安徽省阜阳市临泉县第二中学2025-2026学年高一上学期开学考
数学试题及答案解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知三个实数满足,且,则下列结论错误的是( )
.若,则 .若,则
.若,则 .若,则
2.已知集合,,则集合的非空真子集的个数为( )
. . . .
3.某校为了解学生的身高情况,随机对部分学生进行抽样调查,已知抽取的样本中,男生、女生人数相同,分组情况为(单位:),,,,,利用所得数据绘制如下统计图表:
根据图表提供的信息,可知样本数据中下列信息正确的是( )
.身高在区间的男生比女生多3人
.组中男生和女生占比相同
.超过一半的男生身高在以上
.女生身高在组的人数有2人
4.如图,在中,,,,为边上一动点,,连接,则的最小值为( )
. . . .
5.定义:平面直角坐标系中,若点到轴,轴的距离和为2,则称点为“和二点”.例如:点到轴,轴的距离和为2,则点是“和二点”,点,也是“和二点”.一次函数的图象经过点,且图象上存在“和二点”,则的取值范围为( )
. . . .
6.如图,在平面直角坐标系中,等边的边经过原点,且顶点,都在的图像上,顶点在的图象上,则的值为( )
. .
. .
7.如图,抛物线与轴交于两点,的直角顶点在抛物线对称轴上,为线段上一点,且,则的值为( )
. .
. .
8.我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出,“周三径一”不是圆周率值,实际上圆内接正六边形周长和直径的比值(如图1).刘徽发现,圆内接正多边形边数无限增加时,多边形的周长就无限逼近圆周长,从而创立“割圆术”,为计算圆周率建立起相当严密的理论和完整的算法.如图2,六边形是圆内接正六边形,把每段弧二等分,可以作出一个圆内接正十二边形,点为弧的中点,连接,交于点,若,则的长为( )
. .
. .
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中,正确的是( )
.“”是“”的充分不必要条件
.“”是“”的必要不充分条件
.“”是“”的充要条件
.“”是“”的必要不充分条件
10.设正实数满足,则( )
.有最大值为1 .有最小值为4
.有最小值为5 .有最大值为
11.若集合具有以下性质:①,;②若,则,且当时,.则称集合是“完美集”.下列说法正确的有( )
.集合是“完美集”
.有理数集是“完美集”
.对任意的一个“完美集”,若,则
.对任意的一个“完美集”,若,且,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.关于的方程的解集中只含有一个元素,则的所有可能值组成的集合是
.
13.已知(其中为正整数,且),则 .
14.如图,在正方体中,为边上一点,将沿翻折到处,延长交边于点,过点作分别交于点,请完成下列问题:
(1) ; (2)若,则 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图,点在同一平面内,点在同一水平线上,一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为22°,另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点,在点测得博学楼顶部的仰角为42°,求博学楼的高度.(参考数据:,,,,,)
16.(15分)“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算,其算法如下:对于多项式,令时, ,则必有一个因式是,且可以分解为,对于多项式,令时,,则必有一个因式是,且可以分解为.
(1)分解因式:(当时,原式为0)(方法任意);
(2)已知多项式既能被整除,又能被整除,求的值(方法任意).
17.(15分)若实数满足,则称比更远离.
(1)若比更远离1,求实数的取值范围;
(2)判断是比更远离的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件),并加以证明;
(3)已知,,若,证明:比更远离.
18.(17分)将的顶点放在半圆上,现从与半圆相切于点(如图1)的位置开始,将绕着点顺时针旋转,设旋转角,旋转过程中,与半圆的另一交点记为,与半圆的另一交点记为,连接(如图2).已知,,,半圆的直径为8.
(1)嘉嘉认为:在旋转过程中,弦的长度不变;琪琪认为:弦的长度随点的运动而发生变化.请你分析他俩谁说的对,并说明理由;
(2)当点与点重合时,如图3.
①判断与半圆的位置关系,并说明;
②求图中阴影部分的面积和;
(3)设的中点为,直接写出点的运动路径长.
19.(17分)如图,抛物线与轴相交于,两点(点在点的左侧),其中是方程的两个根,抛物线于轴相交于点.
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)已知直线与轴分别相交于点.
①设直线与相交于点,问在第三象限内的抛物线上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
②过抛物线上一点作直线的平行线,与抛物线相交于另一点,设直线相交于点,连接.求线段的最小值.
答案解析
一、选择题
1.D 解析:对于A,若,则,即,故A正确;
对于B,当时,,代入得,即,整理得,故B正确;
对于C,由得,∵,∴,即,
∵,∴,故C正确;
对于D,若,由得,解得或,故D错误.
2.A 解析:,∴,
∴,共3个元素,∴的非空真子集的个数为.
3.D 解析:抽取的男生总人数为(人),
∵抽取的样本中,男生、女生人数相同,∴抽取的女生总人数为40人,
由直方图可知,身高在区间的男生认识为12人,
由扇形统计图可知,身高在区间的女生人数为(人),
则身高在区间的男生比女生少3人,选项A错误;
组中男生和女生占比不相同,选项B错误;
男生身高在以上的占比为,选项C错误;
女生中组的人数为(人),选项D正确.
4.A 解析:如图,作平分,作,
连接交于,
∵,,∴,
∵平分,∴,
∵,∴,∴,
∴,,∴,∴,
∴,又为边上一动点,即点在与成60°夹角的射线上运动,的最小值为到的垂线段的长度,即的最小值为的长.
∵,∴,,,∴,
即的最小值为.
5.D 解析:取,连接,在上取点,作 轴,轴,垂足分别为,,
∵,
∴均为等腰直角三角形,
∴,∴为等腰直角三角形,
∴,∴,
∴点是“和二点”,
即线上的点为“和二点”,
同理线上的点为“和二点”,
∴当一次函数的图象与线或线有交点时,
一次函数的图象上存在“和二点”,
∵一次函数的图象经过点,∴,
解得,∴一次函数解析式为,
当一次函数的图象经过点时,∴,解得,
当一次函数的图象经过点时,∴,解得,
∴的取值范围为:.
6.C 解析:连接,作轴,轴于点,
∵关于原点成中心对称,我等边三角形,
∴,,平分,
∴,
∵,∴,
又∵,∴,
∵平分,为等边三角形,∴,
∴,∴,
∵点在函数的图象上,∴,∴,
∵,∴.
7.A 解析:∵抛物线与轴交于两点,
∴令,即或,∴,
∵在抛物线的对称轴上,∴,对称轴:直线,
∴为等腰直角三角形,设,∴,
∴,解得:,
如图点在第三象限,∴,∵,∴,∴,
∴过点作,∴,
即,解得,
∴,
∴.
8.A 解析:如图,设正六边形的外接圆的圆心为,
连接,
∵,
∴,,
∴圆心在上,∵点为弧的中点,∴,
∵,∴,
∵,,∴是等边三角形,∴,
∵,∴,
∴,作交于点,则,
∴,∵,∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,∴,∴。
∴.
二、选择题
9.AB 解析:对于A,由可以推出,反之不可以,故A正确;
对于B,由推不出,反之可以,故B正确;
对于C,由可以推出,反之不可以,故C错误;
对于D,由题意知是的子集,∴可以推出,反之不可以,故D错误.
10.ACD 解析:对于A,由基本不等式,,当且仅当时取等号,故A正确;
对于B,,由A,,
则,即最小值为2,当且仅当时取等号,故B错误;
对于C,,
当且仅当,即,时取等号,故C正确;
对于D,,
又,当且仅当,即,时取等号,则,即,有最大值为.
11.BCD 解析:对于A,∵,,但是,∴不是“完美集”,故A错误;
对于B,有理数集满足“完美集”的定义,故B正确;
对于C,∵,∴,∴,故C正确;
对于D,任取,当中有或时,显然,当均不为,时,∵,∴,∴,∴,由选项C可得,同理可得,则,,
∴,∴,∴,∴,
∴,故D正确.
三、填空题
12. 解析:由方程可知,解得且,
方程可化简为,
若的解集中只含有一个元素,则有以下三种情况:
①方程有且仅有两个相等且不为0和1的解,
∴,解得,此时的解为,满足题意;
②方程有两个不相等的实根,其中一个根为0,另一根不为1,
由得,
∴,此时方程的另一根为,满足题意;
③方程有两个不等实根,其中一个根为1,另一根不为0,
由得,
∴,此时方程的另一根为,满足题意,
综上所述:或1或3,即的所有可能值组成的集合是.
13. 解析:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
14.(1)45°;(2) 解析:(1)∵四边形为正方形,
∴,,
由折叠的性质可得:,,,
∴,,
在和中,,∴,
∴,
∴,
(2)过点作于,如图:
∵,∴,∴,
在和中,,
∴,∴,,
∵,,∴,
∴,∵,∴,
设,∴,∴,∴,
∴,∴,∴,∴,
∴.
四、解答题
15.解:(1)过点作于点,
由题意得:,,,
,
∵,∴四边形是矩形,
∴,
在中,∵,∴,
∴设,,
则,,
在中,∵,∴,解得:,
∴.
16.解:(1)∵当时,,∴必有一个因式,
∴设,
∴,
比较同列项的系数得:,解得,∴.
(2)∵多项式既能被整除,又能被整除,
∴多项式必有因式和,
∴当或时,,
∴,解得.
17.解:(1)由题意可得,即,解得,
∴实数的取值范围为.
(2)是比更远离的充分不必要条件,
证明:①已知,则,可得,
∴是比更远离的充分条件.
②已知比更远离,则,
∴或,∴或,
∴不是比更远离的必要条件.
综上,是比更远离的充分不必要条件.
(3)证明:∵,
∴,
当且仅当,即时,等号成立,
∵,由(2)可知比更远离,即得证.
18.解:(1)嘉嘉说的对;理由:如图,连接,
则.
∵的度数不变,∴的长度也不变.
(2)①与半圆相切;
证明:如图,过点作于点,则,
∴,∴,∴.
∵,,,∴.
∵半圆的直径为8,∴,∴,
∴,解得,∴,即是⊙的半径,
∴与半圆相切.
②如图,连接,∵,,∴是等边三角形,
∴,.
∵,,∴,
∴阴影部分的面积和为:
.
(3)的中点的运动路径长为.
连接,则,
∴,,
∴,
∴点在以点为圆心,2为半径的圆上运动.
当点与点重合时,如图,;
当点与点重合时,如图,∵是⊙的直径,∴,
∴,∴,∴,
∴,∴.
19.解:(1)解方程,得,,∴,
∵抛物线与轴相交于两点,
∴,解得,∴该抛物线对应的函数表达式为.
(2)①对于,令,则,∴,
对于,令,则,∴,
∴,∴,
设直线对应的函数表达式为,
将分别代入,得,解得,
∴直线对应的函数表达式为.
联立得,解得,∴.
如图(1)过点作轴于点,
则,,,
∴,,
∴.
∵,
∴,
∴,∴,
设直线对应的函数表达式为,
将代入,得,解得,
∴直线对应的函数表达式为.
联立得,解得或,
∵点在第三象限,∴.
②设,直线对应的函数表达式为,
设直线对应的函数表达式为,
将代入,得,解得,
∴直线对应的函数表达式为,
设直线对应的函数表达式为,将代入,得,
∴直线对应的函数表达式为,
联立得,得,∴,
将分别代入,,得,
∴,∴,解得,
将分别代入,,得,
∴,∴,解得,
联立,得
,
∴点在直线上运动,
对于,令,则,∴.
如图(2),作点关于直线的对称点,
连接交直线于点,连接,
则.
由轴对称的性质可得,
∴,
∵,
∴线段的最小值为.