2025-2026学年高二数学上学期第一次月考(沪教版2020)（含解析）

2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：沪教版 2020 选修第一册第一、二章
难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
已知点 A(2，0)，B(3，3)，则直线 AB 的倾斜角为
过点 P(－1，3)且倾斜角为 30°的直线方程为 ．
直线 l 经过原点，且经过两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为
已知圆方程 x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是
与直线 3x－4y＋5＝0 关于 x 轴对称的直线的方程为
已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且过 A(－1，1)和 B(1，3)两点，则圆 C 的方程是 ．
长为 2a 的线段的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹方程为 .
过点 P(2，1)作圆 O：x2＋y2＝1 的切线 l，则切线 l 的方程为 ．
已知椭圆 C：x225＋y216＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△ABF2 的周长为
江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底面的直径都是 8，瓶高是 6，则该双曲线的标准方程是
已知 P 为抛物线 y2＝4x 上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点 A 坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为
若曲线 与直线 没有公共点，则实数 、 分别应满足的条件是
二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项)
以 A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ）
锐角三角形 B．钝角三角形
C．以 A 为直角顶点的直角三角形 D．以 B 为直角顶点的直角三角形
“2＜m＜6”是“方程 x2m－2＋y26－m＝1 表示的曲线为椭圆”的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于 轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为 ，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为
（ ）
A． B．
D．
已知点 P(m，n)是函数 y＝2－－x2－2x 图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ）
A．22－34 B．22＋34
C．34)2－1 D．34)2＋1
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、21 题每题 18 分.)
已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
试判断 a 为何值时，l1 与 l2 平行；
当 l1⊥l2 时，求 a 的值；
已知点 P(2＋1，2－2)，点 M(3，1)，圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
求过点 P 的圆 C 的切线方程；
求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
19．（1）已知椭圆 C 的一个焦点为(1，0)，且过点(0，3)，求：椭圆 C 的标准方程；
已知椭圆经过 P(－23，1)，Q(3，－2)两点，求：此椭圆的标准方程；
已知椭圆与椭圆 x24＋y23＝1 有相同的离心率，且经过点(2，－3)，求：此椭圆的标准方程；
20．已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）；
证明：直线 l 过定点；
若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；
若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求：S 的最小值，并求此时直线 l 的方程；
已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线 C 上一点 P 到两焦点的距离之差的绝对值等于 4.
双曲线 C 的标准方程；
过点作直线交双曲线的右支于 A，B 两点，且 M 为 的中点，求直线 的方程；
已知定点 ，点 D 是双曲线右支上的动点，求 的最小值；
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：沪教版 2020 选修第一册第一、二章
难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
已知点 A(2，0)，B(3，3)，则直线 AB 的倾斜角为
【答案】π3（或 60°）
【解析】由题意得直线 AB 的斜率 k＝3)－03－2＝3，
设直线 AB 的倾斜角为 α，则 tan α＝3；因为 0°≤α<180°，所以 α＝60°；
过点 P(－1，3)且倾斜角为 30°的直线方程为 ．
【答案】x－3y＋4＝0
【解析】由点斜式可得 y－3＝tan 30°(x＋1)，即 y－3＝3)3(x＋1)，化简得 x－3y＋4＝0.
直线 l 经过原点，且经过两条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为
【答案】2x－y＝0. ；
【解析】方法 1：联立 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，)解得 x＝－1，y＝－2，)所以两直线的交点为
(－1，－2)，
所以直线 l 的斜率为－2－0－1－0＝2，则直线 l 的方程为 2x－y＝0；方法 2：设所求直线 l 的方程为 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R).
因为直线 l 经过原点，所以 2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得 λ＝8；所以直线 l 的方程为 2x－y＝0；
已知圆方程 x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是
【答案】 (2，0)；
【解析】依题意，圆 x2＋y2－4x－1＝0 转化为标准方程得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)；
与直线 3x－4y＋5＝0 关于 x 轴对称的直线的方程为
【答案】3x＋4y＋5＝0；
【解析】设所求对称直线的点的坐标为(x，y)，关于 x 轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为 3x＋4y＋5＝0；
已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且过 A(－1，1)和 B(1，3)两点，则圆 C 的方程是 ．
【答案】(x－2)2＋y2＝10
【解析】圆 C 的圆心在 x 轴上，设圆心为 C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得 a＝2，可得圆心为 C(2，0)，半径为|CA|＝10，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
长为 2a 的线段的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹方程为 .
【答案】x2＋y2＝a2
【解析】如图，设线段 AB 的中点为 M(x，y)，点 M 运动时，它到原点 O 的距离为定长，即 Rt△AOB
的斜边上的中线长为定长．
因为|AB|＝2a，即点 M∈{M||OM|＝a}，点 M 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2.
过点 P(2，1)作圆 O：x2＋y2＝1 的切线 l，则切线 l 的方程为 ．
【答案】y＝1 或 4x－3y－5＝0
【解析】设切线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，所以|1－2k|\r(k2＋1)＝1，解得 k＝0 或 43，因此所求切线 l 的方程为 y＝1 或 4x－3y－5＝0；
已知椭圆 C：x225＋y216＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△ABF2 的周长为
【答案】20；
【解析】由题意，椭圆的长轴长为 2a＝225＝10，由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF2 的周长是 20.
江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是 4，瓶口和底面的直径都是 8，瓶高是 6，则该双曲线的标准方程是
【答案】
【解析】由题意可知该双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，点 在该双曲线上．设该双曲线的方程为 ，
，，
故该双曲线的标准方程是 ．
已知 P 为抛物线 y2＝4x 上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点 A 坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为
【答案】4；
【解析】由抛物线 y2＝4x 知 p＝2，则 F(1，0)，准线 l 方程为 x＝－1.如图所示，点 A 在抛物线内，过点 P 作抛物线准线 l 的垂线段，垂足为点 P′，过点 A 作 AH⊥l 于点 H.由抛物线的定义得|PF|＝|PP′|，
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AH|，
当且仅当点 P 是线段 AH 与抛物线的交点(即 A，P，H 三点共线)时取等号．故|PA|＋|PF|的最小值为|AH|＝3＋p2＝4；
若曲线与直线 没有公共点，则实数 、 分别应满足的条件是
【提示】由条件作出曲线的图象，根据图象分析出当直线 与轴垂直且夹在直线 之间.
【答案】 且
【解析】方法 1：曲线 ,作出其图像，如图所示，
曲线 的图象关于轴对称
若，当 时，一次函数的增加的速度比函数 快.
所以当 时，若 ，则的图象与曲线 的图象一定有交点.所以当 时，若时，根据 的图象与曲线的图象变化情况 可得的图象与曲线的图象一定有交点，
所以当 时，不满足条件.
所以 ，根据图象可得 ．故答案为： 且
方法 2：当 k＝0 时， b2＝｜x｜＋1≥1，所以，只需｜b｜＜1，方程 b2＝｜x｜＋1 无解，即 k＝0，｜b｜＜1 即可；
当 k≠0 时，因为，y＝kx＋b 与 y＝kx 平行，
若 y＝kx 与 y2＝｜x｜＋1 有公共点，则 y＝kx＋b 与 y2＝｜x｜＋1 也有公共点，
k2｜x｜2－｜x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，所以有公共点则，k＝0 且｜b｜＜1；
二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项)
以 A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ）
锐角三角形 B．钝角三角形
C．以 A 为直角顶点的直角三角形 D．以 B 为直角顶点的直角三角形
【答案】D；
【解析】直线 AB 的斜率 kAB＝1－(－1)1－5＝－12，直线 BC 的斜率 kBC＝3－12－1＝2，由 kAB·kBC＝－1，所以 AB⊥BC，故△ABC 是以 B 为直角顶点的直角三角形；答案：D；
“2＜m＜6”是“方程 x2m－2＋y26－m＝1 表示的曲线为椭圆”的（ ）
充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B；
【解析】若方程 x2m－2＋y26－m＝1 表示的曲线为椭圆，则 m－2＞0，6－m＞0，m－2≠6－m，解得 2＜m＜6，且 m≠4，
故“2＜m＜6”是“方程 x2m－2＋y26－m＝1 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件；答案：B 15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于 轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为 ，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为
（ ）
A． B．
D．
【答案】C
【解析】因为点 在抛物线上，所以 ，解得，所以抛物线的方程为，则焦点为 ，
又因为反射光线经过点 及焦点
所以反射光线 的方程为，
联立抛物线方程得 ，解得或 ，所以反射光线 与抛物线的交点为，由两点间距离公式可得 ，
所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 ；故选：C；
已知点 P(m，n)是函数 y＝2－－x2－2x 图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ）
A．22－34 B．22＋34
C．34)2－1 D．34)2＋1
【答案】A；
【解析】式子 y＝2－－x2－2x 变形为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，又 y≤2，
因此函数 y＝2－－x2－2x 图象是圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1 在 y＝2 下方的半圆，
如图，作出直线 3x＋5y＋15＝0，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，
|3m＋5n＋15|\r(34)表示点 P(m，n)到直线 3x＋5y＋15＝0 的距离．
圆心为 C(－1，2)，半径为 1，d＝|3×(－1)＋5×2＋15|\r(32＋52)＝22\r(34)，因此 P 到直线 3x＋5y＋15＝0 的距离的最小值是 22\r(34)－1，
所以|3m＋5n＋15|的最小值是\a\vs4\al\co1(\f(22\r(34))－1)×34＝22－34；答案：A；
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、21 题每题 18 分.)
已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
试判断 a 为何值时，l1 与 l2 平行；
当 l1⊥l2 时，求 a 的值；
【解析】（1）方法 1：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1 不平行于 l2；【1 分】当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2；【2 分】
当 a≠1 且 a≠0 时，两直线方程可化为 l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，【3 分】 l1∥l2 －\f(a11－aa＋1)，解得 a＝－1，【5 分】综上可知，当 a＝－1 时，l1∥l2；【7 分】
方法 2：显然 a≠0，l1∥l2，则 1a＝a－12≠a2－16 a(a－1)－1×2＝0，a(a2－1)－1×6≠0) a2－a－2＝0， a(a2－1)≠6，)【5 分】
可得 a＝－1，【6 分】故当 a＝－1 时，l1∥l2. 【7 分】
（2）方法 1：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1 与 l2 不垂直，故 a＝1 不成立；【1 分】
当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不垂直于 l2，故 a＝0 不成立；【2 分】
当 a≠1 且 a≠0 时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，【4 分】
由\a\vs4\al\co1(－\f(a2))·11－a＝－1，得 a＝23；【7 分】
方法 2：由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0，【6 分】可得 a＝23；【7 分】
已知点 P(2＋1，2－2)，点 M(3，1)，圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
求过点 P 的圆 C 的切线方程；
求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长．
【解析】由题意得圆心 C(1，2)，半径 r＝2；【2 分】
（1）因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点 P 在圆 C 上．【3 分】
又 kPC＝2)－2\r(2)＋1－1＝－1，【4 分】
所以过点 P 的切线的斜率为－1kPC＝1，【5 分】
所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即 x－y＋1－22＝0【7 分】（2）因为
(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点 M 在圆 C 外．【9 分】
当过点 M 的直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，即 x－3＝0.
又点 C(1，2)到直线 x－3＝0 的距离 d＝3－1＝2＝r，所以直线 x＝3 是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为 y－1＝k(x－3)，即 kx－y＋1－3k＝0，
由圆心 C 到切线的距离 d′＝|k－2＋1－3k|\r(k2＋1)＝r＝2，解得 k＝34;
所以切线方程为 y－1＝34(x－3)，【12 分】即 3x－4y－5＝0.
综上，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x－3＝0 或 3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点 M 的圆 C 的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1；
【14 分】
19．（1）已知椭圆 C 的一个焦点为(1，0)，且过点(0，3)，求：椭圆 C 的标准方程；
已知椭圆经过 P(－23，1)，Q(3，－2)两点，求：此椭圆的标准方程；
已知椭圆与椭圆 x24＋y23＝1 有相同的离心率，且经过点(2，－3)，求：此椭圆的标准方程；
【答案】（1）x24＋y23＝1；（2）x215＋y25＝1；（3）x28＋y26＝1 或 y2253＋x2254＝1；
【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在 x 轴上，故设其方程为 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
显然 c＝1，b＝3，则 a2＝b2＋c2＝4，
故椭圆 C 的标准方程为 x24＋y23＝1; 【4 分】
（2）设方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则有 12m＋n＝1，3m＋4n＝1，)解得 m＝\f(11515)，则所求椭圆的标准方程为 x215＋y25＝1; 【8 分】
（3）椭圆 x24＋y23＝1 的离心率是 e＝12，当焦点在 x 轴上时，
设所求椭圆的方程是 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
所以\f(c12a2＝b2＋c2，43b2)＝1，解得 a2＝8，b2＝6，)
所以所求椭圆方程为 x28＋y26＝1.
当焦点在 y 轴上时，设所求椭圆的方程为 y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，所以\f(c12a2＝b2＋c2，34b2)＝1，所以 a2＝\f(253254)，
所以椭圆的标准方程为 y2253＋x2254＝1.
所求椭圆标准方程为 x28＋y26＝1 或 y2253＋x2254＝1；【14 分】
20．已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）；
证明：直线 l 过定点；
若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；
若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求：S 的最小值，并求此时直线 l 的方程；
【解析】（1）[证明] 直线 l 的方程可化为 k(x＋2)＋(1－y)＝0，令 x＋2＝0，1－y＝0，)解得 x＝－2，y＝1.)
所以无论 k 取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4 分】
（2）[解] 由方程知，当 k≠0 时，直线在 x 轴上的截距为－1＋2kk，在 y 轴上的截距为 1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－\f(1＋2kk1＋2k≥1，解得 k>0；
当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意，故 k 的取值范围是[0，＋∞)；【10 分】
（3）[解] 由题意可知 k≠0，再由 l 的方程，
得 A\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2kk)，0)，B(0，1＋2k).
依题意得－\f(1＋2kk1＋2k＞0，解得 k>0.
因为 S＝12·|OA|·|OB|＝12·\f(1＋2kk))·|1＋2k|
＝12·(1＋2k)2k＝12\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1k)＋4)≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是 k>0，且 4k＝1k，即 k＝12，
所以 Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0；【18 分】
【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程； 2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次函数)求解最值；
3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解；
21．已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 ， ，双曲线 C 上一点 P 到两焦点的距离之差的绝对值等于 4.
双曲线 C 的标准方程；
过点 作直线 交双曲线的右支于 A，B 两点，且 M 为 的中点，求直线 的方程；
已知定点，点 D 是双曲线右支上的动点，求 的最小值；
【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线 C 的标准方程.
设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程.
利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值；
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】（1）依题意，双曲线焦点在 轴上，半焦距，实半轴长，则虚半轴长，
所以双曲线 C 的标准方程为 ；【4 分】
显然直线不垂直于 轴，否则弦 中点纵坐标为 0，
设直线 的方程为，即 ，设，由 消去得：，
依题意， ，由 M 为 的中点，得 ，解得 ，
此时方程为，，符合题意，所以直线 的方程为；【10 分】
由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内，又点在双曲线右支上，即，
因此，
当且仅当是线段 与双曲线右支的交点时取等号，所以 的最小值为 ；【18 分】