　)
A.若ac2>bc2 ，则a>b
B.若bc-ad≥0，bd>0，则≤
C.若a
D.若a>b， > ，则a>0，b<0
答案 C
解析 对于A，若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，A为真命题;
对于B，若bc-ad≥0，bd>0，则≥0，化为，可得，B为真命题;
对于C，若ab2>0，ab>0，则<0，故，C为假命题;
对于D，若a>b，，则>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，D为真命题.
例2　若a，b∈R，且a≠b，有下列式子:① a2+3ab>2b2 ，②a5+b5>a3b2+a2b3，③a2+b2+5≥2(2a-b)，④>2，则恒成立式子的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 ①a2+3ab-2b2= -，当a=1，b=-2时不等式不成立;
②a5+b5-a3b2-a2b3=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)，当a=1，b=-1时不等式不成立;
③a2+b2+5-2(2a-b)=(a-2)2+(b+1)2≥0恒成立;
④当a=1，b=-1时，=-2，故④式不恒成立.
小结　两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比，作商和1比(分母不为0)，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
例3　已知a，b均为正实数，求证:.
证明 (方法1)因为a，b均为正实数，所以由基本不等式可得≥2≥2，当且仅当a=b时，等号成立.
两式相加，得≥2+2，
所以，当且仅当a=b时，等号成立.
(方法2)==()(≥0，
所以.
小结　不等式证明的一般方法
(1)比较法，其思路是借助作差或作商，条件满足的话也可借助基本不等式证明;
(2)分析法，适用于已知条件较弱的不等式证明，其思路是由果索因;
(3)综合法，适用于已知条件较强的不等式，其思路是由因导果;
(4)反证法，其思路是通过反设结论推出矛盾.
例4　若两个正实数x，y满足=1，且存在这样的x，y使不等式x+< m2+3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A.{x|-1C.{x|x<-4或x>1} D.{x|x<-3或x>0}
答案 C
解析 因为正实数x，y满足=1，所以x+==2+≥2+2=4，当且仅当，且=1，即x=2，y=8时，等号成立，所以min=4.
因为存在x，y使不等式x+所以m2+3m>4，解得m>1，或m<-4，所以实数m的取值范围是{m|m<-4或m>1}.
例5　已知y =(m+1)x2-mx+1.
(1)当m=5时，求不等式y>0的解集;
(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围.
解 (1)当m=5时，y=6x2-5x+1，不等式y>0即6x2-5x+1>0，即(3x-1)(2x-1)>0，
故所求不等式的解集为.
(2)由题意得(m+1)x2-mx+1>0的解集为R.
当m+1=0时，该不等式的解集为{x|x>-1}，不符合题意，舍去;
当m+1≠0时，根据二次函数图象特征知，
解得2-2综上所述，实数m的取值范围是{m|2-2例6　如图所示，某学校要在长为8 m，宽为6 m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x m，中间为草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x的取值范围为　　　　　.
答案 {x|0解析 设花卉带宽度为x m(0根据题意可得(8-2x)(6-2x)>×8×6，
整理得x2-7x+6>0，
即(x-6)(x-1)>0，
解得x<1或x>6.
又因为0故x的取值范围为{x|0总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1、主要基础知识归纳
（1）比较实数大小的基本事实；（2）不等式的基本性质；（3）基本不等式；（4）一元二次不等式.
2、主要思想方法总结：转化与化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想、“1”的代换、比较法、综合法、分析法、反证法．
认真整理本节所讲，梳理知识脉络，完成学案的自我测试案.